EXERCICIO ALGEBRA LINEAR

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PRÓ-REITORIA ACADÊMICA
NÚCLEO BÁSICO DE ENGENHARIA
PERÍODO LETIVO 2015.1
LISTA DE EXERCÍCIOS DE ÁLGEBRA LINEAR
Primeira Parte: Matrizes
Sejam as matrizes:
Se possível, determine:
a) A+B; b)A·C; c)B·C; d)C·D; e)D·A; f)D·B; g)─3A+2B; h)(((2A)·(─3B’))·D’)+25D
Seja , calcule o valor de x para que A = AT. 
Se B é uma matriz simétrica, mostre que B – BT é uma matriz nula.
Se C é uma matriz triangular superior, mostre que CT é uma matriz triangular inferior.
Mostre que para qualquer matriz diagonal D, D = DT.
As sentenças abaixo são verdadeiras ou falsas? Justifique a sua resposta.
( ─ A) T = ─ (AT);
(A + B) T = BT + A’;
(n1A)·(n2B) = n1n2(A·B);
(─A)·(─B) = ─ (A·B);
Se pudermos efetuar o produto A·A, então A é uma matriz quadrada.
Se A é uma matriz quadrada, então A2 = A·A. Assumindo que esta sentença é verdadeira, calcule .
Se T é uma matriz triangular superior, que tipo de matriz é T²?
Suponha que existe uma matriz quadrada A não nula onde A·B = A·C. É possível afirmar que B = C? Justifique sua resposta por meio de uma demonstração.
Se , ache uma matriz B de modo que B² = A.
Calcule o determinante das seguintes matrizes de segunda ordem:
Sejam as matrizes A, B e C:
Use a Regra de Sarrus para calcular os determinantes de A, B e C;
Agora use a Regra de Laplace para calcular os determinantes de A, B e C.
Seja a matriz , calcule o valor de x para que a seguinte expressão seja verdadeira: 
Sejam as matrizes:. 
Calcule: a) AxB b) BT c) B+BT d) det( Ax(B+BT)xC )
Resolva a seguinte equação:
Segunda Parte: Sistemas de Equações Lineares
Quais os valores de X, Y, Z e W se ?
Seja o sistema de equações lineares abaixo, escreva este sistema na forma matricial. Resolva pelo método mais adequado:
Resolva os sistemas de equações lineares já apresentados na forma ampliada: 
Dado o sistema: 
Escreva a matriz ampliada do sistema e a reduza à forma escalonada. Calcule o seu posto e o seu grau de liberdade. Após classificar o sistema, apresente a solução caso o sistema seja possível.
Determine o valor de k para que o sistema seja possível: 
Encontre todas as soluções do sistema: 
Encontre a matriz inversa das matrizes:
Sejam os Sistemas de Equações Lineares:
Sem resolver o sistema e sem calcular o grau de liberdade do SEL 1, classifique-o como Possível e Determinado, Possível e Indeterminado ou Impossível. Justifique sua resposta;
Escreva a matriz dos coeficientes (A), a matriz das variáveis(X) e a matriz dos termos independentes (B) associadas ao Sistema 2:
 Encontre a solução do Sistema 2 pelo método que você julgar mais adequado.
Resolva os sistemas de equações lineares abaixo pelo método que você julgar mais conveniente. 
Verifique se as afirmações são verdadeiras ou falsas (justifique suas respostas):
Se det A = 1, estão A─1 = A;
Se A é uma matriz triangular superior e se a admite matriz inversa, então A─1 também será uma matriz triangular superior;
Se uma matriz A é quadrada e de ordem n, o seu posto terá valor n se, e somente se, A admitir inversa;
Uma matriz A só admite matriz inversa se, e somente se, det A ≠ 0 (use a regra da matriz adjunta);
Se A e B são matrizes quadradas e que admitem inversa, então (AB)-1 =A-1B-1
Se A é uma matriz inversível, então a inversa da matriz inversa de A é a própria matriz A, ou seja, (A-1)-1 = A;
Se uma matriz A pode ser escalonada até se transformar na sua matriz identidade associada, então esta matriz A necessariamente é inversível;
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