lista 1 chapter 15

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1) Uma partícula está em movimento harmônico simples em uma dimensão e move-se de acordo com a equação: 
a) Em t = 2 s, quais são: o deslocamento (elongação) ; 
]rad
3
t)s/rad3cos[()m0,6()t(x π+π=b) a velocidade ; e c) a aceleração ? 
d) Qual a fase do movimento em t = 2,0 s ? 
Também, quais são e) a freqüência e f) o período do movimento ? 
1. (a) Entrando com a equação dada em uma calculadora científica (no modo de radianos) e com t = 2,0 s, obtemos
( )= 6,0cos 3 2,0 + = 3,0 m.
3
x ππ   
(b) Derivando a equação dada em relação ao tempo e calculando o valor no instante t = 2,0 s, obtemos
( ) ( )= = 3 6,0 sen 3 2,0 + = 49 m/s.
3
dxv
dt
ππ π − −  
(c) Derivando novamente, obtemos
( ) ( ) ( )2 2 2= = 3 6,0 cos 3 2,0 + = 2,7 10 m/s .
3
dva
dt
ππ π − − ×  
(d) A fase do movimento é definida no segundo parágrafo após a Eq. 15-3. Neste caso (no instante t = 2,0 s), a fase é 
3p(2,0) + p/3 = 20 rad.
(e) Comparando com a Eq. 15-3, vemos que w = 3p rad/s. Assim, f = w/2p = 1,5 Hz.
(f) O período é o recíproco da frequência: T = 1/f = 0,67 s.
 
2) Uma partícula executa um MHS de amplitude 4 cm e período 6 s. Considerando a origem dos tempos no instante em 
que a velocidade é máxima positiva, determine: a) a posição da partícula (elongação) em t = 3s, b) a fase do 
movimento em t = 1/2 s e c) a velocidade máxima que a partícula atinge. 
 
𝑥(𝑡) = 𝑥𝑚 𝐶𝑜𝑠(𝜔𝑡 + 𝜙) 
𝜔 =
2𝜋
𝑇
→ 𝜔 =
2𝜋
6
→ 𝜔 =
𝜋
3
 
 
a) A velocidade é máxima quando o bloco está passando pela origem, onde se pode 
constatar que a velocidade é máxima em x = 0. 
b) 𝜔𝑡 + 𝜙 é a fase do movimento, logo 𝑡 =
1
2
; 𝑜 𝑣𝑎𝑙𝑜 = 
𝜋
3
1
2
+ 0 =
𝜋
6
 
 
c) 𝑣𝑚 = 𝜔𝑥𝑚 → 𝑣𝑚 =
𝜋
3
 0,04 → 𝑣𝑚 = 0,0418 𝑚/𝑠 
 
3) Um corpo de 4,0 kg está preso à extremidade inferior de uma mola ideal que pode oscilar verticalmente. Desloca-se 
o bloco 20 cm para baixo, a partir de sua posição de equilíbrio e, ao soltá-lo, observa-se que ele passa a oscilar numa 
freqüência de 5 Hz. Determine: a) a amplitude do movimento, b) o período de oscilação, c) a constante elástica da mola 
e d) a força elástica nos pontos de amplitude máxima. 
a) 𝑥𝑚 = 20 𝑐𝑚 𝑜𝑢 0,2 𝑚 
b) 𝑇 =
1
𝑓
→ 𝑇 =
1
5
→ 𝑇 = 0,2 𝑠 
c) 𝑘 = 𝑚𝜔2 ; 𝑙𝑜𝑔𝑜 𝑑𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑒𝑛𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎 𝜔 = 2𝜋𝑓 → 𝜔 = 2𝜋 5 → 𝜔 = 10𝜋
𝑟𝑎𝑑
𝑠
 
𝑘 = 𝑚𝜔2 → 𝑘 = 4(10𝜋)2 → 𝑘 = 3947
𝑁
𝑚
 
d) 𝐹𝑚 = 𝑘𝑥𝑚 → 𝐹𝑚 = 3947. 0.2 → 𝐹𝑚 = 7895 𝑁 
4) Um carro, de massa 1.300 kg, foi construído com o chassi suportado por quatro molas helicoidais. Cada mola tem a 
constante de força igual a 20.000 N/m. Se duas pessoas estiverem no carro, com massa total de 160 kg, a) determine a 
freqüência de vibração do carro, ao passar por um buraco na estrada. b) quanto tempo leva o carro para efetuar 2 
vibrações completas? 
 
a) 𝜔 = √
𝑘
𝑚
→ 𝜔 = √
4. 20000
1300+160
→ 𝜔 = 7,40 𝑟𝑎𝑑/𝑠 
𝑓 =
𝜔
2𝜋
→ 𝑓 =
7,40
2𝜋
→ 𝑓 = 1,18 𝐻𝑧 
b) 𝑇 =
1
𝑓
→ 𝑇 =
1
1,18
→ 𝑇 = 0,847 𝑠; 𝑙𝑜𝑔𝑜 𝑒𝑠𝑡𝑎 𝑟𝑒𝑠𝑝𝑜𝑠𝑡𝑎 𝑒 𝑑𝑒 𝑢𝑚𝑎 , 𝑒 𝑑𝑒 𝑑𝑒 2 . 𝑇 =
2. .0,47 = 1,7𝑠 
 
