algebra linear[1]

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1a Questão 
 
Qual alternativa abaixo representa uma matriz antissimétrica de A = \(\begin{bmatrix} \ 0 & 1 & -1\\ -1 &0 & 2\\ 1 &-2 & 
0\end{bmatrix} \)? 
 
 
\(\begin{bmatrix} \ 0 \end{bmatrix} \) 
 
\(\begin{bmatrix} \ 0 & 1 & 1\\ 1 &0 & 1\\ 1 &1 & 0\end{bmatrix} \) 
 
\(\begin{bmatrix} \ 1 & 0 & 0\\ 0 &1 & 0\\ 0 &0 & 1\end{bmatrix} \) 
 
\(\begin{bmatrix} \ 0 & 1 & 1\\ 1 &0 & 2\\ 1 &2 & 0\end{bmatrix} \) 
 \(\begin{bmatrix} \ 0 & 1 & -1\\ -1 &0 & 2\\ 1 &-2 & 0\end{bmatrix} \) 
 
 
Explicação: 
A matriz é antissimétrica é igual a sua transposta com sinal trocado, ou seja,A = -At. 
Assim, se A = \(\begin{bmatrix} \ 0 & 1 & -1\\ -1 &0 & 2\\ 1 &-2 & 0\end{bmatrix} \), podemos escrever a sua 
transposta At = \(\begin{bmatrix} \ 0 & -1 & 1\\ 1 &0 & -2\\ -1 &2 & 0\end{bmatrix} \). Logo, a antissimétrica será -
At = \(\begin{bmatrix} \ 0 & 1 & -1\\ -1 &0 & 2\\ 1 &-2 & 0\end{bmatrix} \). 
 
Conclusão, a matriz antissimétrica de A= \(\begin{bmatrix} \ 0 & 1 & -1\\ -1 &0 & 2\\ 1 &-2 & 0\end{bmatrix} \) é -
At = \(\begin{bmatrix} \ 0 & 1 & -1\\ -1 &0 & 2\\ 1 &-2 & 0\end{bmatrix} \). 
 
 
 
 
 
 2a Questão 
 
 
Seja A uma matriz 4x2 e B uma matriz 2x1, então o produto A.B = C é uma matriz do tipo: 
 
 1 x 1 
 3 x 1 
 1 x 4 
 2 x 2 
 4 x 1 
 
 
Explicação: 
A fim de efetuar o produto entre a matriz A e a matriz B, devemos ter o número de colunas 
da matriz A igual ao número de linhas da matriz B. 
No caso A possui 2 colunas e B possui 2 linhas! 
A matriz resultante terá o número de linhas de A (4 linhas) e o número de colunas de B (1 
coluna), ou seja, a matriz resultante C é uma matriz 4 por 1 (4 x 1). 
 
 
 
 
 
 3a Questão 
 
 
Em uma empresa, o custo da produção e o custo do transporte dos produtos 
foram modelados segundo as matrizes abaixo. A primeira matriz M1 representa 
a fábrica situada em Bauru e a matriz M2, a outra fábrica situada em Lorena. A 
primeira coluna das matrizes são referentes ao custo de produção e a segunda 
coluna referente ao custo de transporte. A primeira linha representa o produto 
A, a segunda o B e a terceira o C. A soma das matrizes M1 e M2 fornecem o 
custo total de produção e transporte de cada produto. Com base nessas 
informações, pode-se afirmar que os custos de produção e transporte do 
produto B são respectivamente iguais a: 
 
 
 
74 e 55 
 
63 e 55 
 
87 e 93 
 
140 e 62 
 102 e 63 
 
 
Explicação: 
Para o produto B (2a linha) temos: 
50 + 52 = 102 
25 + 38 = 63 
 
 
 
 
 
 
 4a Questão 
 
 
Para que valores de x,y e z, repectivamente, a matriz M é uma matriz simétrica 
\(\begin{pmatrix} 5 & 3 & x+y \\ x-y & 4 & z-3 \\ -1 & 2 & x \end{pmatrix}\) 
 
 
1,2,5 
 
-1,2,5 
 
1,2,-5 
 
-1,2,-5 
 1,-2,5 
 
 
Explicação: 
\(\begin{pmatrix} 5 & 3 & x+y \\ x-y & 4 & z-3 \\ -1 & 2 & x \end{pmatrix}\) 
A matriz simétrica é uma matriz quadrada onde a sua transposta é igual a própria matriz(At = A). Ou seja, 
ai,j = aj,i . 
Assim, podemos fazer: 
Matriz a1,3 = a3,1 => x + y = -1 => x = -1 - y ......................................................... x = -1 -(-2) => x = 
1 
Matriz a2,1 = a1,2 => x - y = 3 ......................(-1 - y) - y = 3 => -2y = 4 => y = -2. 
Matriz a2,3 = a3,2 => z - 3 = 2 => z = 2 + 3 => z = 5 
Logo, a rseposta é: 1, -2 e 5. 
 
 
 
 
 
 
 5a Questão 
 
 
Uma firma fabrica quatro tipos de aparelhos cirúrgicos utilizando materiais diferentes. Considere a 
matriz \(\begin{bmatrix} \ 3 & 1 & 0 & 4\\ 0 & 2 & 5 & 6\\ 2 & 3 & 8 & 0 \\ 4 & 7 & 5 & 1 \end{bmatrix} 
\) onde cada elemento aij representa quantas peças do material j serão empregadas para fabricar um aparelho 
do tipo i. Determine o total do material 2 que será empregado para fabricar oito aparelhos do tipo 1, dois 
aparelhos do tipo 2, um aparelho do tipo 3 e cinco aparelhos do tipo 4. 
 
 
10 
 
40 
 50 
 
20 
 
30 
 
 
Explicação: 
Nesse estudo de caso podemos considerar que as linhas correspondem ao tipo e as colunas ao material. Como 
o enunciado pediu o somatório somente do material 2, podemos fixar a coluna 2. 
Assim, na matriz \(\begin{bmatrix} \ 3 & 1 & 0 & 4\\ 0 & 2 & 5 & 6\\ 2 & 3 & 8 & 0 \\ 4 & 7 & 5 & 1 
\end{bmatrix} \) podemos fazer o seguinte cálculo: 
(8 aparelhos x 1) + (2 aparelhos x 2) + (1 aparelho x 3) + (5 aparelhos x 7). 
(8 . 1) + (2 . 2) + (1 . 3) + (5 . 7) => 8 + 4 + 35 => 50 
 
 
 
 
 
 6a Questão 
 
 
Suponha as matrizes A 2x3 e B3x4. Sejam as matrizes C e D tal que C = (A.B) + Dm x n . Assim, para que exista 
a equação matricial descrita, o valor da soma m + n é: 
 
 
7 
 
5 
 
8 
 
9 
 6 
 
 
Explicação: 
Solução: A 2x3 . B3x4 = E2x4 . Para somar uma matriz 2 x 4 com uma D m x n , só se m = 2 e n = 4. Logo, a 
soma vale 6 
 
 
 
 
 
 
 7a Questão 
 
 
Chama-se matriz anti-simétrica toda matriz quadrada A, de orden n, tal que A t = -A. Indique qual matriz 
abaixo é anti-simétrica: 
 
 
`[[0,a,b],[a,0,c],[-b,-c,0]]` 
 `[[0,a,b],[-a,0,c],[-b,-c,0]]` 
 
`[[0,a,b],[-a,0,c],[-b,c,0]]` 
 
`[[0,a,b],[-a,0,c],[b,-c,0]]` 
 
`[[0,a,b],[-a,0,-c],[-b,-c,0]]` 
 
 
Explicação: 
Uma matriz quadrada A é dita antissimétrica quando a sua transposta for igual a matriz oposta da própria 
matriz A, ou seja: At = ¿ A 
Para determinação da solução são necessários então dois conceitos! 
Denominamos de matriz transposta de A, representada por At , a matriz obtida quando trocamos as linhas 
de A por suas colunas, ordenadamente. 
Matriz oposta é a matriz - A obtida a partir de A trocando-se o sinal de todos os elementos de A. 
Neste caso linhas e colunas devem ter os mesmos elementos, porém com os sinais trocados! 
 
 
 
 
 
 8a Questão 
 
 
Uma fabricante de instrumento musical tem um projeto 
para fabrica 3 modelos de percussão (repique) utilizando 3 
materiais diferentes. 
Considere a matriz A = aij, onde aij representa a quantidade 
em metro do material i que serão necessários para fabricar 
um modelo de repique do modelo j. 
A = \(\begin{bmatrix} \ 2 & 1 & 1\\ 1 &1 & 2\\ 1 &1 & 2\end{bmatrix} \) 
Qual alternativa abaixo representa a quantidade total em 
metros do material 2 necessários para fabricar 10 repiques 
do modelo 2? 
 
 
3 
 
2 
 10 
 
11 
 
4 
 
 
Explicação: 
Solução: 
Nesse caso, podemos considerar que as linhas da matriz 
representam o material e as colunas o modelo do 
instrumento de percussão. 
Com isso, como deseja-se saber quantos metros do material 
2 são necessários para fabricar 10 repiques do modelo 2, 
podemos localizar na matriz a linha 2 e a coluna 2 , e 
multiplicar por 10. 
Ou seja, 10 . A2,2 = 10 . 1 = 10 metros. 
Conclusão: 
São necessários 10 metros do material 2 para fabricar 
o repique modelo 2. 
 
 
1. 
 
 
O determinante da matriz A = [aij] , 3x3, onde: 
aij = i - j , se i < j e aij = i + j , se i > j é igual a 
 
 
-26 
 
 
34 
 
 
-34 
 
 
0 
 
 
26 
 
 
 
Explicação: 
a11 = 1 - 1 = 0 
a12 = 1 - 2 = - 1 
a13 = 1 - 3 = - 2 
a21 = 2 + 1 = 3 
a22 = 2 - 2 = 0 
a23 = 2 - 3 = - 1 
a31= 3 + 1 = 4 
a32= 3 + 2 = 5 
a33= 3 - 3 = 0 
[0-1-20130-13045045] = - 26 
 
 
 
 
 
 
2. 
 
 
Uma industria automobilística tem um projeto para fabricar 3 modelos de 
carros(Hatch , SUV e Jeep), com 2 ou 4 portas(tipos). 
Considere a matriz A = aij, onde aij representa a quantidade de dias que a industria 
necessita para fabricar um determinado modelo i de um deteminado tipo j. 
A = \(\begin{bmatrix}\ 30 & 25\\19 & 32\\25 & 30\end{bmatrix} \) 
Qual alternativa abaixo representa a quantidade total de dias necessários para 
fabricar 2 Jeep de 2 portas? 
 
 
25 
 
 
60 
 
 
55 
 
 
74 
 
 
30 
 
 
 
Explicação: 
Solução: 
Nesse caso, podemos considerar que as linhas da matriz representam o modelo(Hatch, SUV ou Jeep) e as 
colunas o tipo(2 ou 4 portas). 
\(\begin{bmatrix} \ 30 & 25\\19 & 32\\25 & 30\end{bmatrix} \) 
Com isso, como deseja-se saber quantos dias são necessários para fabricar 2 Jeeps de 2 portas. 
Ou seja, 2 . A3,2 = 2 . 30 = 60 dias. 
Conclusão: 
São necessários 60 dias para fabricar 2 Jepps de 2 portas. 
 
 
 
 
 
 
 
3. 
 
 
Dadas as matrizes A = ( 1 2 3 ) e B = ( -2 0 1 ) , podemos afirmar que a soma 
dos elementos da matriz 2A+ 3B , é igual a : 
 
 
-17 
 
 
-1 
 
 
9 
 
 
10 
 
 
17 
 
 
 
Explicação: 
2 . (1 + 2 +3) + 3 . (-2 +0 +1) = 12 - 3 = 9 
 
 
 
 
 
 
4. 
 
 
Adicionando [ 1 2 3 ] + [ -1 -2 3 ] , encontramos: 
 
 
 
[ 0 0 6 ] 
 
 
[ 1 1 1 ] 
 
 
[ 0 0 1 ] 
 
 
[ 2 2 1] 
 
 
[ 0 0 0 ] 
 
 
 
Explicação: 
1 + (-1) = 0 
2 + (-2) = 0 
3 + 3 = 6 
Temos então como resposta: [0 0 6] 
 
 
 
 
 
 
5. 
 
 
Dada a operação com matrizes a seguir: 
[x1-5y]+[41-53]=[32-106] 
Determinar os valores de x e y. 
 
 
-3 e 1 
 
 
3 e -1 
 
 
1 e -3 
 
 
-1 e 3 
 
 
-1 e -3 
 
 
 
Explicação: 
Temos que: 
x + 4 = 3 então x = 3 - 4 = -1 
Temos ainda que: 
y + 3 = 6 então y = 6 - 3 = 3 
 
 
 
 
 
 
6. 
 
 
Considere uma matriz identidade I de ordem 30 x 30. Sabendo-se que traço de 
uma matriz A (tr(A)) é a soma dos elementos da diagonal principal, determine o 
traço de I, ou seja, tr(I) 
 
 
60 
 
 
30 
 
 
900 
 
 
0 
 
 
1 
 
 
 
Explicação: 
Como todos os elementos da diagonal principal são iguais a 1 e a ordem da matriz é 30, teremos a soma 
do "1" 30 vezes, ou seja, tr(I) = 1 + 1 + ...+ 1 = 30 
 
 
 
 
 
 
7. 
 
