Apostila Matemática Financeira

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MATEMÁTICA 
FINANCEIRA 
 
 
Prof. Antonio Carlos Magalhães da Silva 
 
 
 
 
 
 
 
 
Proibida a reprodução ou divulgação, sem prévia autorização do 
autor. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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 Índice 
1 Conceitos básicos e notações 
 1.1. Juros (J) 
 1.2. Taxa de juros (i) 
 1.3. Principal, capital inicial ou valor presente (P, C0, PV) 
 1.4. Montante, valor de resgate ou valor futuro (S, Cn, FV) 
 1.5. Prazo ou número de capitalizações (n) 
2 Regime de juros simples 
 2.1. Dedução da fórmula 
 2.2. Aplicação básica 
3 Taxas proporcionais 
 3.1. Conceito 
 3.2. Exercícios resolvidos 
 3.3. Negociação com garantia 
4 Operações de desconto 
 4.1. Conceito 
 4.2. Desconto bancário 
 4.3. Exercícios de aplicação 
 4.4. Cálculo da taxa de juros efetiva de uma operação de desconto bancário simples 
 4.5. Limitações e distorções do desconto bancário 
5 Regime de Juros Compostos 
 5.1. Dedução da fórmula 
 5.2. Exercício padrão 
6 Taxas nominal, efetiva e equivalente 
 6.1. Taxa nominal 
 6.2. Taxa efetiva 
 6.3. Taxas equivalentes 
7 Mercado futuro e formação de taxa de juros 
8 Equivalência de capitais 
9 Anuidades 
 9.1. Anuidades periódicas postecipadas (inteira, constante) 
 
 
 
2 
 9.2. Anuidades periódicas antecipadas (inteira, constante) 
10 Sistemas de amortização 
 10.1. Conceitos básicos 
 10.2. Sistema francês de amortização 
 10.3. Sistema de amortizações constantes (SAC) 
11 Valor Presente Líquido (VPL) 
12 Taxa Interna de Retorno (TIR) 
 Conclusão 
 Bibliografia 
 Material Complementar 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3 
 
Introdução 
O mercado financeiro brasileiro desenvolveu ao longo dos últimos 35 anos um conjunto 
de procedimentos relacionados à aplicação da matemática financeira, visando reduzir as 
distorções geradas pelo mecanismo de indexação atrelado a um errático movimento 
ascendente do nível geral de preços. De fato, a criatividade da autoridade monetária e de 
nossos financistas possibilitou a o funcionamento do sistema de financeiro no turbulento 
cenário de um processo inflacionário galopante. Foi nesse contexto que surgiram, entre 
outras inovações, o dia útil, em substituição ao dia corrido, assim como a notória taxa 
de juros overnight, a qual empregava o regime de juros compostos para calcular a taxa 
ao dia útil, e o regime de juros simples, quando a aludida taxa diária era multiplicada 
pelos 30 dias corridos do mês comercial. 
Não obstante tivesse o Plano Real contido o processo inflacionário, o perfil de curto 
prazo e a formação de taxa de juros, considerando o dia útil, ainda permanecem em 
nosso contexto financeiro. Na realidade, o Brasil é o único país do mundo cujo ano tem, 
para fins de cálculo financeiro, duzentos e cinquenta e dois dias úteis! 
Para que se possa compreender o funcionamento do referido mercado e a forma como as 
empresas tomam decisões no âmbito financeiro, é indispensável não apenas o domínio 
da matemática financeira, como entender as peculiaridades do nosso ambiente 
financeiro. 
Na medida em que os gerentes dos diferentes níveis e funções devem considerar, na 
formulação da estratégia de negócios da sua organização, os pontos fortes e fracos de 
todas as suas partes constituintes, os potenciais e os problemas da área financeira devem 
sem bem compreendidos. Ou seja, como o objetivo da estratégia a ser implementada é a 
obtenção de vantagem competitiva sustentável e considerando que a área financeira é 
uma das mais importantes na organização, os empresários, que participam da 
formulação da estratégia, não podem desconhecer as limitações e as possibilidades 
dessa área. Essa é a razão pela qual o presente trabalho apresenta os fundamentos da 
matemática financeira, procurando desenvolver a sensibilidade para o cálculo financeiro 
e discutindo as singularidades do nosso mercado. 
 
 
 
 
4 
1. Conceitos Básicos e Notações 
P, C0 ou PV = Principal, Capital Inicial ou Valor Presente 
n = prazo ou n.º de capitalizações 
J = juros 
i = taxa de juros 
S, Cn ou VF = Montante, Valor de resgate ou Valor Futuro 
 
1.1. Juros (J) 
A disponibilidade de recursos financeiros significa a possibilidade de consumo, se for 
uma pessoa, ou de sua utilização em atividades produtivas, se for uma empresa. O 
agente econômico estará disposto a ceder o seu capital a um terceiro se julgar 
compensatória a remuneração que receberá pelo adiamento que será obrigado a realizar 
em seu ato de consumo ou no emprego dos recursos na esfera produtiva. Essa 
remuneração ou o juro é o pagamento pela cessão dos recursos financeiros por um 
determinado período de tempo previamente acordado, constituindo o elemento 
fundamental para transposição dos valores no tempo. O valor dos juros é expresso em 
moeda. 
 
1.2. Taxa de Juros (i) 
A taxa de juros é a razão entre o valor dos juros recebidos ou pagos em uma operação 
financeira realizada em um período determinado de tempo e o Principal ou Capital 
Inicial. Quando expressa em termos percentuais é, usualmente, representada por i. 
Quando expressa na forma unitária é, freqüentemente, representada por r. No mercado, 
a taxa de juros é apresentada na forma percentual, como 5% ao ano. 
 
1.3. Principal, Capital Inicial ou Valor Presente (P, C0, PV) 
O principal compreende qualquer valor disponível em determinada data para aplicação 
em uma operação financeira. Em outras palavras, é a magnitude monetária que deverá 
ser investida no presente a uma taxa de juros i por período durante n períodos para 
produzir um valor futuro específico. 
 
 
 
 
5 
1.4. Montante, Valor de resgate ou Valor Futuro (S, Cn, FV) 
O montante ou o valor de resgate é igual à soma do capital inicial e dos juros. 
 
1.5. Prazo ou número de capitalizações (n) 
É o número de vezes, durante a operação, em que os juros serão calculados. Assim, em 
uma aplicação de 1 ano, com capitalização mensal, n é igual a 12, já que os juros são 
calculados 12 vezes no período da operação. É usual confundir esse fator com o tempo 
de duração da uma operação financeira. Todavia, deve-se atentar para o fato de que 
podem ser iguais ou não. 
 
2. Regime de Juros Simples 
Neste caso, os juros de cada período são calculados em função do capital inicial 
empregado. O prazo n e a taxa i devem estar na mesma unidade de tempo. 
 
2.1. Dedução da fórmula 
PV = Principal, Capital inicial ou Valor Presente 
n = n.º de períodos 
i = taxa de juros 
FV = Montante ou Valor Futuro 
A partir do principal PV queremos obter o valor do montante FV, sabendo que FV = 
PV + I, sendo I o total de juros, isto é, o principal PV submetido à taxa de juros i, 
durante o prazo de n períodos. 
Assim, teremos: I = PV.i.n 
Onde FV = PV + I 
FV = PV + PV.i.n 
FV = PV(1 + ni) 
FV = PV(1+ni) 
Outra maneira de se chegar a essa expressão é a partir do fato do montante crescer de 
acordo com uma progressão aritmética. De acordo com a fórmula do termo geral de 
uma progressão aritmética, temos: 
an = a1 + (n - 1)r 
 
 
 
6 
Sendo: 
an = Último termo 
a1 = Primeiro termo 
r = Razão 
Em nosso caso: a1 = FV1 e an = FVn 
FVn = FV1 + (n - 1)r 
Lembrando: 
FV1 = PV(1 + i) 
r = PV.i 
Temos: 
FVn = PV(1 + i) + (n - 1).PV.i 
FVn = PV + PV.i + (n -1).PV.i = PV + n.PV.i 
FVn = PV (1 + n.i) 
Como, porém, n é um período qualquer, podemos supor que FVn = FV = montante final. 
FV = PV(1 + n.i)2.2. Aplicação Básica 
Calcular o montante obtido pela aplicação de um capital de $100.000,00 pelo prazo de 1 
ano à taxa de 5% ao mês. 
Observação: Adequação dos dados 
PV = 100.000,00 
n = 1 ano ---> 12 meses 
i = 5% ao mês 
FV = ? 
Solução: 
FV = PV(1+ni) 
FV = 100.000(1 + 12x0,05) 
FV = 100.000(1 + 0,60) 
FV = 160.000,00 
A partir desse enunciado padrão, podemos resolver uma série de exercícios de 
juros simples, em grupos, de acordo com a incógnita que queiramos determinar. 
 
 
 
 
 
7 
3. Taxas Proporcionais 
3.1. Conceito 
Duas ou mais taxas de juros, relativas a períodos distintos, são ditas proporcionais 
quando, ao serem aplicadas ao mesmo principal, durante um mesmo prazo, produzem 
um mesmo montante acumulado no final daquele prazo, no regime de juros simples. 
Exemplo: Qual o montante acumulado ao final de 2 anos, a partir de um principal de 
$100,00, com uma taxa de juros de 120% ao ano, no regime de juros simples. 
FV = 100(1 + 2x1,20) = 340 
Vamos, agora, ver o montante para uma taxa de juros simples igual a 60% a.s. 
FV = 100(1 + 4x0,60) = 340 
Se quisermos ver o montante para uma taxa de juros simples igual a 10% ao mês, 
chegamos a: 
FV = 100(1 + 24x0,10) = 340 
Logo, pela definição, 120% a.a, 60% a.s, e 10% a.m, são ditas taxas proporcionais. 
Considerando i a taxa de juro efetiva em cada período de capitalização, dada na forma 
unitária, bem como a notação abaixo: 
ia = taxa de juros anual 
is = taxa de juros semestral 
it = taxa de juros trimestral 
im = taxa de juros mensal 
id = taxa de juros diária 
Então: 
ia = 2is = 4it = 12im = 360id 
 
3.2. Exercícios resolvidos 
1) Quais as taxas trimestral e anual proporcionais à taxa de 10,50% a.m ? 
ia = 4it = 12im --------> it = 3im 
it = 3 x 10,50 = 31,50% 
ia = 12 x 10,50 = 126% 
 
2) Qual é a taxa mensal proporcional à taxa de 150% a.a ? 
ia = 12im 
 
 
 
