Atividade Estruturada Aplicação de Integral Imprópria

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Atividade Estruturada 
 Calculo II- CEL0498 
 
 
 
Título 
Aplicação de Integral Imprópria 
André Pereira Medeiros de Camargo 
 Matrícula 201702435989 
 
 
 
 
 
 
 Introdução 
 
As integrais impróprias são o resultado da aplicação da teoria dos limites 
à teoria de integrais. Os exercícios que envolvem integrais impróprias 
requerem habilidades na integração e no cálculo de limites. 
Integrais definidas em que um ou ambos os limites de integração tendem 
ao infinito não podem ser resolvidas por meio da Fórmula de Newton-
Leibniz, visto que esta requer o cálculo da primitiva em valores 
determinados. Tais integrais são chamadas integrais impróprias. Antes de 
prosseguir com o assunto será revista alguns conceitos fundamentais 
neste item. 
 
 Integral Gaussiana 
 
A Integral Gaussiana, também conhecida como a Integral de Euler-Poisson é a 
integral da função Gaussiana e−x2 em toda a reta real. Seu nome é dado em 
homenagem ao matemático e físico Carl Friedrich Gauss. A integral vale: 
 
Essa integral tem diversas aplicações em ciências exatas, como física ou estatística, 
visto que a distribuição normal descreve uma gama imensa de fenômenos de 
interesse. 
A mesma integral com limites finitos é chada função erro. Apesar da função erro 
não poder ser exprimida em termos de funções elementares, como pode ser 
demonstrado pelo algoritmo de Risch, a integral gaussiana pode ser calculada 
explicitamente sobre toda a reta. Em outros termos, não há uma integral 
indefinida elementar para, mas a integral pode ser calculada. 
 
 O gráfico de ƒ(x) = e−x2 e a área entre a função e o eixo x, que vale ⱱ 
 
 
 A integral de uma função gaussiana 
A integral de uma função gaussiana arbitrária é obtida por simples troca de variáveis, 
ou de forma equivalente. 
 
 Em coordenadas polares 
Uma forma simples se calcular, cuja idéia remonta a Siméon Denis Poisson[1] é 
considerar a função e−(x2 + y2) = e−r2 no plano R2, e calcular a mesma integral de duas 
formas: 
 por um lado, a integral dupla no sistema de coordenadas cartesiano se escreve 
um quadrado de integrais : 
 por outro, utilizando coordenadas polares, a integral pode ser calculada e 
vale 
Comparando esses dois cálculos, demonstra-se o resultado. 
 Demonstração 
A resolução da Integral Gaussiana pode ser dada da seguinte forma: Denotaremos a, 
integral por, como se segue: Essa integral é mais facilmente resolvida se a 
multiplicarmos pela Integral Observemos que essa multiplicação nos dá ,pois os 
valores das duas integrais em e em são exatamente os mesmos. A etapa seguinte 
consiste em mudarmos para coordenadas polares, observando que, É coerente notar 
que a região de integração é todo o plano portanto deve percorrer de 0 até e o ângulo 
de 0 à 2. Assim a integral é mais fácil de ser calculada, pois aparece um fator que, 
utilizando o método de substituição de variáveis (ver Métodos de integração) , será 
cancelado com o quociente 2. Podemos recorrer o Teorema de Fubini calculando 
primeiramente a integral em e depois integrando o resultado em da seguinte forma : 
 
 
. Soma de Riemann 
 
Soma de Riemann é a soma da área do gráfico de uma função, curva ou gráfico 
formada por vários retângulos cuja as bases são formadas por a = x0 < x1 < x2 ... < x7 = b 
e altura t1, t2 ... t7. Esta área é uma aproximação da área delimitada por uma função, 
curva ou gráfico através de retângulos. 
Área = Σ f(x).Δx. 
Calcula-se a área de cada retângulo e soma-se todas essas áreas juntas para aproximar 
ao valor de área pretendido para a função em questão. 
 
 
Dada uma função f limitada num intervalo [a,b], e uma partição P = {xo = a < x1 < x2 < ... 
< xn-2 < b = xn} desse intervalo, uma soma de Riemman é 
 
 
 Teorema Fundamental do Cálculo 
Antes de prosseguir com o assunto vamos rever esse teorema, pois irá facilitar a 
compreensão de integral imprópria. 
 
