sistemas lineares

Prévia do material em texto

96 
Frente 2 – Aula 25 
 
SISTEMAS LINEARES 
Um sistema linear é um sistema de 
equações formado exclusivamente, por 
equações do 1.° grau em todas as 
incógnitas. E o caso, por exemplo, do 
sistema abaixo: 
 
35
723
0742
zyx
zy
zyx
 
Para compreender melhor esta definição, 
observe algumas equações que não 
poderiam aparecer em um sistema linear: 
x
2
 - 5y + z= 3 
xy - 3x = 4 
x
+y-z = 3 
 
 
REGRA DE CRAMER 
 
Exemplo 
 
Vamos começar relembrando a solução 
geral de um sistema linear de duas 
equações e duas incógnitas. Considere o 
sistema: 
 
2
1
ndycx
nbyax 
 
Podemos resolver este sistema pelo 
método da adição. 
Multiplicando a 1ª equação por d. a 2.ª 
por - b e somando os resultados, 
obtemos: 
 
 
 
Multiplicando a 1.ª equação por - c, a 2.ª 
por –b e somando os resultados, 
chegamos a: 
 
 
 
Supondo ad-bc 0, temos: 
 
x=
bcad
bndn 21
 
 
y= 
bcad
cnan 12
 
 
Como já sabemos, os denominadores 
dessas duas expressões (ad - bc) são 
iguais ao determinante da matriz 
formada pelos coeficientes das equações 
do sistema: 
 
D= 
dc
ba
 
 
O numerador da expressão 
correspondente a x(n1d - n2b) é o 
determinante da matriz que obteríamos 
substituindo a coluna dos coeficientes de 
x pela coluna dos termos independentes 
de x e y no sistema original: 
 
Dx=
dn
bn
2
1
 
 
Analogamente, o numerador da 
expressão correspondente a y(n2a — n1c) 
é o determinante da matriz que 
obteríamos substituindo a coluna dos 
coeficientes de y pela coluna dos termos 
independentes de x e y no sistema 
original: 
 
Dy=
2
1
nc
na 
 
Assim, podemos dizer que a solução do 
sistema original é dado por: 
 
x= 
D
Dx
 y= 
D
Dy
 
 
Estas expressões correspondem à 
chamada regra de Cramer e podem ser 
generalizadas para um sistema linear 
qualquer. 
 
Regra de Cramer 
 
Considere o seguinte sistema linear com 
n equações e com n incógnitas 
(x1, x2, ... xn): 
 
 
 
Lembrando a multiplicação de matrizes, 
podemos escrever este mesmo sistema 
na forma de um produto matricial: 
 
 
Vamos representar como D o 
determinante da matriz formada pelos 
coeficientes do sistema: 
 
 
 
Vamos representar como Di o 
determinante da matriz obtida a partir 
desta matriz, substituindo a coluna i pela 
coluna dos termos independentes. Por 
exemplo: 
 
 
 
O valor de cada incógnita que constitui a 
solução do sistema é dado por: 
 
xi=
D
Di
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 97 
Exercícios de Aula 
 
01. Resolva o sistema por Cramer 
 
623
112
yx
yx
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
02. Resolver, pelo método de Cramer, o 
sistema: 
 
72
82
92
zyx
zyx
zyx
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
03. (FGV) Se o sistema linear 
 
1974
1253
yx
yx
for resolvido pela regra 
de Cramer, o valor de x será dado por 
uma fração cujo denominador vale: 
(A) 41 
(B) 179 
(C) -179 
(D) 9 
(E) -9 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
04. (FATEC) Do sistema 
 
923
122
3
zyx
zyx
zyx
 
concluímos que o produto x . y. z é 
(A) 18 
(B) 24 
(C) 30 
(D) 36 
(E) 40 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Tarefa Básica 
 
01. Resolva os sistemas pela regra de 
Cramer 
 
a)
33
22
yx
yx
 
b) 
724
132
13
zyx
zx
zyx
 
 
02. (FGV) Qual o valor de y, para que 
esteja satisfeito o seguinte sistema de 
três equações: 
 
