exercicios cap.4 6

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Exercícios caps. 4-6 
Teoria dos Jogos 
Economia UFF 
1º semestre de 2014 
Teoria dos Jogos - Prof. Waltenberg 2 
Exercício 4.1 (Cournot) 
 Podemos aplicar a expressão do equilíbrio 
de Cournot-Nash da p. 125: 
 q1* = (A - c) / 3b 
 q2* = (A - c) / 3b 
 Onde, A = 100, c = 2, b = 0,5 
 q1* = q2* = 80 
 p = 122 – ½(q1+ q2) = 42 
 Lucroi = pqi – c(qi) = 42*80 – 2*80 = 3200 
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Exercício 4.2 (Cournot) 
a) 1 empresa 
 Lucro = RT – CT = 
 Lucro = (122 – 0,5q1)q1 – 2q1 = 
 Lucro = 120q1 – 0,5q1² 
 C.P.O.: 120 – 0,5q1 = 0  q1 = 120 
 p = 122 – 0,5q1 = 62 
 Lucro = RT – CT = 62*120 – 2*120 = 720 
 
b) 39 empresas 
 qi* = (122 - 2) / [0,5(1+39)] = 6 
 p = 122 - 0,5(6*39) = 5 
 Lucro de cada empresa = RT- CT = 5*6 – 2*6 = 18 
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Exercício 4.3 (Cournot) 
 π1 = Aq1 - bq1² - bq1q2 - c.q1, com c=0,5 
 π2 = Aq2 - bq1q2 - bq2² - c.q2, com c=1 
 π1 = 122q1 - 0,5*q1² - 0,5*q1q2 - 0,5*q1 
 π2 = 122q2 - 0,5*q1q2 - 0,5*q2² - q2 
 c.p.o.: 
 122 - q1 - 0,5*q2 - 0,5 = 0  q1 = 121,5 - 0,5q2 
 122 - 0,5*q1 - q2 - 1 = 0  q2 = 121 - 0,5q1 
 q1 = 81,3; q2 = 80,3 
 Preço = $41,2 
 Lucro: 
 Empresa 1 = $3.308,91 
 Empresa 2 = $3.228,06 
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Exercício 4.4 (Cournot) 
 Lucros no caso descentralizado (exercício 4.3): 
 Empresa 1 = $3.308,91 
 Empresa 2 = $3.228,06 
 Lucro no caso centralizado (cartel): 
 É melhor produzir tudo apenas na empresa de menor custo, 
que é a empresa 1 
 qi* = (A-c)/[b(n+1)]  q1* = (122 - 0,5) / [0,5(1+1)] = 121,5 
 Empresa 1 venderia 121,5 unidades 
 Preço seria $61,25 
 Lucro seria $7.375,05 
 Empresa 1 poderia oferecer à empresa uma compensação para 
a empresa 2 não operar (Ex: $3.230,00) 
 Ainda assim, empresa 1 teria lucro maior que no caso do 
duopólio (item 4.3) 
 $7.375,05 – $3.230,00= $4.145,05 (>$3.308,91) 
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Exercício 4.5 (Nash vs. Pareto) 
 (Errata: no enunciado, trocar “25” por “27,5”) 
 
q Empresa 
“Azul” 
q Empresa 
“Vermelho” 
Quantidade 
total 
Preço π Empresa 
“Azul” 
π Empresa 
“Vermelho” 
27,5 27,5 55,0 $65,00 $1.512,50 $1.512,50 
(Pareto) 
27,5 36,7 64,2 $55,80 $1.259,50 $1.680,86 
36,7 27,5 64,2 $55,80 $1.680,86 $1.259,50 
36,7 36,7 73,4 $46,60 $1.343,22 $1.343,22 
(Cournot-Nash) 
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Exercício 4.5 (Nash vs. Pareto) 
 
