exercicios cap.1 3

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Exercícios caps. 1-3 
Teoria dos Jogos - Prof. Waltenberg 
Teoria dos Jogos - Prof. Waltenberg 2 
Exercício 1.1 
 A relação “maior ou igual” é racional, pois é 
completa e transitiva. Vejamos: 
 É completa porque, dados dois números 
quaisquer a e b, temos que a ≥ b, ou b ≥ a, ou 
ambos. 
 É transitiva porque, dados três números 
quaisquer, a, b e c, se a ≥ b e b ≥ c, então, 
necessariamente, a ≥ c. 
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Exercício 1.2 
 A relação de preferência estrita não é 
completa, pois no caso em que a relação 
entre dois elementos quaisquer x e y é de 
indiferença, não temos nem x pref. a y, nem 
y pref. a x. 
 Porém, a relação de preferência estrita é 
transitiva: entre três elementos quaisquer x,y e z, 
se x pref. y e y pref. z, então necessariamente, x 
pref. z. 
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Exercício 1.3 
 A relação de indiferença não é completa: se, 
entre dois elementos quaisquer x e y, a 
relação for de preferência estrita, isto é, se x 
pref. a y ou y pref. a x, não temos x~y. 
 Porém, a relação de indiferença é transitiva: entre 
três elementos quaisquer x,y e z, se x~y e y~z, 
então necessariamente, x ~z 
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Exercício 1.4 
a) (1,5) pref. (3,2) pref. (4,0) 
b) U (x,y) = x + 2y 
 
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Exercício 1.5 
 Sim, pois ele foi capaz de expressar suas 
preferências em relação a todas as 
sobremesas, e preservou a transitividade 
nestas preferências. 
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Exercício 2.1 
 Sejam dois números quaisquer x e y, tais que 
x > y 
 O que precisamos saber é se f(x) > f(y), ou seja, se a 
transformação mantém o ordenamento original 
 
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Exercício 2.1 
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Exercício 2.1 
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Exercício 2.2 
 Este exercício serve para reforçar o 
exercício 1. Basta aplicar a fórmula do 
enunciado aos exemplos do exercício 1. 
 Por exemplo: 
 
(3x – 17) – (3y – 17) / (x – y) = 3(x – y) / (x – y) > 0 
 
 Logo, transformação do item (a) é monotônica 
 (b) é, (c) não é, (d) é, (e) não é, (f) é. 
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Exercício 2.3 
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Exercício 2.3 
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Exercício 2.3 
 Item (e) 
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Exercício 2.3 
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Exercício 2.3 
 Item (g) 
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Exercício 2.4 
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Exercício 2.4 
 Item (b) 
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Exercício 2.5 
(Os valores usados aqui são 
arbitrários: outros valores 
poderiam ser usados, desde 
que preservassem a 
ordenação) 
Vendedor 2 
Abordar Não abordar 
 
Vendedor 1 
Abordar -1, -1 1, -1 
Não abordar -1, 1 0, 0 
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Exercício 2.6 
a) Não viola qualquer regra 
b) Viola a regra de que cada nó deve ter como 
antecessor apenas um nó 
c) Viola a regra de que nenhuma trajetória 
pode ligar um nó a ele mesmo 
 
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Exercício 2.7 
a) Viola a condição de que um conjunto de 
informação não pode conter nós 
pertencentes a jogadores diferentes 
b) Não viola nenhuma condição 
c) Viola a condição de que os nós de um 
mesmo conjunto de informação não podem 
anteceder conjuntos diferentes de ações 
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Exercício 2.8 
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Exercício 2.8 
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Exercício 2.9 
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Exercício 2.10 – jogo 1 
 
 
Helena 
Laura 
w,w w,z z,w z,z 
I 2,0 2,0 1,1 1,1 
II 1,1 0,0 1,1 0,0 
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Exercício 2.10 – jogo 2 
 
 
Laura 
Helena 
I,I I,II II,I II,II 
W 2,0 2,0 1,1 1,1 
z 1,1 0,0 1,1 0,0 
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Exercício 3.1 
 Para o jogador B, podemos eliminar: 
 B(1): estritamente dominada por B(2) 
 B(4): estritamente dominada por B(3) 
 Agora, eliminamos: 
 A(1): estritamente dominada por A(3) 
 A(2): estritamente dominada por A(3) 
 Por fim, eliminamos: 
 B(3): estritamente dominada por B(2) 
 Equilíbrio: (A(3), B(2)) 
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Exercício 3.2 
a) Equilíbrios de Nash: (I, i) e (III, iii) 
b) Ao elminarmos a estratégia III, fracamente 
dominada por I, eliminamos também o 
equilíbrio de Nash (III, iii) 
 
