Lista de oscilações , MHS, pêndulo

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Lista de Problemas LP1 
 
1) Um pequeno bloco preso a uma mola oscila sobre uma superfície horizontal, sem atrito. A amplitude do 
movimento é de 0,250m e o período é de 3,20s. Calcule a velocidade e a aceleração do bloco quando ele passa 
pela posição x=0,160m. 
 
2) Em Fevereiro/2004, cientistas da Universidade de Purdue usaram um técnica de alta sensibilidade para medir a 
massa de um vírus utilizado em vacinas. Essa técnica envolve a medida da frequência de oscilação de uma 
minúscula fita de silício de 30nm de comprimento utilizando um laser. Eles mediram a frequência de oscilação 
primeiro sem o vírus e, depois, com o vírus ligado ao silício. A diferença de massa produz uma mudança na 
frequência e esse processo pode ser modelado como um sistema massa mola. 
a) Mostre que a razão entre as frequências com o vírus fv e sem o vírus fs é dada por 
1
1
v
s v
s
f
f m
m


 , em que mv é 
a massa do vírus e ms é a massa da fita de silício. Observe que não é necessário conhecer ou medir a constante 
elástica da fita. 
b) Em alguns dados obtidos, a fita de silício tem um massa de 2,10×10-16g e oscila com uma frequência de 
2,00×1015Hz sem o vírus, e de 2,87×1014Hz com o vírus. Determine a massa desse vírus em femtogramas. 
 
3) Um bloco está oscilando preso a uma mola de constante elástica de 75N/m. 
Na figura está mostrado o gráfico de sua velocidade vx em função do tempo t. 
a) Determine a frequência angular desse movimento. 
b) Qual a amplitude desse movimento? Em quais instantes o bloco atinge esse 
deslocamento máximo? 
c) Determine a aceleração máxima do bloco. 
d) Determine a massa do bloco. 
 
 
4) 
 
 
5) Um pêndulo está suspenso no teto de um elevador. 
a) Quando o elevador está subindo com aceleração constante, o período de oscilação diminui, aumenta ou não se 
altera. Justifique sua resposta. 
b) E se o elevador estiver se movendo com velocidade constante? 
 
6) Os dois pêndulos mostrados na figura consistem de uma esfera sólida de massa M 
pendurada que oscila presa na extremidade de uma haste cuja massa é 
desprezível. A esfera A é muito pequena e, a B é muito maior que a A. 
a) Determine o período de oscilação de cada pêndulo para pequenos 
deslocamentos. 
b) Qual das esferas que demora mais para completar uma oscilação? 
 
 
7) Um objeto cilíndrico de altura H, massa M e área de seção reta A, flutua verticalmente em um líquido de 
densidade . 
a) Calcule a distância vertical da superfície do líquido até o fundo do objeto, em equilíbrio. 
b) Uma força de módulo F é aplicada sobre o topo do objeto, para baixo. Na nova posição de equilíbrio, de 
quanto o cilindro afunda em relação à posição anterior? Considere que parte do objeto permanece para fora do 
líquido. 
c) A força é removida e o objeto passa a oscilar para cima e para baixo. Despreze o amortecimento devido ao 
fluido. Mostre que o movimento do objeto é harmônico simples e calcule o período das oscilações em função 
de , M e A. 
8) Um pêndulo físico oscila em torno de um dado eixo com período T. Em seguida, você coloca esse mesmo pêndulo 
para oscilar em torno de outro eixo, situado no lado oposto em relação ao centro de massa e encontra o mesmo 
período. Os dois eixos estão separados por uma distância L. 
Use o teorema dos eixos paralelos e mostre que 
22g L
T
     . 
Esse resultado mostra um método para se determinar o valor de g sem o conhecimento da massa ou de qualquer 
momento de inércia do pêndulo físico. 
 
9) Considere que ao invés de manter fixa a extremidade da mola mostrada na 
figura ela seja conectada a outro bloco idêntico que possa se mover 
livremente ao longo da mesma linha reta. A oscilação desse sistema constitui 
um MHS? Qual a frequência de oscilação? 
Para pequenas amplitudes, uma molécula diatômica pode ser aproximada 
como esse sistema. Considere dois átomos idênticos de uma molécula diatômica que vibram como osciladores 
harmônicos. Contudo, o centro de massa, situado na metade da distância entre os átomos, permanece em repouso. 
a) Mostre que em qualquer instante os momentos lineares dos átomos são dados por p e - p. 
b) Mostre que a energia cinética K dos dois átomos em qualquer instante é igual à energia cinética de um único 
objeto de massa m/2 com um momento linear de módulo igual a p· (Use 2 / 2K p m ). 
c) Se os átomos não forem idênticos, mas possuírem massas m1 e 
m2, mostre que o resultado da parte (a) permanece válido e, na parte (b), a massa do único objeto é dada por 
m1 m2/( m1 + m2). Essa grandeza denomina-se massa reduzida do sistema. 
 
