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Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro Gabarito da Questa˜o 4 da AD 1 – Me´todos Determin´ısticos I – 2018-2 Questa˜o 4 (2,5 pontos) (a) Racionalize e simplifique o nu´mero √ 50√ (−3)2 −√11 Sem calcular o valor de qualquer uma das ra´ızes quadradas que aparecem na racionalizac¸a˜o, diga se este nu´mero e´ maior ou menor que −5√2. Explique seu racioc´ınio. (b) Treˆs aumentos consecutivos de 10% em um prec¸o correspondem a qual aumento u´nico de quantos porcento? (c) Treˆs aumentos consecutivos e de mesmo percentual de um prec¸o, correspondem a um aumento final de 30% do prec¸o. Determine o percentual empregado nos treˆs aumentos consecutivos (utilize uma calculadora, se necessa´rio, mas deixe claro a conta feita e o racioc´ınio utilizado). Soluc¸a˜o: (a) Temos √ 50√ (−3)2 −√11 = √ 52 · 2√ 9−√11 = 5 √ 2 3−√11 = 5 √ 2 3−√11 · 3 + √ 11 3 + √ 11 = 5 √ 2 · (3 +√11) 32 − (√11)2 = 15 √ 2 + 5 √ 2 · √11 9− 11 = 15 √ 2 + 5 √ 22 −2 = −15 √ 2 + 5 √ 22 2 Note que −15 √ 2 + 5 √ 22 2 < −15 √ 2 2 = −15 2 · √ 2 = −7,5 √ 2 < −5 √ 2. Algumas observac¸o˜es sobre os ca´lculos utilizados na racionalizac¸a˜o: Me´todos Determin´ısticos I Gabarito da Questa˜o 4 da AD 1 – 2018-2 2 • Na˜o podemos fazer √(−3)2 = −3, isto e´, na˜o se pode “cortar”a raiz quadrada com o quadrado. De maneira geral, na˜o e´ verdade que √ a2 = a, pois, para nu´meros negativos isto na˜o estara´ correto. O que sempre e´ verdade e´ que √ a2 = |a|. • Se a 6 0, e´ verdade que (√a)2 = a. Nas contas acima, isto foi utilizado para obter(√ 11 )2 = 11. (b) Vamos considerar um prec¸o P0 qualquer. Um aumento de 10% corresponde a multiplicar P0 por 1 + 10% = 1 + 10 100 = 110 100 = 11 10 . Assim, o prec¸o apo´s um aumento sera´ de P1 = P · 11 10 = 11P 10 . O segundo aumento levara´ este prec¸o a P2 = P1 · 11 10 = 11P 10 · 11 10 = 121P 100 . O terceiro aumento levara´ este prec¸o a P3 = P2·11 10 = 121P 100 ·11 10 = 1331P 1000 = 1331 1000 ·P = 133,1 100 ·P = ( 100 100 + 33,1 100 ) ·P = 1+33,1%P. Assim, treˆs aumentos de 10% correspondem a um u´nico aumento de 33,1%. Outra forma de pensar seria a partir de um prec¸o arbitra´rio inicial. Fac¸amos, por exemplo, P = 100. Assim, o prec¸o apo´s um aumento sera´ de P1 = 100 · 11 10 = 110. O segundo aumento levara´ este prec¸o a P2 = 110 · 11 10 = 1210 10 = 121. O terceiro aumento levara´ este prec¸o a P3 = 121 · 11 10 = 1331 10 = 133,1 = 100% + 33,1%. Assim, treˆs aumentos de 10% correspondem a um u´nico aumento de 33,1%. (c) Cada aumento de a% corresponde a uma multiplicac¸a˜o por 1 + a%. Assim, aumentar 3 vezes um prec¸o corresponde a multiplicar por (1 + a%)3, Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ Me´todos Determin´ısticos I Gabarito da Questa˜o 4 da AD 1 – 2018-2 3 logo, o prec¸o P , aumentado 3 vezes consecutivas nos dara´ P · (1 + a%)3. Pore´m, este valor corresponde a um u´nico aumento de 30%, ou seja, a P · (1 + 30%) = P · 100 + 30 100 = P · 130 100 = P · 13 10 , logo P · (1 + a%)3 = P 13 10 . Com isso (1 + a%)3 = 13 10 , e, portanto, 1+a% = 3 √ 13 10 = 3 √ 1,3 = 1,0913928831... = 1+0,0913928831... = 1+ 9,13928831... 100 = 1+9,13928831...% Assim, um aumento de 30% corresponde a 3 aumentos consecutivos de aproximadamente 9,14%. Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
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