 
Aplicando a regra de Sarrus , qual opção abaixo representa o determinante da 
matriz A = \(\begin{bmatrix} \ 2 & 1 & 1\\ 1 &1 & 2\\ 1 &1 & 2\end{bmatrix} \)? 
 
 
1 
 
 
10 
 
 
\(\begin{bmatrix} \ 2 & 1 & 1\\ 1 &1 & 2\\ 1 &1 & 2\end{bmatrix} \) 
 
 
0 
 
 
\(\begin{bmatrix} \ 1 & 0 & 0\\ 0 &1 & 0\\ 0&0& 1\end{bmatrix} \) 
 
 
 
Explicação: 
Para cálcular o determinante de A = \(\begin{bmatrix} \ 2 & 1 & 1\\ 1 &1 & 2\\ 1 &1 & 2\end{bmatrix} \) através da regra 
de Sarrus precisamos repetir as duas primeiras colunas após a terceira coluna, de forma a montar uma 
matriz de 3 linhas por 5 colunas. Somamos então o produto dos elementos das 3 diagonais principais 
mais o produto das três diagonais segundarias com o sinal trocado. 
 
Det(A) = \(\begin{bmatrix} \ 2 & 1 & 1 & 2 & 1\\ 1 &1 & 2 & 1 & 1\\ 1 &1 & 2 & 1 & 1\end{bmatrix} \) 
= ( (2.1.2)+(1.2.1)+(1.1.1)) + ( (-(1.1.1)) + (-(2.2.1)) = (-(1.1.2)) ) 
= ((4) + (2) + (1)) + ( (-1) + (-4) + (-2) ) 
= (7) + (-1 -4 -2) 
= 7 - 7 
=0. 
Conclusão, o determinante da matriz A= \(\begin{bmatrix} \ 2 & 1 & 1\\ 1 &1 & 2\\ 1 &1 & 2\end{bmatrix} \) é igual 0. 
 
 
 
 
 
 
 
8. 
 
 
Seja A uma matriz 4x4 e B uma matriz 4x1, então o produto A.B = 
C é uma matriz do tipo: 
 
 
4 x 1 
 
 
3 x 4 
 
 
1 x 1 
 
 
3 x 3 
 
 
1 x 4 
 
 
 
Explicação: 
A fim de efetuar o produto entre a matriz A e a matriz B, devemos ter o número de 
colunas da matriz A igual ao número de linhas da matriz B. 
No caso A possui 4 colunas e B possui 4 linhas! 
A matriz resultante terá o número de linhas de A (4 linhas) e o número de colunas de B 
(1 coluna), ou seja, a matriz resultante C é uma matriz 4 por 1 (4 x 1). 
 
1. 
 
 
Sejam as matrizes A = [(3,2),(5,7)] e B = [(4,1),(2,3)]. Quanto vale o det(A.B)? 
 
 
 
110 
 
 
100 
 
 
10 
 
 
1 
 
 
101 
 
 
 
 
 
 
2. 
 
 
Uma matriz quadrada de ordem 4 x 4 apresenta um número de elementos igual a: 
 
 
 
16 
 
 
9 
 
 
4 
 
 
1 
 
 
25 
 
 
 
Explicação: 
Uma matriz com 4 linhas e 4 colunas possui 4 x 4 = 16 elementos! 
 
 
 
 
 
 
3. 
 
 
Qual alternativa abaixo representa a matriz transposta de A = \(\begin{bmatrix} \ 2 & 1 & 
1\\ 1 &1 & 2\\ 1 &1 & 2\end{bmatrix} \)? 
 
 
\(\begin{bmatrix} \ 1 & 0 & 0\\ 0 &1 & 0\\ 0 &0 & 1\end{bmatrix} \) 
 
 
\(\begin{bmatrix} \ 2 & 1 & 1\\ 1 &1 & 1\\ 1 &2 & 2\end{bmatrix} \) 
 
 
\(\begin{bmatrix} \ 2 & 1 & 2\\ 1 &1 & 1\\ 2 &1 & 2\end{bmatrix} \) 
 
 
\(\begin{bmatrix} \ 1 & 1 & 1\\ 1 &1 & 1\\ 1 &1 & 1\end{bmatrix} \) 
 
 
\(\begin{bmatrix} \ 2 & 1 & 1\\ 1 &1 & 2\\ 1 &1 & 2\end{bmatrix} \) 
 
 
 
Explicação: 
Para cálcular uma matriz transposta você deve tranforma a linha da matriz em coluna. 
Conclusão: 
Sendo a matriz A = \(\begin{bmatrix} \ 2 & 1 & 1\\ 1 &1 & 2\\ 1 &1 & 2\end{bmatrix} \) , a sua transposta será 
igual At = \(\begin{bmatrix} \ 2 & 1 & 1\\ 1 &1 & 1\\ 1 &2 & 2\end{bmatrix} \). 
 
 
 
 
 
 
 
4. 
 
 
Sabendo que vale a soma das matrizes: 
\(\begin{pmatrix} x & 1\\ -5 & y \\ \end{pmatrix}\) + \(\begin{pmatrix} 4 & 1\\ 
-5 & 3 \\ \end{pmatrix}\) = \(\begin{pmatrix} 3 & 2\\ -10 & 6 \\ \end{pmatrix}\) 
Determinar os valores de x e y, respectivamente: 
 
 
 
-3 e 1 
 
 
3 e -1 
 
 
-1 e -3 
 
 
1 e -3 
 
 
-1 e 3 
 
 
 
Explicação: 
\(\begin{pmatrix} x & 1\\ -5 & y \\ \end{pmatrix}\) + \(\begin{pmatrix} 4 & 1\\ -5 & 3 \\ 
\end{pmatrix}\)= \(\begin{pmatrix} 3 & 2\\ -10 & 6 \\ \end{pmatrix}\) 
x + 4 = 3 => x = -1 
y + 3 = 6 => y = 3 
Logo, a resposta é -1 e 3. 
 
 
 
 
 
 
5. 
 
 
Chamamos de matriz simétrica toda a matriz quadrada A, de orden n, tal 
que At=A. Assim sendo , indique qual é a matriz simétrica: 
 
 
[[a,b,c,d],[b,e,f,g],[c,f,h,i],[d,g,i,j]] 
 
 
[[a,b,c,d],[b,e,f,g],[c,f,h,i],[-d,g,i,j]] 
 
 
[[a,b,-c,d],[b,e,f,g],[c,f,h,i],[d,g,i,j]] 
 
 
[[a,b,c,d],[b,-e,f,g],[c,f,h,i],[d,g,i,j]] 
 
 
[[a,b,c,d],[b,e,-f,g],[c,f,h,i],[d,g,i,j]] 
 
 
 
Explicação: 
Chamamos matriz simétrica toda matriz quadrada A, de orden n, tal que At = A. 
Denominamos de matriz transposta de A, representada por At a matriz obtida quando trocamos as 
linhas de A por suas colunas, ordenadamente. 
Neste caso linhas e colunas correspondentes (primeira linha e primeira coluna, segunda linha e segunda 
coluna, etc...) devem possuir os mesmos elementos. 
 
 
 
 
 
 
 
6. 
 
 
Determine a soma dos elementos da diagonal principal do produto destas 
matrizes. 
[2013].[-1102] 
 
 
2 
 
 
5 
 
 
7 
 
 
0 
 
 
6 
 
 
 
Explicação: 
Para a diagonal principal temos os seguintes resultados: 
2 . (-1) + 0 . 0 = - 2 
1 . 1 + 3 . 2 = 7 
A soma desses valores acarreta a resposta: - 2 + 7 = 5 
 
 
 
 
 
 
7. 
 
 
Dadas duas matrizes A e B de mesmo tipo (mxn), temos que 
k·(A+B)=k·A+k·B. Assim sendo, se A=[024000-137] , B=[0-12-11-
11-50] e k=2, então a alternativa correta para k·(A+B) é igual a: 
 
 
 
[0212-2-2-20-414] 
 
 
[0212-22-20-4-14] 
 
 
[0212-22-20414] 
 
 
[0212-22-20-414] 
 
 
[0-212-22-20-414] 
 
 
 
Explicação: 
k·(A+B) = 2 . [016-11-10-27] 
k·(A+B) = [0212-22-20-414]8. 
 
 
Suponha uma matriz identidade In, ou seja, com n linhas e n colunas. Sendo o 
traço duma matriz quadrada A tr(A) definido como a soma dos elementos da 
diagonal principal, determine tr(In) 
 
 
2n 
 
 
n2 
 
 
n 
 
 
1 
 
 
n + 1 
 
 
 
Explicação: 
Matriz identidade tem todos os elementos da diagonal principal iguais a 1. Como a ordem da matriz é n, 
seu traço será 1 + 1 +1 ...1 = n 
 
 
 
 
 
1. 
 
 
Para conseguir passar para a fase seguinte de um campeonato que 
envolve raciocínio matemático, os participantes tiveram 
que encontrar os valores de a, b, c e d das matrizes abaixo. 
Somente passaram para a fase seguinte os participantes que 
acertaram a questão e obtiveram para a, b, c e d, respectivamente, 
os seguintes valores : 
 
 
 
 
 
1,2, 0, 2 
 
 
0, 0, 1, 2 
 
 
0, 2, 1, 2 
 
 
1 ,1 , 2, 2 
 
 
2, 0, 2, 1 
 
 
 
Explicação: 
 a + 2b = 4 
2a - b = -2 (x2) 
a + 2b = 4 
4a - 2b = -4 
5a = 0 então a = 0 
Para a = 0 temos: 
0 + 2b =4 então b = 2 
 
2c + d = 4 (x2) 
c - 2d = -3 
4c + 2d = 8 
c - 2d = -3 
5c = 5 então c = 1 
Para c = 1 temos: 
2.1 + 2d = 4 então d = 4 -2 = 2 
 
Como resposta final temos: 0; 2; 1; 2 
 
 
 
 
 
 
 
2. 
 
 
Determine a soma dos elementos da diagonal principal do produto destas 
matrizes. 
\(\begin{bmatrix} \ 2 & 0 \\ 1 & 3 \end{bmatrix}\).\(\begin{bmatrix} \ -1 & 1 \\ 
0 & 2 \end{bmatrix} \) 
 
 
 
6 
 
 
2 
 
 
5 
 
 
7 
 
 
0 
 
 
 
Explicação: 
 
\(\begin{bmatrix} \ 2 & 0 \\ 1 & 3 \end{bmatrix}\).\(\begin{bmatrix} \ -1 & 1 \\ 0 & 2 \end{bmatrix} 
\) = 
(2. -1) + (0.0) = -2 
(2.1) + (0.3) = 2 
(1.-1) + (3.0) = -1 
(1.1) + 3.2) = 7. 
Logo, 
\(\begin{bmatrix} \ -2 & 2 \\ -1 & 7 \end{bmatrix} \) => -2 + 7 = 5. 
 
 
 
 
 
 
3. 
 
 
Na tabela abaixo temos as notas obtidas por 3 alunos nas provas 
de português, matemática, física e química. 
 
 Português Matemática Física Química 
João 8 3 6 5 
Maria 7 5 4 3 
José 5 7 8 2 
Denotando a matriz A com colunas referentes às disciplinas e as 
linhas referentes aos alunos, determine a soma dos elementos a12, 
a22,a32 da matriz A. 
 
 
10 
 
 
20 
 
 
18 
 
 
12 
 
 
15 
 
 
 
Explicação: 
Nessa questão devemos considerar que os elementos da tabela apresentados correspondem: 
a1,2 = primeira linha e segunda coluna; 
a2,2 = segunda linha e segunda coluna; 
a3,2 = terceira linha e segunda coluna. 
 
Conclusão, a soma de a12 +a22 + a32 => 3 + 5 + 7 = 15. 
 
 
 
 
 
 
 
4. 
 
 
Uma confecção vai fabricar 3 modelos de vestidos utilizando 
materiais diferentes. 
Considere a matriz A = aij, em que aij representa quantas unidades 
do material j 
serão empregadas para fabricar um modelo de vestido do tipo i. 
\(A = \begin{pmatrix} 5 & 0 & 2\\ 0 & 1 & 3 \\ 4 & 2 & 1 \end{pmatrix}\) 
Qual é a quantidade total de unidades do material 3 que será 
empregada para fabricar três vestidos do tipo 2? 
 
 
 
12 
 
 
20 
 
 
6 
 
 
9 
 
 
18 
 
 
 
Explicação: 
Nesse caso, podemos considerar que as linhas da matriz representam o tipo e as colunas o material. 
Assim, como deseja-se saber a quantidade do material 3 para fabricar o vestido do tipo 2, podemos 
acessar a linha 2 e com a coluna 3. 
A2,3 = 9. 
 
 
 
 
 
 
 
5. 
 
