2º Prova 11

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE 
ESCOLA DE ENGENHARIA 
CURSO DE ENGENHARIA MECÂNICA 
DISCIPLINA: MECÂNICA DAS VIBRAÇÕES 
PROVA 2 / 2011 
 
 
Questão 1 – (4,0 pontos) – Um andar da estrutura de um edifício, com m = 106 kg e k = 180 MN/m está 
submetido a uma trepidação, representada por um movimento harmônico de sua base, de amplitude 10 cm e 
frequência 10 Hz, como ilustra a Fig. 1. Para estimar o amortecimento, foi feito um ensaio em que foi 
colocado um rotor desbalanceado acionado por um motor que operava a 1500 rpm, resultando em um fator de 
amortecimento estrutural de 3,5. Determinar: 
a) A amplitude da vibração lateral da estrutura; 
b) Os valores de k para que a transmissibilidade não ultrapasse 0,1. 
 
Figura 1 
 Frequência natural 
 rad/s 0,19
100,1
108,12
6
8




m
k
n
 
 Frequência do teste para determinar o fator de amortecimento estrutural 
 rad/s 157
60
15002
2 


 f 
 Constante de amortecimento viscoso equivalente
 
 
N.s/m 1002,8
157
5,3108,12 6
8


 
k
ceq
 
 Fator de amortecimento viscoso equivalente 
 
211,0
0,191000,12
1001,4
2 6
6




n
eq
m
c
 
 Frequência do movimento vibratório 
 rad/s 8,621022   f
 
 Razão de freqüências 
 
31,3
0,19
8,62

n
r

 
 a) Amplitude do movimento vibratório
 
 
 
   
 
   
m 0171,0
31,3211,0231,31
31,3211,021
1,0
21
21
222
2
222
2







rr
r
YX 
 
 Valores de k para transmissibilidade não ultrapassar 0,1 
 
 
   222
22


cmk
ck
Y
X



 
 
 
   222
222


cmk
ck
Y
X








 
      2222222
2
2  ckcmkmk
Y
X






 
   














































































12
11422
2
2
22
22
2
2
2
2
2
2
Y
X
c
Y
X
Y
X
m
Y
X
Y
X
m
Y
X
m
k

 
b) Discriminante negativo: não há solução possível. 
 
 
 
Questão 2 – (3,0 pontos) – Um eixo possui uma rigidez no seu centro k = 6×106 N/m onde está montado um 
disco de massa m = 200 kg. O eixo gira a 3300 rpm e possui constante de amortecimento c = 5000 N.s/m. O 
disco está desbalanceado e possui uma excentricidade de 0,5 mm. Determinar: 
a) a amplitude de vibração; 
b) a magnitude da força que se transmite aos mancais. 
c) Se a massa do disco não pode ser alterada e o desbalanceamento deve ser tolerado, que medidas 
deveriam ser adotadas se for necessário reduzir a amplitude de vibração para 0,5 mm? 
 
Frequência natural 
rad/s 173
200
100,6 6



m
k
n
 
Frequência do movimento vibratório
 
rad/s 346
60
3300
22   f 
Relação de freqüências 
00,2
173
346

n
r

 
 
Fator de amortecimento 
0722,0
1732002
5000
2



nm
c

 
 
a) Amplitude da vibração 
       
m 1065,6
00,20722,0200,21
00,2105
21
4
222
24
222
2








rr
er
X  
b) Magnitude da força transmitida 
      N 1015,41065,63461000,51000,6 34232622  XckFT  
 
  0241
2
22
2
4
2



























e
X
r
e
X
r
e
X 
 
   

























































12
142424
2
22
2
2
2
2
2
2
e
X
e
X
e
X
e
X
e
X
r

 
Resultando em 




53,19
708,0
r
 




rad/s 17,7
rad/s 488
n 
c) Alterar rigidez para 







N/m 1026,6
N/m 1077,4
5
7
k
 
 
 
 
Questão 3 – (3,0 pontos) – Um eixo de aço vazado (E = 210 GPa), de comprimento 2,5 m, diâmetro externo 
10 cm e diâmetro interno 9 cm, contém um rotor de turbina que pesa 2200 N, no centro de seu comprimento e 
está apoiado em mancais de rolamento nas suas extremidades. A constante de amortecimento do sistema é 
10000 N.s/m. O sistema está projetado para operar em 5000 rpm e admite-se uma excentricidade do rotor de 2 
 mm. 
a) Qual será a amplitude de vibração do rotor quando em operação de regime permanente? 
b) Se a folga entre rotor e estator é igual 1 cm, há segurança para que o sistema atinja a sua velocidade 
de operação sem ocorrer contato? Justifique. 
 
Momento de inércia 
  4644 m 1069,1
64


 ie
dd
I

 
 
Rigidez 
N/m 1009,1
48 6
3

L
EI
k 
Massa 
kg 224
g
W
m 
Frequência natural 
rad/s 7,69
224
1009,1 6



m
k
n 
Frequência do movimento vibratório
 
rad/s 524
60
5000
22   f 
 
Relação de freqüências 
51,7
n
r

 
Fator de amortecimento 
320,0
2

nm
c

 
 
a) Amplitude da vibração 
   
m 1003,2
21
3
222
2



rr
er
X
 
 
b) Haverá segurança, pois para este fator de amortecimento a amplitude nunca será superior a duas vezes 
a excentricidade. Como a folga é de cinco vezes a excentricidade, não haverá situação de iminência de contato 
em qualquer freqüência de operação.