8 
im = ia/12 
im = 150/12 = 12,50% 
 
3.3. Negociação com garantia 
Suponhamos que um jovem farmacêutico tenha um excedente monetário de 
$100.000,00 e que deseja aplicá-lo em títulos. Dirige-se, então, a um banco comercial 
que lhe propõe a aplicação do principal a uma taxa de juros de 4% ao mês por 12 meses 
(1 ano), no regime de juros simples. 
 Quatro meses após a aplicação, o jovem se defronta com a necessidade 
imperiosa de comprar não só uma casa, como o enxoval de seu matrimônio, que deverá 
ser celebrado no menor prazo possível. 
 Sendo assim, solicita a seu pai que lhe faça uma antecipação com base no título 
vencível 8 meses depois. Roga ao amado senhor uma remuneração de 4% ao mês pelos 
4 meses de aplicação. O pai aceita examinar a transação e não estabelece qualquer 
exigência. Com os dados do problema, vamos calcular a taxa de juros, sob o regime de 
juros simples, auferida pelo pai do rapaz. 
FV4 = 100.000 (1 + 4 x 0,04) = 116.000 
FV = 116.000 (1 + 8 i) = 148.000 
1 + 8i = 148.000/116.000 
8i = 1,275862 - 1 
i = 0,275862/8 = 0,03448 
i = 3,45% ao mês 
2º Situação: O pai aceita, se houver concordância da esposa, comprar o título, mas 
estabelece para si a rentabilidade de 4% ao mês pelos 8 meses restantes. Se a sua mãe 
não se opuser à transação, o jovem farmacêutico receberá a seguinte taxa de juros: 
PV4 = 148.000/(1 + 8 x 0,04) = 148.000/1,32 = 112.121,21 
FV4 = PV (1 + 4 i) 
i = (FV4/PV - 1)/n 
i = (112.121,21/100.000 - 1)/4 
i = 0,03030 = 3,03% 
3º Situação: Como a mãe do jovem farmacêutico não autoriza a compra do título, o 
velho pai recomenda que o filho realize a negociação com o banqueiro. Emocionado, o 
 
 
 
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banqueiro aceita a compra antecipada, cobrando 5,5% ao mês pelos 8 meses restantes. 
Vamos calcular, então, a taxa de juros que o jovem efetivamente receberá. 
FV = PV4 (1 + ni) 
148.000 = PV4 (1 + 8x0,055) 
PV4 = 148.000/1,44 = 102.777,77 
FV4 = PV (1 + ni) 
i = (FV4/PV - 1)/n 
i = (102.777,77/100.000,00 - 1)/4 
i = 0,0069444 = 0,69% a.m 
 
4. Operações de Desconto 
4.1. Conceito 
 Um título possui um valor chamado Nominal (ou Valor de Face) que vem declarado 
nele. É o que ele vale no dia do seu vencimento. 
Entretanto, antes do vencimento, o título tem um valor menor do que o nominal. O valor 
do título em data que precede seu vencimento é denominado Valor Atual. 
Tendo em vista os conceitos de valor nominal (VN) e de valor atual (VA), concluímos, 
a priori, que o desconto D nada mais é do que a diferença entre o valor nominal do 
compromisso e o seu valor atual na data do desconto, 
Desta forma, o desconto deve ser entendido como a diferença entre o valor futuro (valor 
na data do resgate) e o valor atual de um título (valor na data da operação). 
D = VN - VA 
Sendo: 
D = Valor monetário do desconto 
VN = Valor nominal (valor futuro na data do vencimento) 
VA = Valor atual (na data da operação) 
São conhecidos dois tipos de desconto simples: 
a) Desconto simples "por fora" (bancário ou comercial) 
Obtido multiplicando-se o valor do resgate do título pela taxa de desconto. Essa 
modalidade é amplamente usada nas operações bancárias. 
b) Desconto "por dentro" (ou racional) 
 
 
 
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Obtido multiplicando-se o valor atual do título pela taxa de desconto e pelo prazo a 
decorrer até o vencimento do título. Não tem aplicação prática. 
 
4.2. Desconto Bancário 
É obtido multiplicando-se o valor de resgate do título pela taxa de desconto, e este 
produto, pelo prazo a decorrer até o vencimento do título. 
D = VN - VA ... (1) 
D = VN x n x id ... (2) 
Sendo: 
D = desconto 
n = prazo a decorrer até o vencimento 
id = taxa de desconto 
E preciso lembrar que n e id devem estar expressos em unidades de tempo compatíveis. 
A incógnita na operação de desconto é o principal. 
De (1) podemos obter: 
VA = VN - D 
Substituindo D pela expressão obtida em (2): 
VA = VN - VN x n x id = VN (1 - n x id) 
VA = VN (1 - n x id) ... (3) 
A fórmula do desconto simples "por fora" (D = VN x id x n) é, aparentemente, similar à 
dos juros, no sistema de capitalização simples (J = PV x i x n). 
A diferença fundamental é que, no desconto, a taxa de juros incide sobre o montante ou 
valor de resgate. 
Exemplo: 
Uma duplicata de $100.000,00 foi resgatada 3 meses antes do vencimento, à taxa de 
9,90% ao mês. 
Qual é o desconto comercial? 
Qual é o Valor Atual? 
Dados: 
VN = $100.000,00 
n = 3 meses 
D = 9,90% a.m. (taxa de desconto comercial) 
D = VN.id.n 
 
 
 
11 
D = 100.000 x 0,0990 x 3 = 29.700,00 
VA = VN - D = 100.000 - 29.700 = 70.300 
 
4.3. Exercícios de aplicação 
 1) Qual o valor do desconto bancário simples de um título de $2.000,00, com 
vencimento para 93 dias, a taxa de 10% a.m.? 
Dados: 
VN = 2000 
id = 10% a.m. 
n = 93 dias 
D = 2000.0,10.(93/30) = 620 
 2) Qual a taxa mensal de desconto bancário simples utilizada numa operação de 
112 dias, cujo valor de resgate é $1.000,00 e cujo valor atual é de $550,00. 
Dados: 
VN = 1000 
VA = 550 
n = 112 dias 
D = VN x id x n 
D = VN - PV 
D = 1000 - 550 = 450 
id = D/(VN x n) = 450/[1000 x (112/30)] = 0,1205 a.m. 
id = 12,05% 
 A taxa está expressa ao mês porque ela é o período devem ser expressos em 
unidades de tempo compatíveis. 
 3) Uma duplicata que valerá no vencimento $6.800 é descontada por um banco, 
gerando um crédito de $5.l00 na conta do cliente. Sabendo-se que a taxa cobrada pelo 
banco é de 6,50% a.m., determinar o prazo de vencimento da duplicata. 
Dados: 
VN = 6.800 
VA = 5.100 
id = 6,5% a.m. 
D = VN - VA 
D = 6.800 - 5.100 = 1.700 
 
 
 
12 
D = VN x id x n 
n = D/(VNx id) 
n = 1.700/(6.800 x 0,065) = 3,8462 meses ou 115,38 dias. 
 
4.4. Cálculo da taxa de juros efetiva de uma operação de 
desconto bancário simples 
 
A taxa de desconto bancário simples id é uma taxa linear ou nominal. A taxa de 
juros efetiva da operação tem um conceito distinto da taxa de desconto, já que é 
aplicada sobre uma base menor (o valor presente), como acontece com a taxa de juros 
do regime de capitalização simples e do regime composto. A taxa de juros efetiva pode 
ser comparada a outras taxas de empréstimo do mercado financeiro, que são, ao 
contrário da taxa de desconto, também aplicadas sobre o valor presente. Examinaremos 
a seguir o procedimento que deve ser empregado no cálculo da taxa de juros da 
operação. 
Sendo: 
PV = principal ou valor atual 
FV = montante ou valor de resgate do título 
ie = taxa de juros efetiva do período 
n = período da operação 
Dado que: 
FV = PV(1 +ie) ... (1) 
ie = FV/PV - 1 ... (2) 
 Empregando VN e VA em (2), podemos estabelecer uma relação entre a taxa de 
desconto id e a taxa efetiva ie no período da operação. 
ie = VN/VA – 1 
ie = VN/(VN – D) – 1 
ie = VN/(VN – VN.n. id) – 1 
ie = 1/(1 - n x id) - 1 ... (3) 
 A expressão (3) fornece a taxa efetiva no período da operação a partir da taxa de 
desconto. 
 
 
 
13 
 Uma vez determinada a taxa efetiva referente ao período n, podemos determinar 
por meio da proporcionalidade (ou da equivalência de taxas, no caso de juros 
compostos) a taxa efetiva referente a outro período qualquer. 
 Exemplo: Um banco oferece a uma empresa um desconto de duplicatas no valor 
de 10.000 unidades monetárias. A taxa de desconto e de 13% a.m., e o prazo, de 85 dias 
corridos. 
a) Determinar o valor creditado na conta da empresa 
b) Determinar a taxa de juros efetiva da operação 
c) Determinar a taxa de juros mensal da operação 
a) Cálculo do valor Atual 
a.1) Cálculo do desconto 
D = VN.id.n 
D = 10.000.0,13.(85/30) = 3.683,33 
 
a.2) Valor Atual 
VA = VN – D = 10.000 - 3.683,33 = 6.316,67 
b) Taxa Efetiva 
ie = VN/VA - 1 
ie = 10.000/6.316,67 – 1 = 58,31% para 85 dias 
c) Determinação da taxa mensal efetiva (regime de juros simples) 
Dados: 
ic = 58,31% para 85 dias 
no = 85 dias 
nm = 30 dias 
ie = (0,5831) (30/85) = 20,58% ao mês, sob o regime de juros simples. 
1
 
 
4.5. Limitações e distorções do desconto bancário 
 O desconto bancário é utilizado na prática. Entretanto, seu uso limita-se às 
operações de curto prazo, pois, para prazos longos, seu cálculo se torna impraticável, 
podendo o valor do desconto até ultrapassar o próprio valor nominal do título. 
 
1
 ie = [(1 + 0,5831)
(30/85)
 – 1 ] x 100 = 17,60% ao mês, sob o regime de juros compostos. 
 
 
 
14 
 Quando a taxa de desconto é muito elevada, ou seja maior ou igual a 1/id, a 
operação se torna impraticável. Suponhamos que a taxa de desconto seja id = 0,50 e que 
n seja igual a 2. 
Assim, o desconto será: 
D = VN.id.n 
D = VN x 0,50 x 2 = VN 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
15 
5. Regime de Juros Compostos 
Neste caso, os juros de cada período são calculados sempre em função do saldo 
existente no início do período correspondente. A remuneração é efetuada sobre bases 
variáveis, por acumulação da remuneração sobre as bases imediatamente anteriores. 
 