 
10) Uma barra metálica delgada e homogênea de massa M possui um pivô em seu centro 
por onde passa um eixo perpendicular à barra. Uma mola horizontal de constante 
elástica k tem uma de suas extremidades presa na parte inferior da barra e a outra 
extremidade está presa a um suporte. A barra é deslocada de um ângulo  pequeno 
com a vertical e, em seguida, é solta. Mostre que a oscilação é um movimento 
harmônico simples e determine o seu período. 
 
Dica: 
Há duas formas de se obter a equação diferencial de um sistema oscilatório: 
i) determinando-se a resultante das forças que atuam no objeto que oscila e usando-se essa força na segunda lei de 
Newton; 
ii) escrevendo-se a equação da energia mecânica do sistema e derivando-a em relação ao tempo. 
 
Seguem dicas para lhe ajudar a resolver esse problema dessas duas formas. 
 
i) Para calcular a frequência de qualquer oscilador mecânico, você deve achar a expressão da força restauradora 
(ou torque restaurador, no caso de um movimento angular). Veja como isso foi feito para o sistema massa-mola 
e para o pêndulo físico e, nessas soluções, procure identificar os passos listados a seguir. Em seguida, tente 
resolver esse problema de forma análoga. 
a) Você deverá escrever a equação diferencial (2ª Lei de Newton) para esse movimento de rotação: 
2
2
dI
dt
  . Para isso, deve determinar o torque  e o momento de inércia I do objeto. 
b) Qual a força que produz um torque em relação ao eixo de rotação mostrado? Escreva uma expressão para 
esse torque em função do ângulo . Como  é pequeno, então, sen   e cos  1. 
c) Em um livro de Mecânica, você encontrará o momento de inércia do objeto (barra) em relação ao seu 
centro de massa. Use, então, o teorema dos eixos paralelos para determinar o momento de inércia em 
relação ao eixo de rotação. 
d) Escreva a equação diferencial e determine . 
e) Escreva a solução da equação (t)=_______. 
 
ii) Escreva a equação da energia mecânica do sistema (soma das energias potencial e cinética) em função do 
ângulo . Derive os dois lados dessa equação em relação ao tempo. Lembre-se que x e v são ambas funções de 
t. Você obterá a equação diferencial do oscilador (mesma obtida a partir da segunda lei de Newton). Determine 
. 
 
xm x = 0 xm
 
11) Nas figuras, estão representados os seguintes sistemas oscilantes: 
o uma pêndulo simples de comprimento L; 
o uma barra de comprimento Lb ; 
o um disco de raio Ld ; 
o um anel de raio La ; 
o um objeto que produz uma elongação Ls ao ser pendurado na extremidade de uma mola; 
o um líquido de comprimento Lt em um tubo em “U”. 
 
a) Ao ser deslocado da posição de equilíbrio, cada um desses sistemas executa um movimento harmônico simples 
com um período que depende apenas da aceleração g da gravidade e da dimensão indicada em cada figura. 
Deduza uma expressão para o período de oscilação de cada um desses sistemas. 
b) Determine, em função de L, os valores de Lb, Ld, La, Ls e Lt, para que cada sistema tenha o mesmo período que o 
pêndulo simples de comprimento L. 
 
 
 
 
12) Muitas molas reais podem ser esticadas mais facilmente do que comprimidas. Podemos representar este efeito 
usando valores diferentes para a constante damola para x > 0 e para x < 0. 
Considere uma mola com a seguinte força restauradora: 
, 0
2 , 0
kx para x
F
kx para x
    
Uma massa m, ligada a esta mola, move-se sobre urna superfície horizontal sem atrito. Deslocamos a massa 
esticando a mola até uma distância x = A e a soltamos. 
a) Ache o período do movimento. O período depende de A? As oscilações constituem um MHS? 
b) Qual é o maior valor negativo de x atingido pela massa m? A oscilação é simétrica em relação ao ponto x=0 ? 
c) Esboce o gráfico da energia potencial U(x). 
 