Exercício 4.5 
Empresa “Azul” 
q1 = 27,5 q1 = 36,7 
Empresa 
“Vermelho” 
q2 = 27,5 $1.512,50; $1.512,50 $1.259,50; $1.680,86 
q2 = 36,7 $1.680,86; 1.259,50 $1.343,22; $1.343,22 
 Versão discreta do modelo de Cournot 
 Equilíbrio de Nash: q1 = q2 = 36,7 
 Ótimo de Pareto: q1 = q2 = 27,5 
 Estrutura igual à do Dilema do Prisioneiro 
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Exercício 4.6 (Cournot e Bertrand) 
a) q1* = q2* = (A - c) / 3b = (40 – 4) / 3 = 12 
 p = 40 – 2*12 = 16 
 π1 = π2 = p.q – c.q = 16*12 – 4*12 = 144 
 
b) qi* = (A-c)/[b(n+1)] = (40 - 4) / [1(1+5)] = 6 
 p = 40 – 5*6 = 10 
 
c) p = c = 4  D(p) = 40 – 4 = 36 
 q1* = q2* = 36/2 = 18 
 Lucros nulos 
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Exercício 4.7 (Bertrand) 
 Ver resposta no Fiani, p. 372 
 Comparar com resolução feita em aula de 
exercício de Bertrand 
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Exercício 4.8 (diferenciação de produtos) 
 π1 = p1q1 - c1q1 
 π1 = p1*(10 - p1 + p2) – 2*(10 - p1 + p2) 
 π1 = 10p1 - p1² + p1p2 – 20 + 2p1 – 2 p2 
 c.p.o.: 
 10 - 2p1 + p2 + 2 = 0  p1 = (12 + p2) / 2 
 Como empresas são iguais, também temos: p2 = 
(12 + p1) / 2 
 Por substituição, obtém-se: p1* = p2* = 12 
 q1* = q2* = 10 – 12 + 12 = 10 
 π1= π2* = 12*10 – 2-10 = 100 
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Exercício 4.9 
 Preço terá de ser aquele que ainda seja 
interessante para o escritório mais distante (p* = V) 
 V = 5 
 p* = p + t.d 
 Para o escritório mais distante, t.d = 0,01*250 
 p* = p + 0,01.250 
 Queremos p* = V 
 p + 0,01.250 = 5  p = $2,50 
 Cada lanchonete atende a 50 escritórios 
 (NB: O custo de entrega é pago pelo cliente a cada pedido!) 
 O lucro de cada empresa será 50*(2,50-1,00) = $75,00 
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Exercício 4.10 
 Sendo p é o preço do ouro, o número ótimo 
(Pareto) de garimpeiros seria: 
 π = p.f’(n) – c(n) 
 π = 1.(20n – n²) – 5n 
 π = 15n – n² 
 C.P.O.: 15 – 2n = 0  n° = 7,5 garimpeiros 
 Número efetivo de garimpeiros (Nash): 
 π/n = 0 
 (15n – n²)/n = 0  n* = 15 garimpeiros 
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Fiani 5.1 
a) Dilema do prisioneiro não é jogo estritamente 
competitivo: ambos preferem as recompensas de 
(Coopera, Coopera) às de (Não coopera, Não coopera) 
b) Batalha dos sexos não é jogo estritamente competitivo: 
ambos preferem sempre coordenar a não coordenar 
c) Jogo do comércio internacional possui mesma 
estrutura do dilema do prisioneiro  não é estritamente 
competitivo 
d) Jogo de coordenação do padrão tecnológico possui 
mesma estrutura da batalha dos sexos  não é 
estritamente competitivo 
 
