03_ExerciciosResolvidos_VariaveisAleatorias

Prévia do material em texto

Universidade Federal do Cariri - UFCa 
INTRODUÇÃO À ESTATÍSTICA 
Prof. Paulo Renato Alves Firmino 
Lista de exercícios resolvidos – Variáveis Aleatórias 
 
 1
1. De estudos anteriores sobre a confiabilidade de dado modelo de interruptor infere-se 
que sua probabilidade de falha em uma demanda seja de 0.1%. Deseja-se saber: (a) 
Qual é a probabilidade de o interruptor falhar apenas após 100 demandas? (b) Caso 
deseje-se definir uma garantia em termos do nº de demandas, para a qual a 
probabilidade de falha durante a garantia seja de apenas 5%, qual seria a garantia? (c) 
Quais suposições embasam suas análises? 
2. Um professor resolve estudar as incertezas acerca do tempo consumido por seus alunos 
para assimilar dado conteúdo. Dos seus estudos ele infere que o tempo consumido pelos 
alunos pode ser modelado por uma distribuição Normal, com média de 50 horas e um 
desvio-padrão de 5 horas. (a) Qual é a probabilidade de que dado aluno consiga 
assimilar o conteúdo em até 35 horas? (b) Qual é a probabilidade de que, de uma turma 
envolvendo 40 alunos, todos consigam assimilar o conteúdo em até 35 horas? (c) 
Quantos alunos, dentre 40, o professor espera que assimilem o conteúdo em até 35 
horas? 
3. Em dada localidade quatro novas pessoas, em média, tornam-se viciadas em crack por 
hora. Deseja-se saber: (a) Em 25 minutos, haveria quantos novos viciados em média? 
(b) Em 25 minutos, qual é a probabilidade de que apenas uma pessoa torne-se viciada? 
E de que não mais que uma se vicie? (c) Quais suposições embasam suas análises? 
4. Acredita-se que o tempo para que um jovem introduzido ao crack torne-se viciado segue 
uma distribuição Normal com média de 7.64 dias e desvio-padrão de 1.3 dia. Qual é a 
probabilidade de que: (a) Um jovem introduzido à droga torne-se viciado em menos de 
uma semana? (b) Dentre 10 jovens introduzidos à droga, mais que 1 se viciem em 
menos de uma semana? (c) Quais suposições embasam suas análises? 
5. Deseja-se montar um sistema-servidor em série que envolva a operação simultânea de 
dois servidores, digam-se A e B. Assim, o sistema-servidor só opera com sucesso se 
ambos, A e B, o fizerem. A e B operam de forma independente um do outro. O sistema-
servidor deverá operar continuamente por períodos de 10.5 horas. De estudos sobre A, 
sabe-se que sua taxa (média) de ocorrências de falhas é de 0.05 em períodos de 10.5 
horas. Por outro lado, sabe-se que o tempo até a falha de B segue uma distribuição 
normal com média de 12 horas e desvio-padrão de 2 horas. (a) Qual entre A e B é mais 
confiável (tem maior probabilidade de não falhar) durante o período estipulado (de 10.5 
horas)? (b) Qual é a confiabilidade (probabilidade de não falhar) do sistema-servidor 
durante o período estipulado? (c) Se 15 sistemas-servidores semelhantes ao proposto 
forem postos em operação durante 10.5 horas, quantos não falharão, em média? 
6. Para cada uma das afirmações a seguir, diga se ela está correta e justifique sua 
resposta: (a) Experimentos Binomiais são aqueles onde contabiliza-se o nº de 
tentativas até a ocorrência do sucesso. (b) Experimentos Geométricos são aqueles 
onde contabiliza-se o nº de sucessos ocorridos dentre uma quantidade 
predeterminada de oportunidades. (c) O experimento de Poisson é aquele onde 
contabiliza-se o nº de sucessos dentre uma quantidade finita (n) de oportunidades. 
7. Acredita-se que o tempo para que uma família assistida pelo governo supere a linha da 
pobreza segue uma distribuição Normal com média de 4.64 anos e desvio-padrão de 
0.64 ano. Qual é a probabilidade de que (a) Uma família supere a linha da pobreza 
durante 4 anos? (b) Dentre 13 famílias assistidas, mais que 10 superem a linha da 
pobreza durante 4 anos? (c) Quais suposições embasam suas análises? 
8. De acordo com pesquisas de intenção de voto, 30% das pessoas preferem o candidato B. 
Desta forma, sorteando-se pessoas aleatoriamente e perguntando sobre sua intenção de 
voto, (a) Quantas pessoas devemos entrevistar, em média, até que a primeira votante em 
B apareça? (b) Qual é a probabilidade de a 1ª pessoa votante em B aparecer já na 1ª 
 