13) Muitas moléculas diatômicas (com dois átomos) são mantidas unidas por ligações covalemes que são muito mais 
fones do que a interação de van der Waals. Exemplos dessas moléculas incluem H2 O2 e N2. A experiência mostra 
que para muitas dessas moléculas a interação pode ser descrita por uma força da forma 
   0 02( ) b r r b r rF r A e e       
onde A e b são constantes positivas, r é a distância entre os centros dos dois átomos c r0 é a separação de equilíbrio 
entre eles. Para a molécula de hidrogênio, A = 2,97 ×108N, A = 1,95 ×1010m1 e R0 =7,4 ×1011m. 
Calcule a constante da força dessa ligação para pequenas oscilações em tomo do equilíbrio. 
Dica: 
a) Inicialmente, escreva a expansão em série de Taylor para a função e-x. 
Para pequenas oscilações, x é pequeno e os termos de potências maiores que um podem ser desprezados. 
b) Usando a expansão obtida no item a, escreva a expressão aproximada para F(r) 
c) Mostre que essa força pode ser escrita na forma F=-kr. 
 
14) Um exemplo interessante de oscilação, embora fortemente impraticável, é o movimento de um objeto que, lançado 
em um furo que passa através do centro da Terra, oscila de um lado até o outro da Terra. Usando a hipótese (que 
não é realista) de que a Terra seja uma esfera com densidade uniforme, mostre que a essa oscilação constitui um 
MHS e determine seu período. 
Dica: 
 Considere o objeto a uma distância r do centro da Terra. O modulo da força de atração gravitacional sobre o 
objeto de massa m é dado por int2
GmMF
r
 , em que Mint é a massa da porção da Terra contida dentro do 
raio r. Escreva Mint em termos de r e da densidade da Terra. 
 Mostre que essa é uma força restauradora. Use a segunda lei de Newton para escrever a equação diferencial 
que governa o movimento do objeto e determine a frequência de oscilação do movimento. 
 
 
15) Uma força propulsora que varia senoidalmente com uma frequência d é aplicada a um oscilador harmônico 
amortecido. 
a) Qual é a unidade da constante de amortecimento b? 
b) Mostre que a grandeza km tem a mesma dimensão de b. 
c) Em termos de Fmax e de k, qual é a amplitude das oscilações quando /d k m  e 
i) b = 0,2 km ; ii) b = 0,4 km ; iii) b = 0. 
 
16) Um oscilador harmônico amortecido consiste de um bloco de 2,00kg, uma mola com k=10,0N/m e uma força de 
amortecimento F=-bv. Ele é colocado para oscilar com amplitude de 25,0cm. Depois de completar quatro 
oscilações, a amplitude cai para 3/4 do seu valor inicial. 
a) Calcule o valor de b. 
b) Qual a perda percentual de energia depois de quatro oscilações? 
 
17) Na maior parte dos problemas sobre sistema massa-mola, consideram-se molas com massas desprezíveis, mas é 
claro que a massa da mola sempre existe. Para estudar o efeito da massa da mola, considere uma mola de massa 
M, comprimento de equilíbrio Lo c constante elástica k. Quando ela é comprimida ou esticada até um comprimento 
L, a energia potencial é ½kx2, onde x =L  Lo. 
a) Considere uma mola como descrito anteriormente porém com urna extremidade fixa c a outra se deslocando 
com velocidade . Suponha que a velocidade ao longo do comprimento da mola varie linearmente com a 
distância  a partir da extremidade fixa. Suponha também que a massa M da mola seja distribuída 
uniformemente ao longo do comprimento da mola. Determine, então, a expressão para a energia cinética da 
mola em termos de M e de . 
 
Dica: 
Divida a mola em fragmentos de massa dm, de comprimentos d. A posição de um fragmento da mola é ; 
então  = 0 na extremidade fixa e  = L na extremidade móvel. Seja u() a velocidade de um fragmento da 
mola. Então, na extremidade fixa, u(0)=0 e, na extremidade móvel, u(L)=. Use a informação dada no 
problema e escreva a equação para u(). 
Determine a massa dm de cada fragmento em função de d, M e L. 
Escreva, então, a expressão para a energia cinética de um fragmento da mola: 
  21
2
dK dm u
 
Calcule, então a energia cinética da mola inteira por meio de uma integral. 
 
b) Considere um oscilador formado por essa mola e um objeto de massa m. Escreva a equação da energia 
mecânica desse sistema. Derive essa equação em relação ao tempo para obter a equação diferencial desse 
oscilador. A partir dessa equação, determine a frequência angular de oscilação. 
c) A massa efetiva M' dessa mola é definida por 
k
M
   . Obtenha M' em termos de M.