Geometria Analitica Ponto

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Distância entre dois 
pontos no plano
Geometria Analítica
Prof. Helena
1
Obter a distância entre os pontos A(xA, yA) e B(xB, yB) no plano xOy.
A
B
xA
xB
yA
yB
x
y
C
Vamos aplicar o teorema de Pitágoras no triângulo ABC. 
(AB)2 = (BC)2 + (AC)2
0
(AB)2 =
|xB – xA|2
BC = |xB – xA|
AC = |yB – yA|
+ |yB – yA|2
Exemplo
Calcule o perímetro do triângulo de vértices A(2, 0), B(–2, –3) e C(–1, 4).
x
y
0
–2
2
–3
4
A
B
C
Exemplo
Determinar o ponto da 2.ª bissetriz ( bissetriz dos quadrantes pares) que é eqüidistante de A(1, 2) e B(–4, –3).
A
B
–4
1
2
x
y
0
–1
P(-k,k)
Se P é eqüidistante de A e B, deve ser
PA = PB
Ponto médio de um segmento
Na reta real, marcamos os pontos A(–2) e B(8). Se M(k) é ponto médio do segmento AB, quanto vale k?
⇒
A
B
M
–2
8
k
Se M é ponto médio, AM = MB, logo
k – (–2)
=
8 – k
2k = 6
⇒
k = 3
k + 2
=
8 – k
⇒
⇒ M(3)
Caso geral.
⇒
A
B
M
xA
xB
xM
M é ponto médio de AB ⇒ AM = MB
xM – xA
=
xB – xM
⇒
 2 xM = xA + xB
Na figura a seguir, M(xM) é ponto médio do segmento de extremos A(xA) e B(xB).
xM =
xA + xB
2
Quando o segmento AB está contido no plano xOy, o raciocínio é semelhante.
A
B
M
xA
xM
xB
yA
yM
yB
x
y
Se M é ponto médio de AB,
No eixo x, xM é ponto médio do segmento de extremos xA e xB.
No eixo y, yM é ponto médio do segmento de etremos yA e yB.
xM =
xA + xB
2
yM =
yA + yB
2
e
0
Exemplo
Achar o ponto médio do segmento de extremos A(5, –4) e B(–3, 8).
xM =
5 + (–3)
2
yM =
–4 + 8
2
= 1
= 2
⇒
M( 1, 2)
Exemplo
Encontrar o ponto simétrico de P(1, –1) em relação ao ponto Q(–2, 3).
P(1, –1)
Q(–2, 3)
R(a, b)
–2 =
a + 1
2
a + 1 = – 4
⇒
⇒
a = – 5
3 =
b – 1
2
b – 1 = 6
⇒
⇒
b = 7
⇒ R (–5, 7)
Exemplo
Obter o ponto P que divide o segmento AB com A(1, 3) e B(8, 17) na razão
A(1, 3)
P(a, b)
B(8, 17)
AP
PB
2
5
=
AP
PB
2
5
=
⇒
xP – xA
xB – xP
2
5
=
⇒
a – 1
8 – a
2
5
=
⇒
5(a – 1) = 2(8 – a)
 ⇒ 5a – 5 = 16 – 2a
⇒
7a = 21
a = 3
⇒
Exemplo
Obter o ponto P que divide o segmento AB com A(1, 3) e B(8, 17) na razão
A(1, 3)
P(a, b)
B(8, 17)
AP
PB
2
5
=
AP
PB
2
5
=
⇒
yP – yA
yB – yP
2
5
=
⇒
b – 3
17 – b
2
5
=
⇒
5(b – 3) = 2(17 – b)
⇒ 5b – 15 = 34 – 2b
⇒
7b = 49
b = 7
⇒
P(3, 7)
Condição de alinhamento entre três pontos
Verificação da condição de alinhamento de três pontos
Para verificar se três pontos estão alinhados, calculamos o determinante dos três pontos dados, inserindo os valores de x na primeira coluna, os de y na segunda coluna e completando a terceira coluna do determinante com 1.
Se o determinante der Zero como resultado, significa que os pontos estão alinhados, senão significa que os três pontos formam um triângulo.
Observe o exemplo: 
xA
yA
1
xB
yB
1
xC
yC
1
D =
Verifique se os pontos
A(-3,5), B(1,1) e C( 3,-1) estão alinhados
Isso significa que os pontos estão alinhados.
Área de um triângulo
Na figura, os pontos não-alinhados A(2, 1), B(6, 3) e C(4, 5) são os vértices de um triângulo.
Como podemos calcular a área desse triângulo, a partir das coordenadas de seus vértices?
x
y
4
1
A
B
C
2
6
3
5
Na figura, os pontos não-alinhados A(2, 1), B(6, 3) e C(4, 5) são os vértices de um triângulo.
x
y
4
1
A
B
C
2
6
3
5
③
①
②
M
N
P
AT = AMNP – (AT1 + AT2 + AT3)
AMNP = AM . AP
= 4 . 4 = 16
AT1 = (CP . AP)/2
= (4 . 2)/2 = 4
AT2 = (CN . BN)/2
= (2 . 2)/2 = 2
AT3 = (AM . BM)/2
= (4 . 2)/2 = 4
AT = 16 – (4 + 2 + 4)
AT = 6
Na figura, os pontos não-alinhados A(2, 1), B(6, 3) e C(4, 5) são os vértices de um triângulo.
x
y
4
1
A
B
C
2
6
3
5
③
①
②
M
N
P
5
4
1
5
4
3
6
1
3
6
1
2
1
1
2
+6
–12
D = – 28 + 40 = 12
+4
+30
–10
–6
Área = 
|D|
2
|12|
2
= 6
=
Área de um triângulo
Se A(xA, yA), B(xB, yB) e C(xC, yC) são os vértices de um triângulo, podemos calcular sua área assim:
Calculamos o seguinte determinante, a partir das coordenadas dos vértices.
xA
yA
1
xB
yB
1
xC
yC
1
D =
A área A do triângulo é metade do módulo desse determinante.
A = 
|D|
2