5) Uma massa de 0,5 kg, ligada a uma mola leve de constante igual a 20 N/m, oscila sobre uma superfície horizontal 
sem atrito. 
a) determine a energia total do sistema e a velocidade máxima da massa, se a amplitude do movimento for 3 cm; 
b) qual a velocidade da massa quando o deslocamento for igual a 2 cm? 
c) calcule a energia cinética e a energia potencial dos sistema quando o deslocamento for 2 cm; 
d) para quais valores de x a velocidade da massa é igual a 0,1 m/s? 
a) 𝐸 =
1
2
𝑘𝑥𝑚
2 → 𝐸 =
1
2
20. (0,03)2 → 𝐸 = 9. 10−3𝐽 
𝑣𝑚 = 𝜔𝑥𝑚 → 𝑣𝑚 = √
𝑘
𝑚
𝑥𝑚 → 𝑣𝑚 = √
20
0,5
. 0,03 → 𝑣𝑚 = ±0,19 𝑚/𝑠 
b) 𝐸 = 𝐾 + 𝑈 → 𝐸 =
1
2
𝑚𝑣2 +
1
2
𝑘𝑥2 → 9. 10−3 =
1
2
0,5. 𝑣2 +
1
2
20. (0,02)2 →
 𝑣 = ±0,14𝑚/𝑠 
c) 𝐾 =
1
2
𝑚𝑣2 → 𝐾 =
1
2
0,5. (0,14)2 → 𝐾 = 4,9.10−3𝐽 
𝑈 =
1
2
𝑘𝑥2 → 𝑈 =
1
2
20. (0,02)2 → 𝑈 = 4.10−3𝐽 
 
d) 
 
 
6) Uma certa mola vertical estica 9,6 cm, quando um bloco de 1,3 kg é suspenso de sua extremidade. a) calcule sua 
constante elástica. Este bloco então é deslocado mais 5,0 cm para baixo e liberado do repouso. b) de o período, c) a 
freqüência e d) a amplitude de oscilação. 
a) 𝑃 = 𝑘𝑥 → 𝑚𝑔 = 𝑘𝑥 → 𝑘 =
𝑚𝑔
𝑥
→ 𝑘 =
1,3 . 9,8
0,096
→ 𝑘 = 132,7 𝑁/𝑚 
b) 𝑇 =
2𝜋
𝜔
→ 𝑇 =
2𝜋
√
𝑘
𝑚
→ 𝑇 = 0,62 𝑠 
c) 𝑓 =
1
𝑇
→ 𝑓 =
1
0,62
→ 𝑓 = 1,612 𝐻𝑧 
d) 𝑥𝑚 = 0,05 𝑚 
 
 
7) Uma partícula executa um MHS de amplitude 8 cm e período 4 s. Considerando a origem dos tempos no instante em 
que a velocidade é máxima positiva, determine: a) a fase do movimento em t = 1/2 s b) a velocidade máxima que a 
partícula atinge. 
= =
+m s m s
kma mg x g
m M
µ µ⇒
2( ) (0,40)(9,8m/s)(1,0kg10kg) 0,21 m 21 cm.
200 N/m
s
m
g m Mx
k
µ + += = = =
= + = +E
total
E
potencial
E
cinética
kx
2
2
mv
2
2
=E
total
kA
2
máx
2
= +
kA
2
máx
2
kx
2
2
mv
2
2
= +
k
x
2
m
2
k
x
2
2
m
v
2
2
− =  → =
kx
2
m
2
kx
2
m
8
mv
2
2
E
cinética
3kx
2
m
8
% = = = 75%E
cin
⎛
⎝
3kx
2
m
8
kx
2
m
2
⎞
⎠
3
4
 
8) Dois blocos ( m= 1,0 kg e M = 10 kg) e uma única mola (k = 200 N/m) estão colocados em uma superfície horizontal 
sem atrito, como é ilustrado na figura abaixo. O coeficiente de atrito estático 
entre os dois blocos é de 0,4. Qual a máxima amplitude possível do movimento harmônico simples, sem que ocorra 
deslizamento entre os blocos? 
 
9) Quando o deslocamento no MHS é metade da amplitude 
xm, que fração da energia total é a) cinética e b) potencial ? 
c) Com qual deslocamento, em termos de amplitude, a energia 
 do sistema é metade cinética e metade potencial? 
 
a)
b)
= =E
potencial
k( )
x
m
2
2
2
kx
2
m
8
% = = = 25%E
pot
kx
2
m
8
kx
2
m
2
1
8
c)
⋅ =  → x =
kx
2
m
2
1
2
kx
2
2
x
m
2
–
√
(a) Como o bloco atinge a velocidade v na posição de equilíbrio, v = vm, em que vm é a velocidade máxima do MHS. Para deter-
minar o valor de xm, podemos usar a relação vm = wxm ou aplicar a lei de conservação da energia. Usando o segundo método, temos
( ) ( )
( )
2 2
2 2 2
2 ,
1 1 1 1
2 2 2 2m m
m vm M v kx m M kx
m M
+ = ⇒ + =′
+
o que nos dá
( )
3
2
3
(60 10kg)200 m/s) 3,3 10 m.
(150 N/m)(60 10kg 6kg)
m
mvx
k m M
−
−
−
×= = = ×
+ × +
 
v1 M 
m
10) Um bloco de massa M , em repouso numa mesa horizontal sem atrito, é ligado a um suporte rígido por uma mola de 
constante k . Uma bala de massa m e velocidade v1 atinge o bloco como mostrado na figura à seguir. A bala penetra no 
bloco, permanecendo junto com o bloco, numa colisão perfeitamente inelástica. 
Dados: M = 6 kg m = 60 g 
 k = 150 N/m v1 = 200 m/s 
 
a) determine a amplitude do movimento harmônico resultante. 
b) qual o valor da energia cinética do sistema quando o 
 deslocamento for a 1/3 da amplitude?