I) Seja f uma função contínua no intervalo fechado [a, b] e seja x qualquer número 
neste intervalo. 
Se F for uma função definida por , então F'(x) = f(x) 
 
Análise: 
F(x): é a primitiva da função f(x), também chamada de antiderivada de f(x), repare 
que, ƒF'(x)dx = F(x) + C → F'(x) = f(x), F(x) é uma família de f(x). 
O processo de obtenção de F(x) pode ser chamada de antidiferenciação. 
 
Exemplo: 
Se f(x) = x³/3, então sua derivada é: f'(x) = 3x²/3 = x². Nesse caso, uma das anti-
derivadas de x² é x³/3. 
Conclusão: a antiderivação é o processo pelo qual operamos a diferencial de uma 
função para encontrar a sua exata função primitiva. 
 
 
II) Se f uma função contínua no intervalo fechado [a, b] e seja F uma primitiva de f. 
Então: 
 
Este segundo teorema estabelece uma conexão entre as integrais indefinidas e as 
integrais definidas. Esta conexão é a fórmula também conhecida como fórmula de 
Newton-Leibniz. 
 
 
 Função Logarítmo Natural 
Mais um revisão que facilitará a compreensão. 
 
f(x) = loge b se, e somente se, e
b = x 
f(x) = Inx 
 
Propriedades 
Seja x, y ∈ (0,+∞) 
1) In1 = 0 
2) In(x.y) = In(x) + In(y) 
3) In(1/x) = -In(x) 
4) In(x/y) = In(x) - In(y) 
5) In(xn) = n.In(x) 
 
 
Derivada da Função Logarítmica Natural 
 
Seja f(x) a função logarítmica, isto é, f(x) = In(x) 
Partindo da definição de derivada tem-se: 
 
 
Como f(x) = In(x), substituindo: 
 
 
Por questão de praticidade, será usado h no lugar de Δx e y no lugar de f(x), isso é 
comum em cálculo. Usando as propriedades dos logaritmos, a equação acima pode ser 
escrita como: 
 
Usando uma variável auxiliar, v=h/x, e verificando que, se h tende a zero, o mesmo 
ocorre com v, assim: 
 
 
Como a função logaritmo é contínua para valores de v maiores que zero, o limite do 
logaritmo é o logaritmo do limite, assim: 
 
O limite entre parênteses, como também você já deve ter visto (ver nota ao lado), é: 
 
Como In(e)=1, pois é a base do logaritmo neperiano, então, finalmente, temos que: 
 
 
Faça o gráfico da função e verifique que, em torno de zero, a função tem o valor 
2,71828 que é a base dos logaritmos neperianos (e). 
 
 
Pelo Teorema Fundamental do Cálculo 
Aplicando o Teorema Fundamental do Cálculo a função logarítmica natural temos: 
Teorema: , então F'(x) = f(x) 
Portanto: 
Calculado no item 1.2.1: , integrando os dois lados tem-se: 
 
 
 Função logaritmo natural , também chamada de função neperiano é: 
In(0,+∞) → ℜ 
x |→ In(x) = 
Gráfico de 1/t: 
Podemos definir a função logaritmo natural como sendo uma área. Por exemplo para 1 
≤ x ≤ 2.5, temos o gráfico: 
 
 
Fazendo o cálculo experimentalmente acha-se o mesmo resultado para a integral da 
função logarítmica natural e a intragral da diferencial da função f(t) = 1/t. 
 
Formas indeterminadas 
 
Forma indeterminada 
Forma de limite: 
0/0 
 
∞/∞ 
 
 
 Teoremas Fundamentais do Cálculo Diferencial 
Os teoremas de Rolle, de Lagrange, de Cauchy e a regra de L’Hospital são os quatro 
teoremas fundamentais do cálculo diferencial e são úteis no estudo das funções reais 
de variável real. 
 
 Teoremas de Rolle 
Este teorema dá condições sufucuentes para a existência de um número crítico. 
Se f é contínua em um intervalo fechado [a,b] e diferenciável no intervalo aberto (a,b) e se f(a) = f(b), então f'(c) = 0 para ao menos um número cem (a,b). 
 
 
Corolário 
Se f é contínua em um intervalo fechado [a,b] e se f(a) = f(b), então f tem ao menos um ponto crítico no intervalo aberto (a,b). 
 