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Fiani 5.2 
 Qual é o equilíbrio deste jogo, de acordo com o método 
minimax-maximin? 
Jogador 1 Jogador 2 
A B C 
α 4 5 4 
β 3 0 1 
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Fiani 5.2 - Minimax 
1. Para cada estratégia do Jogador 2, qual é a estratégia do Jogador 1 
que maximiza os ganhos deste? 
 maxs U (s, A) = (α, A) = 4 
 maxs U (s, B) = (α, B) = 5 
 maxs U (s, C) = (α, C) = 4 
1. Destas, qual é a que minimiza as perdas do Jogador 2? 
 mint {maxs U(s,t)} = (α, A) = (α, C) = 4 
 A expressão indica que a recompensa de 4 é o valor minimax deste jogo 
Jogador 1 Jogador 2 
A B C 
α 4 5 4 
β 3 0 1 
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Fiani 5.2 - Maximin 
1. Para cada estratégia do Jogador 1, qual é a estratégia do Jogador 2 
que minimiza as perdas deste? 
 mint U (α, t) = (α, A) = (α, C) = 4 
 mint U (β, t) = (β, B) = 0 
1. Destas, qual é a que maximiza os ganhos do Jogador 1? 
 mint {maxs U(s,t)} = (α, A) = (α, C) = 4 
 A expressão indica que a recompensa de 4 é o valor maximin deste jogo 
Jogador 1 Jogador 2 
A B C 
α 4* 5 4* 
β 3 0* 1 
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Fiani 5.2 - Equilíbrio 
 mint {maxs U(s,t)} = maxs {mint U(s,t)} = (α, A) = (α, 
C) = 4 
 Há dois equilíbrios neste jogo: (α, A) = (α, C) 
 O valor minimax-maximin é 4 
Jogador 1 Jogador 2 
A B C 
α 4* 5 4* 
β 3 0* 1 
Fiani 5.3 
 Feito em aula 
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Fiani 5.4 
 Representação estratégica do jogo de par ou ímpar na 
matriz abaixo 
 É jogo estritamente competitivo, pois nenhum resultado 
do jogo é simultaneamente preferível a qualquer outro 
resultado pelos dois jogadores simultaneamente. (Como 
visto em aula, não há solução pelo maximin). 
Par ou ímpar Jogador que escolheu ímpar 
Par Ímpar 
Jogador que 
escolheu par 
Par 1, -1 -1, 1 
Ímpar -1, 1 1, -1 
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Fiani 5.5 
a) Não há como atribuir probabilidades às 
estratégias de qualquer um dos dois 
jogadores, de forma a gerar resultado melhor 
do que jogar a estratégia estritamente 
dominante de cada jogador. 
 Jogador 1 jogará I com probabilidade p=1 
 Jogador 2 jogará α com probabilidade q=1 
b) Função de melhor resposta será uma reta para 
cada jogador (horizontal para um; vertical para 
outro), com interseção apenas no ponto (1,1) 
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Fiani 5.6 
 Na matriz abaixo, encontram-se as parcelas de mercado 
conquistadas pela Empresa Alfa para cada combinação de 
estratégias 
 Encontrem, pelo método minimax-maximin, equilíbrio(s) no 
jogo estritamente competitivo abaixo 
Empresa Alfa Empresa Beta 
X W Y Z 
A 10 20 15 30 
B 40 30 50 55 
C 35 25 20 40 
D 25 15 35 60 
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Fiani 5.6 
 Há um equilíbrio neste jogo: (B, W) 
 O valor minimax-maximin do jogo é 30 
 
Empresa Alfa Empresa Beta 
X W Y Z 
A 10* 20 15 30 
B 40 30* 50 55 
C 35 25 20* 40 
D 25 15* 35 60 
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Fiani 5.8 
a) Ver matriz abaixo 
b) Não. 
c) Bradley joga avançar com p=½ e Von Kluge ataca 
com probabilidade q=¼ 
Batalha de Mortain Von Kluge 
Atacar Recuar 
Bradley 
 
Avançar -1, 1 1, -1 
Aguardar 2, -2 0, 0 
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Fiani 5.10 
Jogo de coordenação do padrão 
tecnológico 
Antivirus 
Atualizar Não atualizar 
SysOp 
 