 
Dado que a A é uma matriz 2 x 2 e B é uma matriz 2 x 1, então o produto A . 
B = C é uma matriz do tipo: 
 
 
1 x 2 
 
 
4 x 2 
 
 
2 x 2 
 
 
2 x 4 
 
 
2 x 1 
 
 
 
Explicação: 
Para efetuar um produto entre a matriz A e a matriz B, devemos ter o número de colunas (p) da matriz A 
igual ao número de linhas (p) da matriz B. 
Am,p . Bp,n = Cm.n 
Temos no exercício que A . B = C => A2,2 . B 2,1 = C2,1. 
C é uma matriz 2 por 1 (2 x 1). 
 
 
 
 
 
 
6. 
 
 
Seja A uma matriz 2x4 e B uma matriz 4x3, então o produto A.B = 
C é uma matriz do tipo: 
 
 
1 x 1 
 
 
3 x 3 
 
 
2 x 3 
 
 
4 x 3 
 
 
4 x 2 
 
 
 
Explicação: 
A fim de efetuar o produto entre a matriz A e a matriz B, devemos ter o número de 
colunas da matriz A igual ao número de linhas da matriz B. 
No caso A possui 4 colunas e B possui 4 linhas! 
A matriz resultante terá o número de linhas de A (2 linhas) e o número de colunas de B 
(3 colunas), ou seja, a matriz resultante C é uma matriz 2 por 3 (2 x 3). 
 
 
 
 
 
 
7. 
 
 
Seja A uma matriz 2x3 e B uma matriz 3x3, então o produto A.B = 
C é uma matriz do tipo: 
 
 
2 x 3 
 
 
3 x 3 
 
 
1 x 1 
 
 
3 x 1 
 
 
1 x 3 
 
 
 
Explicação: 
A fim de efetuar o produto entre a matriz A e a matriz B, devemos ter o número de 
colunas da matriz A igual ao número de linhas da matriz B. 
No caso A possui 3 colunas e B possui 3 linhas! 
A matriz resultante terá o número de linhas de A (2 linhas) e o número de colunas de B 
(3 colunas), ou seja, a matriz resultante C é uma matriz 2 por 3 (2 x 3). 
 
 
 
 
 
 
8. 
 
 
Se A é uma matriz 2x3 e B é uma matriz 3x1, então o produto AB = C é uma matriz 
 
 
 
3x3 , porém, nula 
 
 
3x3 
 
 
2x1 
 
 
1x2 
 
 
1x3 
 
 
 
Explicação: 
Nessa questão podemos aplicar o seguinte entendimento: 
Para efetuar um produto entre a matriz A e a matriz B, devemos ter o número de colunas(p) da matriz A = 
ao número de linhas(p) da matriz B. 
Am,p . Bp,n = Cm.n Assim, temos p = p. 
Na questão apresentada temos AB = C => A2,3 . B 3,1 = C2,1. 
Conclusão, a matriz C é uma matriz 2 por 1 (2 x 1). 
 
1. 
 
 
O valor de um determinante é 12. Se dividirmos a 1ª linha por 6 e multiplicarmos a 3ª coluna por 4, o 
novo determinante valerá: 
 
 
48 
 
 
24 
 
 
36 
 
 
8 
 
 
18 
 
 
 
Explicação: 
Quando se multiplica (ou se divide) uma fila de um determinante por um número, o novo determinante fica 
multiplicado (ou dividido) por esse número. 
No caso temos: 
12 / 6 . 4 = 8 
 
 
 
 
 
 
2. 
 
 
Chama-se de traço de uma matriz quadrada X e representa-se por tr(X) a soma 
dos elementos da sua diagonal principal. Sendo A = [aij] uma matriz quadrada de 
ordem par onde aij=1 se i é par ou aij=-1 se i é ímpar. Determine tr(3A). 
 
 
2 
 
 
1 
 
 
4 
 
 
3 
 
 
0 
 
 
 
Explicação: 
Definimos o traço de uma matriz quadrada A como sendo a soma dos elementos da diagonal principal. 
Com base no enunciado podemos montar a seguinte matriz A: 
 \(\begin{bmatrix} \ a_{1,1} & a_{1,2} \\ a_{2,1} & a_{2,2} \end{bmatrix} \) = \(\begin{bmatrix} \ -1 
& -1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} \) 
 Tr (3A) = 3 . \(\begin{bmatrix} \ -1 & -1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} \) => \(\begin{bmatrix} \ -3 & -3 \\ 3 
& 3 \end{bmatrix} \) => -3 + 3 = 0. 
Conclusão, o tr(3A) = 0. 
 
 
 
 
 
 
3. 
 
 
Dado que a A é uma matriz 2 x 4 e B é uma matriz 4 x 1, então o produto A . 
B = C é uma matriz do tipo: 
 
 
4 x 1 
 
 
2 x 1 
 
 
2 x 2 
 
 
2 x 4 
 
 
4 x 4 
 
 
 
Explicação: 
Para efetuar um produto entre a matriz A e a matriz B, devemos ter o número de colunas (p) da matriz A 
igual ao número de linhas (p) da matriz B. 
Am,p . Bp,n = Cm.n 
Temos no exercício que A . B = C => A2,4 . B 4,1 = C2,1. 
C é uma matriz 2 por 1 (2 x 1).4. 
 
 
Determine os valores de x, y de forma que a igualdade se verifique [x2x-1y-2y2-
3]=I 
 
 
x=0 e y=0 
 
 
x=2 e y=1 
 
 
x=1 e y=2 
 
 
x=1 e y=1 
 
 
x=2 e y=2 
 
 
 
Explicação: 
Vamos igualar os elementos da matriz em tela aos elementos correspondentes da matriz identidade! 
x2 = 1 
y2 - 3 = 1 
x - 1 = 0 
y - 2 = 0 
Temos então que x = 1 e y = 2 
 
 
 
 
 
 
5. 
 
 
Seja A uma matriz 3x3 e B uma matriz 3x1, então o produto A.B = 
C é uma matriz do tipo: 
 
 
3 x 4 
 
 
3 x 1 
 
 
1 x 1 
 
 
3 x 3 
 
 
1 x 4 
 
 
 
Explicação: 
A fim de efetuar o produto entre a matriz A e a matriz B, devemos ter o número de 
colunas da matriz A igual ao número de linhas da matriz B. 
No caso A possui 3 colunas e B possui 3 linhas! 
A matriz resultante terá o número de linhas de A (3 linhas) e o número de colunas de B 
(1 coluna), ou seja, a matriz resultante C é uma matriz 3 por 1 (3 x 1). 
 
 
 
 
 
 
6. 
 
 
Considere a matriz: A= [1122-13012] 
Determine a soma dos elementos da diagonal principal desta matriz. 
 
 
0 
 
 
4 
 
 
1 
 
 
2 
 
 
-2 
 
 
 
Explicação: 
A diagonal principal é formada pelos elementos da matriz quadrada onde o índice da linha é igual ao índice 
da coluna (i = j). 
Neste caso temos: 
a11 = 1 
a22 = -1 
a33 = 2 
Para a soma temos: 1 + (-1) + 2 = 2 
 
 
 
 
 
 
7. 
 
 
Uma matriz de ordem 3 x 5 apresenta número de elementos igual a : 
 
 
 
15 
 
 
10 
 
 
12 
 
 
8 
 
 
20 
 
 
 
Explicação: 
Uma matriz com 3 linhas e 5 colunas possui 3 x 5 = 15 elementos 
 
 
 
 
 
 
8. 
 
 
Qual alternativa abaixo representa uma matriz antissimétrica de A = \(\begin{bmatrix} \ 
0 & 1 & -1\\ -1 &0 & 2\\ 1 &-2 & 0\end{bmatrix} \)? 
 
 
\(\begin{bmatrix} \ 0 & 1 & -1\\ -1 &0 & 2\\ 1 &-2 & 0\end{bmatrix} \) 
 
 
\(\begin{bmatrix} \ 0 & 1 & 1\\ 1 &0 & 2\\ 1 &2 & 0\end{bmatrix} \) 
 
 
\(\begin{bmatrix} \ 0 \end{bmatrix} \) 
 
 
\(\begin{bmatrix} \ 1 & 0 & 0\\ 0 &1 & 0\\ 0 &0 & 1\end{bmatrix} \) 
 
 
\(\begin{bmatrix} \ 0 & 1 & 1\\ 1 &0 & 1\\ 1 &1 & 0\end{bmatrix} \) 
 
 
 
Explicação: 
A matriz é antissimétrica é igual a sua transposta com sinal trocado, ou seja,A = -At. 
Assim, se A = \(\begin{bmatrix} \ 0 & 1 & -1\\ -1 &0 & 2\\ 1 &-2 & 0\end{bmatrix} \), podemos escrever a sua 
transposta At = \(\begin{bmatrix} \ 0 & -1 & 1\\ 1 &0 & -2\\ -1 &2 & 0\end{bmatrix} \). Logo, a antissimétrica será -
At = \(\begin{bmatrix} \ 0 & 1 & -1\\ -1 &0 & 2\\ 1 &-2 & 0\end{bmatrix} \). 
 
Conclusão, a matriz antissimétrica de A= \(\begin{bmatrix} \ 0 & 1 & -1\\ -1 &0 & 2\\ 1 &-2 & 0\end{bmatrix} \) é -
At = \(\begin{bmatrix} \ 0 & 1 & -1\\ -1 &0 & 2\\ 1 &-2 & 0\end{bmatrix} \). 
 
1. 
 
 
Se B é a matriz inversa de A, então sobre o produto AxB é correto afirmar que 
 
 
 
gera uma matriz nula 
 
 
gera uma matriz triangular superior 
 
 
gera a transposta de A 
 
 
gera uma matriz identidade de mesma ordem de A 
 
 
gera a própria matriz A 
 
 
 
Explicação: 
Se B é a matriz inversa de A, então sobre o produto AxB é correto afirmar que 
A*B = B*A = In 
Onde In é a matriz identidade de ordem n. 
 
 
 
 
 
 
2. 
 
 
Considere a matriz A = \(\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \\ 
\end{pmatrix} X=\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \\ 
\end{pmatrix}.\) 
Determe uma matriz X de ordem 2 de modo que AX = I2. 
 
 
[1-1-52] 
 
 
[-1-1-1-2] 
 
 
[1-1-14] 
 
 
[1-1-12] 
 
 
[3-1-12] 
 
 
 
Explicação: 
 
A = \(\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \\ \end{pmatrix} X= \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \\ 
\end{pmatrix} \) 
AX = I2 
\(\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \\ \end{pmatrix} . \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \\ \end{pmatrix} = 
\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{pmatrix} . \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{pmatrix} \) 
\(\begin{pmatrix} 2a + c & 2b+d \\ a+c & b+d \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ 
\end{pmatrix} \) 
Agora, nós resolvemos uma parte da segunda equação(c=-a), depois a resolvemos a primeira 
equação(a=1) e finalizamos a solução da segunda equação(c=-1). 
1)2a+c=1............ 2a+(-a)=1 => a=1 
2)a+c=0 => c=-a.................................. c=-1 
Por fim, nós resolvemos uma parte da terceira equação(d=-2b), depois a resolvemos a quarta 
equação(b=-1) e finalizamos a solução da terceira equação(d=2). 
3)2b+d=0 => d=-2b.............................................. d=-2(-1)=> d=2 
4)b+d=1...................b+(-2b) = 1 => -b=1 => b=-1 
 
Conclusão: 
\(\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 2 \\ \end{pmatrix}\) 
 
 
 
 
 
 
3. 
 
 
Considere que o valor de um determinante é 36. Se dividirmos a 2ª 
linha por 6 e multiplicarmos a 1ª coluna por 4, o novo determinante 
valerá: 
 
 
36 
 
 
4 
 
 
6 
 
 
24 
 
 
144 
 
 
 
Explicação: 
Quando se multiplica (ou se divide) uma fila de um determinante por um número, o novo 
determinante fica multiplicado (ou dividido) por esse número. 
No caso temos: 
(36 / 6) . 4 = 24 
 
 
 
 
 
 
4. 
 
Complete a afirmativa, abaixo, com 
a alternativa correta: 
 
 Uma matriz A , n x n, é invertível se, e 
somente se, ... 
 
 
 
A é uma matriz diagonal 
 
 
det(A) ≠ 0 
 
 
det(A) = 1 
 
 
A possui pelo menos duas linhas múltiplas uma da 
outra 
 
 
A é singular 
 
 
 
Explicação: 
Regra prática - caso o determinante dê igual a zero, não existe matriz inversa. 
 
 
Gabarito Coment. 
 
 
 
 
 
5. 
 
 
Determine a matriz dos cofatores da matriz A= \(\begin{bmatrix} \ 2 & 1 \\ 1 &1 
\end{bmatrix} \). 
 