832
12254
143
zyx
zyx
zyx
 
(A) 1 
(B) 0,1 
(C) 10 
(D) 3,3 
(E) 3 
 
03. (PUCSP) Se (a, b, c) é a solução do 
sistema 
132
2113
12
zyx
zyx
zyx
 
então a + b + c é 
(A) -2 
(B) -l 
(C) 0 
(D) l 
(E) 2 
 
04. (UFRRJ) A soma dos números 
 (x + y + z), que satisfazem ao sistema é 
82
423
2932
zyx
zyx
zyx
 
(A) 0 
(B) 1 
(C) 2 
(D) 3 
(E) 4 
 
05. Os valores de x, y e z nesta ordem, 
tais que 
723
32
52
zyx
zy
yx
são 
(A) 
3
4
3
5
;
3
7
e
 
(B) 
3
7
3
5
;
3
4
e
 
(C) 
3
5
3
4
;
3
7
e
 
(D) 
3
5
3
7
;
3
4
e
 
(E) 
3
7
3
4
;
3
5
e
 
 
06. (UEL) Um sistema de equações 
lineares, com incógnitas x, y e z, foi 
representado na forma matricial da 
seguinte maneira: 
1
7
3
.
221
012
001
z
y
x
 
É verdade que 
(A) x = 1 
(B) y = 2 
(C) x = 3 e y = 4 
(D) y = l e z = l 
(E) z = 0 
 
Respostas da Tarefa Básica 
 
01. a) V=
5
4
,
5
3
 
b) V= {(1,1,-1)} 
02. (A) 
03. (C) 
04. (A) 05. (D) 06. (E) 
 98 
Frente 2 – Aula 26 
ESCALONAMENTO 
(Gauss) 
 
Sistemas equivalentes 
 
Dizemos que dois sistemas são 
equivalentes quando possuem o mesmo 
conjunto- solução. 
Como por exemplo, observe os dois 
sistemas abaixo que são equivalentes 
entre si: 
0,1
747
22
S
yx
yx
 
 
0,1
33
1
S
yx
yx
 
 
A partir de um sistema de equações, 
podemos obter outro sistema equivalente 
de várias maneiras. Em primeiro lugar, é 
claro que podemos inverter de posição 
duas equações do sistema. Além disso, 
podemos multiplicar todos os termos de 
uma das equações por um mesmo 
número diferente de zero. Podemos 
também somar uma das equações com a 
outra multiplicada por um número real 
não nulo. 
 
Sistemas escalonados 
 
No estudo geral de sistemas lineares vale 
a pena conhecer uma outra técnica de 
resolução conhecida como 
escalonamento. 
Observe o sistema abaixo: 
(3) 62z
(2) 5zy
(1) 73zyx
 
 
Poderíamos resolver este sistema pela 
Regra de Cramer. Entretanto, neste caso, 
nem vale a pena calcular todos os 
determinantes necessários para a 
aplicação dessa regra. Basta observar 
que o valor de z pode ser obtido 
diretamente da equação (3). 
 
2z = - 6 
Z= -3 
 
Substituindo este valor na equação (2), 
obtemos: 
 
y-z = 5 
y-(-3) = 5 
y = 2 
 
Substituindo esses valores de z e y na 
equação (1): 
x - y + 3z = - 7 
x -2 + 3. (-3) = -7 
x = 4 
 
Logo, seu conjunto-solução é: 
S= {(4,2,-3)} 
 
Como podemos ver, um sistema deste 
tipo, chamado de sistema escalonado, 
pode ser resolvido facilmente por 
substituição. 
De um modo geral, considere um 
sistema linear de m equações e n 
incógnitas (x1, x2,..., xn), de modo que 
cada equação possui pelo menos um 
coeficiente não nulo (aij): 
 
 
 
Dizemos que um sistema deste tipo está 
na forma escalonada quando o número 
de coeficientes nulos (antes do primeiro 
coeficiente não nulo) aumenta de uma 
equação para outra. É o caso, por 
exemplo, dos sistemas abaixo: 
52
4
13
z
zy
zyx
 
