Análise de Erros

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Análise de Erros
Seções 1.2 e 1.3
Prof. Alexandre Zabot
CEM/UFSC
2013.1
Introdução Ponto Flutuante Algoritmos Exercícios Sugeridos
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1 Introdução
2 Ponto Flutuante
3 Algoritmos
4 Exercícios Sugeridos
Prof. Alexandre Zabot (CEM/UFSC) Análise de Erros 2013.1 2 / 20
Introdução Ponto Flutuante Algoritmos Exercícios Sugeridos
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1 Introdução
2 Ponto Flutuante
3 Algoritmos
4 Exercícios Sugeridos
Prof. Alexandre Zabot (CEM/UFSC) Análise de Erros 2013.1 2 / 20
Introdução Ponto Flutuante Algoritmos Exercícios Sugeridos
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1 Introdução
2 Ponto Flutuante
3 Algoritmos
4 Exercícios Sugeridos
Prof. Alexandre Zabot (CEM/UFSC) Análise de Erros 2013.1 2 / 20
Introdução Ponto Flutuante Algoritmos Exercícios Sugeridos
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1 Introdução
2 Ponto Flutuante
3 Algoritmos
4 Exercícios Sugeridos
Prof. Alexandre Zabot (CEM/UFSC) Análise de Erros 2013.1 2 / 20
Introdução Ponto Flutuante Algoritmos Exercícios Sugeridos
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1 Introdução
2 Ponto Flutuante
3 Algoritmos
4 Exercícios Sugeridos
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Introdução Ponto Flutuante Algoritmos Exercícios Sugeridos
Gás Ideal
Leis dos Gases Ideais
PV = NRT (1)
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Introdução Ponto Flutuante Algoritmos Exercícios Sugeridos
Gás Ideal - Exemplo
Qual a temperatura prevista para:
P = 1.00 atm V = 0.100 m3
N = 0.00420 mol R = 0.08206 atm m3/mol/K
Resposta: 17 ◦C
Medido: 15 ◦C
O que houve?
Arredondamento!
T =
PV
NR
=
(1.00)(0.100)
(0,00420)(0.08206)
= 290.15K
�� ��Exercício 28, pág. 28
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Introdução Ponto Flutuante Algoritmos Exercícios Sugeridos
Gás Ideal - Exemplo
Qual a temperatura prevista para:
P = 1.00 atm V = 0.100 m3
N = 0.00420 mol R = 0.08206 atm m3/mol/K
Resposta: 17 ◦C
Medido: 15 ◦C
O que houve?
Arredondamento!
T =
PV
NR
=
(1.00)(0.100)
(0,00420)(0.08206)
= 290.15K
�� ��Exercício 28, pág. 28
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Introdução Ponto Flutuante Algoritmos Exercícios Sugeridos
Gás Ideal - Exemplo
Qual a temperatura prevista para:
P = 1.00 atm V = 0.100 m3
N = 0.00420 mol R = 0.08206 atm m3/mol/K
Resposta: 17 ◦C
Medido: 15 ◦C
O que houve?
Arredondamento!
T =
PV
NR
=
(1.00)(0.100)
(0,00420)(0.08206)
= 290.15K
�� ��Exercício 28, pág. 28
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Introdução Ponto Flutuante Algoritmos Exercícios Sugeridos
Gás Ideal - Exemplo
Qual a temperatura prevista para:
P = 1.00 atm V = 0.100 m3
N = 0.00420 mol R = 0.08206 atm m3/mol/K
Resposta: 17 ◦C
Medido: 15 ◦C
O que houve?
Arredondamento!
T =
PV
NR
=
(1.00)(0.100)
(0,00420)(0.08206)
= 290.15K
�� ��Exercício 28, pág. 28
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Introdução Ponto Flutuante Algoritmos Exercícios Sugeridos
Gás Ideal - Exemplo
Qual a temperatura prevista para:
P = 1.00 atm V = 0.100 m3
N = 0.00420 mol R = 0.08206 atm m3/mol/K
Resposta: 17 ◦C
Medido: 15 ◦C
O que houve?
Arredondamento!