 
\(\begin{bmatrix} \ 1 & -1 \\ -1 &2 \end{bmatrix} \) 
 
 
\(\begin{bmatrix} \ 0 & 1 \\ 1 &0 \end{bmatrix} \) 
 
 
\(\begin{bmatrix} \ 1 \end{bmatrix} \) 
 
 
\(\begin{bmatrix} \ 1 & 0 \\ 0 &1 \end{bmatrix} \) 
 
 
\(\begin{bmatrix} \ 2 & 1 \\ 1 &1 \end{bmatrix} \) 
 
 
 
Explicação: 
Solução: 
A = \(\begin{bmatrix} \ 2 & 1 \\ 1 &1 \end{bmatrix} \) 
O cofator de uma matriz é Aij = (-1)i+j . Di,j. Onde Di,j é o menor complementar. O seu deteminante é 
obtido eliminando a linha i e a coluna j. 
A11 = (-1)1+1 . D1,1 = 1 . 1 = 1. 
A12 = (-1)1+2 . D1,2 = -1 . 1 = -1. 
A21 = (-1)2+1 . D2,1 = -1 . 1 = -1. 
A22 = (-1)2+2 . D2,2 = 1 . 2 = 2. 
Conclusão, o cofator da matriz A= \(\begin{bmatrix} \ 2 & 1 \\ 1 &1 
\end{bmatrix} \) é a matriz \(\begin{bmatrix} \ 1 & -1 \\ -1 &2 
\end{bmatrix} \). 
 
 
 
 
 
 
6. 
 
 
Considere que o valor de um determinante é 18. Se dividirmos a 1ª 
linha por 6 e multiplicarmos a 3ª coluna por 4, o novo determinante 
valerá: 
 
 
12 
 
 
27 
 
 
24 
 
 
18 
 
 
3 
 
 
 
Explicação: 
Quando se multiplica (ou se divide) uma fila de um determinante por um número, o novo 
determinante fica multiplicado (ou dividido) por esse número. 
No caso temos: 
(18 / 6) . 4 = 12 
 
 
 
 
 
 
7. 
 
 
Dada a matriz A = \(\begin{pmatrix} 4& 2 \\ 7& 6\ \end{pmatrix} \) , calcule a 
sua INVERSA. 
 
 
\(\begin{pmatrix}3/5& -1/5 \\ -7/10& 2/5\ \end{pmatrix} \) 
 
 
\(\begin{pmatrix} 1& 0 \\ 0& 1\ \end{pmatrix} \) 
 
 
\(\begin{pmatrix} 1\ \end{pmatrix} \) 
 
 
\(\begin{pmatrix} 6& 2 \\ 7& 4\ \end{pmatrix} \) 
 
 
\(\begin{pmatrix} 4& 2 \\ 7& 6\ \end{pmatrix} \) 
 
 
 
Explicação:Solução: 
A inversa da matriz A = \(\begin{pmatrix} 4& 2 \\ 7& 6\ \end{pmatrix} \), pode ser calculada a partir da 
fórmula A-1 = \(1 \over det(A)\) . \(\begin{pmatrix} d& -b \\ -c& a\ \end{pmatrix} \). 
det(A) = diagonal principal - diagonal secundária = (4.6) - (7.2) = 24 - 14 =10. 
A-1 = \(1 \over 10\) . \(\begin{pmatrix} 6& -2 \\ -7& 4\ \end{pmatrix} \) = \(\begin{pmatrix}6/10& -
2/10 \\ -7/10& 4/10\ \end{pmatrix} \) = \(\begin{pmatrix}3/5& -1/5 \\ -7/10& 2/5\ \end{pmatrix} \) 
Concluão: 
A inversa da matriz A = \(\begin{pmatrix} 4& 2 \\ 7& 6\ \end{pmatrix} \) é a matriz A-
1 = \(\begin{pmatrix}3/5& -1/5 \\ -7/10& 2/5\ \end{pmatrix} \). 
 
 
 
 
 
 
8. 
 
 
Considere que o valor de um determinante é 6. Se dividirmos a 1ª 
linha por 6 e multiplicarmos a 3ª coluna por 4, o novo determinante 
valerá: 
 
 
6 
 
 
12 
 
 
1 
 
 
24 
 
 
4 
 
 
 
Explicação: 
Quando se multiplica (ou se divide) uma fila de um determinante por um número, o novo 
determinante fica multiplicado (ou dividido) por esse número. 
No caso temos: 
(6 / 6) . 4 = 4 
 
1. 
 
 
Dada a matriz A = \(\begin{pmatrix} 2& 1 \\ 1& 0\ \end{pmatrix} \) , calcule a sua INVERSA. 
 
 
 
\(\begin{pmatrix} 0& 1 \\ 1& 2\ \end{pmatrix} \) 
 
 
\(\begin{pmatrix}1& 0 \\ 0& 1\ \end{pmatrix} \) 
 
 
\(\begin{pmatrix} 2& 1 \\ 1& 0\ \end{pmatrix} \) 
 
 
\(\begin{pmatrix}0& 1 \\ 1& -2\ \end{pmatrix} \) 
 
 
\(\begin{pmatrix} 1\ \end{pmatrix} \) 
 
 
 
Explicação: 
Solução: 
A inversa da matriz A = \(\begin{pmatrix} 2& 1 \\ 1& 0\ \end{pmatrix} \), pode ser calculada a partir da 
fórmula A-1 = \(1 \over det(A)\) . \(\begin{pmatrix} d& -b \\ -c& a\ \end{pmatrix} \). 
det(A) = diagonal principal - diagonal secundária = (2.0) - (1.1) = 0 - 1 = -1. 
A-1 = \(1 \over -1\) . \(\begin{pmatrix} 0& -1 \\ -1& 2\ \end{pmatrix} \) = \(\begin{pmatrix}0& 1 \\ 1& 
-2\ \end{pmatrix} \) 
Concluão: 
A inversa da matriz A = \(\begin{pmatrix} 2& 1 \\ 1& 0\ \end{pmatrix} \) é a matriz A-
1 = \(\begin{pmatrix}0& 1 \\ 1& -2\ \end{pmatrix} \). 
 
 
 
 
 
 
2. 
 
 
Determine o volume do paralelepípedo que tem um vértice na origem e os vértices 
adjacentes nos pontos (1, 0, -2), (1, 2, 4) e (7, 1, 0) 
 
 
22 
 
 
26 
 
 
30 
 
 
24 
 
 
28 
 
 
 
Explicação: 
Determiante = [10-2101241271071] = 22 
 
 
 
 
 
 
3. 
 
 
Determine a inversa da matriz A =[121112101] 
 
 
 
 A =[12-132120-12-121-12] 
 
 
 A =[1-211012-11] 
 
 
 A =[-1-2-1-1-1-2-10-1] 
 
 
 A =[121321201212-112] 
 
 
 A =[1-12213121] 
 
 
 
Explicação: 
A-1 = 1 / det A . Adj (A) 
Adj (A) é a transposta da matriz de cofatores! 
det A = 2 
Matriz de cofatores: 
cofator do elemento 
a11 = (-1)1+1 . det [1201] = 1 
a12 = (-1)1+2 . det [1211] = 1 
a13 = (-1)1+3 . det [1110] = -1 
a21 = (-1)2+1 . det [2101] = - 2 
a22 = (-1)2+2 . det [1111] = 0 
a23 = (-1)2+3 . det [1210] = 2 
a31 = (-1)1+3 .det [2112] = 3 
a32 = (-1)2+3 . det [1112] = - 1 
a33 = (-1)3+3 . det [[1,2],[1,1] = -1 
Matriz de cofatores : [11-1-2023-1-1] Adj da matriz de cofatores: [1-2310-1-12-1] A-1 = 1/2 
. [1-2310-1-12-1] 
A-1 = [12-132120-12-121-12] 
 
 
 
 
 
 
4. 
 
 
Determine a matriz inversa da matriz 
quadrada A de ordem 2. 
 
\(\begin{bmatrix} \ 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} \) 
 
 
 
\(\begin{bmatrix} \ -1 & -2 \\ -1/2& -1/2 \end{bmatrix} \) 
 
 
\(\begin{bmatrix} -2 & 0\\ 0& -2 \end{bmatrix} \) 
 
 
\(\begin{bmatrix} \ 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} \) 
 
 
\(\begin{bmatrix} \ 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \) 
 
 
\(\begin{bmatrix} \ -1 & -1 \\ -1/2& -1/2 \end{bmatrix} \) 
 
 
 
Explicação: 
Para determinar a matriz inversa de uma matriz quadrada A 
de ordem n, basta descobrir uma matriz B tal que a 
multiplicação entre elas tenha como resultado uma matriz 
identidade de ordem n. 
 
A*B = B*A = In 
\(\begin{bmatrix} \ 1 & -4 \\ -1 & 2 \end{bmatrix} \) * \(\begin{bmatrix} \ a & b\\ c & d 
\end{bmatrix} \) = \(\begin{bmatrix} \ 1 & 0 \\ 0& 1 \end{bmatrix} \) 
 
\(\begin{bmatrix} \ a-4c & b-4d \\ -a+2c& -b+2d \end{bmatrix} \) = \(\begin{bmatrix} \ 1 & 0 \\ 0& 1 
\end{bmatrix} \) 
Equação 1: 
\( \begin{cases} a - 4c = 1 \\ -a + 2c = 0 \end{cases} \) 
----------------------- 
 -2c = 1 => c = -1/2. Logo, -a + 2c = 0 => -a + 2(-1/2) = 0 => -a -1 = 0 => a = -1. 
Equação 2: 
\( \begin{cases} b - 4d = 0 \\ -b + 2d = 1 \end{cases} \) 
--------------------- 
 -2d = 1 => d = -1/2. Logo, b - 4d = 0 => b = 4d => b = 4(-1/2) => b = -2. 
 
Conclusão: 
A inversa da matriz A= \(\begin{bmatrix} \ 1 & -4 \\ -1 & 2 
\end{bmatrix} \) é \(\begin{bmatrix} \ -1 & -2 \\ -1/2& -1/2 \end{bmatrix} \) . 
 
 
 
 
 
 
5. 
 
 
Quais são os valores de x e y para que: 
 
(2x-y83x+y)=(5831) 
 
 
 
2 e 1. 
 
 
-1 e 2. 
 
 
2 e -1. 
 
 
-2 e 1. 
 
 
-1 e -2. 
 
 
 
Explicação: 
2x - y = 5 
x + y = 1 
3x = 6 
x = 2 
Temos então que: 
2 + y = 1 
y = 1 - 2 = -1 
 
 
 
 
 
 
6. 
 
 
Considere que o valor de um determinante é 24. Se dividirmos a 3ª 
linha por 6 e multiplicarmos a 3ª coluna por 4, o novo determinante 
valerá: 
 
 
 
96 
 
 
4 
 
 
12 
 
 
24 
 
 
16 
 
 
 
Explicação: 
Quando se multiplica (ou se divide) uma fila de um determinante por um número, o novo 
determinante fica multiplicado (ou dividido) por esse número. 
No caso temos: 
(24 / 6) . 4 = 16 
 
 
 
 
 
 
7. 
 
 
Se A é uma matriz (2x2) e det(A) = D, então o determinante da matriz 2A será 
 
 
 
2D 
 
 
5D 
 
 
4D 
 
 
D 
 
 
3D 
 
 
 
Explicação: 
Quando multiplicamos um número real K por uma matriz A do tipo m x n, encontramos para resultado uma 
matriz do tipo m x n, que representaremos por KA, obtida multiplicando K por cada elemento da 
matriz A. 
Como k= 2 o det (A) passa a ser igual a 4D 
 
 
 
 
 
 
8. 
 
 
Dada a matriz A = \(\begin{pmatrix} 3& 2 \\ 2& 2\ \end{pmatrix} \) , calcule a 
sua INVERSA. 
 
 
\(\begin{pmatrix}1& -1 \\ -1& 3/2\ \end{pmatrix} \) 
 
 
\(\begin{pmatrix} 1& 0 \\ 0& 1\ \end{pmatrix} \) 
 
 
\(\begin{pmatrix} 1\ \end{pmatrix} \) 
 
 
\(\begin{pmatrix}1& 1 \\ 1& 3/2\ \end{pmatrix} \) 
 
 
\(\begin{pmatrix} 3& 2 \\ 2& 2\ \end{pmatrix} \) 
 
 
 
Explicação: 
Solução: 
A inversa da matriz A = \(\begin{pmatrix} 3& 2 \\ 2& 2\ \end{pmatrix} \), pode ser calculada a partir da 
fórmula A-1 = \(1 \over det(A)\) . \(\begin{pmatrix} d& -b \\ -c& a\ \end{pmatrix} \). 
det(A) = diagonal principal - diagonal secundária = (3.2) - (2.2) = 6 - 4 =2. 
A-1 = \(1 \over 2\) . \(\begin{pmatrix} 2& -2 \\ -2&3\ \end{pmatrix} \) = \(\begin{pmatrix}2/2& -2/2 \\ -
2/2& 3/2\ \end{pmatrix} \) = \(\begin{pmatrix}1& -1 \\ -1& 3/2\ \end{pmatrix} \) 
Concluão: 
A inversa da matriz A = \(\begin{pmatrix} 3& 2 \\ 2& 2\ \end{pmatrix} \) é a matriz A-
1 = \(\begin{pmatrix}1& -1 \\ -1& 3/2\ \end{pmatrix} \). 
 
1. 
 
 
As matrizes A, B e C são tais que a operação A x B + C é possível, gerando como resultado uma 
matriz D(3x4). Com base nessas informações é CORRETO afirmar que: 
 
 
B e C possuem a mesma quantidade de linhas. 
 
