Álgebra Linear - Unidade 2 - Matrizes

Prévia do material em texto

Prof.: Marcelo Duarte 
Álgebra Linear
Prof. Marcelo Duarte 2/24
Unidade 2 - Matrizes
• O que são matrizes?
• Para que servem?
• O que representam?
• Aplicações práticas?
• Tipos?
Prof. Marcelo Duarte 3/24
Unidade 2 - Matrizes
• Uma matriz de ordem m por n é um quadro de m x n 
elementos, dispostos em m linhas e n colunas.
A = 
𝑎11
𝑎21
𝑎31
…
𝑎𝑚1
𝑎12 𝑎13
𝑎22 𝑎23
𝑎32 𝑎33
… …
𝑎𝑚2 𝑎𝑚3
… 𝑎1𝑛
… 𝑎2𝑛
… 𝑎3𝑛
… …
… 𝑎𝑚𝑛
• Cada elemento da matriz A é representado por aij, onde i
indica a linha e j indica a coluna.
• Pode-se representar A = [aij], i,j = 1,..., m (se m=n)
Prof. Marcelo Duarte 4/24
Unidade 2 - Matrizes
• Matriz Coluna: m x 1:
A = 
𝑎11
𝑎21
…
𝑎𝑚1
• Matriz Linha: 1 x n:
A = 𝑎11 𝑎12 𝑎13 … 𝑎1𝑛
Prof. Marcelo Duarte 5/24
Unidade 2 - Matrizes
• Matriz Quadrada – número de linhas é igual ao número de 
colunas: n x n (ou m x m):
A = 
𝑎11
𝑎21
𝑎31
…
𝑎𝑛1
𝑎12 𝑎13
𝑎22 𝑎23
𝑎32 𝑎33
… …
𝑎𝑛2 𝑎𝑛3
… 𝑎1𝑛
… 𝑎2𝑛
… 𝑎3𝑛
… …
… 𝑎𝑛𝑛
• A Matriz Quadrada que tem os elementos aij = 0, para i ≠ j é a
Matriz Diagonal.
Prof. Marcelo Duarte 6/24
Unidade 2 - Matrizes
• Matriz Diagonal:
A = 
𝑎11
0
0
…
0
0 0
𝑎22 0
0 𝑎33
… …
0 0
… 0
… 0
… 0
… …
… 𝑎𝑛𝑛
• A Matriz Diagonal que tem seus elementos aij iguais entre si,
quando i = j é a Matriz Escalar.
Prof. Marcelo Duarte 7/24
Unidade 2 - Matrizes
• Matriz Escalar:
A = 
𝑥
0
0
…
0
0 0
𝑥 0
0 𝑥
… …
0 0
… 0
… 0
… 0
… …
… 𝑥
• A Matriz Escalar que tem seus elementos aij iguais a 1, quando
i = j é a Matriz Unidade ou Matriz Identidade.
• Representa-se por In ou I.
Prof. Marcelo Duarte 8/24
Unidade 2 - Matrizes
• Matriz Identidade I3:
I3 = 
1 0 0
0 1 0
0 0 1
• Matriz Identidade I2:
I2 = 
1 0
0 1
• A matriz em que todos os elementos aij são iguais a zero (não
necessariamente, uma Matriz Quadrada) é chamada Matriz
Nula ou Matriz Zero.
Prof. Marcelo Duarte 9/24
Unidade 2 - Matrizes
• Igualdade de matrizes:
– Duas matrizes aij e bij de ordem (m,n) são iguais se, e somente se:
aij = bij Ɐ i,j.
– Exemplo:
2 7
3 9
8 6
= 
2 7
3 9
8 6
Prof. Marcelo Duarte 10/24
Unidade 2 - Matrizes
• Adição de matrizes:
– A soma de duas matrizes A=[aij] e B=[bij] de ordem (m,n) é uma matriz 
C=[cij], tal que cij = aij + bij.
– Exemplo:
2 7
3 9
8 6
+ 
−1 2
3 −3
−2 2
= 
1 9
6 6
6 8
Prof. Marcelo Duarte 11/24
Unidade 2 - Matrizes
• Propriedades da Adição de matrizes:
a) A + (B + C) = (A + B) + C
b) A + 0 = 0 + A = A
c) - A + A = A – A = 0
d) A + B = B + A
Prof. Marcelo Duarte 12/24
Unidade 2 - Matrizes
• Produto de uma matriz por um escalar:
– Se λ é um escalar, o produto de uma matriz A=[aij] por esse escalar é 
uma matriz B=[bij], tal que bij = λ . aij
– Exemplo:
2 . 
2 7
−3 9
−4 0
= 
4 14
−6 18
−8 0
Prof. Marcelo Duarte 13/24
Unidade 2 - Matrizes
• Produto de matrizes:
‒ A=[aij] é uma matriz de ordem (m,n) e B=[bij], uma matriz de ordem 
(n,p). O produto A.B será a matriz C=[cij] de ordem (m,p), tal que:
cij = . ai1b1j+ai2b2j+...+ainbnj = σ𝑘=1
𝑛 𝑎𝑖𝑘𝑏𝑘𝑗
– Observe que só se pode efetuar o produto de duas matrizes A(m,n) = 
[aij] por B(n,p) = [bij] se o número de colunas de A for igual ao número 
de linhas de B. O produto C = A.B será de ordem m por p.