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Exercício 3.3 
a) Não há para nenhum deles 
b) Há dois equilíbrios de Nash: (S’,s’) e (S’’, 
s’’) 
c) “Uma situação A será Pareto-ótima se não 
existir situação que a domine 
 A situação (S’,s’) é Pareto-ótima, pois não 
há outra situação que a domine; “não há 
melhoria unânime possível”. 
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Exercício 3.4 
a) Sim, o jogador “Coluna” prefere sempre {2} 
a {1} 
b) Há um equilíbrio de Nash: (II, 2) 
c) “Uma situação A será Pareto-ótima se não 
existir situação que a domine 
 Não há situação que domine (II, 2), 
portanto, é ótimo de Pareto; “não há 
melhoria unânime possível”. 
a) Sim, é estrito. 
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Exercício 3.5 
a) Falso. Se jogador β jogar β1, então α1 resulta em 
recompensa maior, para o jogador α, do que α1. 
b) Falso. (α1, β1) também é equilíbrio de Nash. 
c) Verdadeiro, dado que nenhum jogador possui 
estratégia dominada que possa ser eliminada. 
d) Verdadeiro, pois qualquer falta de coordenação 
dos jogadores produz recompensas menores que 
os dois equilíbrios de Nash. 
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Exercício 3.6 
a) Não. Dado que o agente 2 joga {d}, o agente 1 teria 
interesse em jogar {b} ao invés de {a}, pois 1 > 0. 
b) Sim: (b,d) é um equilíbrio de Nash, pois 1 > 0 e 10 > 0. 
Em qualquer outro caso, existe interesse em mudar de 
estratégia. 
c) Sim, pois 10 > 5 e 1 > 0. 
d) Não. Se chamássemos {a} e {c} de “desviar” e {b} e {d} 
de “não desviar”, o equilbrio de Nash seria (não 
desviar, não desviar), que não corresponde ao 
observado no jogo do “Galinha”, em que (não desviar, 
desviar) e (desviar, não desviar) são os equilíbrios. Ou 
seja, o confronto aqui recompensa. (OBS: Se alguém 
tiver outra opinião sobre este item (d), não deixe de 
me avisar – talvez eu tenha me enganado!) 
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Exercício 3.7 
a) Falso: apenas b é dominante. 
b) Verdadeiro. 
c) Verdadeiro. A partir de (A,b), é impossível 
melhorar a situação de um jogador sem piorar a 
do outro; “não há melhoria unânime possível”. 
d) Verdadeiro. Há apenas um equilíbrio de Nash 
(B,b). A partir de (B,b), é impossível melhorar a 
situação de um jogador sem piorar a do outro; 
“não há melhoria unânime possível”. 
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Exercício 3.8 
a) Falso: y sim; a, não. 
b) Verdadeiro. 
c) Falso. 
d) Verdadeiro, a partir de (b, y), é impossível 
melhorar a situação de um jogador sem 
piorar a do outro; “não há melhoria unânime 
possível”. 
e) (a,x) não é equilíbrio de Nash. 
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Exercício 3.9 
Teoria dos Jogos - Prof. Waltenberg 35 
Exercício 3.9 
 Há quatro equilíbrios de Nash: 
1. ((a,c), (II,IV)) 
2. ((a,d),(II,IV)) 
3. ((b,c),(I,III)) 
4. ((b,c),(II,III)) 
Teoria dos Jogos - Prof. Waltenberg 36Exercício 3.9 
 Não importa que, se o jogador 1 jogar “a”, ele nunca terá a 
oportunidade de jogar “c” ou “d”. 
 Como toda estratégia é um plano de ação que especifica 
o que fazer para qualquer momento em que o jogador 
tenha de tomar uma decisão,… 
 … ele tem de formular suas estratégias especificando o que 
faria se tivesse que escolher entre “c” e “d”, mesmo que 
tenha jogado “a”. 
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Exercício 3.9 
 Se as recompensas que são as maiores nas linhas ou nas 
colunas se repetem, marcamos todas, indisintamente. Se as 
recompensas nas linhas que correspondem a uma dada 
coluna, ou nas colunas que correspondem a uma dada linha 
forem todas iguais, marcamos todas igualmente. 
 Os equilíbrios de Nash ((b,c),(I,III)) e ((b,c),(II,III)) não são 
estritos. 
 
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Exercício 3.9 
Teoria dos Jogos - Prof. Waltenberg 39 
Exercício 3.9 
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Exercício 3.10 
a) Falso. 
 O DP ocorre quando há um conflito entre 
cooperação e interesse próprio. 
 Pode haver situações que não são DP, nas 
quais há equilíbrio de Nash que não é EED. 
b) Falso, conforme DP etc. 
c) Falso, conforme Batalha dos Sexos etc. 
d) Falso, conforme Box 3.1, p. 93. 
e) Verdadeiro, conforme Fiani p.101.