 
A e B são matrizes quadradas. 
 
 
C é uma matriz com 5 linhas. 
 
 
A possui 3 linhas e B 4 colunas. 
 
 
A e C possuem a mesma quantidade de colunas. 
 
 
 
Explicação: 
Regra para o produto:Só podemos multiplicar duas matrizes quando o número de colunas da primeira matriz for igual ao número 
de linhas da segunda matriz. A matriz produto terá o número de linhas da primeira matriz e o número 
de colunas da segunda matriz. 
Como regra para a soma temos: 
Chamamos de soma das matrizes A e B do mesmo tipo m x n, a matriz do tipo m x n, cujos elementos são 
obtidos a partir da soma dos elementos correspondentes de A e B. 
Devemos atentar para o fato de as matrizes A e B serem do mesmo tipo pois, se forem de tipos 
diferentes, a operação não será definida. 
Como a matriz resultado e do tipo 3 x 4 então podemos afirmar que o número de linhas de A é 3 e 
que o número de colunas de C é 4. 
 
 
 
 
 
 
 
2. 
 
 
Dada a matriz A = \(\begin{pmatrix} 1& 1 \\ 1& 2\ \end{pmatrix} \) , calcule a 
sua INVERSA. 
 
 
\(\begin{pmatrix} 2& -1 \\ -1& 1\ \end{pmatrix} \) 
 
 
\(\begin{pmatrix} 1& 1 \\ 1& 2\ \end{pmatrix} \) 
 
 
\(\begin{pmatrix} 1& 0 \\ 0& 1\ \end{pmatrix} \) 
 
 
\(\begin{pmatrix} 2& 1 \\ 1& 1\ \end{pmatrix} \) 
 
 
\(\begin{pmatrix} 1\ \end{pmatrix} \) 
 
 
 
Explicação: 
Solução: 
A inversa da matriz A = \(\begin{pmatrix} 1& 1 \\ 1& 2\ \end{pmatrix} \), pode ser calculada a partir da 
fórmula A
-1 = \(1 \over det(A)\) . \(\begin{pmatrix} d& -b \\ -
c& a\ \end{pmatrix} \). 
det(A) = diagonal principal - diagonal secundária = (2.1) - (1.1) = 2 - 1 = 1. 
A
-1 = \(1 \over 1\) . \(\begin{pmatrix} 2& -1 \\ -1& 1\ 
\end{pmatrix} \) = \(\begin{pmatrix} 2& -1 \\ -1& 1\ 
\end{pmatrix} \). 
Concluão: 
A inversa da matriz A = \(\begin{pmatrix} 1& 1 \\ 1& 2\ \end{pmatrix} \) é a matriz A
-
1 = \(\begin{pmatrix} 2& -1 \\ -1& 1\ 
\end{pmatrix} \). 
 
 
 
 
 
 
 
3. 
 
 
Qual é a matriz X tal que: 
 
`((5,1),(4,1)).x = ((9),(7))` 
 
 
`X = ((2),(1))` 
 
 
`X = ((-1),(2))` 
 
 
`X = ((-2),(-1))` 
 
 
`X = ((-2),(1))` 
 
 
`X = ((2),(-1))` 
 
 
 
Explicação: 
Só podemos multiplicar duas matrizes quando o número de colunas da primeira matriz for igual ao número 
de linhas da segunda matriz. 
A matriz produto terá o número de linhas da primeira matriz e o número de colunas da segunda matriz. 
No caso temos uma matriz 2x2 e a matriz produto 2x1 o que nos leva a concluir que a matriz x é do tipo 
2x1, que hipoteticamente tem os elementos X1 e X2. 
Neste caso temos então que: 
5X1 + X2 = 9 
4X1 + X2 = 7 
Resolvendo o sistema X1 = 2 e X2 = -1 
 
 
 
 
 
 
4. 
 
 
A regra de Cramer é um procedimento empregado na solução de equações 
lineares, com uso de determinantes. Existe o determinante principal, e os 
determinantes designados por Nx, Ny e Nz. Um sistema de equações lineares é 
representado como: { 6x + 2y - 3z = 1} { x - y + z = 2 } { 2x + 2y - z = 3 } Os 
determinantes D, Nx, Ny e Nz para a equação acima têm valores de, 
respectivamente: 
 
 
-15, -45, -50 e -44 
 
 
-12, -12, -24 e -36 
 
 
11, 13, 29 e 31 
 
 
-11, -13, -29 e -31 
 
 
15, 45, 50 e 44 
 
 
 
Explicação: 
Ao resolvermos um sistema linear de n equações e n incógnitas para a sua resolução devemos calcular o 
determinante (D) da equação incompleta do sistema e depois substituirmos os termos independentes em 
cada coluna e calcular os seus respectivos determinantes. 
D = `[[6, 2, -3, 6, 2], [1, -1, 1, 1, -1], [2, 2, -1, 2, 2]]`= -12 
Nx = `[[1, 2, -3, 1, 2], [2, -1, 1, 2, -1], [3, 2, -1, 3, 2]]`= -12 
Ny= `[[6, 1, -3, 6, 1], [1, 2, 1, 1, 2], [2, 3, -1, 2, 3]]`= -24 
Nz=`[[6, 2, 1, 6, 2], [1, -1, 2, 1, -1], [2, 2, 3, 2, 2]]`= -36 
 
 
 
 
 
 
 
5. 
 
 
Dada a matriz A = \(\begin{pmatrix} 2& 1 \\ 1& 3\ \end{pmatrix} \), calcule a 
sua INVERSA. 
 
 
\(\begin{pmatrix} 2& -1 \\ -1& 3\ \end{pmatrix} \) 
 
 
\(\begin{pmatrix}3/5& -1/5 \\ -1/5& 2/5\ \end{pmatrix} \) 
 
 
\(\begin{pmatrix}1\ \end{pmatrix} \) 
 
 
\(\begin{pmatrix} 3& 1 \\ 1& 2\ \end{pmatrix} \) 
 
 
\(\begin{pmatrix} 2& 1 \\ 1& 3\ \end{pmatrix} \) 
 
 
 
Explicação: 
Solução: 
A inversa da matriz A = \(\begin{pmatrix} 2& 1 \\ 1& 3\ \end{pmatrix} \) , pode ser calculada a partir da 
fórmula A-1 = \(1 \over det(A)\) . \(\begin{pmatrix} d& -b \\ -c& a\ \end{pmatrix} \). 
det(A) = diagonal principal - diagonal secundária = (2.3) - (1.1) = 6 - 1 =5. 
A-1 = \(1 \over 5\) . \(\begin{pmatrix} 3& -1 \\ -1& 2\ \end{pmatrix} \) = \(\begin{pmatrix}3/5& -1/5 \\ 
-1/5& 2/5\ \end{pmatrix} \) . 
Concluão: 
A inversa da matriz A = \(\begin{pmatrix} 2& 1 \\ 1& 3\ \end{pmatrix} \) é a matriz A-
1 = \(\begin{pmatrix}3/5& -1/5 \\ -1/5& 2/5\ \end{pmatrix} \). 
 
 
 
 
 
 
6. 
 
 
As matrizes A=`[[1,m],[1,3]]` e B=`[[p,-2],[-1,1]]` são inversas. Calcule os 
valores de m e p. 
 
 
m=2 e p=1 
 
 
m=3 e p=2 
 
 
m=3 e p=1 
 
 
m=1 e p=2 
 
 
m=2 e p=3 
 
 
 
Explicação: 
Seja A uma matriz quadrada de ordem n, e X uma matriz tal que A.X = In e X.A = In. Caso isso ocorra, 
denominamos a matriz X de matriz inversa de A, tendo como notação A(-1). 
Como temos como resultante do produto a matriz identidade podemos então estabelecer que: 
1 . (-2) + m . 1 = 0 que nos leva a m = 2 
1 . p + 3 . (-1) = 0 que nos leva a p = 3 
 
 
 
 
 
 
 
7. 
 
 
Se A é uma matriz cujo det(A) é não nulo e B é uma matriz tal que AxB = I, sendo 
I a matriz identidade de mesma ordem de A, então é correto afirmar que: 
 
 
B + A = 0, sendo 0 a matriz nula de mesma ordem 
 
 
A = B 
 
 
B é a inversa de A 
 
 
A = B/2 
 
 
B é a transposta de A 
 
 
 
Explicação: 
Seja A uma matriz quadrada de ordem n, e X uma matriz tal que A.X = In e X.A = In (onde In é a 
matriz identidade). Caso isso ocorra, denominamos a matriz X de matriz inversa de A, tendo como notação 
A(-1). 
Dada a matriz quadrada A, existe A-1 se, e somente se, det A ≠ 0 
 
 
 
 
 
 
8. 
 
 
Se A, B e C são matrizes do tipo 2x3, 3x1 e 1x4, respectivamente, então o produto 
A . B . C 
 
 
Não é definido 
 
 
É matriz do tipo 4x3 
 
 
É matriz do tipo 3x4 
 
 
É matriz do tipo 2x4 
 
 
É matriz do tipo 4x2 
 
 
 
Explicação: 
Para o produto A . B temos 2 x 3 . 3 x 1 = 2 x 1 
Para o produto 2 x 1 . 1 x 4 = 2 x 4 
 
1. 
 
 
Sejam as matrizes quadradas A e B de ordem n. Sabendo-se que ambas matrizes admitem inversa, 
encontre a matriz X, de ordem n, tal que A.X= B 
 
 
X=B. A-1 
 
 
X=A.B 
 
 
X=A-1.B 
 
 
X=B / A 
 
 
X=B-1.A 
 
 
 
Explicação: 
A.X= B 
Multiplicando ¿pela esquerda por A-1 
A-1A.X= A-1.B 
Mas, A-1.A = I 
I.X= A-1.B 
X= A-1.B 
 
 
 
 
 
 
2. 
 
 
Seja A =[11232-1-104] uma matriz não singular. 
Sabendo que A-1 = [8-4-5-a672-1b] 
 determine os valores de a e b 
 
 
 
a=-11 e b=1 
 
 
a=13 e b=1 
 
 
a=10 e b=2 
 
 
a=9 e b=3 
 
 
a=11 e b=-1 
 
 
 
Explicação: 
A . A-1 = I 
 
A = \(\begin{bmatrix} \ 1 & 1 & 2 \\ 3 & 2 & -1 \\ -1 & 0 & 4 \end{bmatrix} \) A-1 = \(\begin{bmatrix} 
\ 8 & -4 & -5 \\ -a & 6 & 7 \\ 2 & -1 & b \end{bmatrix} \) I = \(\begin{bmatrix} \ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 
\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \) 
 
\(\begin{bmatrix} \ 1 & 1 & 2 \\ 3 & 2 & -1 \\ -1 & 0 & 4 \end{bmatrix} \) . \(\begin{bmatrix} \ 8 & -4 & 
-5 \\ -a & 6 & 7 \\ 2 & -1 & b \end{bmatrix} \) = \(\begin{bmatrix} \ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 
\end{bmatrix} \) 
 
Para determinar "a" podemos multiplicar a primeira linha da primeira matriz com a primeira coluna da 
segundamatriz. 
(1.8) + (1.-a) + (2.2) = 1 => 8 -a + 4 = 1 => -a = 1 - 8 - 4 => -a = -11 => a = 11 
Para determinar "b" podemos multiplicar a primeira linha da primeira matriz com a terceira coluna da 
segunda matriz. 
(1.-5) + (1.7) + (2.b) = 0 => -5 + 7 + 2b = 0 => 2 + 2b = 0 => 2b = - 2 => b = -1 
 
 
 
 
 
 
3. 
 
 
Prove que a matriz A=\(\begin{bmatrix} \ 2 & 1 \\ 1 &1 \end{bmatrix} \)é 
inversível, através do seu determinante. 
 
 
 
-2 
 
 
0 
 
 
2 
 
 
-1 
 
 
1 
 
 
 
Explicação: 
Solução: 
De modo geral uma matriz quadrada de ordem n é inversível se, e somente se,o seu detereminanete for 
diferente de zero. 
A= \(\begin{bmatrix} \ 2 & 1 \\ 1 &1 \end{bmatrix} \) 
det A = (2.1) - (1.1) = 1. 
Conclusão, a matriz A=\(\begin{bmatrix} \ 2 & 1 \\ 1 &1 \end{bmatrix} \) é inversível, pois o 
seu determinante é igual a 1(diferente de zero). 
 
 
 
 
 
 
 
4. 
 
 
Dado que a matriz A abaixo é a inversa de uma matriz B, então o det(B) é: 
 
 
 
1/20 
 
 
-1/14 
 
 
8 
 
 
1/8 
 
 
20 
 
 
 
Explicação: 
Utilizando a propriedade: 
det (A-1) = 1 / det A 
det (A-1) = 8 
Logo det A = 1 / 8 
 
 
 
 
 
 
5. 
 
 
A soma de todos os elementos de uma matriz quadrada A de ordem 2 é igual a 
100. Podemos afirmar que a soma de todos os elementos da matriz 2A é igual a : 
 
 
200 
 
 
400 
 
 
100 
 
 
500 
 
 
300 
 
 
 
Explicação: 
Quando multiplicamos um número real K por uma matriz A do tipo m x n, encontramos para resultado uma 
matriz do tipo m x n, que representaremos por KA, obtida multiplicando K por cada elemento da matriz A. 
Dessa forma a soma dos elementos passa a ser 100 . 2 = 200 
 
 
 
 
 
 
6. 
 