12
0
14
wt
wtz
wtzyx
 
02
54
zy
zyx
 
 
Escalonamento de um sistema 
 
Dado um sistema linear, podemos obter 
outro sistema escalonado equivalente ao 
primeiro mediante algumas 
transformações simples. Observe os 
exemplos a seguir. 
Considere o sistema: 
73
301063
952
zyx
zyx
zyx
 
 
Se uma das equações tiver coeficiente 
unitário para a primeira incógnita, vale a 
pena colocar essa equaçãocomo a 
primeira do sistema. Assim, 
inicialmente, vamos trocar de posição a 
primeira e a terceira equação: 
 
952
301063
73
zyx
zyx
zyx
 
 
Neste sistema, vamos conservar a 
primeira equação e transformar as outras 
procurando anular o coeficiente da 
primeira incógnita. Para isso, vamos 
substituir a segunda equação por outra 
equação obtida multiplicando a primeira 
por 3 e somando com a segunda. Além 
disso, vamos substituir a terceira 
equação por outra equação obtida 
multiplicando a primeira equação por -2 
e somando com a terceira. Com isso, 
temos: 
 
5
93
73
zy
zy
zyx
 
 
Vamos inverter de posição as duas 
últimas equações repetindo o que 
fizemos na primeira etapa: 
 
93
5
73
zy
zy
zyx
 
 
Para completar o escalonamento do 
sistema, vamos substituir a terceira 
equação por outra equação obtida 
multiplicando a segunda por - 3 e 
somando com a terceira: 
 
62
5
73
z
zy
zyx
 
 
Este sistema escalonado é exatamente o 
mesmo que resolvemos no item anterior. 
Assim, o conjunto-solução é o mesmo já 
obtido: 
 
S= {(4,2,-3)} 
 
 
 
 
 
 
 
 
 99 
Exercícios de Aula 
 
01. Resolver o sistema linear por 
escalonamento. 
 
32
423
92
zyx
zyx
zyx
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
02. (UNIFESP) A solução do sistema de 
equações lineares 
1
32
122
zy
zx
zyx
é 
 
(A) x = -5, y = -2 e z = -1 
(B) x = - 5, y = - 2 e z = l. 
(C) x = - 5, y = 2 e z = 1. 
(D) x = 5,y = 2 e z = - 1. 
(E) x = 5, y = 2 e z = 1. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
03. (UNICAMP) Uma empresa deve 
enlatar uma mistura de amendoim, 
castanha de caju e castanha-do-pará. 
Sabe-se que o quilo de amendoim custa 
R$ 5,00, o quilo da castanha de caju, 
R$ 20,00 e o quilo de castanha-do-pará, 
R$16,00. Cada lata deve conter meio 
quilo da mistura e o custo total dos 
ingredientes de cada lata deve ser de 
R$ 5,75. Além disso, a quantidade de 
castanha de caju em cada lata deve ser 
igual a um terço da soma das outras 
duas. 
a) Escreva o sistema linear que 
representa a situação descrita acima. 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) Resolva o referido sistema, 
determinando as quantidades, em 
gramas, de cada ingrediente por lata. 
 
 
 
 
 
 
 
04. (UFU) Pedro entra em urna loja com 
uma certa quantia em dinheiro para 
gastar e percebe que faltarão R$ 50,00 
caso compre uma bolsa, um perfume e 
uma camisa. Por outro lado, caso compre 
somente a bolsa e o perfume, sobrarão 
R$ 20,00. Sobrarão R$ 15,00 se ele 
resolver comprar apenas o perfume e a 
camisa. 
Se Pedro comprar somente o perfume, 
quanto irá sobrar? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Tarefa Básica 
 
01. (UFG) Considere o sistema: 
 
S=
35
113
532
zx
zyx
zyx
 
 
02. (CESGRANRIO) Resolvendo o 
sistema 
 
11
32
2
zyx
zy
yx
 
x +2y + 3z vale 
 
(A) 22 (B) 18 (C) l2 (D) 11 (E) 6 
 
03. (FGV) Resolvendo o sistema abaixo, 
obtém-se para z o valor: 
 