A = 
2 1 0
−3 4 2
e B = 
1 0 4
1 2 3
2 3 2
A de ordem (2,3) e B de ordem (3,3)
Prof. Marcelo Duarte 14/24
Unidade 2 - Matrizes
• Produto de matrizes:
– Dadas: A =
2 1 0
−3 4 2
e B =
1 0 4
1 2 3
2 3 2
– A de ordem (2,3) e B de ordem (3,3)
– C será de ordem (2,3) e será igual a:
C = 
2.1 + 1.1 + 0.2 2.0 + 1.2 + 0.3 2.4 + 1.3 + 0.2
−3.1 + 4.1 + 2.2 −3.0 + 4.2 + 2.3 −3.4 + 4.3 + 2.2
C = 
3 2 11
5 14 4
Prof. Marcelo Duarte 15/24
Unidade 2 - Matrizes
• Observações:
a) Em geral, a existência do produto A.B não implica a existência 
do produto B.A:
• A(2,3) . B(3,3) = C(2,3)
• B(3,3) . A(2,3) não é definido.
b) Mesmo quando as multiplicações A.B e B.A são possíveis, os 
dois produtos, em geral, são diferentes:
• A(4,2) . B(2,4) = C(4,4)
• B(2,4) . A(4,2) = C(2,2)
Prof. Marcelo Duarte 16/24
Unidade 2 - Matrizes
• Observações:
c) Ainda que A e B fossem matrizes quadradas de ordem n, os 
produtos A.B e B.A seriam diferentes:
A = 
1 2
3 4
e B = 
5 7
6 8
, A.B = 
17 23
39 53
e B.A = 
26 38
30 44
d) O produto de uma matriz quadrada de ordem n pela matriz 
identidade é cumulativo, ou seja: A.I = I.A = A
A = 
1 2
3 4
e I = 
1 0
0 1
, A.I = 
1 2
3 4
e I.A = 
1 2
3 4
Prof. Marcelo Duarte 17/24
Unidade 2 - Matrizes
• Observações:
e) Quando duas matrizes quadradas são tais que A.B = B.A = I, 
dizemos que B é inversa de A e representamos por B = A-1.
A = 
1 2
3 4
e B = 
−2 1
1,5 −0,5
,
A.B = 
1. −2 + 2.1,5 1.1 + 2. (−0,5)
3. −2 + 4.1,5 3.1 + 4. (−0,5)
= 
1 0
0 1
Prof. Marcelo Duarte 18/24
Unidade 2 - Matrizes
• Propriedades do Produto de Matrizes:
a) Dadas as matrizes A(m,n), B(n,p) e C(p,r), tem-se:
A . (B . C) = (A . B) . C
b) Dadas as matrizes A(m,n), B(m,n) e C(n,r), tem-se:
(A+B).C = A.C + B.C
c) A multiplicação matricial não é, em geral, cumulativa.
Prof. Marcelo Duarte 19/24
Unidade 2 - Matrizes
• Propriedades do Produto de Matrizes:
d) Dadas as matrizes A e B, se o produto delas for a matriz nula, 
não é necessário que as matrizes A e B sejam matrizes nulas.
Exemplo:
A = 
2 0
5 0
e B = 
0 0
1 3
, A.B = 
0 0
0 0
Prof. Marcelo Duarte 20/24
Unidade 2 - Matrizes
• Matriz Transposta:
– A Matriz Transposta da matriz A(m,n) é a matriz A(m,n)
T . É obtida 
permutando as linhas pelas colunas de mesmo índice.
A = 
𝑎11 𝑎12 𝑎13
𝑎21 𝑎22 𝑎23
, AT = 
𝑎11 𝑎21
𝑎12 𝑎22
𝑎13 𝑎23
Exemplo:
A = 
2 1 7
5 3 8
e AT = 
2 5
1 3
7 8
Prof. Marcelo Duarte 21/24
Unidade 2 - Matrizes
• Propriedades da Matriz Transposta:
a) (A+B)T = AT + BT
b) (AT)T = A
c) (AB)T = BT . AT
OBS.: uma matriz quadrada A = [aij] é simétrica se A
T = A
Exemplo: A matriz A é simétrica, pois AT = A
A = 
1 2 3
2 4 5
3 5 6
, AT = 
1 2 3
2 4 5
3 5 6
Prof. Marcelo Duarte 22/24
Unidade 2 - Matrizes
Bibliografia:
• Básica:
– BOLDRINI, J. L. et al. Álgebra Linear. 3ª ed. São Paulo: Harbra, 1993.
– STEINBRUCH, Alfredo & WINTERLE, Paulo. Álgebra Linear. 2ª ed. São 
Paulo: Atlas, 2001.
– LIPSCHUTZ, Seymor; LIPSON, Marc. Álgebra Linear – Coleção Schaum. 
4ª ed. São Paulo: Bookman, 2011.
Prof. Marcelo Duarte 23/24
Unidade 2 - Matrizes
Bibliografia:
• Complementar:
– ANTON, Howard. Álgebra Linear com aplicações. 8ª ed. Ed. Bookman, 2001.
– CALLIOLI, C.; DOMINGUES, H.; COSTA, R. Álgebra Linear e aplicações. Rio de Janeiro: 
Saraiva, 2007.
– KOLMAN, Bernard; HILL, David R. Introdução à Álgebra Linear Com Aplicações. Editora 
LTC, 2006.
– SHOKRANIAN, Salahoddin. Exercícios em álgebra linear. Ed. Ciência Moderna, 2009.
– STRANG, Gilbert. Álgebra linear e suas aplicações. 4ª Ed. São Paulo: Cengage Learning, 
2010.
Prof. Marcelo Duarte 24/24