5.1. Dedução da Fórmula 
Considerando C0 o capital inicial e Ci o capital ao final do período i, temos 
que: 
C1 = C0 + iC0 = C0 (1 + i) 
C2 = C1 + iC1 = C1 (1 + i) = C0 (1 + i)
2 
. 
. 
Cn = C0 (1 + i)
n
 
Se quisermos uma expressão que nos dê o principal, dado o montante, a taxa e o prazo, 
faremos: 
Cn = C0 (1 + i)
n
 ----> C0 = Cn /(1 + i)
n
 
O prazo n e a taxa i devem estar sempre na mesma unidade de tempo. 
Uma outra maneira de se chegar a essa expressão é a partir do fato do montante crescer 
de acordo com uma progressão geométrica. Lembrando a fórmula do termo geral de 
uma progressão geométrica, temos: 
an = a1 x q
(n-1)
 
Sendo: 
an = Último termo 
 a1 = Primeiro termo 
q = razão 
Em nosso caso: an = FVn e a1 = FV1 
FVn = FV1 x q
(n-1)
 
Lembrando que: 
 FV1 = PV(1 + i) 
q = razão = (1 + i) 
Temos: 
FV = FVn = PV(1 + i)(1 + i)
(n - 1)
 
 
 
 
16 
FV = PV(1 + i)
n
 
 
Observações: 
1) Para n < 1, o montante cresce mais rapidamente a juros simples do que a juros 
compostos, considerando a mesma taxa de juros por período de capitalização. 
2) Para n = 1, o montante do ponto de vista do regime de juros simples é idêntico ao de 
juros compostos, de vez que C0 (1 + nr) = C0(1 + r)
n
 para n = 1, supondo a mesma taxa 
de juros por período de capitalização. 
3) Para n > 1, o montante cresce mais rapidamente ao longo do tempo no regime de 
juros compostos do que no de juros simples, dada a mesma taxa de juros por período de 
capitalização. 
4) A curva no regime de juros compostos é exponencial (progressão geométrica) 
enquanto no de juros simples é linear (progressão aritmética). 
 
5.2. Exercício Padrão 
Determinar o montante relativo a empréstimo de 100.000 pelo prazo de 1 ano à taxa de 
5% ao mês. 
Observação: 
Em juros compostos os dados são compatibilizados em função da taxa de juros porque é 
ela que define o período de capitalização. 
Desta forma, a adequação será, no caso, realizada quando se considera o prazo de 1 ano 
como sendo 12 meses. 
FV = PV(1 + i)
n
 
FV = 100.000 (1 + 0,05)
12 
= 100.000 (1,05)
12
 = 179.585,63 
 
6. Taxas Nominal, Efetiva e Equivalente 
6.1. Taxa Nominal 
A taxa nominal é expressa em uma unidade de tempo que não coincide com o período 
de tempo no qual os juros são capitalizados. É encontrada principalmente no mercado 
financeiro internacional. A taxa de juros nominal tem sua origem no regime de juros 
 
 
 
17 
simples, não podendo ser utilizada diretamente em cálculos financeiros que envolvam o 
regime de juros compostos. 
Exemplo: 18,00% ao ano, capitalizados mensalmente. 
 
6.2. Taxa Efetiva 
Na taxa efetiva, a unidade de referência de tempo coincide com a unidade de tempo do 
período de capitalização. Neste caso, não se menciona o período de capitalização, pois 
está implícito que é o mesmo. A taxa efetiva pode ser empregada em cálculos de 
qualquer regime de juros. Temos, então: 
Taxa efetiva = 18,00/12 = 1,50% ao mês (com capitalização mensal) 
No regime de juros compostos, a comparação entre taxas só pode ser realizada com 
taxas efetivas. Por isso, dada uma taxa nominal, devemos, inicialmente, determinar qual 
é a taxa efetiva contida nela, para, então, efetuarmos os cálculos. 
Convém notar que a taxa de juros efetiva é constituída a partir de determinada 
expectativa de inflação e de dada taxa de juros real
2
. Em termos analíticos, temos a 
seguinte expressão para a taxa de juros efetiva sob o regime de juros compostos. 
(1+ief) = (1+πe)(1+ir) 
Onde: 
ief : taxa de juros efetiva; 
πe: expectativa de inflação; 
ir: taxa de juros real. 
 
 
2
 A taxa referencial Selic é a taxa efetiva obtida mediante o cálculo da taxa média ponderada, 
considerando as operações compromissadas de um dia útil, lastreadas em títulos públicos federais, que 
foram realizadas no âmbito do Sistema Especial de Liquidação e Custódia (Selic). Assim, a taxa Selic tem 
origem em taxas de juros efetivamente praticadas no mercado. 
Convém notar, que as operações compromissadas de um dia útil são operaçõesde venda de títulos com 
compromisso de recompra assumido pelo vendedor, concomitante com compromisso de revenda 
assumido pelo comprador para liquidação no dia útil seguinte. Realizam operações compromissadas, por 
um dia útil, fundamentalmente as instituições financeiras habilitadas, tais como bancos, caixas 
econômicas, sociedades corretoras de títulos e valores mobiliários e sociedades distribuidoras de títulos e 
valores mobiliários. 
 
 
 
 
18 
6.3. Taxas Equivalentes 
6.3.1. DEFINIÇÃO 
Taxas equivalentes são aquelas que, com períodos de capitalização diferentes, 
transformam um mesmo capital (P) num mesmo montante (S) durante um mesmo prazo. 
 
6.3.2. COMPROVAÇÃO PRÁTICA 
Para comprovarmos a teoria que está por trás das taxas equivalentes, vamos examinar o 
que ocorre na realidade. Imaginemos que um capital de $100 seja aplicado pelo prazo 
de 1 ano à taxa de 36% ao ano, à taxa de 16,62% ao semestre, à taxa de 8% ao trimestre 
e , finalmente, à taxa de 2,60% ao mês. Vamos calcular o montante gerado a partir de 
cada uma das referidas taxas, desprezando as casas decimais. 
1º Situação 
PV = 100 
n = 1 ano 
i = 36% ao ano 
FV = 100(1 + 0,36) = 100x1,36 
FV = 136 
2º Situação 
PV = 100 
n = 2 semestres 
i = 16,62% ao semestre 
FV = 100(1 + 0,1662)
2
 = 100x1,3600 
FV = 136 
3º Situação 
PV = 100 
n = 4 trimestres 
i = 8% ao trimestre 
FV = 100(1 + 0,08)
4
 = 100x1,3604 
FV = 136 
4º Situação 
PV = 100 
n = 12 meses 
i = 2,60% ao mês 
 
 
 
19 
FV = 100(1 + 0,026)
12
 = 100x1,3607 
FV 

136 
Alteramos a taxa e os períodos de capitalização dentro do mesmo prazo de 1 ano, mas, 
como partimos sempre do mesmo principal (PV = 100), chegamos ao mesmo montante 
(FV = 136), já que trabalhamos com taxas equivalentes. 
Dessa forma, podemos afirmar que: 
- 2,60% ao mês é a taxa mensal que capitalizada 12 vezes no ano é equivalente a 36% 
ao ano. 
{(1,026)
12
 –1} 

 36% ao ano 
- 8 % ao trimestre é a taxa trimestral que capitalizada 4 vezes no ano é equivalente a 
36% ao ano. 
- 16,62% ao semestre é a taxa semestral que capitalizada 2 vezes no ano é equivalente a 
36% ao ano. 
2.7.4. Taxas equivalentes semestral, trimestral, mensal e diária correspondentes à taxa 
anual 
Supondo o período de 1 ano, os montantes acumulados para as diversas taxas, supondo-
se o mesmo capital inicial C0, são os seguintes: 
Taxa anual (ia) → C1 = C0(1 + ia) 
Taxa semestral (is) → C2 = C0(1 + is)
2
 
Taxa trimestral (it) → C4 = C0(1 + it)
4
 
Taxa mensal (im) →C12 = C0(1 + im)
12 
Taxa diária (id) → C360 = C0(1 + id)
360
 
Para que as taxas sejam equivalentes: 
C1 = C2 = C4 = C12 = C360 
Logo, 
C0(1 + ia) = C0(1 + is)
2
 = C0(1 + it)
4
 = C0(1 + im)
12
 = C0(1 + id)
360
 
Ou 
(1 + ia) = (1 + is)
2
 = (1 + it)
4
 = (1 + im)
12
 = (1 + id)
360
 
Exercícios Resolvidos 
1) Quais as taxas trimestral e anual equivalentes à taxa de 10,50% 
a.m.? 
(1 + ia) = (1 + it)
4
 = (1 + im)
12 
 
(1 + it) = (1 + im)
3 
 
 
 
 
20 
(1 + it) = (1 + 0,1050)
3
 
(1 + it) = 1,3492 
 it = 0,3492 
 it = 34,92% 
(1 + ia) = (1 + 0,1050)
12
 
(1 + ia) = 3,3140 
ia = 2,3140 
ia = 231,40% 
2) Qual a taxa mensal equivalente à taxa de 150% a.a.? 
(1 + ia) = (1 + im)
12
 
(1 + im) = (1 + ia)
1/12
 
1 + im = (1 + 1,50)
1/12
 
1 + im = 1,0793 
im = 0,0793 
im = 7,93% 
Vamos deduzir uma fórmula genérica que permita calcular diretamente a taxa 
equivalente a partir de uma taxa dada. 
Sejam: 
ic = taxa conhecida 
nc = período em dias de taxa conhecida 
id = taxa a determinar 
nd = período em dias de taxa a determinar 
Estamos trabalhando com o período em dias, pois é comum, no mercado financeiro, a 
utilização de períodos quebrados, como, por exemplo, 61 dias, 32 dias, etc. 
Vamos supor que ic e id sejam equivalentes. 
O montante FVc produzido por ic a partir de um principal PV, ao final de nd dias, será: 
FVc = PV(1 + ic)
(nd/nc)
 
Lembrando que a taxa e o período devem estar expressos em unidades de tempo 
compatíveis, temos que nd dias possuem nd/nc períodos de capitalização. 
Por sua vez, a taxa a determinar, id, a partir do mesmo principal, PV, produzirá um 
montante FVd ao final de nd dias. 
 FVd = PV(1 + id )
(nd/nd) 
= PV(1 + id) 
 
 
 
21 
Como as taxas são equivalentes, os montantes obtidos a partir do mesmo principal, PV, 
serão iguais no final de nd dias. 
 FVd = FVc 
 PV(1 + id) = PV(1 + ic)
(nd/nc )
 
 id = (1 + ic)
(nd/nc ) 
-1 ... Fórmula genérica para cálculo de taxas equivalentes 
 
Exemplos: 
 1) Um banco está oferecendo a um aplicador uma taxa de 6.000% ao ano para 
uma aplicação pelo prazo de 31 dias. Qual é a taxa bruta do período ? 
Dados: 
ic = 6.000% ao ano 
nc = 360 dias 
nd = 31 dias 
id = (1 + 60)
(31/360) 
- 1 = 0,4247 para 31 dias 
A taxa bruta do período é de 42,47% 
2) Com os dados do exemplo anterior, determinar a taxa semestral equivalente. 
Dados: 
ic = 42,47% para 31 dias 
nc = 31 dias 
nd = 180 dias 
id = (1 + 0,4247)
(180/31) 
- 1 = 6,8087 ao semestre 
A taxa semestral equivalente é de 680,87%. 
Com auxílio de um exemplo, vamos ilustrar porque não podemos comparar 
taxas nominais, só sendo possível comparar taxas efetivas ou compostas referentes ao 
mesmo período. 
Um investidor tem duas opções para aplicar seu dinheiro, a saber: 
A. 300% ao ano, capitalizados semestralmente; 
B. 210% ao ano, capitalizados mensalmente. 
Trata-se de duas taxas nominais. Uma pessoa menos avisada escolherá a primeira, pois 
300% ao ano é maior do que 210% ao ano. Vamos determinar as taxas efetivas contidas 
em cada taxa nominal. 
A. 300/2 = 150% ao semestre, capitalizados semestralmente, ou 150% ao 
semestre; 
 