1236
122
0
zy
zyx
zyx
 
 
(A) -3 (B) -2 (C) 0 (D) 2 (E) 3 
 
04. (UEL) Ali, Bia e Caco têm juntos RS 
68,00. Se Caco desse 20% do que tem 
para Bia, ela ficaria com a mesma 
quantia que Ali, mas, se ao invés disso, 
Ali desse 20% do que tem para Caco, 
este ficaria com o triplo da quantia de 
Bia. Nessas condições, é correto afirmar 
que Ali tem 
(A) R$ 15,00 a menos que Caco. 
(B) R$ 15,00 a mais que Bia. 
(C) R$ 8,00 a menos que Caco. 
(D) R$ 8,00 a mais que Bia. 
(E) R$ 6,00 a menos que Caco. 
 
05. (PUCSP) Alfeu, Bento e Cíntia 
foram a uma certa loja e cada qual 
comprou camisas escolhidas entre três 
tipos, gastando nessa compra os totais de 
R$ 134,00, R$ 115,00 e R$ 48,00, 
respectivamente. Sejam as matrizes 
 
A= 
012
501
430
e X= 
z
y
x
 tais que 
- os elementos de cada linha de A 
correspondem às quantidades dos três 
tipos de camisas compradas por Alfeu 
(1ª linha), Bento (2.ª linha) e Cíntia 
(3ª linha). 
- os elementos de cada coluna de A 
correspondem às quantidades de um 
mesmo tipo de camisa. 
- os elementos de X correspondem aos 
preços unitários, em reais, de cada tipo 
de camisa. 
Nessas condições, o total a ser pago pela 
compra de uma unidade de cada tipo de 
camisa é 
(A) R$53,00 (B) R$55,00 (C) R$57,00 
(D) R$62,00 (E) R$65,00 
 
Respostas da Tarefa Básica 
 
01. x=-2; y=4; z=-1 
02. (B) 
03. (D) 
04. (A) 05.(A) 
 100 
Frente 2 – Aula 27 
DISCUSSÃO DE 
SISTEMAS LINEARES 
 
Classificação 
 
Vamos ampliar um pouco o estudo de 
sistemas lineares discutindo, de uma 
forma sistemática, os vários tipos de 
sistemas lineares existentes. 
Existem sistemas lineares que não 
possuem solução. Neste caso, dizemos 
que o conjunto solução é vazio e o 
sistema é impossível de ser resolvido 
ou, então, que é um sistema 
incompatível. 
Sistemas que possuem um conjunto-
solução definido, com um único valor 
para cada incógnita, são sistemas 
possíveis e determinados ou 
compatíveis determinados. 
Por outro lado, existem sistemas que 
possuem solução com infinitos valores 
possíveis para cada incógnita. São os 
chamados sistemas indeterminados ou 
compatíveis indeterminados. 
Resumindo: 
 
 
 
Discussão pela regra de 
Cramer 
 
Em muitos sistemas simples, a regra de 
Cramer permite tirar importantes 
conclusões. 
Como já vimos, esta regra se aplica em 
sistemas lineares onde o número de 
equações é igual o número de 
incógnitas. 
 
 
 
Como sabemos, cada incógnita é dada 
por: 
 
xi= 
D
Di
 
 
Nesta expressão, D é o determinante da 
matriz formada pelos coeficientes das 
incógnitas: 
 
 
 
De acordo com esta regra, a condição 
necessária e suficiente para que o 
sistema seja possível e determinado é 
que D seja diferente de zero. Assim, se 
D for nulo, o sistema pode ser 
impossível ou indeterminado. 
 
D 
0
possível e determinado 
D = 0 impossível ou indeterminado 
 
Discussão por escalonamento 
 
Uma discussão mais geral de um 
sistema linear exige o seu 
escalonamento. Vamos tentar resolver o 
seguinte sistema: 
 
310102
234
12
zyx
zyx
zy
 
Trocando de posição as duas primeiras 
equações: 
 
310102
12
234
zyx
zy
zyx
 
 
Somando a terceira equação com a 
primeira multiplicada por -2: 
 
142
12
234
zy
zy
zyx
 
 
Somando a terceira equação com a 
segunda multiplicada por 2. 
 
