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Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro Gabarito da Questa˜o 2 da AD 2 – Me´todos Determin´ısticos I – 2018-2 Questa˜o 2 (2,5 pontos) (a) Considerando a inequac¸a˜o ax2 + bx + c > 0, com b2 − 4ac > 0, determine os sinais de a, b e c para que a soluc¸a˜o desta inequac¸a˜o seja: (i) um intervalo (x1, x2), com x1 < 0 < x2. (ii) um conjunto da forma (−∞, x1) ∪ (x2,+∞), com x1 < 0 < x2. (iii) um conjunto da forma (x1, x2), com 0 < x1 < x2. (iv) um conjunto da forma (−∞, x1) ∪ (x2,+∞), com x1 < x2 < 0. (b) E´ poss´ıvel a inequac¸a˜o ax2 + bx + c > 0 ter soluc¸a˜o vazia se a e c tiverem sinais contra´rios? Soluc¸a˜o: (a) Se x1 e x2 sa˜o as soluc¸o˜es da equac¸a˜o ax 2 + bx + c = 0, pelo que foi visto no EP10, podemos escrever a inequac¸a˜o ax2 + bx + c > 0 na forma a(x− x1)(x− x2) > 0. Note que a(x−x1)(x−x2) = a(x2−x1x−x2x+x1x2) = a(x2−(x1+x2)x+x1x2) = ax2−a(x1+x2)x+ax1x2, logo b = −a(x1 + x2), c = ax1x2. • Se a > 0, estudando os sinais de a(x− x1)(x− x2), teremos (−∞, x1) x1 (x1, x2) x2 (x2,+∞) a + + + + + (x− x1) − 0 + + + (x− x2) − − − 0 + a(x− x1)(x− x2) + 0 − 0 + Assim, a soluc¸a˜o de a(x− x1)(x− x2) > 0 sera´ a unia˜o (−∞, x1) ∪ (x2,+∞). • Se a < 0, estudando os sinais de a(x− x1)(x− x2), teremos Me´todos Determin´ısticos I Gabarito da Questa˜o 2 da AD 2 – 2018-2 2 (−∞, x1) x1 (x1, x2) x2 (x2,+∞) a − − − − − (x− x1) − 0 + + + (x− x2) − − − 0 + a(x− x1)(x− x2) − 0 + 0 − Assim, a soluc¸a˜o de a(x− x1)(x− x2) > 0 sera´ o intervalo (x1, x2). (i) Pelo que vimos acima, para que a soluc¸a˜o seja o intervalo (x1, x2), precisamos ter a < 0. Ale´m disso, como x1 e x2 teˆm sinais contra´rios, x1x2 < 0, logo, como a < 0 c = ax1x2 = a(x1x2) > 0. Ale´m disso, na˜o sabemos que sinal x1 + x2 pode ter (poderia ser, por exemplo x1 + x2 = −1+3, que e´ positivo, x1+x2 = −4+1, que e´ negativo, ou ainda x1+x2 = −1+1 = 0.). Por isso, na˜o podemos dizer qual e´ o sinal de b = −a(x1 + x2). (ii) Pelo que vimos, precisamos ter a > 0. Como x1 e x2 teˆm sinais contra´rios, x1x2 < 0, logo, como a > 0 c = ax1x2 = a(x1x2) < 0. Novamente, na˜o sabemos que sinal x1 + x2 pode ter. Por isso, na˜o podemos dizer qual e´ o sinal de b = −a(x1 + x2). (iii) Para a soluc¸a˜o ser o intervalo (x1, x2), precisamos tem a < 0. Como 0 < x1 < x2, temos x1x2 > 0, logo c = ax1x2 = a(x1x2) < 0. Como x1 e x2 sa˜o positivos, temos x1 + x2 > 0, logo, como −a > 0, b = −a(x1 + x2) > 0. (iv) Para a soluc¸a˜o ser o intervalo (−∞, x1) ∪ (x2,+∞), precisamos tem a > 0. Como x1 < x2 < 0, temos x1x2 > 0, logo c = ax1x2 = a(x1x2) > 0. Como x1 e x2 sa˜o negativos, temos x1 + x2 < 0, logo, como −a < 0, b = −a(x1 + x2) > 0. (b) Se a e c tiverem sinais contra´rios, enta˜o, ac < 0, logo −4ac > 0. Assim, ao resolver a equac¸a˜o ax2 + bx + c = 0, encontraremos ∆ = b2 − 4ac > b2 > 0. Com isso, teremos ∆ > 0, logo a equac¸a˜o tera´ sempre duas ra´ızes distintas x1 e x2. Isso garantira´ que a inequac¸a˜o ax2 + bx + c > 0 tenha soluc¸a˜o na˜o vazia, que pode ser (x1, x2) ou (−∞, x1) ∪ (x2,+∞). Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
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