 
 
22 
B. 210/12 = 17,50% ao mês, capitalizados mensalmente, ou 17,50% ao mês. 
Uma vez determinadas as taxas efetivas, devemos levar uma delas ao período da outra 
para compará-las. Vamos determinar a taxa mensal equivalente à taxa de 150% ao 
semestre. 
Dados: 
ic = 150% ao semestre 
nc = 180 dias 
nd = 30 dias 
id = (1 + 1,5)
(30/180) 
- 1 = 0,1650 ao mês 
A taxa mensal equivalente a 150% ao semestre é 16,50%. Fica demonstrado, portanto, 
que a opção B é melhor que a A, apesar da taxa nominal ser menor. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
23 
7. Mercado Futuro e Formação de Taxa de Juros 
 Na presente seção, examinaremos a formação das taxas dos Certificados de 
Depósitos Bancários (CDB) prefixados. 
 Antes de discutirmos o assunto em pauta, gostaríamos de observar que todos os 
fatores que afetam o nível de atividade econômica, como a condução da política 
econômica e a ocorrência de choques de oferta adversos, bem como fatores como a 
incerteza da situação política, são de importância fundamental na formação de 
expectativas. E as expectativas constituem o elemento básico na formação das taxas de 
juros. 
 Em uma economia estável, o mercado futuro de taxa de juros constitui um 
importante prestador de informações para constituição das taxas de juros tanto de ativos 
e passivos de curto, como de longo prazo. Isso ocorre porque a estabilidade do ambiente 
econômico e político permite a negociação de contratos de vencimentos distintos em 
prazos ampliados. Todavia, em cenários econômicos instáveis, com taxas de inflação 
elevadas, o mercado futuro só negocia contratos com vencimentos de curto prazo. 
 Baseado em uma expectativa de inflação e dejuro real para o mês de referência 
e uma expectativa de inflação e de juro real para o mês seguinte, o sistema bancário 
estimava, em período anterior à implantação do Plano Real, as taxas de juros efetivas 
mensais para os dois meses. 
 A título de exemplo, vamos supor que a inflação prevista para o mês de 
referência e para o mês seguinte seja de 2% para cada um dos meses. Admitamos 
também que a taxa de juros real seja de 1,5% ao mês. Sendo assim, o cálculo da taxa 
efetiva bruta para cada mês seria dado pela fórmula: 
ief = [(1,02)(1,015)]-1 = 3,53% 
Se o mês de referência tivesse 20 dias úteis e o mês seguinte 18 dias úteis, a 
taxa efetiva diária para cada um deles seria: 
iefd (mês de referência) = {[(1,0353)
(1/20)
] – 1} x 100 ≈ 0,17% 
iefd (mês seguinte) = {[(1,0353)
(1/18)
] – 1} x 100 ≈ 0,19% 
Até passado recente, essas taxas efetivas diárias seriam, no linguajar do mercado 
financeiro, as taxas over de títulos privados, após serem multiplicadas por 30. Ou seja, o 
custo financeiro em taxas over estimado para se tomar recursos durante o mês de 
referência seria de 5,21% e de 5,79% no mês seguinte. Não devemos confundir essa 
 
 
 
24 
última taxa com a taxa overnight SELIC, que representa o custo de reservas em d + 0, e 
são lastreadas em títulos públicos. 
3
 
 Uma vez estimado o custo de captação por dia útil no mês de referência e no 
mês seguinte, considerava-se o número de dias úteis que o CDB teria no mês de 
referência e o número de dias úteis do CDB no mês seguinte. A partir daí, os bancos 
poderiam estimar o custo de captação durante o prazo do CDB, acumulando as taxas 
efetivas diárias do mês de referência pelo número de dias úteis do mês de referência e as 
taxas efetivas diárias do mês seguinte pelo número de dias úteis do mês seguinte. 
 A seguir, descreveremos alguns exemplos de como as taxas dos CDB seriam 
formadas: 
 1 - Um CDB de 30 dias corridos, com 20 dias úteis, que fosse emitido no 3º dia útil do 
mês de referência e que vencesse no 3º dia útil do mês seguinte, teria a seguinte taxa 
efetiva, considerando as taxas efetivas diárias anteriormente consideradas: 
 Taxa CDB ={[(1 + 0,0017)
18
] [(1 + 0,0019)
2
] -1} = 3,49679030% 
 A taxa efetiva por dia útil desse CDB seria de 0,1720%, ou seja, [(1,0349679030)
(1/20) 
- 
1 
 2 - Um CDB de 30 dias corridos, com 20 dias úteis, que fosse emitido no 11º dia útil do 
mês de referência, e cujo resgate ocorresse no 11º dia útil do mês seguinte, apresentaria 
a taxa efetiva abaixo: 
 Taxa CDB = {[(1 + 0,0017)
10
] [(1 + 0,0019)
10
] -1} = 3,66221960% 
 Podemos observar que dois CDB, com iguais números de dias corridos e dias 
úteis, podem apresentar taxas efetivas distintas, apesar de a inflação e os juros reais não 
terem se alterado. Isso se explica pelo fato de variar a proporção de dias úteis do CDB, 
nos meses de referência e no mês seguinte. 
Vejamos agora como as taxas se alteram quando alteramos o número de dias 
úteis dos CDB: 
 3 - Um CDB de 31 dias corridos, com 21 dias úteis, que fosse emitido no 3º dia útil do 
mês de referência, e que vencesse no 4º dia útil do mês seguinte, teria a seguinte taxa 
efetiva bruta: 
 
3
 Na década de 1980 e de1990, a notória e extremamente noticiada taxa overnight era expressa por: 
 Taxa Overnight = (Fator por dia útil –1) x 30 x 100 
Portanto, era perfeitamente factível que dois meses com iguais expectativas de inflação e de juros reais 
apresentassem diferentes taxas overnight, caso tivessem um número distinto de dias úteis. 
 
 
 
25 
 Taxa CDB = [(1 + 0,0017)
18
] [(1 + 0,0019)
3
] -1 = 3,693434% 
 A taxa efetiva, por dia útil, desse CDB seria de 1,72857%. Podemos notar que 
essa taxa é superior à taxa efetiva por dia útil do CDB do exemplo 1. 
 Em relação ao primeiro caso exposto, a única diferença de dados encontra-se no 
acréscimo de um dia corrido e de um dia útil durante o prazo do CDB. A diferença 
devida a esse acréscimo de dia útil será: 
 Diferença = (1,03693434/1,034967903) - 1 = 0,19% 
Essa diferença nada mais é do que a taxa efetiva por dia útil do mês seguinte. 
 Com base no acima exposto, podemos concluir que CDBs de mesmo prazo (por 
exemplo, 30 dias) apresentarão taxas efetivas diferentes no período, em função da 
diferença dos dias úteis contidos nos mesmos, bem como da diferença de taxas entre os 
dois meses considerados, mesmo assumindo que as taxas de juros previstas para os dois 
meses sejam iguais. 
 À medida que a inflação foi cedendo, após o Plano Real, os bancos passaram a 
utilizar as informações embutidas nos contratos futuros de taxa de juros. Na realidade, o 
mercado futuro é um meio barato, rápido e seguro para as instituições bancárias obterem 
as informações necessárias à definição de suas taxas de CDB. Na medida em que as 
taxas dos contratos futuros embutem não apenas taxas de juros reais, como também 
expectativas de inflação, tornou-se vantajoso trabalhar com essas expectativas, ao invés 
de tornar mais pesada a estrutura administrativa da instituição e os seus custos com 
divisões especializadas na estimativa das estimar taxas de inflação. Ademais, é razoável 
supor que o mercado é mais sábio do que uma instituição individual. 
 
Mercado Futuro 
Contrato Dias úteis a decorrer Taxa (% ao ano) 
Mês t + 1 17 20,05 
Mês t + 2 40 19,49 
 
 A taxa média de juros, expressa em termos anuais, para cada um dos 17 dias 
úteis que restam para terminar o mês t é dada por 20,05% ao ano (ano brasileiro, com 
252 dias úteis) 
 O mercado futuro também faz estimativa para as taxa de juros que serão 
praticadas nos meses subseqüentes ao corrente. A previsão da taxa de juros, expressa 
 
 
 
26 
em termos anuais, para os dias úteis do mês subseqüente ao t, ou seja o mês t + 1, é 
19,49% ao ano. 
Os bancos comerciais costumam lançar mão das informações embutidas nas 
taxas de juros praticadas no mercado futuro para constituição de suas taxas de CDB. 
Assim, se imaginarmos um CDB emitido na data em que coletamos as informações 
acima, constituído de 22 dias úteis, sendo 17 do mês corrente e 5 do seguinte, 
poderíamos calcular a taxa efetiva acumulada para o CDI da seguinte forma: 
 Taxa Efetiva Estimada do CDI no período = [(1,2005)
17/252
 x (1,1949)
5/252
 - 1] x 100 
 Taxa Efetiva Estimada do CDI no período 

1,60 % no período de 22 dias úteis 
 Taxa Anual Média Equivalente do CDI = 19,92% ao ano 
 A taxa do CDI é, usualmente, a taxa mais alta de captação, quando o Banco 
precisa captar, e é também a mais baixa para aplicação, quando existem recursos para 
serem aplicados. 
 Em geral, o Banco concederá ao adquirente do CDB um percentual da taxa 
estimada do CDI. Suponhamos seja 95%. Assim a taxa do CDB será: 
 Taxa do CDB = {[(1,016)
1/22
 – 1] x 0,95 + 1}252 x 100 = 18,86% ao ano 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
27 
8. Equivalência de Capitais 
 Dois ou mais fluxos de caixa são ditos equivalentes à dada taxa de juros, em 
determinada data, se os respectivos valores atuais naquela data, calculados com essa 
mesma taxa, forem iguais. 
 OBS. 1: Se dois capitais são, financeiramente, equivalentes em dado instante sob 
regime de capitalização composta, eles serão equivalentes em qualquer outro momento, 
sob esse mesmo regime. 
 Exemplo: O capital de $1.000,00, à época 0, é equivalente financeiramente, no instante 
1, ao capital de $1.050,00, sob o regime de capitalização composta, à taxa de 5%. 
 Logo, no instante 2, eles são equivalentes: 
 1.000 (1 + 0,05)
2
 = 1.102,50 
 OBS. 2: O regime de capitalização simplesnão tem essa propriedade: 
 1.000 (1 + 2 x 0,05) = 1.100 
 1.050 (1 + 0,05) = 1.102,50 
 Exercício Resolvido 
 Suponha o seguinte plano de financiamento para amortizar certo capital: 
pagamento de $130.000,00 daqui a 3 meses, $220.000,00 daqui a 6 meses e 
$500.000,00 daqui a 1 ano. 
 Caso se queira reformular este plano de maneira que sejam feitos apenas dois 
pagamentos iguais, o primeiro em 9 meses e o segundo em 1 ano, sendo acertado o 
custo do dinheiro como sendo igual a 9,50% a.m. (juros compostos), qual o valor destas 
duas parcelas iguais? 
 Solução 
 Escolhendo daqui a 9 meses como o instante de tempo para estabelecer a 
equivalência financeira e igualando ambos os fluxos: 
 130.000.(1+0,0950)
6
 +220.000(1+0,0950)
3
 +500.000/(1+0,0950)
3
 = x+ x/(1+ 0,0950)
3
 
 x.[1 + 1/(1,0950)
3
] = 893.764,93 
 x = 507.344,24 
 Para comprovar o conceito aqui estabelecido, iremos escolher daqui a 12 meses 
para estabelecer a equivalência financeira e comprovar a não alteração do resultado: 
 130.000(1 + 0,0950)
9
 + 220.000(1 + 0,0950)
6
 + 500.000 = 
 x.(1 + 0,0950)
3
 + x = x.[(1 + 0,0950)
3
 + 1] = 1.173.452,92 
 x = 507.344,24 
 