Universidade Federal do Cariri - UFCa 
INTRODUÇÃO À ESTATÍSTICA 
Prof. Paulo Renato Alves Firmino 
Lista de exercícios resolvidos – Variáveis Aleatórias 
 
 2
entrevista? E de aparecer apenas na 2ª entrevista? E de aparecer apenas na 10ª? (c) 
Quais suposições embasam suas análises? 
9. Uma página de internet recebe 30 acessos por semana, em média. Deseja-se, saber: (a) 
Em um dia, ocorreriam quantos acessos em média? (b) Em um dia, qual é a 
probabilidade de que não ocorra qualquer acesso? E de que ocorram mais que 2 
acessos? (c) Quais suposições embasam suas análises? 
10. A probabilidade de uma inseminação artificial em ruminantes ser bem sucedida é de 
85%. A fazenda F1 tentará inseminar artificialmente um rebanho envolvendo 15 
animais. Já a fazenda F2 tentará inseminar até que ocorra o 1º sucesso. Por fim, a 
fazenda F3 espera inseminar (com sucesso), em média, 10 animais. Diante destas 
informações: (a) Quantas inseminações bem sucedidas F1 espera conseguir? (b) 
Quantas tentativas de inseminação F2 executaria, em média? (c) Quantos animais F3 
submeterá à inseminação? (d) Se F1 deseja inseminar ao menos 13 animais, qual é a 
probabilidade de F1 alcançar seus objetivos? Quais suposições embasam esta análise? 
11. Estudos indicam que a cada 20 minutos, em média, um novo paciente fraturado chega a 
uma emergência. Pergunta-se: (a) Quantos indivíduos fraturados chegariam durante 24 
horas, em média? (b) Qual é a probabilidade de que, em uma hora, cheguem mais de 4 
indivíduos fraturados na emergência? (c) Você acha que deve sempre haver um 
traumatologista presente no local? Por quê? (d) Quais suposições embasam suas 
análises? 
12. Estudos indicam que o gasto mensal de uma clínica veterinária segue uma distribuição 
Normal com média de R$20000.00 e desvio-padrão de R$1000.00. Pergunta-se: (a) 
Qual é o risco (≡ probabilidade) de que o gasto mensal da clínica ultrapasse os 
R$22000.00 em todos os meses do ano? (b) Qual é a probabilidade de que nos próximos 
4 meses o gasto mensal da clínica ultrapasse os R$22000.00 apenas no 4º mês? (c) Qual 
é o risco de que ao longo do ano, o gasto mensal da clínica seja superior a R$22000.00 
em apenas 2 meses? (d) Quais suposições embasam suas análises nesta questão? 
13. Acredita-se que o tempo para que um animal se recupere de dada operação (cirurgia) 
segue uma distribuição Normal com média de 4.64 semanas e desvio-padrão de 0.64 
semana. Qual é a probabilidade de que (a) Um animal operado se recupere em menos de 
4 semanas? (b) Dentre 5 animais operados, mais que 3 se recuperem em menos de 4 
semanas? (c) Quais suposições embasam suas análises? 
14. Dada enfermidade incide sobre 10% dos indivíduos de certa localidade. Três equipes de 
pesquisadores (denominadas EP1, EP2 e EP3) tentam estudar a doença e sua 
disseminação na região. A equipe EP1 selecionará aleatoriamente uma amostra 
envolvendo 17 indivíduos da localidade. Já a equipe EP2 selecionará aleatoriamente 
indivíduos da localidade até que se sorteie um doente. Por fim, a equipe EP3 espera 
trabalhar com, em média, 20 indivíduos doentes. Diante destas informações: (a) 
Quantos indivíduos doentes EP1 espera conseguir? (b) Quantos indivíduos EP2 
estudaria, em média? (c) Quantos indivíduos EP3 submeterá ao estudo? (d) Se EP1 
deseja estudar ao menos 3 indivíduos doentes, qual é a probabilidade de EP1 alcançar 
tal objetivo? (e) Considerando as variáveis X1≡ "nº de indivíduos doentes dentre 
aqueles estudados pela equipe EP1" e X2≡ "nº de indivíduos investigados pela equipe 
EP2", qual delas envolve maior variabilidade, X1 ou X2? (f) Quais suposições embasam 
suas análises? 
15. Considere 6 localidades (denominadas L1, L2, ..., L6). Em cada uma delas, certa 
enfermidade acomete 14 novos indivíduospor semana, em média. Pergunta-se: (a) Em 
média, quantas novas incidências da doença são observadas em um dado dia de L1? (b) 
Qual é a probabilidade de que, em um dado dia de L2, ocorra ao menos uma nova 
 
