P1 Cálculo 3 UFRRJ Edivaldo T64 2017 1

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Universidade Federal Rural do Rio de Janeiro
Instituto de Ciências Exatas
Prova 1 de Cálculo III - IC243 - Turma: T64 - 2017/I
Aluno: Data: 22/05/2017
Questão 1: (2 1/2 pontos)
Utilize coordenadas polares para combinar a soma de integrais duplas abaixo∫ 1
1p
2
∫ x
p
1−x2
x y d yd x +
∫ p2
1
∫ x
0
x y d yd x +
∫ 2
p
2
∫ p4−x2
0
x y d yd x
em somente uma única integral dupla.
Questão 2: (2 pontos)
Seja C a curva parametrizada por σ(t) = (cos t,sen t, 1− 2sen t) , 0≤ t ≤ 2pi.
(a) (1 ponto) Determine o vetor σ ′(t).
(b) (1 ponto) Determine a equação da reta tangente à curva no ponto (−1,0,1).
Questão 3: (2 pontos)
Considere a seguinte integral dupla I1 =
∫ 3
0
∫ p9−y2
−p9−y2 f (x ,y) d yd x .
(a) (1 ponto) Esboce a região de integração de I1.
(b) (1 ponto) Inverta a ordem de integração em I1.
Questão 4: (3 1/2 pontos)
Considere I2 =
∫∫
R
y sen(x y) dx d y onde R é a região delimitada pelas curvas
x y = 1, x y = 4, y = 1 e y = 4.
(a) (1 ponto) Faça uma mudança de variáveis que simplifique I2 e determine o
Jacobiano de transformação.
(b) (1/2 ponto) Faça um esboço da região de intergração no novo sistema de coor-
denadas que você adotou no item (a).
(c) (2 pontos) Expresse a integral I2 no novo sistema de coordenadas adotado no
item (a). Calcule a integral I2.
Identidades Coord. polares
sen2(θ ) + cos2(θ ) = 1 x = r cos(θ )
sec2(θ )− tan2(θ ) = 1 y = r sen(θ )
sen2(θ ) = 1−cos(2θ )2 | ∂ (x ,y)∂ (r,θ ) |= r
cos2(θ ) = 1+cos(2θ )2 r > 0 e θ ∈ [θ0,θ0 + 2pi]
Boa Prova!