 
 
28 
 9. Anuidades 
Define-se como anuidade, renda certa ou série, uma sucessão de pagamentos ou 
recebimentos, exigíveis em épocas preestabelecidas, destinada a liquidar uma dívida ou 
formar um capital. Em outras palavras, anuidade ocorre quando o mesmo montante de 
dinheiro é pago ou recebido periodicamente. 
9.1. Anuidades Periódicas Postecipadas (Inteira, Constante) 
Para entendimento da sistemática de cálculo de diversas operações que são 
cursadas no âmbito do mercado financeiro, iremos abordar, inicialmente, o caso das 
anuidades inteiras, constantes, periódicas e postecipadas. 
 Anuidade Inteira: É aquela em que a época de pagamento coincide com os períodos de 
capitalização de juros considerada. 
 Anuidade Constante: É aquela em que todos os pagamentos (ou recebimentos), que 
compõem uma série, são iguais. 
 Anuidade Periódica: É aquela em que os pagamentos (ou recebimentos) são exigidos 
em épocas cujos intervalos de tempo são iguais. 
 Anuidade Postecipada: É aquela série periódica cujos pagamentos (ou recebimentos) 
são efetuados no fim de cada intervalo de tempo a que se referir a taxa de juros 
considerada. 
 Por hipótese, n será o momento escolhido para estabelecer a equivalência 
financeira. Levando todo o fluxo para o instante de tempo escolhido para se estabelecer 
a equivalência financeira, temos que: 
PV(1+i)
n
 = PMT(1+i)
(n - 1) 
+ PMT(1+i)
(n - 2) 
+... + PMT(1+i) + PMT 
 PV(1+i)
n
 = PMT[1 + (1 + i) + ... + (1 + i)
(n - 1)
] 
 Entre colchetes encontra-se a soma dos termos de uma PG, cuja soma é: 
 Sn = (an.q - a1)/(q - 1) 
 Onde: 
 a1 = 1º termo 
 an = último termo 
 q = razão 
 Assim, temos que: 
 Sn = [(1 + i)
(n - 1)
 x (1 + i) - 1]/[(1 + i) - 1] 
 Sn = [(1 + i)
n
 - 1]/[(1 + i) - 1] 
 
 
 
29 
 Sn = [(1 + i)
n
 - 1]/i 
 PV(1+i)
n
 = PMT{[(1 + i)
n
 - 1]/i} 
 PMT = [PV(1+i)
n 
 x i]/[(1 + i)
n
 - 1] 
 Exemplo: Calcular a prestação que amortiza um financiamento de $1.100.000,00, a 
qual ocorre em 5 prestações mensais iguais, a uma taxa de 9% a.m. 
 PV = 1.100.000 
 n = 5 meses 
 i = 9% a.m. 
 PMT = ? 
 PMT = {1.100.000[0,09(1 +0,09)
5
]/[(1 + 0,09)
5
 - 1]} 
 PMT = 282.801,70 
 Pode-se também utilizar a HP-12C.A tecla PMT calcula as prestações 
constantes. 
 Dado Tecla Resultado 
 5 n 5,00 
 9 i 9,00 
 1.100.000 CHS PV -1.100.000,00 
PMT 282.801,70 
 
Cálculo do Valor do Principal (PV) a partir das Prestações Constantes (PMT), da 
 Taxa de Juros e do Prazo 
 
 Sendo: PMT = PV [(1+i)
n
 x i]/[(1 + i)
n
 - 1] 
 Invertemos e obtemos: PV = PMT {[(1+i)
n
 - 1]/[(1 + i)
n
 x i]} 
 Exercícios resolvidos: 
 1) Um investidor se dispõe a comprar uma dívida garantida, constituída por 12 
títulos de 100.000,00, vencíveis a cada 30 dias. 
 Desejando uma rentabilidade de 9,0% a.m., por quanto deve adquirir os títulos ? 
 Dados: 
 n = 12 
 PMT = $100.000,00 
 i = 9,0% a.m. 
 PV = ? 
 
 
 
30 
 PV = 100.000{[(1 + 0,09)
12
 - 1]/[(1 + 0,09)
12
 x 0,09]} 
 PV = 716.072,53 
 Resolvendo pela HP-12C, temos que: 
 12 n 
 100.000 PMT 
 9,0 i 
 PV -----> 716.072,53 
 2) Um empréstimo de $2.200.000,00 deve ser pago em 18 meses, com carência 
de 6 meses (1º prestação será paga no 7º mês). 
 Qual o valor das 12 mensalidades iguais, supondo que a taxa de juros seja de 8% a.m. 
 Dados: 
 n = 12 
 PV = 2.200.000 
 i = 8% a.m. 
 PMT = ? 
 Solução 
 FV6 = PV(1 + r)
6 
 FV6 = 2.200.000 (1 + 0,08)
6 
 FV6 = 3.491.123,51 
 PMT = PV [(1+r)
n
 x r]/[(1 + r)
n
 - 1] 
 PMT = 3.491.123,51{[0,08(1 + 0,08)
12
]/[(1 + 0,08)
12
 - 1]} 
 PMT = 463.254,69 
 Resolvendo com a HP-12C, teríamos: 
 6 n 
 2.200.000,00 CHS PV 
 8,00 i 
 FV ---------> 3.491.123,51 
 f CL REG 
 12 n 
 3.491.123,51 CHS PV 
 8 i 
 PMT -----------> 463.254,69 
 
 
 
 
31 
 3) Seja um financiamento com as seguintes características: 
 Principal: 750.000 
 Taxa efetiva: 7% a.m. 
 Quantidade de pagamentos: 6 
 Modalidade de pagamento: mensais iguais 
 Pede-se o valor da prestação mensal: 
 Solução 
 PMT = PV [(1+i)
n
 x i]/[(1 + i)
n
 - 1] 
 PMT = 750.000{[0,07(1 + 0,07)
6
]/[(1 + 0,07)
6
 - 1]} 
 PMT = 157.346,85 
 Alternativamente, teríamos que:: 
 6 n 
 750.000 CHS PV 
 7 i 
 PMT ----> 157.346,85 
Quando uma anuidade periódica postecipada apresenta um número de períodos muito 
grande, pode ser conveniente considerá-lo com tendente a infinito. O valor presente 
dessa anuidade, comumente denominada perpetuidade, é dado pela seguinte fórmula: 
PV = 
lim
n
PMT {[(1+i)
n
 - 1]/[(1 + i)
n
 x i]} 
PV = PMT
lim
n
[(1+i)
n
 - 1]/[(1 + i)
n
 x i] 
PV = PMT
lim
n
{(1+i)
n
 /[(1 + i)
n
 x i] - 1/[(1 + i)
n
 x i]} 
PV = PMT/i 
PMT = PV x i 
A fórmula indica que uma perpetuidade corresponde aos juros da quantia devida. Em 
outras palavras, quando o devedor efetua apenas o pagamento dos juros, não havendo a 
amortização do principal, a dívida jamais será liquidada. 
 
 
 
32 
 
 
 
9.2. Anuidades Periódicas Antecipadas (Inteira, Constante) 
 (PV – PMT) (1 + i) n – 1 = PMT (1 + i)n – 2 + PMT(1 + i) n – 3 + ... + PMT (1 + i) + PMT 
 
 PV(1 + i)
n – 1
 = PMT + PMT( 1 + i) +...+ PMT(1 + i)
n – 3
 + PMT(1 + i )
n – 2
 + PMT(1 
+ i) 
n – 1
 
 
 PMT = [PV (1 + i)
n – 1
 x i]/ [(1 + i)
n
 – 1] 
 
 PV = PMT {[(1 + i) 
n – 1]/ [(1 + i) n – 1 x i]} 
 
10. Sistemas de Amortização 
 10.1. Conceitos Básicos 
 Os Sistemas de Amortização são rotinas matemáticas desenvolvidas para o 
controle de operações de empréstimos e financiamentos de longo prazo. Esse controle 
envolve basicamente o cálculo de juros e amortizações período a período. Analisaremos 
os Sistemas que operam sob o regime de juros compostos, nos quais a taxa de juros 
incide sempre sobre o saldo devedor da operação. 
Antes de passarmos à discussão dos Sistemas de Amortização, convém que 
sejam apresentados alguns conceitos fundamentais. 
 
 Amortização (A) 
 A amortização é o pagamento do capital efetuado por meio de parcelas pagas 
periodicamente. Em síntese, constitui a “devolução”do principal emprestado. 
 
 Prestação (PMT) 
 É o valor pago pelo devedor e consiste de duas parcelas: a amortização e os juros 
correspondentes ao saldo do empréstimo não reembolsado. 
 
 
 
33 
 Sendo assim, a prestação é dada por: 
 PMT = A + J 
 Os sistemas de Amortização mais representativos são o Sistema Francês de 
Amortização, a Tabela Price e o Sistema de Amortização Constante (SAC). 
 Na medida em que a Tabela Price é um caso particular do Sistema Francês de 
Amortização, na qual a taxa de juros é apresentada em termos nominais (na prática é 
dada em termos anuais) e as prestações têm período inferior ao que se refere a taxa de 
juros ( em geral realizadas em bases mensais), só discutiremos o Sistema Francês e o 
SAC. 
 
10.2. Sistema Francês de Amortização 
Esse Sistema de Amortização tem as seguintes características: 
 . Prestações constantes; 
 . Valor dos juros decrescentes e Amortizações crescentes ao longo da operação; 
 . Pagamentos periódicos e sucessivos. 
 O valor da prestação é calculado através da expressão que desenvolvemos para 
anuidades postecipadas (PMT = PV[(1+i)
n
 x i]/[(1 + i)
n
 - 1] ) ou com o auxílio da HP-
12C, conforme apresentamos anteriormente. 
 