30
12
234
zy
zyx
 
 
Evidentemente a última igualdade 
obtida é um absurdo. Assim, o sistema 
é impossível de ser resolvido e o seu 
conjunto-solução é vazio. Podemos 
dizer também que o sistema é 
incompatível. 
 
Sistemas indeterminados 
 
Vamos resolver, por escalonamento o 
seguinte sistema linear: 
 
223
52
32
zyx
zyx
zyx 
 
Somando a segunda equação com a 
primeira multiplicada por 2 e somando 
a terceira com a primeira multiplicada 
por 3: 
 
115
115
32
zy
zy
zyx 
 
Somando a terceira equação com a 
segunda multiplicada por -1: 
 
00 
115
32
zy
zyx 
 
A última igualdade é obviamente 
verdadeira, mas não fornece nenhuma 
informação a respeito das incógnitas. 
Por isso, ela pode ser eliminada do 
sistema:115
32
zy
zyx
 
 
Obtemos assim um sistema escalonado 
onde o maior número de incógnitas é 
maior que o de equações. Neste caso, 
existem infinitas soluções. Por 
exemplo, podemos atribuir o valor um 
para z, obtendo a solução: 
z = 1 y = 2 x = 0 
 
Analogamente, poderíamos atribuir 
qualquer outro valor a z e calcular os 
correspondentes valores de y e x. Um 
sistema como este, que possui infinitas 
soluções, é chamado de sistema 
indeterminado. 
 
 
 
 
 
 101 
Exercícios de Aula 
 
01. (MACK) Para que o sistema 
63
2
nyx
m
yx apresente mais de uma 
solução, o produto m. n deve ser igual 
a: 
(A) 10 
(B)15 
(C) 12 
(D) 8 
(E) 16 
 
 
 
 
 
 
 
 
02. (FGV)O sistema linear abaixo 
42
132
zyx
zyx
 
(A) é impossível. 
(B) admite apenas uma solução. 
(C) admite apenas duas soluções. 
(D) admite apenas três soluções. 
(E) admite infinitas soluções. 
 
 
 
 
 
 
03. (UNICAMP) Considere o sistema 
linear abaixo, no qual a é um parâmetro 
real: 
3
2
1
azyx
zayx
zyax
 
 
a) Mostre que para a = 1 o sistema é 
impossível. 
b) Encontre os valores do parâmetro a 
para os quais o sistema tem solução 
única. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
04. (FGV) Considere o sistema linear 
nas incógnitas x, y e z: 
43
7532
3
zyx
zyx
mzyx 
a) Para que valores de m o sistema é 
determinado? 
b) Resolva o sistema para m = 0. 
 
 
 
 
 
 
 
Tarefa Básica 
 
01. (MACK) O sistema 
byx
yax
2
14
 
 
(A) se b = 
2
1
 , tem solução única 
qualquer que seja a. 
(B) se a = 2, pode ser indeterminado. 
(C) apresenta solução única para um 
único valor de a. 
(D) se a = 2, não apresenta solução, 
qualquer que seja b. 
(E) nunca é indeterminado, quaisquer 
que sejam a e b. 
 
02. (MACK) Com relação ao sistema, 
kykx
kyx
1
1
 
k , considere as afirmações: 
I - E indeterminado para um único 
valor de k. 
II - Sempre admite solução, qualquer 
que seja k. 
III - Tem solução única, para um único 
valor de k. 
Das afirmações acima 
(A) somente I está correta. 
(B) somente I e II estão corretas. 
(C) somente II e III estão corretas. 
(D) nenhuma está correta. 
(E) todas estão corretas. 
 
03. (VUNESP) Dado o sistema de 
equações lineares S: 
1223
2
12
zyx
zy
czyx
 
onde c , determine 
a) a matriz A dos coeficientes de S e o 
determinante de A. 
b) o coeficiente c, para que o sistema 
admita uma única solução. 
 