T =
PV
NR
=
(1.00)(0.100)
(0,00420)(0.08206)
= 290.15K
�� ��Exercício 28, pág. 28
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Introdução Ponto Flutuante Algoritmos Exercícios Sugeridos
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1 Introdução
2 Ponto Flutuante
3 Algoritmos
4 Exercícios Sugeridos
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Introdução Ponto Flutuante Algoritmos Exercícios Sugeridos
Precisão no Computador
Representação Binária
Real longo: 64 bits
Sinal 1 bit
Característica 11 bits
Mantissa 52 bits
Representação: (−1)s2c−1023(1 + f )
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Introdução Ponto Flutuante Algoritmos Exercícios Sugeridos
Precisão no Computador
Representação Binária
Real longo: 64 bits
Sinal 1 bit
Característica 11 bits
Mantissa 52 bits
Representação: (−1)s2c−1023(1 + f )
Prof. Alexandre Zabot (CEM/UFSC) Análise de Erros 2013.1 7 / 20
Introdução Ponto Flutuante Algoritmos Exercícios Sugeridos
Precisão no Computador
Representação Binária
Real longo: 64 bits
Sinal 1 bit
Característica 11 bits
Mantissa 52 bits
Representação: (−1)s2c−1023(1 + f )
Prof. Alexandre Zabot (CEM/UFSC) Análise de Erros 2013.1 7 / 20
Introdução Ponto Flutuante Algoritmos Exercícios Sugeridos
Precisão no Computador
Representação Binária
Real longo: 64 bits
Sinal 1 bit
Característica 11 bits
Mantissa 52 bits
Representação: (−1)s2c−1023(1 + f )
Prof. Alexandre Zabot (CEM/UFSC) Análise de Erros 2013.1 7 / 20
Introdução Ponto Flutuante Algoritmos Exercícios Sugeridos
Precisão no Computador
Representação Binária
Real longo: 64 bits
Sinal 1 bit
Característica 11 bits
Mantissa 52 bits
Representação: (−1)s2c−1023(1 + f )
Prof. Alexandre Zabot (CEM/UFSC) Análise de Erros 2013.1 7 / 20
Introdução Ponto Flutuante Algoritmos Exercícios Sugeridos
Exemplo
Representando um número
Represente o número
0 10000000011 1011100100010000000000000000000000000000000000000000
na sua forma decimal.
(−1)s2c−1023(1 + f ) = 27.56640625
Números mais próximos
0 10000000011 1011100100001111111111111111111111111111111111111111
0 10000000011 1011100100010000000000000000000000000000000000000001
27.5664062499999982236431605997495353221893310546875
27.5664062500000017763568394002504646778106689453125
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Exemplo
Representando um número
Represente o número
0 10000000011 1011100100010000000000000000000000000000000000000000
na sua forma decimal.
(−1)s2c−1023(1 + f ) = 27.56640625
Números mais próximos
0 10000000011 1011100100001111111111111111111111111111111111111111
0 10000000011 1011100100010000000000000000000000000000000000000001
27.5664062499999982236431605997495353221893310546875
27.5664062500000017763568394002504646778106689453125
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Exemplo
Representando um número
Represente o número
0 10000000011 1011100100010000000000000000000000000000000000000000
na sua forma decimal.
(−1)s2c−1023(1 + f ) = 27.56640625
Números mais próximos
0 10000000011 1011100100001111111111111111111111111111111111111111
0 10000000011 1011100100010000000000000000000000000000000000000001
27.5664062499999982236431605997495353221893310546875
27.5664062500000017763568394002504646778106689453125
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Exemplo
Representando um número
Represente o número
0 10000000011 1011100100010000000000000000000000000000000000000000
na sua forma decimal.
(−1)s2c−1023(1 + f ) = 27.56640625
Números mais próximos
0 10000000011 1011100100001111111111111111111111111111111111111111
0 10000000011 1011100100010000000000000000000000000000000000000001
27.5664062499999982236431605997495353221893310546875
27.5664062500000017763568394002504646778106689453125
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Exemplo
Representando um número
Represente o número
0 10000000011 1011100100010000000000000000000000000000000000000000
na sua forma decimal.
(−1)s2c−1023(1 + f ) = 27.56640625
Números mais próximos
0 10000000011 1011100100001111111111111111111111111111111111111111
0 10000000011 1011100100010000000000000000000000000000000000000001
27.5664062499999982236431605997495353221893310546875
27.5664062500000017763568394002504646778106689453125
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Exemplo
Representando um número
Represente o número
0 10000000011 1011100100010000000000000000000000000000000000000000
na sua forma decimal.
(−1)s2c−1023(1 + f ) = 27.56640625
Números mais próximos
0 10000000011 1011100100001111111111111111111111111111111111111111
0 10000000011 1011100100010000000000000000000000000000000000000001
27.5664062499999982236431605997495353221893310546875
27.5664062500000017763568394002504646778106689453125
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Exemplo
Representando um número
Represente o número
0 10000000011 1011100100010000000000000000000000000000000000000000
na sua forma decimal.