 Exemplo: 
 Um empréstimo de R$53.895,51 foi concedido a uma empresa para ser liquidado 
em 10 meses por meio de pagamentos mensais, sem carência. A taxa de juros da 
operação foi de 2% ao mês. Construa a planilha de acompanhamento. 
 Dados: 
 N = № de períodos = 10 parcelas a serem pagas em 10 meses. 
 i = taxa de juros = 2% ao mês 
 PV = Valor Financiado = R$ 53.895,51 
 A prestação é calculada, conforme informamos anteriormente, por meio da 
expressão PMT = PV[(1+i)
n
 x i]/[(1 + i)
n
 - 1], ou através da HP-12C, como se segue: 
 53895,51 CHS PV 
2 i 
10 n 
 PMT ... 6000 
 
 
 
34 
 A partir das informações acima, podemos construir a planilha de 
acompanhamento: 
 
Mês Prestação Amortização Juros Saldo Devedor 
0 - - - 53895,51 
1 6.000,00 4.922,09 1.077,91 48.973,42 
2 6.000,00 5.020,53 979,47 43.952,89 
3 6.000,00 5.120,94 879,06 38.831,95 
4 6.000,00 5.223,36 776,64 33.608,59 
5 6.000,00 5.327,83 672,17 28.280,76 
6 6.000,00 5.434,38 565,62 22.846,37 
7 6.000,00 5.543,07 456,93 17.303,30 
8 6.000,00 5.653,93 346,07 11.649,37 
9 6.000,00 5.767,01 232,99 5.882,35 
10 6.000,00 5.882,35 117,65 0,00 
 
 
Independentemente da prestação, o valor da amortização é calculado por 
intermédio da seguinte expressão: 
 A = PMT – J 
 O valor dos Juros é calculado da seguinte forma: 
 Juros de PMTn (enésima prestação) = i (como os 2% do nosso exemplo) x Saldo 
Devedor n – 1. 
 O saldo devedor em n é calculado deduzindo-se do saldo devedor em (n – 1) a 
amortização (A) paga em n. 
 
 
 
 
 
 
 
 
35 
10.3. Sistema de Amortizações Constantes (SAC) 
 O SAC é um sistema que tem como característica principal a existência de 
amortizações constantes. 
 As demais características do SAC são as seguintes: 
 . Prestações decrescentes, diminuindo sempre de uma determinada magnitude; 
 . Juros decrescentes; e 
 . Pagamentos periódicos e sucessivos. 
 O valor da Amortização é calculado da seguinte maneira: 
 A = C 0 / n 
 No exemplo utilizado para ilustrar o Sistema Francês de Amortização, a planilha 
do SAC seria a seguinte, considerando o seguinte valor para a amortização: 
 A = 53.895,51/10 
 A = 5.389,55 
 Mês Prestação Amortização Juros Saldo Devedor 
0 - - - 53895,51 
1 6.467,46 5.389,55 1.077,91 48.505,96 
2 6.359,67 5.389,55 970,12 43.116,41 
3 6.251,88 5.389,55 862,33 37.726,86 
4 6.144,09 5.389,55 754,54 32.337,31 
5 6.036,30 5.389,55 646,75 26.947,76 
6 5.928,51 5.389,55 538,96 21.558,20 
7 5.820,72 5.389,55 431,16 16.168,65 
8 5.712,92 5.389,55 323,37 10.779,10 
9 5.605,13 5.389,55 215,58 5.389,55 
10 5.497,34 5.389,55 107,79 0,00 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
36 
11. Valor Presente Líquido (VPL) 
As decisões de orçamento de capital (Capital Budgeting Decisions) estão entre 
as decisões empresariais mais importantes. Diferentes técnicas foram desenvolvidas 
para fundamentar a tomada de decisão relacionada ao orçamento de capital, incluindo a 
taxa interna de retorno e o valor presente líquido. Elas contribuem para moldar as 
oportunidades futuras das firmas, uma vez que influenciam, entre outras coisas, sua 
tecnologia, seus processos, suas práticas de trabalho e sua lucratividade (Smith, 1994). 
Os métodos de orçamento de capital necessitam de previsões precisas em relação 
a diversas variáveis, tais como gastos de capital, custos, fluxos de caixa etc. Supõe-se 
que a taxa de desconto contempla todos os riscos do projeto, incluindo a volatilidade 
das variáveis. O método tradicional é baseado em estimativas pontuais das variáveis 
relevantes, as quais são, subseqüentemente, descontadas para calcular uma única taxa 
interna de retorno (TIR) ou um único valor presente líquido (VPL) para o projeto. 
Emprega-se, então, essa magnitude do VPL ou da TIR como critério decisório. 
O método do valor presente líquido ou valor atual líquido, é caracterizado, 
basicamente, pela transferência à data zero das entradas e saídas do fluxo de caixa 
associado ao projeto, tendo como base de cálculo sua taxa mínima de atratividade. A 
taxa mínima de atratividade está associada a um baixo risco. Qualquer excedente de 
caixa pode ser sempre aplicado à taxa mínima de capital, cujo conceito se sobrepõe ao 
de custo de oportunidade do capital que porventura seja alocado em alternativa distinta 
da remunerada pela taxa mínima de atratividade. 
Suponha um investimento para o qual se estime a ocorrência de fluxos 
financeiros líquidos positivos (Rj) e cujo investimento inicial seja C0. O fluxo de 
entradas líquidas tem, caso admitamos uma taxa de juro i preestabelecida (o custo de 
oportunidade do capital), o valor presente líquido (VPL) calculado segundo a seguinte 
fórmula: 
 
VPL = -C0 + 
 

 
n
n
i
Rj
1j 1
 
Quando se considera o critério que possibilita tomar decisão acerca da 
viabilidade financeira de determinado projeto, a regra decisória referente ao valor 
 
 
 
37 
presente líquido depende do sinal do VPL. Se o valor presente líquido for positivo 
(VPL > 0), o projeto deverá ser aceito; caso contrário, deverá ser recusado. Quanto 
maior o VPL, mais interessante será o projeto de investimento, pois o resultado positivo 
significa que o valor presente das entradas supera o valor presente das saídas de caixa. 
Em outras palavras, o valor que se atribui, no presente, aos recebimentos futuros supera 
o valor do investimento inicial necessário à implementação do projeto. 
Os projetos convencionais aparecem com mais freqüência. Projeto convencional 
é aquele no qual a seqüência de entradas e saídas de caixa apresenta uma única mudança 
de sinal. No modelo do valor presente líquido, o analista prevê o fluxo de caixa líquido 
gerado pelo projeto, o qual é, então, atualizado para se obter o VPL. Um VPL positivo 
leva, conforme vimos acima, à aceitação do projeto. Quando levamos em conta a 
incerteza, a taxa de desconto torna-se o único fator de risco. Ela passa a desempenhar 
papel de vital importância, pois deve refletir não apenas o custo de oportunidade do 
capital, como também o risco do projeto (Amirkhalili, 1997). 
 
Exemplo: 
 A Macroaction Corporation pretende construir uma planta industrial. Após as 
análises de mercado usuais, ela estima os fluxos de caixa abaixo relacionados. Sabe-se,ademais, que o custo mínimo de atratividade para a alta direção é de 15% ao ano. Avalie 
a viabilidade econômica do projeto pelo critério do valor atual líquido. 
 
Período Investimento 
Lucros Anuais 
Líquidos 
0 -100 0 
1 0 40 
2 0 50 
3 0 60 
 
VPL = -100 + 40/[(1 + 0,15)] + 50/[(1 + 0,15)
2
] + 60/[(1 + 0,15)
3
] 
VPL = 12,04 
 
 
 
 
38 
12. Taxa Interna de Retorno (TIR) 
Há duas regras decisórias equivalentes. Primeiramente, investe-se no projeto 
quando seu valor presente líquido é positivo. Alternativamente, toma-se a mesma 
decisão quando a taxa interna de retorno é superior à taxa de juros relevante – o custo de 
oportunidade do capital ou a taxa mínima de atratividade. 
A taxa interna de retorno é aquela que torna os valores presentes das rendas 
esperadas do investimento igual ao custo do investimento. Os recursos disponíveis serão 
alocados nos investimentos que apresentarem as maiores taxas internas de retorno, 
sendo descartados aqueles que exibirem taxa interna de retorno aquém do custo de 
oportunidade do capital. 
A maior parte dos empresários prefere empregar a taxa interna de retorno (TIR) 
do projeto como critério decisório, enquanto os acadêmicos enfatizam a superioridade 
conceitual do Valor Presente Líquido (VPL). Independentemente da preferência, seja 
TIR ou VPL, as diferentes variáveis devem ser previstas. São empregadas, então, 
estimativas pontuais das variáveis e uma única TIR (ou VPL). 
A taxa mínima de atratividade desconta o fluxo líquido da proposta a um 
instante de tempo prefixado, o qual por convenção é o presente. 
A taxa interna de retorno é a taxa de desconto que iguala o valor presente das 
entradas ao valor presente do investimento. Em outras palavras, a taxa interna (TIR) de 
um projeto convencional é a taxa de juros i para a qual o seu VPL é nulo, constituindo-
se, desse modo, na taxa de desconto máxima que garante a viabilidade do projeto. 
Quando consideramos a incerteza, a TIR também constitui fator único de risco. 
 O procedimento para cálculo da TIR é o seguinte: 
 
0 = - C0 + 
 



n
TIR
n
Rj
1j
1
 
 
 
 
 
 
39 
Julga-se a viabilidade do projeto da seguinte maneira: se a TIR for superior à 
taxa de atratividade, o projeto é viável. Caso contrário, é inviável. 
O critério da TIR explica porque há, em termos macroeconômicos, uma relação 
negativa entre a taxa de juros e o volume de investimento. Isso ocorre porque quando a 
taxa de juros diminui, vários projetos de investimento, inviáveis a taxas mais elevadas, 
se tornam viáveis. Ou seja, a TIR desses projetos passa a ser superior à taxa mínima de 
atratividade. 
 
Exemplo: 
 Consideremos uma vez mais o estudo da Macroaction Corporation, cuja taxa 
mínima de atratividade foi preestabelecida em 15% ao ano. Vamos, então, avaliar a 
viabilidade econômica do projeto pelo critério da TIR. 
 