04. (FATEC) O sistema linear de três 
equações nas variáveis x, y e z 
236
112
kzx
zkyx
kyx
 
É possível e determinado se, e somente 
se, 
(A) k 2 (B) k 3 (C) k 4 
(D) k 5 (E) k 6 
 
05. (MACK) O sistema 
52
32
6
zyx
zyx
zyx
 
 
(A) possível e determinado, sendo 
 x .y. z = -6. 
(B) possível e determinado, sendo 
x . y . z = -4. 
(C) possível e determinado, sendo 
x+ y+ z = 5. 
(D) possível e indeterminado. 
(E) impossível. 
 
06. (MACK) O sistema 
kzyx
zyKx
kzyx
1
 
(A) é impossível para um único valor de k. 
(B) tem solução única para um único 
valor de k. 
(C) tem solução (k, 0, 0), qualquer que 
seja k 0. 
(D) tem mais de uma solução para um 
único valor de k. 
(E) pode admitir a solução nula. 
 
07. (MACK) A soma dos valores de m, 
para que o sistema 
25164
542
1
2 zyxm
zymx
zyx não admita uma 
única solução, é: 
(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 (E) 5 
 
Respostas da Tarefa Básica 
01. (B) 02. (D) 
03.a) A=
223
110
21 c
, det A=6-3c 
b) c -{2} 04. (E) 
05.(B) 06. (D) 07. (B) 
 
 
 
 
 102 
Frente 2 – Aula 28 
SISTEMAS LINEARES 
HOMOGÊNEOS 
 
Definição 
 
Um sistema linear homogêneo é aquele 
em que todos os termos independentes 
são nulos. Assim, um sistema linear 
homogêneo de m equações e n 
incógnitas pode ser escrito na forma: 
 
 
 
É claro que todas essas igualdades são 
verdadeiras para: 
x1 = x2 =.......= xn = 0 
 
Ou seja, a n-upla ordenada (0,0...,0) 
sempre é solução de um sistema linear 
homogêneo. Esta é a chamada solução 
trivial ou solução nula do sistema 
 
Discussão 
 
Sendo assim, um sistema linear 
homogêneo é sempre possível, já que 
possui pelo menos a solução trivial. 
Resta descobrir se o sistema é possível 
determinado ou possível indeterminado. 
Para isso, devemos escalonar o sistema. 
Se, após o escalonamento, o número de 
equações do sistema for igual ao 
número de incógnitas, então o sistema é 
determinado e a sua única solução é a 
solução trivial. 
Por outro lado, se após o 
escalonamento, o número de equações 
for menor que o de incógnitas, o 
sistema é possível e indeterminado. Ou 
seja, o sistema possui infinitas soluções 
além da solução trivial. 
Resumindo: 
 
 
 
 
Exemplos 
 
Considere, por exemplo, o sistema 
abaixo: 
 
0524
03
032
zyx
zyx
zyx
 
 
Vamos escalonar este sistema. Para 
isso, vamos somar a segunda equação 
com a primeira multiplicada por 3. 
Além disso, vamos somar a terceira 
com a primeira multiplicada por -4: 
 
076
085
032
zy
zy
zyx
 
 
Substituindo a segunda equação por 
outra equação obtida com a soma da 
segunda com a terceira: 
 
076
0
032
zy
zy
zyx
 
Somando a terceira equação com a 
segunda multiplicada por - 6: 
 
013
0
032
z
zy
zyx
 
 
Na forma escalonada, este sistema 
homogêneo possui 3 equações e 3 
incógnitas. Assim, é um sistema 
possível e determinado; sua única 
solução é a trivial: 
S= {(0,0,0)} 
 
Em outro exemplo, considere o 
seguinte sistema: 
 
0732
04
03
zyx
zyx
zyx
 
 
Vamos escalonar este sistema. Para 
isso, vamos somar a segunda equação 
com a primeira multiplicada por - 4 e 
somar a terceira com a primeira 
multiplicada por - 2: 
 
0135
0135
03
zy
zy
zyx
 
 
Como as duas últimas equações obtidas 
são idênticas entre si: 
 