Universidade Federal do Cariri - UFCa 
INTRODUÇÃO À ESTATÍSTICA 
Prof. Paulo Renato Alves Firmino 
Lista de exercícios resolvidos – Variáveis Aleatórias 
 
 3
incidência da doença? (c) Qual é a probabilidade de que, em um dado dia, não haja nova 
incidência da doença em cada uma das seis localidades? (d) Qual é a probabilidade de 
que, em um dado dia, não haja nova incidência da doença em ao menos duas das seis 
localidades? (e) Quais suposições embasam suas análises? 
16. Um médico veterinário é responsável pela inseminação artificial de 7 ruminantes 
(denominados R1, R2, ..., R7). O médico precisaria, então, tentar inseminar cada 
ruminante até conseguir. Para cada animal, a probabilidade de ocorrência de uma 
inseminação bem sucedida em uma tentativa é de 55%. Pergunta-se: (a) Em média, 
quantas tentativas seriam necessárias para a inseminação de R3? (b) Qual é a 
probabilidade de que o médico consiga inseminar R1 em até 3 tentativas? (c) Se é 
imposta ao médico a restrição de que o nº de tentativas por ruminante não pode 
ultrapassar 3, qual é a probabilidade de que ele consiga inseminar mais que 5 
ruminantes? (d) Quais suposições embasam suas análises? 
17. Dentre os diabéticos, o nível de glicose no sangue quando em jejum é de, em média, 
106 mg/100ml. A variabilidade de tal nível de glicose pode ser representada por um 
desvio-padrão de 8 mg/100 ml e modelada por uma distribuição Normal. Um médico é 
convidado a estudar 7 pacientes (denominados R1, R2, ..., R7). Pergunta-se: (a) Caso o 
médico resolva prever o nível de glicose de R1 baseando-se na média de glicose de 
diabéticos em jejum, você acredita, considerando o coeficiente de variação, que tal 
previsão envolve um nível de incerteza baixo? (b) Qual é a probabilidade de que R1 
apresente um nível de glicose superior a 116 mg/100ml? (c) Qual é a probabilidade de 
que, dentre os 7 pacientes, não mais que 2 apresentem um nível de glicose superior a 
116 mg/100ml? (d) Quais suposições embasam suas análises? 
18. Uma empresa, E, deseja gerenciar dois dos seus sistemas, digam-se I e A, que operam 
de maneira independente. I representa o sistema de conexão de rede de internet e 
intranet, enquanto que A representa o sistema de arquivamento físico, a partir de 
impressões, escaneamentos e cópias de documentos e relatórios. Dos seus estudos, E 
infere que o tempo até a falha de I segue uma distribuição normal, com média de 20 
horas e desvio-padrão de 1.5 horas. Por outro lado, tem-se que A falha em média uma 
vez a cada 50 horas, seja devido a uma impressora, escâner ou copiadora. Em um 
período de 12 horas, E operará plenamente apenas se ambos os sistemas, I e A, o 
fizerem. Deseja-se estudar a confiabilidade destes sistemas e, assim, da empresa, 
durante um período de 12 horas. (a) Qual entre I e A é mais confiável (tem maior 
probabilidade de operar sem falhas) durante o período estipulado (de 12 horas)? (b) 
Qual é a probabilidade de E operar plenamente durante o período estipulado? (c) Se o 
expediente diário de E envolve 12 horas, quantos dias E deve esperar operar plenamente 
até que ocorra uma falha? 
19. De estudos anteriores sobre a confiabilidade de dois servidores, digam-se A e B, sabe-se 
que os tempos até sua falha, quando postos em operação, seguem uma distribuição 
normal com médias de 12 e 13 horas e desvios-padrões de 2 e 3 horas, respectivamente. 
A e B operam de forma independente um do outro. Uma equipe deseja estudar a 
confiabilidade de um sistema-servidor composto por um paralelo entre A e B, onde a 
execução bem sucedida em períodos de 10.5 horas de ao menos um deles, A ou B, é 
suficiente para suprir as demandas dos clientes. (a) Qual entre A e B é mais confiável 
(tem maior probabilidade de sucesso) para operar durante o período estipulado (de 10.5 
horas)? (b) Qual é a probabilidade de o sistema-servidor não falhar durante o período 
estipulado? Você diria que trata-se de um sistema confiável? (c) Se 15 sistemas-
servidores semelhantes ao proposto forem postos em operação durante 10.5 horas, qual 
é a probabilidade de que ao menos 13 deles operem com sucesso? 
 