Desenvolver 2, 1 -1, -2 
Não desenvolver 0, -1 1, 2 
 Estratégia mista é (½, ½) 
25 
Fiani 6.1 
A B 
BE1 BD1 
AE1, AE2 1, 1 1, 1 
AE1, AD2 1, 1 1, 1 
AD1, AE2 3, 2 -2, -3 
AD1, AD2 3, 2 -1, 5 
26 
Fiani 6.1 – eq. perfeito 
a) Tabela slide anterior 
b) Três subjogos: iniciando-se nos nós A2, B1 e A1 
c) Análise dos três ENS: 
 ((AE1, AE2), BD1): incorpora uma ação (AE2) que não é 
melhor resposta para A no subjogo que se inicia em A2  
não é equilíbrio perfeito 
 ((AD1, AE2), BE1): incorpora uma ação (AE2) que não é 
melhor resposta para A no subjogo que se inicia em A2 
não é equilíbrio perfeito 
 ((AE1, AD2), BD1): só incorpora melhores respostas  é 
equilíbrio perfeito 
27 
Fiani 6.1 
d) Por indução reversa: 
 No subjogo que se inicia em A2, a escolha seria 
AD2 
 No subjogo que se inicia em B1, a escolha seria 
BD1 
 No subjogo que se inicia em A1, a escolha seria 
AE1 
 O equilíbrio ((AE1, AD2), BD1) é perfeito 
e) Não: basta checar tabela dois slides atrás 
28 
Fiani 6.2 – eq. perfeito 
2,1 
-2,2 
1,-2 
-1,-1 
Empresa 
Regulador 
Investimento 
elevado 
Regulador 
Baixo 
investimento 
Não 
remunera 
Não 
remunera 
Remunera 
Remunera 
Encontrar solução 
deste jogo, 
usando método 
da indução 
reversa. 
Vamos revisar 
primeiro o que 
encontramos por 
outro método. 
29 
Fiani 6.2 – eq. perfeito via 
indução reversa 
2,1 
-2,2 
1,-2 
-1,-1 
Empresa 
Regulador 
Investimento 
elevado 
Regulador 
Baixo 
investimento 
Não 
remunera 
Não 
remunera 
Remunera 
Remunera 
 (Baixo 
investimento, 
(Não remunera, 
Não remunera)) 
é EN perfeito 
em subjogos. 
 Solução 
provável do 
jogo: (-1,-1) 
30 
Fiani 6.4 – multa 
2,1 
-2, 1.5 
1,-2 
-1,-1.5 
Empresa 
Regulador 
Investimento 
elevado 
Regulador 
Baixo 
investimento 
Não 
remunera 
Não 
remunera 
Remunera 
Remunera 
 Agora, há multa 
de m=0,5 para 
regulador se 
não remunera 
investidor 
 A multa não é 
suficiente para 
alterar o 
equilíbio 
Fiani 6.5 – movimento 
estratégico 
31 
7,3 
10,0 
-1,-1 
8,0 
Dominante 
Capacidade 
flexível 
Não entra 
Não entra 
Entra 
Entra 
Dominante 
Dominante -2,3 
2,-1 
Capacidade 
Inflexível 
Desafiante 
Desafiante 
Acomoda 
Acomoda 
Luta 
Luta 
“Jogo da 
prevenção 
à entrada” 
 
32 
7,3 
10,0 
-1,-1 
8,0 
Dominante 
Capacidade 
flexível 
Não entra 
Não entra 
Entra 
Entra 
Dominante 
Dominante -2,3 
2,-1 
Capacidade 
Inflexível 
Desafiante 
Desafiante 
Por indução 
reversa, 
podemos 
eliminar 
ramos 
Acomoda 
Luta 
Acomoda 
Luta 
Fiani 6.5 – movimento 
estratégico 
33 
7,3 
10,0 
-1,-1 
8,0 
Dominante 
Capacidade 
flexível 
Não entra 
Não entra 
Entra 
Entra Capacidade 
Inflexível 
Desafiante 
Desafiante 
Por indução 
reversa, 
podemos 
eliminar 
ramos 
Fiani 6.5 – movimento 
estratégico 
34 
7,3 
8,0 
Dominante 
Capacidade 
flexível 
Capacidade 
Inflexível 
A Dominante escolhe uma capacidade 
inflexível. 
Com isto, no caso de entrada da 
Desafiante, lutar torna-se mais 
interessante do que acomodar. 
 
Movimento estratégico 
Fiani 6.5 – movimento 
estratégico 
35 
Fiani 6.5 – movimento estratégico 
(novas recompensas) 
7,3 
10,0 
-2,-1 
6,0 
Dominante 
Capacidade 
flexível 
Não entra 
Não entra 
Entra 
Entra 
Dominante 
Dominante -3,3 
2,-1 
Capacidade 
Inflexível 
Desafiante 
Desafiante 
Acomoda 
Acomoda 
Luta 
Luta 
Novas 
recompensas: 
equilíbrio 
muda. Antes, 
desafiante não 
entrava; agora, 
entra. 
Movimento 
estratégico não 
é suficiente 
para evitar 
entrada. 
36 
Fiani 6.7 
 
 
Jogador I 
Jogador II 
α β 
 a, c -10, -5 10, 10 
 a, d -1, 0 5, 20 
 b, c 0, 100 0, 100 
 b, d 0, 100 0, 100 
37 
Fiani 6.7 
a) Ver slide precedente 
b) Há dois subjogos, um dos quais se inicia no “nó II”; o outro 
deles inicia-se no “nó I” 
c) Somente ((a, c), β) contém a melhor resposta de I no 
subjogo que se inicia no “nó II”  é o equilíbrio perfeito. 
II (tem estrat. dominante) 
α β 
I c -10, 5 10, 10 
d -1, 0 5, 20 
38 
Fiani 6.8 e 6.10 
 Ex. 6.8 
 qlíder = 998 
 qseguidora = 499 
 p = 251,50 
 
 Ex. 6.10 
 qlíder = 48,5 
 qseguidoras = 34,33 
 p = 17,17