(−1)s2c−1023(1 + f ) = 27.56640625
Números mais próximos
0 10000000011 1011100100001111111111111111111111111111111111111111
0 10000000011 1011100100010000000000000000000000000000000000000001
27.5664062499999982236431605997495353221893310546875
27.5664062500000017763568394002504646778106689453125
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Introdução Ponto Flutuante Algoritmos Exercícios Sugeridos
Exemplo
Representando um número
Represente o número
0 10000000011 1011100100010000000000000000000000000000000000000000
na sua forma decimal.
(−1)s2c−1023(1 + f ) = 27.56640625
Números mais próximos
0 10000000011 1011100100001111111111111111111111111111111111111111
0 10000000011 1011100100010000000000000000000000000000000000000001
27.5664062499999982236431605997495353221893310546875
27.5664062500000017763568394002504646778106689453125
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Introdução Ponto Flutuante Algoritmos Exercícios Sugeridos
Representação de Ponto Flutuante
Ponto Flutuante
y = ±0.d1d2...dkdk+1dk+2 × 10n
onde
1 ≤ d1 ≤ 9
0 ≤ di ≤ 9
Representação de Ponto Flutuante
A representação de y em Ponto Flutuante até k algarismos decimais
é
fl(y) = ±0.d1d2...dk × 10n
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Introdução Ponto Flutuante Algoritmos Exercícios Sugeridos
Representação de Ponto Flutuante
Ponto Flutuante
y = ±0.d1d2...dkdk+1dk+2 × 10n
onde
1 ≤ d1 ≤ 9
0 ≤ di ≤ 9
Representação de Ponto Flutuante
A representação de y em Ponto Flutuante até k algarismos decimais
é
fl(y) = ±0.d1d2...dk × 10n
Prof. Alexandre Zabot (CEM/UFSC) Análise de Erros 2013.1 9 / 20
Introdução Ponto Flutuante Algoritmos Exercícios Sugeridos
Representação de Ponto Flutuante
Exemplo 1, pág. 18
Represente o número pi = 3.14159265 ... na forma de ponto flutuante
com 5 casas decimais.
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Introdução Ponto Flutuante Algoritmos Exercícios Sugeridos
Erros
Definição: Erros
Seja p∗ uma aproximação de p, então definimos:
Erro Absoluto ≡ |p − p∗|
Erro Relativo ≡ |p−p∗||p|
Prof. Alexandre Zabot (CEM/UFSC) Análise de Erros 2013.1 11 / 20
Introdução Ponto Flutuante Algoritmos Exercícios Sugeridos
Aritmética de Ponto Flutuante
Exemplo
Seja p = 0.54617 e q = 0.54601. O valor exato r = p − q é
r = 0.00016.
a) Calcule r∗ com arredondamento e truncamento de quatro
algarismos.
b) Calcule o erro relativo.
Prof. Alexandre Zabot (CEM/UFSC) Análise de Erros 2013.1 12 / 20
Introdução Ponto Flutuante Algoritmos Exercícios Sugeridos
Erros de Arredondamento e Truncamento
Erro de Arredondamento
Considere que 0.3 tenha sido arredondado de um número com
mais dígitos.
Se o número “pai” tivesse sido de 0.30 a 0.34, o erro de
arredondamento teria sido de até 0.05.
Se o número “pai” tivesse sido de 0.35 a 0.39, o erro de
arredondamento teria sido de até 0.05.
Portanto, o erro máximo de arredondamento é de 0.05.
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Introdução Ponto Flutuante Algoritmos Exercícios Sugeridos
Erros de Arredondamento e Truncamento
Erro de Arredondamento
Considere que 0.3 tenha sido arredondado de um número com
mais dígitos.
Se o número “pai” tivesse sido de 0.30 a 0.34, o erro de
arredondamento teria sido de até 0.05.
Se o número “pai” tivesse sido de 0.35 a 0.39, o erro de
arredondamento teria sido de até 0.05.
Portanto, o erro máximo de arredondamento é de 0.05.
Prof. Alexandre Zabot (CEM/UFSC) Análise de Erros 2013.1 13 / 20
Introdução Ponto Flutuante Algoritmos Exercícios Sugeridos
Erros de Arredondamento e Truncamento
Erro de Arredondamento
Considere que 0.3 tenha sido arredondado de um número com
mais dígitos.
Se o número “pai” tivesse sido de 0.30 a 0.34, o erro de
arredondamento teria sido de até 0.05.
Se o número “pai” tivesse sido de 0.35 a 0.39, o erro de
arredondamento teria sido de até 0.05.
Portanto, o erro máximo de arredondamento é de 0.05.
Prof. Alexandre Zabot (CEM/UFSC) Análise de Erros 2013.1 13 / 20
Introdução Ponto Flutuante Algoritmos Exercícios Sugeridos
Erros de Arredondamento e Truncamento
Erro de Arredondamento
Considere que 0.3 tenha sido arredondado de um número com
mais dígitos.