 
Podemos afirmar que o produto das matrizes: 
A(3X2) por B(2X3) será: 
 
 
Uma matriz 2X3. 
 
 
Uma matriz quadra de ordem 2 
 
 
Uma matriz 3X2. 
 
 
 Não é possivel fazer o produto de matriz de ordem 
diferente. 
 
 
 Uma matriz quadra de ordem 3 
 
 
 
Explicação: 
 Produto de matriz, o aluno deverá saber que para realizar a 
operação o número de colunas da primeira matriz tem que ser 
igual ao número de linhas da segunda. E a matriz resultante terá o 
número de linha da primeira matriz e a o número de colulna da 
segunda. 
 
 
 
 
 
 
7. 
 
 
 
Determine a matriz dos cofatores da matriz A = \(\begin{bmatrix} \ 4 & 2 \\ 1 & 3 
\end{bmatrix} \). 
 
 
\(\begin{bmatrix} \ 4 & 1 \\ 2 & 3 \end{bmatrix} \) 
 
 
\(\begin{bmatrix} \ 3 & -1 \\ -2 & 4 \end{bmatrix} \) 
 
 
\(\begin{bmatrix} \ 4 & 2 \\ 1 & 3 \end{bmatrix} \) 
 
 
\(\begin{bmatrix} \ 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \) 
 
 
\(\begin{bmatrix} \ 10 \end{bmatrix} \) 
 
 
 
Explicação: 
A = \(\begin{bmatrix} \ 4 & 2 \\ 1 & 3 \end{bmatrix} \) 
O Cofator de uma matriz é Aij = (-1)i+j . Di,j. 
Onde Di,j é o menor complementar. O seu deteminante é obtido eliminando a 
linha i e a coluna j. 
A11 = (-1)1+1 . D1,1 = 1 . 3 = 3. 
A12 = (-1)1+2 . D1,2 = -1 . 1 = -1. 
A21 = (-1)2+1 . D2,1 = -1 . 2 = -2. 
A22 = (-1)2+2 . D2,2 = 1 . 4 = 4. 
Conclusão, o cofator da matriz A= \(\begin{bmatrix} \ 4 & 2 \\ 1 & 3 \end{bmatrix} \) é a matriz \(\begin{bmatrix} \ 3 & -1 \\ 
-2 & 4 \end{bmatrix} \). 
 
 
 
 
 
 
 
8. 
 
 
A soma de todos os elementos da matriz A = (aij)2x2 definida 
por aij = 3 i - j será: 
 
 
12 
 
 
-16 
 
 
-8 
 
 
0 
 
 
9 
 
 
 
Explicação: 
aij = 3i - j 
a11 = 3.1 - 1 = 2 
a12 = 3.1 - 2 = 1 
a21 = 3.2 - 1 = 5 
a22 = 3.2 - 2 = 4 
A soma é igual a 2 + 1 + 5 + 4 = 12 
 
1. 
 
 
Dada a matriz A = \(\begin{bmatrix} \ 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} \) 
determinar uma matriz X de ordem 2 de modo que AX = I2 
 
 
\(\begin{bmatrix} \ 1 & 1 \\ -1 & -2 \end{bmatrix} \) 
 
 
\(\begin{bmatrix} \ 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{bmatrix} \) 
 
 
\(\begin{bmatrix} \ -1 & 1 \\ -1 & -2 \end{bmatrix} \) 
 
 
\(\begin{bmatrix} \ -1 & -1 \\ -1 & -2 \end{bmatrix} \) 
 
 
\(\begin{bmatrix} \ 1 & -1 \\ -1 & 2 \end{bmatrix} \) 
 
 
 
Explicação: 
A= \(\begin{bmatrix} \ 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} \) X = \(\begin{bmatrix} \ a & b \\ c & d 
\end{bmatrix} \) I = \(\begin{bmatrix} \ 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \) 
Ax = I2 
\(\begin{bmatrix} \ 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} \). \(\begin{bmatrix} \ a & b \\ c & d \end{bmatrix} 
\) = \(\begin{bmatrix} \ 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \). \(\begin{bmatrix} \ 1 & 0 \\ 0 & 1 
\end{bmatrix} \) 
Multiplicando teremos: 
\(\begin{bmatrix} \ 2a+a & 2b+d \\ a+a & b+d \end{bmatrix} \) = \(\begin{bmatrix} \ 1 & 0 \\ 0 & 1 
\end{bmatrix} \) 
Assim, podemos montar as equações: 
1)2a + c => 1 +> c = 1 - 2a....................................... c = 1 - 2(1) => c = -1 
2)a + c = 0 .................... a + (1- 2a) = 0 => a = 1 
3)b + d = 1 => d = 1 - b..........................................d = 1 - (-1) => d = 2 
4)2b + d = 0 ................ 2b + (1 - b) = 0 => b = -1 
Dessa forma, a matriz é \(\begin{bmatrix} \ 1 & -1 \\ -1 & 2 \end{bmatrix} \) 
 
 
 
 
 
 
2. 
 
 
Considere duas matrizes diagonais. A soma dessas matrizes sera uma matriz 
 
 
 
Diagonal 
 
 
Lninha 
 
 
Nula 
 
 
Coluna 
 
 
Identidade 
 
 
 
Explicação: 
Considerando que duas matrizes são diagonais então a soma dessas matrizes será uma matriz diagonal. 
Cabe observar que uma matriz diagonal só tem elementos não nulos na diagonal principal! 
 
 
 
 
 
 
3. 
 
 
Considere que o valor de um determinante é 36. Se dividirmos a 1ª 
linha por 6 e multiplicarmos a 3ª coluna por 4, o novo determinante 
valerá: 
 
 
 
12 
 
 
1 
 
 
144 
 
 
36 
 
 
24 
 
 
 
Explicação: 
Quando se multiplica (ou se divide) uma fila de um determinante por um número, o novo 
determinante fica multiplicado (ou dividido) por esse número. 
No caso temos: 
(36 / 6) . 4 = 24 
 
 
 
 
 
 
4. 
 
 
Um aluno deseja fazer uma operação com duas matrizes A e B. A matriz A tem 2 
linhas e 3 colunas e a matriz B tem 3 linhas e 4 colunas. Das operações abaixo, 
qual (is) ele pode realizar? 
 
 
A / B 
 
 
A - B 
 
 
A + B 
 
 
A x B 
 
 
B x A 
 
 
 
Explicação: 
Para que exista o produto A x B, é necessário que o número de colunas de A seja igual ao número de 
linhas de B, o que ocorre. 
 
 
 
 
 
 
5. 
 
 
Prove que a matriz A=\(\begin{bmatrix} \ 4 & 2 \\ 1 &3 \end{bmatrix} \) é 
inversível, através do seu determinante. 
 
 
 
10 
 
 
0 
 
 
1 
 
 
 
-10 
 
 
14 
 
 
 
Explicação: 
Solução: 
De modo geral uma matriz quadrada de ordem n é inversível se, e somente se,o seu detereminanete for 
diferente de zero. 
A= \(\begin{bmatrix} \ 4 & 2 \\ 1 &3 \end{bmatrix} \) 
det A = (4.3) - (1.2) = 10. 
Conclusão, a matriz A=\(\begin{bmatrix} \ 4 & 2 \\ 1 &3 \end{bmatrix} \) é inversível, pois o 
seu determinante é igual a 10(diferente de zero). 
 
 
 
 
 
 
6. 
 
 
Dada a matriz A =\(\begin{pmatrix} 4& 5 \\ -2& 3\ \end{pmatrix} \) , calcule a 
sua INVERSA. 
 
 
 
\(\begin{pmatrix} 4& 5 \\ -2& 3\ \end{pmatrix} \) 
 
 
\(\begin{pmatrix} 3& 5 \\ -2& 4\ \end{pmatrix} \) 
 
 
\(\begin{pmatrix}3/22& -5/22 \\ 1/11& 2/11\ \end{pmatrix} \) 
 
 
\(\begin{pmatrix} 4& -2 \\ 5& 3\ \end{pmatrix} \) 
 
 
\(\begin{pmatrix} 1& 0 \\ 0& 1\ \end{pmatrix}\) 
 
 
 
Explicação: 
Solução: 
A inversa da matriz A = \(\begin{pmatrix} 4& 5 \\ -2& 3\ \end{pmatrix} \) , pode ser calculada a partir da 
fórmula A-1 = \(1 \over det(A)\) . \(\begin{pmatrix} d& -b \\ -c& a\ \end{pmatrix} \). 
det(A) = diagonal principal - diagonal secundária = (4.3) - (-2.5) = 12 - (-10) =22. 
A-1 = \(1 \over 22\) . \(\begin{pmatrix} 3& -5 \\ 2& 4\ \end{pmatrix} \) = \(\begin{pmatrix}3/22& -5/22 
\\ 2/22& 4/22\ \end{pmatrix} \) .= \(\begin{pmatrix}3/22& -5/22 \\ 1/11& 2/11\ \end{pmatrix} \) 
Concluão: 
A inversa da matriz A = \(\begin{pmatrix} 4& 5 \\ -2& 3\ \end{pmatrix} \) é a matriz A-
1 = \(\begin{pmatrix}3/22& -5/22 \\ 1/11& 2/11\ \end{pmatrix} \). 
 
 
 
 
 
 
7. 
 
 
Complete a afirmativa, abaixo, com 
a alternativa correta: 
 Uma matriz A , n x n, é invertível se, e 
somente se, ... 
 
 
 
A é singular 
 
 
A possui pelo menos duas linhas múltiplas uma da 
outra 
 
 
det(A) ≠ 0 
 
 
det(A) = 1 
 
 
A é uma matriz diagonal 
 
 
 
Explicação: 
Regra prática - caso o determinante dê igual a zero, não existe matriz inversa. 
 
 
Gabarito Coment. 
 
 
 
 
 
8. 
 
 
Se B é a matriz inversa de A, então sobre o produto AxB é correto afirmar que 
 
 
 
gera uma matriz nula 
 
 
gera uma matriz identidade de mesma ordem de A 
 
 
gera a transposta de A 
 
 
gera uma matriz triangular superior 
 
 
gera a própria matriz A 
 
 
 
Explicação: 
Se B é a matriz inversa de A, então sobre o produto AxB é correto afirmar que 
A*B = B*A = In 
Onde In é a matriz identidade de ordem n. 
 
 
1. 
 
 
Determine a matriz dos cofatores da matriz A= \(\begin{bmatrix} \ 2 & 1 \\ 1 &1 \end{bmatrix} \). 
 
 
 
\(\begin{bmatrix} \ 2 & 1 \\ 1 &1 \end{bmatrix} \) 
 
 
\(\begin{bmatrix} \ 1 \end{bmatrix} \) 
 
 
\(\begin{bmatrix} \ 1 & -1 \\ -1 &2 \end{bmatrix} \) 
 
 
\(\begin{bmatrix} \ 0 & 1 \\ 1 &0 \end{bmatrix} \) 
 
 
\(\begin{bmatrix} \ 1 & 0 \\ 0 &1 \end{bmatrix} \) 
 
 
 
Explicação: 
Solução: 
A = \(\begin{bmatrix} \ 2 & 1 \\ 1 &1 \end{bmatrix} \) 
O cofator de uma matriz é Aij = (-1)i+j . Di,j. Onde Di,j é o menor complementar. O seu deteminante é 
obtido eliminando a linha i e a coluna j. 
A11 = (-1)1+1 . D1,1 = 1 . 1 = 1. 
A12 = (-1)1+2 . D1,2 = -1 . 1 = -1. 
A21 = (-1)2+1 . D2,1 = -1 . 1 = -1. 
A22 = (-1)2+2 . D2,2 = 1 . 2 = 2. 
Conclusão, o cofator da matriz A= \(\begin{bmatrix} \ 2 & 1 \\ 1 &1 
\end{bmatrix} \) é a matriz \(\begin{bmatrix} \ 1 & -1 \\ -1 &2 
\end{bmatrix} \). 
 
 
 
 
 
 
2. 
 
 
Considere que o valor de um determinante é 18. Se dividirmos a 1ª 
linha por 6 e multiplicarmos a 3ª coluna por 4, o novo determinante 
valerá: 
 
 
 
12 
 
 
18 
 
 
24 
 
 
27 
 
 
3 
 
 
 
Explicação: 
Quando se multiplica (ou se divide) uma fila de um determinante por um número, o novo 
determinante fica multiplicado (ou dividido) por esse número. 
No caso temos: 
(18 / 6) . 4 = 12 
 
 
 
 
 
 
3. 
 
 
Considere a matriz A = \(\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \\ 
\end{pmatrix} X=\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \\ 
\end{pmatrix}.\) 
Determe uma matriz X de ordem 2 de modo que AX = I2. 
 