Definição: Um número c no domínio de uma função f é um número crítico de f se f'(c) 
= 0 ou f'(c) não existe. 
 
Teorema de Lagrange ou do Valo Médio 
 
Se f é contínua em um intervalo fechado [a,b] e diferenciávelno intervalo aberto (a,b), então existe um número c em (a,b) tal que 
 
 
 
 
Fórmula de Cauchy 
 
 
Se f e g são contínuas em [a,b] e diferenciáveis em (a,b) e se g'(x) ≠ 0 para todo x em (a,b), então existe um número w em (a,b) tal que 
Se f e g são contínuas em [a,b] e diferenciáveis em (a,b) e se g'(x) ≠ 0 para todo x em (a,b), então existe um número w em (a,b) tal que 
 
 
 Regra de L'Hôspital 
Usada para determinar limites de quocientes em que ambos, numerador e 
denominador, tendem para 0, ou ambos tendem para ∞ ou -∞. 
 
Sejam f e g diferenciáveis em um intervalo aberto (a,b) contendo c, exceto possivelmente no próprio c. Se f(x)/g(x) tem a forma indeterminada 0/0 ou ∞/∞ em x = c e 
se g'(x) ≠ 0 para x ≠ c, então desde que exista, ou 
 
 
 Integral Imprópria 
O conceito de integral definida só vale para função contínua num intervalo fechado e 
limitado, porém, a fórmula para calcular a área do gráfico pode ser adaptada para 
funções impróprias. 
Há dois tipos ou espécies de funções impróprias: 
- Uma integral definida é dita imprópria quando a função tem 
uma descontinuidade infinita em [a;b]. 
A função integranda é descontínua em um ponto c tal que c ∈ [a, b]. 
- Uma integral definida é dita imprópria quando o intervalo de integração é infinito. 
Funções definidas em intervalos do tipo [a, +∞), (−∞, b] ou (−∞, +∞), ou seja para 
todo x ≥ a ou x ≤ b ou para todo x ∈ R, respectivamente. 
 
As integrais destas funções são chamadas integrais impróprias. As integrais impróprias 
são de grande utilidade em diversos ramos da Matemática como por exemplo, na 
solução de equações diferenciais ordinárias via transformadas de Laplace e no estudo 
das probabilidades, em Estatística. 
 
Integral Imprópria com Descontinuidade Infinita 
Analisaremos, a partir de agora, algumas situações que permitem a extensão dos 
conceitos de integral definida fazendo uso, inicialmente, dos conhecimentos do cálculo 
de áreas sob curva. Para exemplificar, tomemos a seguinte função: 
f(x) = x², 1 < x ≤ 2 
Embora sendo y = f(x) contínua no intervalo dado, o conceito de área sob curva não 
pode ser aplicado uma vez que a função dada não está definida num intervalo fechado. 
Mas observe que para um númerro α ∈ ]1,2] tem-se o intervalo fechado [α,2], 
portanto para esse intervalo vale a propriedade da soma da área do gráfico, pois, 
abrange o conceito de integral definida. 
Como o valor de α foi escolhido arbitrariamente no intervalo ]1,2], pode-se aproximá-
lô o mais próximo possível de 1 quanto queiramos. Vale dizer que está implícita, neste 
fato, a noção de limite e, assim, podemos definir para o caso em questão o seguinte: 
Definição 
Seja y = f(x) uma função contínua em ]a,b], e c um número, tal que, a < c ≤ b. Nessas 
condições, se existir o limite e o mesmo for finito: 
então existirá a Integral Imprópria de y = f(x) de a até b, denotada por e 
além disso: 
 
 
Quando a Integral Imprópria existe dizemos, também, que ela é Convergente. 
Em caso contrário dizemos que a Integral Imprópria é Divergente. Definições 
similares à Definição anterior podem ser formuladas para funções contínuas 
em intervalos da forma [a,b[ e ]a,b[, assim como para intervalos nos quais um 
dos extremos, ou os dois, forem infinitos. Para o caso em que a função está 
definida num intervalo aberto, seja de extremos finitos ou não, deve-se tomar 
um cuidado especial, como o exemplo a seguir irá esclarecer. 
 