Se o número “pai” tivesse sido de 0.30 a 0.34, o erro de
arredondamento teria sido de até 0.05.
Se o número “pai” tivesse sido de 0.35 a 0.39, o erro de
arredondamento teria sido de até 0.05.
Portanto, o erro máximo de arredondamento é de 0.05.
Prof. Alexandre Zabot (CEM/UFSC) Análise de Erros 2013.1 13 / 20
Introdução Ponto Flutuante Algoritmos Exercícios Sugeridos
Erros de Arredondamento e Truncamento
Erro de Truncamento
Considere que 0.3 tenha sido truncado de um número com mais
dígitos.
O número “pai” pode ter sido qualquer número de 0.30 a 0.39, e
então o erro de truncamento pode ter sido de até 0.1.
Portanto, o erro máximo de truncamento é de 0.1.
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Introdução Ponto Flutuante Algoritmos Exercícios Sugeridos
Erros de Arredondamento e Truncamento
Erro de Truncamento
Considere que 0.3 tenha sido truncado de um número com mais
dígitos.
O número “pai” pode ter sido qualquer número de 0.30 a 0.39, e
então o erro de truncamento pode ter sido de até 0.1.
Portanto, o erro máximo de truncamento é de 0.1.
Prof. Alexandre Zabot (CEM/UFSC) Análise de Erros 2013.1 14 / 20
Introdução Ponto Flutuante Algoritmos Exercícios Sugeridos
Erros de Arredondamento e Truncamento
Erro de Truncamento
Considere que 0.3 tenha sido truncado de um número com mais
dígitos.
O número “pai” pode ter sido qualquer número de 0.30 a 0.39, e
então o erro de truncamento pode ter sido de até 0.1.
Portanto, o erro máximo de truncamento é de 0.1.
Prof. Alexandre Zabot (CEM/UFSC) Análise de Erros 2013.1 14 / 20
Introdução Ponto Flutuante Algoritmos Exercícios Sugeridos
Aritmética de Ponto Flutuante
Exercício
Resolver o exercício 28 da página 28.
Estudar os exemplos 5 e 6, pág. 22.
Prof. Alexandre Zabot (CEM/UFSC) Análise de Erros 2013.1 15 / 20
Introdução Ponto Flutuante Algoritmos Exercícios Sugeridos
Outline
1 Introdução
2 Ponto Flutuante
3 Algoritmos
4 Exercícios Sugeridos
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Introdução Ponto Flutuante Algoritmos Exercícios Sugeridos
Definição
Um algoritmo é um procedimento que descreve, sem ambiguidades,
uma sequência finita de passos a serem feitos em uma ordem
específica para executar uma tarefa desejada.
Prof. Alexandre
Zabot (CEM/UFSC) Análise de Erros 2013.1 17 / 20
Introdução Ponto Flutuante Algoritmos Exercícios Sugeridos
Exemplo 1, pág. 29
Construa um algoritmo para calcular
∑N
i=1 xi = x1 + x2 + ...+ xN , onde
N e os números x1, x2, ..., xN são dados.
Resposta
ENTRADA N, x1, x2, ..., xN
SAÍDA SOMA =
∑N
i=1 xi
Passo 1 Faça SOMA = 0. (Inicializar o contador)
Passo 2 Para i = 1,2, ...,N, execute
faça SOMA = SOMA + xi . (Adicionar o próximo termo)
Prof. Alexandre Zabot (CEM/UFSC) Análise de Erros 2013.1 18 / 20
Introdução Ponto Flutuante Algoritmos Exercícios Sugeridos
Exemplo 1, pág. 29
Construa um algoritmo para calcular
∑N
i=1 xi = x1 + x2 + ...+ xN , onde
N e os números x1, x2, ..., xN são dados.
Resposta
ENTRADA N, x1, x2, ..., xN
SAÍDA SOMA =
∑N
i=1 xi
Passo 1 Faça SOMA = 0. (Inicializar o contador)
Passo 2 Para i = 1,2, ...,N, execute
faça SOMA = SOMA + xi . (Adicionar o próximo termo)
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1 Introdução
2 Ponto Flutuante
3 Algoritmos
4 Exercícios Sugeridos
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Exercícios Sugeridos
Seção 1.2: 1, 2, 4, 11, 13, 17, 22, 28
Provas Antigas:
20121 - P1v2 - Questões 1 das provas A, B, C e D
20121 - P2a cham - Questão 1 da Prova 1
20122 - P1 - Questões 1 das provas A e B
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