 
`[[1,-1],[-5,2]]` 
 
 
`[[1,-1],[-1,2]]` 
 
 
`[[1,-1],[-1,4]]` 
 
 
`[[-1,-1],[-1,-2]]` 
 
 
`[[3,-1],[-1,2]]` 
 
 
 
Explicação: 
 
A = \(\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \\ \end{pmatrix} X= \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \\ 
\end{pmatrix} \) 
AX = I2 
\(\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \\ \end{pmatrix} . \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \\ \end{pmatrix} = 
\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{pmatrix} . \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{pmatrix} \) 
\(\begin{pmatrix} 2a + c & 2b+d \\ a+c & b+d \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ 
\end{pmatrix} \) 
Agora, nós resolvemos uma parte da segunda equação(c=-a), depois a resolvemos a primeira 
equação(a=1) e finalizamos a solução da segunda equação(c=-1). 
1)2a+c=1............ 2a+(-a)=1 => a=1 
2)a+c=0 => c=-a.................................. c=-1 
Por fim, nós resolvemos uma parte da terceira equação(d=-2b), depois a resolvemos a quarta 
equação(b=-1) e finalizamos a solução da terceira equação(d=2). 
3)2b+d=0 => d=-2b.............................................. d=-2(-1)=> d=2 
4)b+d=1...................b+(-2b) = 1 => -b=1 => b=-1 
 
Conclusão: 
\(\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 2 \\ \end{pmatrix}\) 
 
 
 
 
 
 
4. 
 
 
Considere que o valor de um determinante é 36. Se dividirmos a 2ª 
linha por 6 e multiplicarmos a 1ª coluna por 4, o novo determinante 
valerá: 
 
 
24 
 
 
144 
 
 
6 
 
 
36 
 
 
4 
 
 
 
Explicação: 
Quando se multiplica (ou se divide) uma fila de um determinante por um número, o novo 
determinante fica multiplicado (ou dividido) por esse número. 
No caso temos: 
(36 / 6) . 4 = 24 
 
 
 
 
 
 
5. 
 
 
Considere que o valor de um determinante é 6. Se dividirmos a 1ª 
linha por 6 e multiplicarmos a 3ª coluna por 4, o novo determinante 
valerá: 
 
 
 
6 
 
 
24 
 
 
4 
 
 
1 
 
 
12 
 
 
 
Explicação: 
Quando se multiplica (ou se divide) uma fila de um determinante por um número, o novo 
determinante fica multiplicado (ou dividido) por esse número. 
No caso temos: 
(6 / 6) . 4 = 4 
 
 
 
 
 
 
6. 
 
 
Dada a matriz A = \(\begin{pmatrix} 4& 2 \\ 7& 6\ \end{pmatrix} \) , calcule a 
sua INVERSA. 
 
 
\(\begin{pmatrix} 1& 0 \\ 0& 1\ \end{pmatrix} \) 
 
 
\(\begin{pmatrix} 4& 2 \\ 7& 6\ \end{pmatrix} \) 
 
 
\(\begin{pmatrix}3/5& -1/5 \\ -7/10& 2/5\ \end{pmatrix} \) 
 
 
\(\begin{pmatrix} 6& 2 \\ 7& 4\ \end{pmatrix} \) 
 
 
\(\begin{pmatrix} 1\ \end{pmatrix} \) 
 
 
 
Explicação: 
Solução: 
A inversa da matriz A = \(\begin{pmatrix} 4& 2 \\ 7& 6\ \end{pmatrix} \), pode ser calculada a partir da 
fórmula A-1 = \(1 \over det(A)\) . \(\begin{pmatrix} d& -b \\ -c& a\ \end{pmatrix} \). 
det(A) = diagonal principal - diagonal secundária = (4.6) - (7.2) = 24 - 14 =10. 
A-1 = \(1 \over 10\) . \(\begin{pmatrix} 6& -2 \\ -7& 4\ \end{pmatrix} \) = \(\begin{pmatrix}6/10& -
2/10 \\ -7/10& 4/10\ \end{pmatrix} \) = \(\begin{pmatrix}3/5& -1/5 \\ -7/10& 2/5\ \end{pmatrix} \) 
Concluão: 
A inversa da matriz A = \(\begin{pmatrix} 4& 2 \\ 7& 6\ \end{pmatrix} \) é a matriz A-
1 = \(\begin{pmatrix}3/5& -1/5 \\ -7/10& 2/5\ \end{pmatrix} \). 
 
 
 
 
 
 
7. 
 
 
Dada a matriz A = \(\begin{pmatrix} 2& 1 \\ 1& 0\ \end{pmatrix} \) , calcule a 
sua INVERSA. 
 
 
\(\begin{pmatrix} 0& 1 \\ 1& 2\ \end{pmatrix} \) 
 
 
\(\begin{pmatrix} 1\ \end{pmatrix} \) 
 
 
\(\begin{pmatrix}1& 0 \\ 0& 1\ \end{pmatrix} \) 
 
 
\(\begin{pmatrix} 2& 1 \\ 1& 0\ \end{pmatrix} \) 
 
 
\(\begin{pmatrix}0& 1 \\ 1& -2\ \end{pmatrix} \) 
 
 
 
Explicação: 
Solução: 
A inversa da matriz A = \(\begin{pmatrix} 2& 1 \\ 1& 0\ \end{pmatrix} \), pode ser calculada a partir da 
fórmula A-1 = \(1 \over det(A)\) . \(\begin{pmatrix} d& -b \\ -c& a\ \end{pmatrix} \). 
det(A) = diagonal principal - diagonal secundária = (2.0) - (1.1) = 0 - 1 = -1. 
A-1 = \(1 \over -1\) . \(\begin{pmatrix} 0& -1 \\ -1& 2\ \end{pmatrix} \) = \(\begin{pmatrix}0& 1 \\ 1& 
-2\ \end{pmatrix} \) 
Concluão: 
A inversa da matriz A = \(\begin{pmatrix} 2& 1 \\ 1& 0\ \end{pmatrix} \) é a matriz A-
1 = \(\begin{pmatrix}0& 1 \\ 1& -2\ \end{pmatrix} \). 
 
 
 
 
 
 
8. 
 
 
Se Aé uma matriz (2x2) e det(A) = D, então o determinante da matriz 2A será 
 
 
 
D 
 
 
4D 
 
 
5D 
 
 
2D 
 
 
3D 
 
 
 
Explicação: 
Quando multiplicamos um número real K por uma matriz A do tipo m x n, encontramos para resultado uma 
matriz do tipo m x n, que representaremos por KA, obtida multiplicando K por cada elemento da 
matriz A. 
Como k= 2 o det (A) passa a ser igual a 4D 
 
 
 
 
 
1. 
 
 
Carlos e sua irmã Andreia foram com seu cachorro Bidu à farmácia de seu avô. Lá 
encontraram uma velha balança com defeito que só indicava corretamente pesos 
superiores a 60 kg. Assim eles se pesaram dois a dois e obtiveram as seguintes 
marcas: Carlos e o cão pesam juntos 87 kg; Carlos e Andreia pesam 123 kg; e 
Andreia e Bidu pesam 66 kg. Podemos afirmar que: 
 
 
O peso de Andreia é a média aritmética dos pesos de Carlos e Bidu. 
 
 
Andreia é a mais pesada dos três. 
 
 
Carlos é mais pesado que Andreia e Bidu juntos. 
 
 
Dois deles pesam mais que 60 kg. 
 
 
Cada um deles pesa menos que 60 kg. 
 
 
 
 
 
 
2. 
 
 
De acordo com a classificação de um sistema de equações lineares, qual 
alternativa abaixo é verdadeira? 
 
 
Sistema Impossível (SI) possui apenas uma única solução. 
 
 
Sistema Possível e Indeterminado (SPI) não possui solução. 
 
 
Sistema Possível e Determinado(SPD) possui apenas uma única solução. 
 
 
Sistema Possível e Indeterminado (SPI) possui apenas uma única solução. 
 
 
Sistema Possível e Determinado(SPD) possui infinitas soluções. 
 
 
 
Explicação: 
Classifica-se um sistema linear de acordo com o tipo de solução. De forma geral, um sistema de equações 
lineares pode ser classificado como: 
• Sistema Possível e Determinado (SPD): possui apenas uma única solução. 
• Sistema Possível e Indeterminado (SPI): possui infinitas soluções. 
• Sistema Impossível (SI): não possui solução. 
Conclusão: 
A resposta correta é o Sistema Possível e Determinado (SPD) possui apenas uma única solução. 
 
 
 
 
 
 
3. 
 
 
Coma base na matriz ampliada abaixo, qual opção representa as suas equações ? 
\(\begin{pmatrix} 1& 2 & 5 \\ 3& -4 &-5 \\ 11 & -8 &-5 \\ \end{pmatrix} \) 
 
 
x + y = 5 
x - y = -5 
x - y = -5 
 
 
x + 2y + 5 
3x - 4y - 5 
11x - 8y - 5 
 
 
x + 2y = 5 
3x - 4y = -5 
11x - 8y = -5 
 
 
5x - 10y = -5 
 
 
 
x + 3y + 11z = 0 
2x - 4y -8z = 0 
5x - 5y -5z= 0 
 
 
 
Explicação: 
A matriz ampliada é obtida quando você acrescenta a matriz dos coeficientes uma coluna com os termos 
independentes. 
Assim, na mariz apresentada \(\begin{pmatrix} 1& 2 & 5 \\ 3& -4 &-5 \\ 11 & -8 &-5 \\ \end{pmatrix} \), 
os elementos 5, -5 e -5 da última coluna são os termos independentes. 
Conclusão: 
Com base na matriz ampliada acima, podemos montar as seguintes equações: 
x + 2y = 5 
3x - 4y = -5 
11x - 8y = -5 
 
 
 
 
 
 
4. 
 
 
Coma base na matriz ampliada a seguir indique a alternativa que 
representa as equações correspondentes? 
`[[2,2,4,-1],[1,1,3,-2],[1,3,4,3]]` 
 
 
 
x + y + z = -5 
2x + 2y + 3z = 6 
3x + 3y + 4z = -5 
 
 
2x + 2y + 4z = -1 
x + y + 3z = -2 
x + 3y + 4z = 3 
 
 
x + 2y + z = 6 
x + 2y + 3z = 3 
2x + 3y + 4z = -2 
 
 
x + y + 4z = -5 
3x + 2y + 3z = 6 
x + 3y + 4z = -4 
 
 
2x + y + z = 3 
x + y + 3z = 4 
x+ 3y + z = -5 
 
 
 
Explicação: 
Cabe observar que a matriz ampliada deve ser obtida com o acréscimo de uma coluna, 
com os termos independentes, à matriz dos coeficientes. 
Dessa forma podemos estruturar as seguintes equações: 
2x + 2y + 4z = -1 
x + y + 3z = -2 
x + 3y + 4z = 3 
 
 
 
 
 
 
5. 
 
Durante um ano, Vicente economizou parte do seu salário, o que totaliza 
R$100.000,00. Sendo um jovem com boa visão para os negócios, resolve investir 
suas economias em um negócio relacionado à área alimentícia que deverá 
 
resultar em um rendimento de R$9400,00, sobre seus investimentos anuais. A 
aplicação oferece um retorno de 4% ao ano e o título, 10%. O valor para ser 
investido é decidido pelo investidor e um valor y, obrigatório, é decidido pelo 
acionista principal da empresa. Com base nessas informações, é possível calcular 
os valores de x e y, resolvendo-se um sistema de duas equações dado por : 
 
 
 
 
É correto afirmar que os valores de x e y são respectivamente iguais a: 
 
 
80.000 e 20.000 
 
 
10.000 e 90.000 
 
 
65.000 e 35.000 
 
 
60.000 e 40.000 
 
 
30.000 e 70.000 
 
 
 
 
 
 
6. 
 
 
Sabendo-se que, em uma lanchonete, 2 
sanduíches e 1 refrigerante custam R$ 12,60 
e 1 sanduíche e 2 refrigerantes custam R$ 
10,20. Quanto custa 1 sanduíche e 1 
refrigerante? 
 
 
 
R$ 8,70 
 
 
R$ 6,50 
 
 
R$ 5,40 
 
 
R$ 9,80 
 
 
R$ 7,60 
 
 
 
 
 
 
7. 
 
O sistema abaixo representa as equações relativas à produção de uma empresa 
que fabrica caixas de papelão. As caixas são fabricadas por máquinas de 
processamento que possuem velocidades de produção diferentes e são chamadas 
de X e Y e Z. A produção PE é dada de acordo com o sistema abaixo indicado. 
 
Resolvendo o sistema, podemos afirmar que a as máquinas X , Y e Z produzem, 
respectivamente, em 1 minuto as seguintes quantidades de caixas: 
 
 
 
 
1, 4, 5 
 
 
4, 5, 1 
 
 
2, 1, 3 
 
 
2, 3, 1 
 
 
1, 2, 3 
 
 
Gabarito Coment. 
 
 
 
 
 
8. 
 
 
Dado o sistema de equações ax + 2y = 3 e 5x + 4y = 6, para que valor de a tem-
se um sistema impossível? 
 
 
3 
 
 
3,5 
 
 
2,5 
 
 
5 
 
 
4 
 
1. 
 