Exemplo 
Dada a função f(x) = x² + 1, definida no intervalo ]1,3[, calcular a integral 
imprópria de 1 até 3. 
A solução, para casos como esses, envolve a escolha de um valor qualquer no 
intervalo ]1,3[ e o cálculo da integral imprópria como soma de duas outras 
integrais, também, impróprias. Para tanto, seja c um número tal que 1 < c < 3 e, 
assim, teremos: 
 
As integrais do segundo membro da igualdade anterior são ambas impróprias, 
sendo a primeira referente ao intervalo ]1,c] e a segunda ao intervalo [c,3[. 
Como a escolha de c é livre podemos, por exemplo, tomar c = 2 e, assim, 
teremos: 
 
ou para ]1,c...,2,...d,3[ ou 1 < c < 2 < d < 3. 
 
 
Assim: 
 
 
 
 
Observe que o conceito de integral imprópria está embasado no conceito de 
integral definida. 
 
 
Exemplo 
 
Exemplo: 
 
 
 
Regra: deve-se apenas um problema por integral e sempre num extremo. 
- Se o problema é em c pertencente ao interior do intervalo 
[a,b], sendo convergente se 
ambos o forem (sendo o seu valor a soma). 
- Se o problema é em ambos os extremos, 
com d ∈ ]a,b[, sendo 
convergente se ambos o forem (sendo o seu valor a soma). 
 
Integrais Definidas em Intervalos Ilimitados 
Antes de enunciar as definições estudemos o seguinte problema: Calcular a 
área da região A determinada pelo gráfico de y =1/x², x ≥ 1 e o eixo dos x. 
Primeiramente note que a região A é ilimitada e não é claro o significado de 
"área"de uma tal região. 
 
 
 
 
 
 
 Integral Imprópria com Intervalo de Integração Infinito 
Seja f uma função integrável em todo o subintervalo fechado e limitado de 
[a,+∞[, isto é, todo [a,β], com β ≥ a. 
Chama-se integral imprópria da função f em [a,+∞[ a 
integral 
Caso o limite exista e seja finito, diz-se que o integral impróprio 
é convergente, sendo esse seu valor. 
Caso contrário, isto é, se o limite não existe ou não for finito, diz-se que o 
integral impróprio é divegente. 
 
Observação: Nas condições da definição anterrior, é 
simplesmente , sendo F o integral indefinido de f. 
 
Integral de Dirichlet 
 
Analogamente: 
Seja f uma função integrável em todo o subintervalo fechado e limitado de ]-∞, 
b], isto é, todo [α,b], com α ≤ b. 
Chama-se integral imprópria da função f em ]-∞, b] a integral 
 
Caso o limite exista e seja finito, diz-se que o integral impróprio é 
convergente. 
Caso contrário, isto é, se o limite não existir ou não for finito, diz-se que 
o integral impróprio é divergente. 
 
 
Definição: Seja f uma função integrável em todo o intervalo fechado e limitado 
de R. Diz-se que o integral impróprio é convergente se, para 
algum c ∈ R, forem convergentes ambos os integrais 
impróprios 
Nesse caso, 
 
Se algum dos integrais imprópros for divergente, é divergente. 
 
Nota 1: Nunca se trabalha com dois problemas num integral impróprio, 
parte´se de modo a termos um problema por integral. 
Nota 2: Se ambos os integrais forem 
divergente, por definição é divergente. 
Nota 3: É fácil verificar que a converrgência ou divergência de , 
bem como o seu valor, é independente do valor c considerado. 
 
 Integrais Impróprios Mistos 
 
Se o integral impróprio for misto, ou seja, se o intervalor for ilimitado e a 
função for ilimitada nesse intervalo, aplica-se o raciocínio anterior de modo a 
termos sempre um problema por integral e sempre num extremo. 
 
O integral impróprio misto é convergente se todos os integrais impróprios em 
que foi decomposto o forem (e o seu valor será a soma do valor desses 
integrais). 
Se algum dos integrais impróprios em que foi decomposto for divergente, 
o integral impróprio misto é divergente. 
Se algum dos integrais impróprios em que foi decomposto for divergente, 
o integral impróprio misto é divergente. 
 