0135
03
zy
zyx
 
 
Como temos duas equações e três 
incógnitas, o sistema é possível e 
indeterminado. 
Para resolvê-lo, consideremos a 
variável livre z, à qual atribuímos o 
valor arbitrário . Assim, temos: 
 
0135
03
y
yx
 
 
Ou de forma equivalente: 
 
)2(135
)1(3
y
yx
 
 
Da equação (2): 
 
y=
5
13
 
 
Substituindo em (1): 
 
x+
5
13
= 3 
 
x= 
5
2
 
 
Assim, as soluções do sistema são 
constituídas pelas triplas ordenadas da 
forma: 
 
;
5
13
;
5
2
 
Observemos que, para = 0, obtemos 
a solução nula do sistema, (0, 0, 0). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 103 
Exercícios de Aula 
 
01. (MACK) O sistema 
0
0
myx
ymx
 
 
(A) é impossível, se m = 0. 
(B) tem mais de uma solução, se m = - 
1. 
(C) tem solução única, se m = 1. 
(D) admite apenas solução nula, 
qualquer que seja m. 
(E) admite mais de uma solução, 
qualquer que seja m 
2
1
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
02. (FUVEST) A solução geral do 
sistema 
0333
0222
0
zyx
zyx
zyx
 
(A) (0,0,0) 
(B) (a,-a,0) (a ) 
(C) (a, 2b, 3c) (a, b, c ) 
(D) (a,b,-a+b)(a,b R) 
(E) (a,b,-a-b)(a,b ) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
03. (FUVEST) Seja o sistema 
mmzyx
zmyx
zyx
3
03
02
 
a) Determine todosos valores de m 
para os quais o sistema admite solução. 
b) Resolva o sistema, supondo m = 0. 
 
 
 
 
 
 
 
 
04.(FGV) 
a) Um investidor possui R$ 24.000,00 e 
pretende aplicar totalmente esse valor, 
por 1 ano, em três findos: A, B e C. As 
rentabilidades anuais esperadas de A, B 
e C são, respectivamente, 12%, 15% e 
20%. Se seu ganho total esperado for de 
R$ 3.590,00 e se seu ganho esperado 
em A for igual à soma dos ganhos 
esperados nos outros dois fundos, 
escreva o sistema linear de equações 
correspondente aos dados, 
considerando x o valor aplicado em A, 
y o valor aplicado em B e z o valor 
aplicado em C. 
b) Para que valores de k o sistema 
abaixo (nas incógnitas x, y e z) é 
indeterminado? 
 
02
03
02
zyx
kyx
zyx
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Tarefa Básica 
 
01. (MACK) Para que a equação 
matricial 
k
y
x
k
y
x
,.
17
71
, tenha 
pelo menos uma solução, um possível 
valor de k é: 
(A) 2 
(B) 4 
(C) 5 
(D) 6 
(E) 8 
 
02. (UEL) O sistema de equações 
0
032
043
yx
zyx
zyx
 
(A) não tem solução. 
(B) admite uma única solução não 
trivial. 
(C) admite apenas a solução trivial. 
(D) admite infinitas soluções. 
(E) admite apenas soluções não triviais. 
 
03. (UFRGS) A soma dos valores de k 
que tornam o sistema 
03
043
0
zkyx
zykx
zyx
 indeterminado é 
(A) -7 
(B) -2 
(C) 2 
(D) 7 
(E)10 
 
04. (PUCSP) Considere o sistema de 
equações lineares 
0
0
0
kyx
ykx
kzx
 
O conjunto de valores de k para os 
quais ele apresenta solução única, é: 
(A) 
1,1,0 kkkk
 
(B) {0,1,-l} 
(C) {0} 
(D) {-l} 
(E) 
0kk
 
 
05. (PUCCAMP) Considere o seguinte 
sistema linear: 
0642
033
032
yx
yx
yx
 
Podemos afirmar que 
(A) é homogêneo. 
(B) é determinado. 
(C) tem mais de uma solução. 
(D) é impossível. 
(E) n.d.a. 
 
Respostas da Tarefa Básica 
 
01. (E) 
02. (D) 
03. (D) 
04. (A) 
05. (B)