Período Investimento 
Lucros Anuais 
Líquidos 
0 -100 0 
1 0 40 
2 0 50 
3 0 60 
 
0 = -100 + 40/[(1 + TIR)] + 50/[(1 +TIR)
2
] + 60/[(1 + TIR)
3
] 
 
A solução financeira da equação acima pode ser obtida por método de “tentativa 
e erro”. Na realidade, um polinômio do enésimo grau apresenta n raízes. Embora 
constituam soluções matemáticas válidas do polinômio, as raízes negativas são, se 
existentes, desprezadas no âmbito financeiro.As máquinas financeiras operam por 
tentativa e erro, buscando a raiz positiva, a qual é a própria TIR, que satisfaça a 
equação acima. O cálculo da TIR não apresenta maiores dificuldades quando 
relacionado a fluxos de caixa convencionais. A única restrição seria a infinidade de 
contas realizadas, o que não constitui qualquer embaraço para uma máquina de calcular 
financeira. Na seção abaixo, mostramos como obter a TIR de um projeto com a HP-
12C. No caso em tela, a TIR é aproximadamente 21,65% ao ano, o que implica que o 
 
 
 
40 
projeto estudado pela Macroaction Corporation é viável, sob o ponto de vista 
financeiro, à taxa mínima de atratividade estabelecida (15% ao ano). 
 
 Teclas da HP-12C que resolvem problemas de Valor Presente e Taxa Interna de 
Retorno 
 1) NPV (Valor Presente Líquido) 
 2) IRR (Taxa Interna de Retorno) 
 3) CF0 (Fluxo de caixa inicial) 
3) CFj (Fluxo de caixa, excluído o inicial) 
4) Nj (Armazena o número de vezes que cada fluxo de caixa ocorre, considerando 1 o 
número de vezes, caso outro número não seja especificado). 
 
Exemplo: Resolva o problema analisado pela Macroaction Corporation pelo Método 
do Valor Atual e pelo método da Taxa Interna de Retorno (TIR), utilizando a HP-12C. 
Dado Tecla Resultado Observações 
15 i 15,00 Taxa de atratividade 
100 CHS g CF0 -100,00 Inv. Inicial 
40 g CFj 40 Fluxo de Caixa 
50 g CFj 50 Fluxo de Caixa 
60 g CFj 60 Fluxo de Caixa 
f NPV 12,04 Valor Atual Líquido 
Aceita-se o projeto, pois o Valor Atual Líquido resultou positivo. 
b) TIR 
Dado Tecla Resultado Observações 
100 CHS g CF0 -100,00 Inv. Inicial 
40 g CFj 40 Fluxo de Caixa 
50 g CFj 50 Fluxo de Caixa 
60 g CFj 60 Fluxo de Caixa 
f IRR 21,65 Taxa Interna de Retorno 
 O projeto deve ser aceito, uma vez que a TIR (21,65% ao ano) > 15% ao ano. 
 
 
 
41 
 
Conclusão 
O presente trabalho desenvolveu as questões mais importantes da matemática 
financeira convencional, apresentou o mercado futuro brasileiro de taxa de juros e 
apresentou a metodologia utilizada na formação das taxas de juros dos CDB prefixados, 
empregando as expectativas de taxas de juros embutidas nos contratos de DI-Futuro. 
Raciocínio análogo poderia ser aplicado ao cálculo dos preços unitários (P.U.), 
propostos em ofertas públicas de títulos prefixados, como as de Letras do Tesouro 
Nacional (LTN). Partimos do suposto que a aplicação da matemática financeira a 
problemas específicos do mercado financeiro nacional, mostrando as suas 
peculiaridades, tornaria a matéria não apenas mais útil ao leitor, como o seu estudo mais 
estimulante. 
Muitos outros tópicos correlatos poderiam ser abordados a partir desse ponto, 
tais como duration, convexidade e simulação. 
O tratamento do risco por meio de simulação merece algumas observações 
adicionais. 
Desenvolvida no início da década de 1960, a simulação de Monte Carlo constitui 
uma poderosa ferramenta de simulação. A técnica de simulação envolve a modificação 
randômica das variáveis que provocam impacto sobre os fluxos de caixa, calculando-se 
o VPL resultante. Isso pode ser repetido um número muito grande de vezes, resultando 
um intervalo de valores para o VPL projetado, o que possibilita atribuir probabilidades 
aos valores positivos do VPL. O problema é, dessa maneira, obter um intervalo 
significativo para os possíveis valores de VPL. Obviamente que a complexidade dos 
cálculos restringiu, inicialmente o seu uso. Com o desenvolvimento da informática, 
houve disseminação da técnica, notadamente com o surgimento de softwares específicos 
de simulação, tais como o @Risk e o Crystal Ball. 
A partir de um modelo convencional de investimento, a simulação de Monte 
Carlo envolve, dessa maneira, a substituição de estimativas de fluxos de caixa líquidos 
para cada ano, com distribuições de probabilidade para cada fator que afeta o fluxo de 
caixa, tais como a receita, os custos operacionais ou o market share. Cada distribuição 
de probabilidade empregada reflete a incerteza associada ao fator correspondente. 
Portanto, um fator cujo valor seja incerto pode ser modelado por meio de uma 
 
 
 
42 
distribuição de probabilidade mais dispersa, ao passo que um fator cuja previsão sejamaior ou se caracterize por apresentar o nível pequeno de incerteza deve ser modelado 
por uma distribuição de probabilidade menos dispersa. 
Seleções randômicas descontadas de fluxos de caixa são combinadas para 
fornecer uma estimativa do valor presente líquido (VPL) do projeto de investimento. 
Todo processo se repete um número muito grande de vezes, objetivando gerar não um 
único valor de VPL, mas uma distribuição de valores presentes líquidos. A dispersão da 
distribuição do valor presente líquido reflete o nível de incerteza relacionado ao fluxo 
de caixa do projeto de investimento. 
Embora haja uma enorme gama de assuntos de enorme interessa, os quais serão 
discutidos em outras disciplinas de Finanças, acreditamos que o leitor está mais bem 
municiado para enfrentar não apenas as situações mais freqüentes da gestão financeira, 
como também os futuros desafios conceituais com os quais se deparará no decorrer do 
curso. 
 
 
 
 
 
43 
 
BIBLIOGRAFIA 
 
AMIRKHALILI, R. Risk and capital budgeting. AACE International Transactions, p. 
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FINANCEIROS E DE CAPITAIS. 30 ANOS DE Selic: histórias que fizeram história. 
Rio de Janeiro, 2009. 
 
DALTON, B. Financial products: an introduction using mathematics and Excel. 
Cambridge: Cambridge University Press, 2008. 
 
FABOZZI, F.J. Mercados, Análise e Estratégias de Bônus (Títulos de Renda Fixa). 
Rio de Janeiro: Qualitymark, 2000. 
 
FORTUNA, E. Mercado Financeiro: produtos e serviços. 17ª. Ed. Ver. E atual. Rio 
de Janeiro: Qualitymark, 2010. 
 
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____________________. Matemática financeira - uma abordagem moderna. São 
Paulo: Lapponi Treinamento e Editora Ltda, 1995. 
 
 
 
 
44 
____________________. Excel & cálculos financeiros: introdução à modelagem 
financeira. São Paulo: Lapponi Treinamento e Editora Ltda, 1999. 
 
LION, O.M.B. Matemática Financeira Aplicada ao Mercado Aberto. Rio de Janeiro: 
IBMEC, 1985. 
 
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conceitos, operações e estratégias. Rio de Janeiro: Record, 2005. 
 
NEVES, César. Análise de Investimentos - Projetos Industriais e Engenharia 
Econômica. Rio de Janeiro: Editora Guanabara, 1981. 
 
PEREIRA, F.G. Títulos públicos sem segredos: guia para investimento no Tesouro 
Direto. Rio de Janeiro: Elsevier, 2009. 
 
PUCCINI, Abelardo de Lima. Matemática financeira: objetiva e aplicada. São Paulo: 
Saraiva, 1999. 
 
SECURATO, J.R. (Org.) – Cálculo Financeiro das Tesourarias – Bancos e 
Empresas. São Paulo: Saint Paul: 2. ed., 2000. 
 
SMITH, D.J. Incorporating risk into capital budgeting decisions using simulation. 
Management Decision, v. 32, n. 9, p. 20-26, 1994. 
 
VIEIRA, P.R.C. ; CARVALHO, F. Imagem e Reputação da Autoridade Monetária: uma 
nova abordagem para avaliação da credibilidade de bancos centrais. Anais do EnAPG 
2004. Rio de Janeiro: ANPAD, 2004. 
 
 
 
 
45 
Material Complementar 
Exercícios de Fixação - Juros Simples e Desconto Bancário 
 
1) A Loja Esperança de Casamento Ltda. possibilita a seus clientes o pagamento de suas 
compras a prazo. Sabendo que uma compra de $5.000,00, para pagamento à vista, 
corresponde a um montante de $ 5.505, para pagamento a prazo, pede-se calcular o 
período oferecido, uma vez que a taxa de juros da Esperança é, no regime de juros 
simples, de 5 % ao mês. 
 
2) A empresa Corruptela Tela de Arame Ltda. objetivava ampliar as suas instalações e 
acordou com o Banco Ilegalidade Regional um empréstimo de $ 6.000.000,00, tendo 
sido incluído neste montante os juros devidos e com vencimento em 10 anos. 
Jeremias Corruptela, o diretor financeiro da empresa, avaliou as taxas de juros 
cobradas por outras instituições bancárias e verificou que a taxa de juros, sob o 
regime de juros simples, oferecida por todas as instituições para qualquer tipo de 
aplicação situava-se no patamar de 10% ao ano. Qual o capital inicial que a 
Corruptela necessitaria aplicar hoje para resgatar a dívida, por ocasião de seu 
vencimento. 
 
3) O diretor financeiro da Indústria de Grampos Resende Ltda. dispõe de $ 120.987,00 
em duplicatas. O Banco Honestonildo S.A. está disposto a realizar o desconto das 
duplicatas, antecipando-lhe o montante de $119.563,00. Sabendo que os títulos 
vencerão em 60 dias, pede-se determinar a taxa de juros que a conceituada instituição 
bancária cobra neste tipo de operação, considerando-se a modalidade de juros 
simples. 
 
4) A Cia. De Aviação Céu de Brigadeiro S.A. aplicou parte das “sobras” de caixa, no 
valor de $1.000.000,00, por quatro meses, no banco América do Norte, a uma taxa de 
1,2% ao mês, na modalidade de juros simples. Calcule o montante a ser resgatado ao 
final da aplicação. 
 
5) Dados P, n e i, calcule S. 
a) P = 5.000; i= 3% ao mês; e n = 15 meses. 
 
 
 
46 
b) P = 54.000; i = 8% ao mês; n = 32 meses. 
 
6) Calcule o montante obtido pela aplicação de um capital de $100.000 pelo prazo de 1 
ano à taxa de juros simples de 5% ao mês. 
 
7) Dados S, n e i, calcule P. 
a) S = 20.000; i = 3% ao trimestre; n= 5 trimestres. 
b) S = 45.000; i = 5% ao mês; n = 150 dias. 
 
8) Dados S, P e n, calcule i. 
a) S = 50.000; P = 20.000; n = 10 trimestres. 
b) S = 3.200; P = 1.500; n = 15 anos. 
 