3. Propriedades Algébricas 
Proposição: Se f e g são funções integráveis em todo o intervalo [a,β], com β ≥ 
a, então: 
1. se são convergente, tem-se 
que é convergente 
e 
 
2. se é convergente e c ∈ R, tem-se é 
convergente e 
Observação: Tal como no caso das séries: 
- se um dos integrais é convergente e o outro divergente, então a soma é 
divergente. 
- se ambos os integrais são divergentes, nada se pode cocluir. 
 
Note-se esta situação não entra em contradição com a definição 
de . São questões diferentes. 
Observação: Propriedades análogas são válidas para os outros casos deintegrais impróprias. 
 
 
 Testes de Comparação 
Muitas vezes não podemos resolver uma integral imprópria diretamente, então 
tentamos primeiramente determinar se ela é convergente ou divergente. Caso 
ela seja convergente, podemos utilizar métodos numéricos para resolvê-la de 
forma aproximada. Para auxiliar nesta tarefa de decidir se a integral converge 
ou diverge alguns teoremas podem ser utilizados. 
 
Critérios de Convergência 
Proposição (Primeiro Critério de Comparação) 
Sejam f: [a.+∞[ → R, g: [a, +∞[ → R funções integráveis em qualquer intervalo 
[a,β], com β ≥ a, tais que 
0 ≤ f(x) ≤ g(x), ∀x ∈ [a, +∞[ 
Então 
1. se convegente ⇒ convergente; 
e ≤ 
2. se divergente ⇒ divergente. 
 
Proposição (Segundo Critério de Comparação) 
Sejam f: [a.+∞[ → R, g: [a, +∞[ → R funções integráveis em qualquer intervalo 
[a,β], com β ≥ a, tais que 
f(x) ≥ 0 e g(x) > 0, ∀x ∈ [a, +∞[ e 
Então, são da mesma natureza, isto é, são 
ambos convergentes ou ambos divergentes. 
 
Observação: Mais, do 1º Critério de comparação resulta que: 
a) se γ = 0, 
1. convegente ⇒ convergente; 
2. divergente ⇒ divergente. 
 
a) se γ = +∞, 
1. convegente ⇒ convergente; 
2. divergente ⇒ divergente. 
 
 
Convergência Absoluta 
Definição: Seja f uma função integrável em todo o intervalo [a,β], com β ≥ a. 
O integral impróprio diz-e absolutamente convegente se o 
integral impróprio for convergente. 
Se for convergente e for 
divergente, diz-se simplesmente convergente. 
 
Proposições e definições análogas (propriedades algébricas, critérios de 
comparação, observação correspondente e definição de convergência 
absoluta) são válidas para os restantes dos casos de integrais impróprieas (mas 
sempre com um único problema): 
 
Proposição (Primeiro Critério de Comparação) 
Sejam dois integrais impróprios, da mesma 
espécie e relativamente ao mesmo limite de integração, tais que 
0 ≤ f(x) ≤ g(x), ∀x ∈ ]a, b[. 
Então 
1. divergente ⇒ divegente; 
2. convergente ⇒ convergente. 
 
Proposição (Segundo Critério de Comparação) 
Sejam dois integrais impróprios, de 1ª ou 2ª 
espécie, relativamente ao limite superior x = b (respectivamente, limite inferior 
x = a) tais que f(x) ≥ 0 e g(x) > 0, ∀x ∈ [a, +∞[ 
e 
 
Então, são da mesma natureza, isto é, são ambos 
convergentes ou ambos divergentes. 
 
Exemplos Muito Úteis 
Sendo a e b reais, com a > b, tem-se que 
 
Definição: Seja um integral impróprio de 1ª ou 2ª espécie. 
Este integral diz-se absolutamente convergnte se o integral 
impróprio for convergente. 
Proposição: Seja um integral impróprio de 1ª ou 2ª espécie. 
Se é absolutamente cconvergente, então também é 
convegente. 
 
Critério do Integral 
Proposição: Seja f: [1, +∞[ → R, uma função contínua, positiva e decrescente 
neste intervalo. 
Considerando a sucessão de termo geral an = f(n), tem-se que 
 
a série é convergente se o integral é convegente. 
 
Calcule as seguintes integrais impróprias 
 
 
5) Calcule a área da região, no primeiro quadrante, determinada pelo gráfico de 
y = 2-x, o eixo dos x e à direita do eixo dos y. 
 
7) Calcule a área da região limitada por f(x) =