 
Um fabricante de produtos naturais produz xampu, condicionador e creme para pentear que em 
promoção são comercializados da seguinte forma: 
 2 cremes e 3 xampus 38,00 
 4 xampus e 2 condicionadores 26,00 
 2 cremes e 1 condicionador 31,00 
Sabendo que o preço individual de cada um dos produtos é o mesmo, independentemente do 
conjunto promocional ao qual pertence, o preço inividual do xampu, condicionador e creme para 
pentear dado nesta ordem é: 
 
 
 
 
xampu R$ 5,00 ; creme R$ 13,00 e condicionador R$ 5,00 
 
 
xampu R$ 6,00 ; creme R$ 10,00 e condicionador R$ 5,00 
 
 
creme R$ 4,00 ; condicionador R$ 10,00 e xampu R$ 5,00 
 
 
xampu R$ 4,00 ; creme R$ 13,00 e condicionador R$ 5,00 
 
 
condicionador R$ 4,00 ; creme R$ 10,00 e xampu R$ 5,00 
 
 
 
 
 
 
2. 
 
 
Coma base na matriz ampliada a seguir indique a alternativa que 
representa as equações correspondentes? 
[224-112321343] 
 
 
 
x + y + z = -5 
2x + 2y + 3z = 6 
3x + 3y + 4z = -5 
 
 
x + 2y + z = 6 
x + 2y + 3z = 3 
2x + 3y + 4z = -2 
 
 
2x + y + z = 3 
x + y + 3z = 4 
x+ 3y + z = -5 
 
 
x + y + 4z = -5 
3x + 2y + 3z = 6 
x + 3y + 4z = -4 
 
 
2x + 2y + 4z = -1 
x + 2y + 3z = 2 
x + 3y + 4z = 3 
 
 
 
Explicação: 
Cabe observar que a matriz ampliada deve ser obtida com o acréscimo de uma coluna, 
com os termos independentes, à matriz dos coeficientes. 
Dessa forma podemos estruturar as seguintes equações: 
2x + 2y + 4z = -1 
x + 2y + 3z = 2 
x + 3y + 4z = 3 
 
 
 
 
 
 
3. 
 
 
Perguntado sobre a idade de seu filho Júnior, José respondeuo seguinte: "Minha 
idade quando somada à idade de Júnior é igual a 47 anos; e quando somada à 
idade de Maria é igual a 78 anos. As idades de Maria e Júnior somam 39 anos." 
Qual a idade de Júnior? 
 
 
4 anos 
 
 
5 anos 
 
 
3 anos 
 
 
2 anos 
 
 
6 anos 
 
 
 
 
 
 
4. 
 
 
Coma base na matriz ampliada a seguir indique a alternativa que 
representa as equações correspondentes? 
[224-1113-2124-3] 
 
 
 
x + y + z = -5 
2x + 2y + 3z = 6 
3x + 3y + 4z = -5 
 
 
2x + 2y + 4z = -1 
x + y + 3z = -2 
x + 2y + 4z = -3 
 
 
2x + y + z = 3 
x + y + 3z = 4 
x+ 3y + z = -5 
 
 
x + y + 4z = -5 
3x + 2y + 3z = 6 
x + 3y + 4z = -4 
 
 
x + 2y + z = 6 
x + 2y + 3z = 3 
2x + 3y + 4z = -2 
 
 
 
Explicação: 
Cabe observar que a matriz ampliada deve ser obtida com o acréscimo de uma coluna, 
com os termos independentes, à matriz dos coeficientes. 
Dessa forma podemos estruturar as seguintes equações: 
2x + 2y + 4z = -1 
x + y + 3z = -2 
x + 2y + 4z = -3 
 
 
 
 
 
 
5. 
 
 
(PUC-SP) 
A solução do Sistema 
(a-1)x1 + bx2 = 1 
(a+1)x1 + 2bx2 = 5, são respectivamente: x1 = 1 e x2 = 2 . Logo, 
 
 
a=0 e b=0 
 
 
a=1 e b=0 
 
 
a=1 e b=2 
 
 
a=0 e b=1 
 
 
a=2 e b=0 
 
 
 
Explicação: 
Dada as equações: 
1)(a-1)x1 + bx2 = 1 
2)(a+1)x1 + 2bx2 = 5, 
Substituindo os valores de x1 = 1e x2 = 2 nas equações, teremos: 
1)(a-1)(1) + b(2) = 1 => a -1 + 2b = 1 => a + 2b = 2 => a = 2 - 2b 
2)(a+1)(1) + 2b(2) = 5 => a + 1 + 4b = 5 => a + 4b = 5 - 1 => a + 4b = 4 
Substituindo a equação a primeira equação na segunda, teremos: 
A + 4b = 4 => 2 - 2b + 4b = 4 => 2b = 4 - 2 => b = 2/2 => b = 1 
Substituindo o resultado de "b" na primeira equação, teremos: 
A = 2 - 2b => a = 2 - 2(1) => a = 0 
 
 
Gabarito Coment. 
 
 
 
 
 
6. 
 
 
Para as apresentações de uma peça teatral (no sábado e no domingo à noite) 
foram vendidos 500 ingressos e a arrecadação total foi de R$ 4.560,00. O preço do 
ingresso no sábado era de R$ 10,00 e no domingo era de R$ 8,00. O número de 
ingressos vendidos para a apresentação do sábado e para a do domingo, nessa 
ordem, foi: 
 
 
260 e 240 
 
 
270 e 230 
 
 
280 e 220 
 
 
290 e 210 
 
 
300 e 200 
 
 
 
 
 
 
7. 
 
 
Coma base na matriz ampliada a seguir indique a alternativa que 
representa as equações correspondentes? 
[234112321343] 
 
 
 
x + y + z = -5 
2x + 2y + 3z = 6 
3x + 3y + 4z = -5 
 
 
x + y + 4z = -5 
3x + 2y + 3z = 6 
x + 3y + 4z = -4 
 
 
2x + y + z = 3 
x + y + 3z = 4 
x+ 3y + z = -5 
 
 
2x + 3y + 4z = 1 
x + 2y + 3z = 2 
x + 3y + 4z = 3 
 
 
x + 2y + z = 6 
x + 2y + 3z = 3 
2x + 3y + 4z = -2 
 
 
 
Explicação: 
Cabe observar que a matriz ampliada deve ser obtida com o acréscimo de uma coluna, 
com os termos independentes, à matriz dos coeficientes. 
Dessa forma podemos estruturar as seguintes equações: 
2x + 3y + 4z = 1 
x + 2y + 3z = 2 
x + 3y + 4z = 3 
 
 
 
 
 
 
8. 
 
 
Coma base na matriz ampliada a seguir indique a alternativa que 
representa as equações correspondentes? 
[1111113-2124-3] 
 
 
 
x + y + 4z = -5 
3x + 2y + 3z = 6 
x + 3y + 4z = -4 
 
 
x + 2y + z = 6 
x + 2y + 3z = 3 
2x + 3y + 4z = -2 
 
 
x + y + z = -5 
2x + 2y + 3z = 6 
3x + 3y + 4z = -5 
 
 
x + y + z = 1 
x + y + 3z = -2 
x + 2y + 4z = -3 
 
 
2x + y + z = 3 
x + y + 3z = 4 
x+ 3y + z = -5 
 
 
 
Explicação: 
Cabe observar que a matriz ampliada deve ser obtida com o acréscimo de uma coluna, 
com os termos independentes, à matriz dos coeficientes. 
Dessa forma podemos estruturar as seguintes equações: 
x + y + z = 1 
x + y + 3z = -2 
x + 2y + 4z = -3 
 
 
 
 
 
1. 
 
 
Para uma festa no Dia das Crianças foram comprados 120 brinquedos, gastando 
R$370,00. Foram comprados carrinhos a R$2,00 cada; bolas a R$3,50 cada e 
bonecas a R$3,00 cada. Se o número de bolas foi igual ao número de bonecas e 
carrinhos juntos, qual é o quadrado do número de bolas? 
 
 
3.600 
 
 
1.600 
 
 
400 
 
 
900 
 
 
2500 
 
 
 
 
 
 
2. 
 
 
Em uma lanchonete, 2 sanduíches naturais mais 1 copo de suco custam R$ 10,00, 
e 1 sanduíche natural mais 2 copos de suco custam R$ 9,20. O preço de um 
sanduíche natural mais um copo de suco é 
 
 
R$ 8,80. 
 
 
R$ 9,60. 
 
 
R$ 6,90. 
 
 
R$ 6,40. 
 
 
R$ 7,20. 
 
 
 
 
 
 
3. 
 
 
Coma base na matriz ampliada abaixo, qual opção representa as suas equações ? 
\(\begin{pmatrix} 1& 1 & 1 &3 \\ 1& 2 & 3 &0 \\ 1& 3 & 4 &-2 \\ \end{pmatrix} \) 
 
 
3x = 3 
6y = 0 
8z = -2 
 
 
 
2y+x+z = 3 
2y+2x+3z = 0 
y+3x+4z = -2 
 
 
x+y+z = 3 
x+2y+3z = 0 
x+3y+4z = -2 
 
 
x+y+z = 0 
x+2y+3z = 0 
x+3y+4z = 0 
 
 
x+y+z 
x+2y+3z 
x+3y+4z 
 
 
 
Explicação: 
A matriz ampliada é obtida quando você acrescenta a matriz dos coeficientes uma coluna com os termos 
independentes. 
Assim, na mariz apresentada \(\begin{pmatrix} 1& 1 & 1 &3 \\ 1& 2 & 3 &0 \\ 1& 3 & 4 &-2 \\ 
\end{pmatrix} \), os elementos 3, 0 e -2 da última coluna são os termos independentes. 
Conclusão: 
Com base na matriz ampliada acima, podemos montar as seguintes equações: 
x+y+z = 3 
x+2y+3z = 0 
x+3y+4z = -2 
 
 
 
 
 
 
4. 
 
 
Após aplicar o método de Gauss na matriz ampliada abaixo, qual alternativa 
corresponde a sua matriz reduzida ? 
\(\begin{pmatrix} 1& 1 & 1 &3 \\ 1& 2 & 3 &0 \\ 1& 3 & 4 &-2 \\ \end{pmatrix} \) 
 
 
\(\begin{pmatrix} 1& 0 & -1 &6 \\ 0& 1 & 2 &-3 \\ 0& 0& -1 &1 \\ \end{pmatrix} \) 
 
 
\(\begin{pmatrix} 1& 0 & 0 &0 \\ 0& 1 & 0 &0 \\ 0& 0 & 1 &0 \\ \end{pmatrix} \) 
 
 
\(\begin{pmatrix} 1& 0 & 0 &5 \\ 0& 1 & 0 &-1 \\ 0& 0& 1 &-1 \\ \end{pmatrix} \) 
 
 
\(\begin{pmatrix} 1& 1 & 1 &3 \\ 0& 1 & 2 &-3 \\ 0& 2& 3 &-5 \\ \end{pmatrix} \) 
 
 
\(\begin{pmatrix} 1& 1 & 1 \\ 1& 2 & 3 \\ 1& 3 & 4 \\ \end{pmatrix} \) 
 
 
 
Explicação: 
\(\begin{pmatrix} 1& 1 & 1 &3 \\ 1& 2 & 3 &0 \\ 1& 3 & 4 &-2 \\ \end{pmatrix} \) L2 = L2 - L1 e L3 
= L3 - L1 
 
\(\begin{pmatrix} 1& 1 & 1 &3 \\ 0& 1 & 2 &-3 \\ 0& 2& 3 &-5 \\ \end{pmatrix} \) L1=L1-
L2 e L3=L3 ¿ 2L2 
 
\(\begin{pmatrix} 1& 0 & -1 &6 \\ 0& 1 & 2 &-3 \\ 0& 0& -1 &1 \\ \end{pmatrix} \) L3 = -L3 
 
\(\begin{pmatrix} 1& 0 & -1 &6 \\ 0& 1 & 2 &-3 \\ 0& 0& 1 &-1 \\ \end{pmatrix} 
\) L1=L1+L3 e L2=L2-2L3 
 
\(\begin{pmatrix} 1& 0 & 0 &5 \\ 0& 1 & 0 &-1 \\ 0& 0& 1 &-1 \\ \end{pmatrix} \) 
 
Conclusão: 
A matriz reduzida da matriz ampliada \(\begin{pmatrix} 1& 1 & 1 &3 \\ 1& 2 & 3 &0 \\ 1& 3 
& 4 &-2 \\ \end{pmatrix} \) é a matriz \(\begin{pmatrix} 1& 0 & 0 &5 \\ 0& 1 & 0 &-1 \\ 
0& 0& 1 &-1 \\ \end{pmatrix} \). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5. 
 
 
Um sistema linear está associado a uma equação matircial conforme a descrição 
na figura abaixo. 
 
Com base na definição acima, assinale a afirmativa verdadeira. 
 
 
O "X" é denominado de matriz ampliada e o "b" de matriz dos coeficientes. 
 
 
O "X" é denominado o vetor dos termos independente e o "b"vetor das incógnitas. 
 
 
O "A" é denominado de matriz ampliada e o "X" vetor dos termos independentes. 
 
 
O "A" é denominado de matriz dos coeficientes e o "b" o vetor dos termos independentes. 
 
 
O "A" é denominado