9) Dados S, P e i, calcule n. 
a) S = 22.000; P = 14.193,55; i = 5% ao mês. 
b) S = 100.000; P = 80.000; i = 15% ao semestre. 
 
10) Mauricinho aplicou o seu 13º salário a juros simples de 5% ao mês. Parte do valor 
foi aplicado durante 4 meses. O resgate foi no montante de $800. O restante foi 
aplicado durante 10 meses e o resgate foi de $2.080. De quanto foi a aplicação? 
 
11) A que taxa devemos aplicar certo capital, para que ele dobre em 16 meses? E para 
dobrar em 24 meses? 
 
12) Qual o prazo de uma aplicação, à taxa de 5% ao mês, para que o capital triplique ? 
 
13) Por quanto tempo devo aplicar R$2.500,00, à taxa de 7,5% ao mês, para obter um 
resgate de R$3.250,00? 
 
14) Qual o valor dos juros correspondentes a uma aplicação de R$11.000,00 pelo prazo 
de 7 meses, sabendo-se que a taxa cobrada é de 2,3% ao mês? E o valor de resgate? 
 
 
 
 
47 
15) Um capital de R$75.000,00 é emprestado por 6 meses, rendendo juros no valor de 
R$ 2.452,89. Calcular a taxa da operação. 
 
16) Uma aplicação em dólares no valor de US$55.000 rendeu US$9.350 em 14 meses. 
Qual a taxa anual e mensal da aplicação? 
 
17) Uma dívida deve ser paga em 3 vezes, nos valores de R$3.000,00, R$4.500,00 e 
R$5.000,00, com vencimentos em 40, 90 e 120 dias, respectivamente. Como a taxa 
de juros é de 3% ao mês no regime de juros simples, calcular o valor presente da 
dívida. 
 
18) Uma instituição financeira descontou uma Nota Promissória com valor de face de 
R$21.240,00 para um prazo de 35 dias. Sabendo-se que a taxa de desconto foi de 
9,42% ao mês, calcular o desconto e o valor liberado ao cliente. 
 
19) Qual o valor da duplicata descontada à taxa de 5% ao mês, 45 dias antes do seu 
vencimento, proporcionando ao tomador de recursos o valor de R$ 7.800,00? 
 
20) Uma duplicata de R$42.000,00 foi descontada à taxa de 3,3% ao mês, 30 dias antesdo seu vencimento. Calcular o valor liberado e a taxa efetiva mensal da operação, 
considerando o regime de juros simples. 
 
21) Qual é o valor do desconto bancário de um título de R$5.000,00, com vencimento 
para 36 dias, à uma taxa de 8,8% ao mês? Qual é a taxa efetiva mensal da 
operação? 
 
22) Uma duplicata no valor de R$7.100,00 é descontada por um banco, gerando um 
crédito de R$6.993,50 na conta de um cliente. Sabendo-se que a taxa cobrada foi de 
3% ao mês, calcular o prazo. 
 
 
 
 
 
 
48 
23) Com problema de liquidez, uma empresa solicita a um banco uma operação de 
desconto, apresentando como garantia 3 títulos nos valores de R$5.000,00, 
R$3.400,00 e R$4.100,00, com prazos de vencimento de 30, 37 e 42 dias, 
respectivamente. Sabendo-se que a taxa de desconto é de 4% ao mês, calcular o 
valor total liberado a esta empresa. 
 
24) Um título de R$4.500,00 foi descontado 30 dias antes do seu vencimento à taxa de 
4% ao mês, gerando um crédito de R$4.320,00 na conta da empresa. Qual é o custo 
efetivo mensal da transação ou a taxa de juros efetiva mensal da operação ? 
 
25) A Indústria de Sorvetes Gelinho Ltda ampliou as suas instalações e negociou com o 
Banco de Financiamento Nacional um empréstimo no valor de $3.900.000,00, valor 
com os juros já incorporados e com vencimento para cinco anos. O Sr. 
Epaminondas, gerente financeiro da Gelinho, estudou as taxas de alguns bancos e 
constatou que, caso desejasse aplicar na modalidade de juros simples, obteria uma 
taxa de 6% ao ano. Qual o capital que a Gelinho precisaria aplicar hoje para dispor 
do montante necessário para quitar o empréstimo, por ocasião do seu vencimento? 
 
 
 
 
49 
 
Exercícios de Fixação - Juros Compostos 
 
1) Qual é o montante de $50.000 aplicados à taxa de juros composta de 3% ao mês 
para 2 meses ? 
 
2) Qual é o capital aplicado à taxa de juros de 50% ao semestre, capitalizados à taxa de 
juros de 50% ao semestre, que resulta em um montante de $ 540.000 após 1 ano ? 
 
3) Na porta de um grande banco encontra-se um cartaz onde se lê: “Aplique hoje $ 
1.788 e receba $ 3.000 daqui a 6 meses”. Qual é a taxa mensal de juros que o banco 
está aplicando o dinheiro do investidor? 
 
4) A Cia. Estrela de Prata Ltda. Está ampliando a oferta de modalidades de pagamento 
do processador Star, seu principal produto. O sr. Castanho, supervisor de vendas, 
precisa elaborar uma tabela de preços para cada prazo de pagamento existente. O 
custo financeiro da Estrela de Prata é 2,3% ao mês. O preço para pagamento à vista 
é $ 125,00. Elabore uma tabela para os seguintes prazos: 
 
___________________________________________________________________ 
prazo (dias) 7 14 21 28 45 60 
 
5) O Armarinho Francisco Ltda realizou, num grande fabricante de linhas, uma compra 
de 5.000 rolos de linha, ao preço unitário de $2,18. A condição de pagamento, para 
o preço proposto, é contra entrega. No entanto, o fornecedor aceita faturar o material 
em até 28 dias, desde que o valor unitário passe para $2,35. Sabendo que o 
Armarinho Francisco está contraindo empréstimo à taxa de juros de 1% ao mês, 
determine qual é a condição mais favorável. 
 
6) Qual a taxa de juros compostos a que deveremos aplicar certo capital, para que ele 
dobre em 16 meses? E para dobrar em 24 meses? 
 
7) Qual o prazo de uma aplicação, à taxa de 5% ao mês, para que o capital triplique? 
 
 
 
 
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8) Calcular o valor de resgate de uma aplicação de R$6.000,00 pelo prazo de 12 meses, 
sabendo-se que a taxa cobrada é de 1,1% ao mês. 
 
9) Por quanto tempo deverá permanecer aplicada a quantia de R$670,00, à taxa de 
0,5% ao mês, para obter um resgate de R$751,44? 
 
10) O valor de R$3.400,00 é aplicado em um CDB por 2 meses, tendo sido resgatado o 
valor bruto de R$3.569,71. Calcular a taxa da operação? 
 
11) Calcular o valor presente de um título com valor de resgate de R$3.000,00, sabendo-
se que a sua taxa de juros é de 12% ao ano e o seu prazo de vencimento é de 15 
meses. 
 
12) Qual é o prazo para que uma aplicação de R$6.000,00 gere um valor de resgate de 
R$6.900,00, considerando-se uma taxa de juros de 1,05% ao mês? 
 
13) Ao vender um automóvel um empresário parcelou os recebimentos em 3 vezes, nos 
valores de R$10.000,00, R$9.500,00 e R$7.000,00, com vencimentos em 30, 60 e 
90 dias, respectivamente. Como a taxa de juros é de 4% ao mês, pede-se calcular o 
valor à vista do automóvel. 
 
14) Ainda considerando o exercício anterior, calcular o valor que deveria ser pago caso 
houvesse apenas um pagamento em 30 dias, à mesma taxa de juros de 4% ao mês. 
 
15) Dada a taxa de juros composta mensal de 2,45%, calcular as taxas diária, bimestral, 
semestral e anual. 
 
16) A Mineradora Morro Marrom Ltda é uma das maiores exportadoras de metais do 
país. Um dos seus principais produtos está cotado em $1.235,00 a tonelada, na 
condição à vista. No entanto, ela proporciona aos importadores a possibilidade de 
pagar em 180 dias, mediante garantias bancárias. Sabendo que a taxa de juros da 
Marrom é de 0,65% ao mês, sob o regime de juros compostos, qual o valor da 
tonelada que deverá constar da fatura internacional? 
 
 
 
51 
 
17) O Dr. Amilcar Cruz, diretor financeiro das indústrias reunidas Alto da Serra Ltda., 
fabricante de ferramentas abrasivas, disporá por cerca de seis meses de sobras de 
caixa da ordem de $2.500.000,00. Ele estuda duas alternativas de investimento: 
 
a) aplicar em uma conta de poupança que rende 0,36% ao mês; 
b) Aplicar em certificados de depósitos bancários, que propiciarão, ao final de seis 
meses, um rendimento líquido de $ 62.134,00. 
Determine qual a alternativa de investimento mais atraente do ponto de vista de 
retorno do investimento. 
 
18) Um cliente possui 3 opções de aplicação e quer saber qual é a melhor opção: 
 - Poupança que rende 17,00% ao mês 
- Fundo de curto prazo que rende 72,80% ao trimestre 
- CDB que rende 700% ao ano 
 
19) Quais as taxas mensal e semestral equivalentes à taxa de 750% ao ano ? 
 
20) Obter as taxas efetivas anuais equivalentes a uma taxa nominal de 240% a.a. com os 
seguintes períodos de capitalização. 
a. mensal 
b. trimestral 
c. semestral 
 
21) Um executivo tem as duas opções de aplicação a seguir. Qual é a melhor? 
a. 150% ao ano, com capitalização mensal; 
b. 200% ao ano, com capitalização semestral. 
 
22) Quanto terá daqui a dois anos um empresário que aplicou $1.000,00 à taxa de 220% 
ao ano, com capitalização mensal? 
 
23) Qual a taxa efetiva trimestral equivalente a uma taxa nominal de 200% ao ano, com 
capitalização mensal? 
 
 
 
 
52 
24) Uma pessoa possui três opções de taxa para tomar um empréstimo: a, b e c. Qual 
deverá escolher ? 
a. 24% para 35 dias. 
b. 229% para 178 dias. 
c. 884% para 345 dias. 
 
25) Um empresário pode optar pelas seguintes alternativas de aplicação: 
a. 18% para 330 dias. 
b. 9,98% para 188 dias. 
c. 2,55% para 45 dias. 
 Qual é a melhor opção? 
 
Juros Compostos – Exercício Adicional 
 
A Matasete Ltda. é uma empresa de conservação e limpeza empresarial. É constituída 
por mais de uma centena de filiais espalhadas pelo país. Um produto consumido em 
grande volume é um detergente químico para limpeza de pisos. Estão sendo adquiridos 
500.000 quilogramas desse produto. O sr. João Exterminador, diretor administrativo da 
empresa, deve escolher a melhor proposta entre aquelas coletadas pelo departamento de 
compras da Matasete. Veja, abaixo, um quadro com as 4 ofertas recebidas: 
a) Cyda Produtos Químicos S. A . 
 Preço: $760,00/ton