Universidade Federal do Cariri - UFCa 
INTRODUÇÃO À ESTATÍSTICA 
Prof. Paulo Renato Alves Firmino 
Lista de exercícios resolvidos – Variáveis Aleatórias 
 
 4
20. Considerando o dia a dia de um administrador de operações, sabe-se que a fabricação de 
itens defeituosos do seu sistema de produção ocorre a uma taxa de 2.125 itens 
(defeituosos) por expediente de trabalho. A cada expediente, o sistema opera durante 4 
horas. Deseja-se saber: (a) Qual é a probabilidade de que em dado expediente sejam 
fabricados mais que 2 itens defeituosos? (b) Dentre 8 expedientes de trabalho, qual é a 
probabilidade de que não se observe itens defeituosos em ao menos 3 dos expedientes? 
(c) Se cada dia de trabalho envolve 3 expedientes, quantos itens defeituosos se espera 
fabricar em um dado dia? (d) Quais suposições embasam suas análises? 
21. Estudos indicam que o saldo mensal de uma loja segue uma distribuição Normal com 
média de R$17000.00 e desvio-padrão de R$3500.00. (a) Qual é o risco (≡ 
probabilidade) de que o saldo mensal da loja não ultrapasse os R$15000.00 em dado 
mês? (b) Se o gestor não deseja saldos mensais inferiores a R$15000.00 ao longo do 
semestre, qual é a sua probabilidade de sucesso? (c) Quais suposições embasam suas 
análises? 
22. Dado fornecedor vende seus produtos em lotes de 10 itens, no valor de R$ 180.00 cada 
lote. Um dos seus clientes propõe a seguinte aposta: Se mais de dois itens do meu lote 
estiverem defeituosos, eu pago R$ 150.00 pelo lote; caso contrário eu pago R$ 200.00. 
O fornecedor sabe que a probabilidade de um item estar defeituoso é de 12%. (a) Qual 
distribuição de probabilidades modelaria as incertezas sobre o número de itens 
defeituosos do lote? (b) Quais suposições embasam o uso desta distribuição? (c) Qual é 
a probabilidade de o cliente pagar apenas R$ 150.00 pelo lote? (d) Considerando o 
ganho esperado com a aposta (a média), o fornecedor deveria entrar no jogo? (e) Qual é 
o nível de incerteza envolvido no jogo, em termos do coeficiente de variação? 
 
 
Universidade Federal do Cariri - UFCa 
INTRODUÇÃO À ESTATÍSTICA 
Prof. Paulo Renato Alves Firmino 
Lista de exercícios resolvidos – Variáveis Aleatórias 
 
 5
GABARITO 
1) O evento de interesse para o estudo é a falha do interruptor em uma dada demanda. Seja, 
assim, o evento Ei ≡ "falha do interruptor na iª demanda" (onde i=1, 2, 3, ...). Do enunciado, 
tem-se que P(Ei)=0.001=p. Supõe-se, assim, que p se mantém constante à medida que o 
interruptor é posto em operação, isto é, assume-se que ele não se desgasta. Dos quesitos, 
estuda-se mais especificamente a variável X≡"nº de demandas até a falha do interruptor". 
Supondo que os eventos Ei e Ej sejam independentes (para quaisquer i < j = 2, 3, ...), tem-se 
que X ~ Geométrica (p), ou seja, que X segue uma distribuição Geométrica com parâmetro 
p, onde P(X=x)=p(1-p)x-1. Desta igualdade, tem-se que a probabilidade de que X assuma um 
valor maior que um x qualquer é dada por 
P(X > x) = P(X=x+1) + P(X=x+2) + P(X=x+3) +...= 
 = p(1-p)x + p(1-p)x+1 + p(1-p)x+2 + .... 
Note-se que a última igualdade acima trata-se da soma de uma progressão geométrica de 
ordem (razão) q=(1-p) e primeiro termo a1= p(1-p)x. Assim, 
x
x
1 )p1(
)p1(1
)p1(p
q1
a)xX(P −=−−
−=−=> =0.999
x. Tal função é vastamente conhecida como 
função de confiabilidade da distribuição geométrica e trata-se da probabilidade de que o 
equipamento opere sem problemas até a xª demanda. 
 
1.a) Pede-se P(X > 100) = 0.999100 = 0.9048 = 90.48%. Assim, diz-se que a probabilidadede o interruptor funcionar sem problemas até a 100ª demanda é de 90.48%, ou, ainda, diz-se 
que a confiabilidade do interruptor para um horizonte de 100 demandas é de 90.48%. Pode-
se ainda dizer que a probabilidade de o interruptor falhar apenas após 100 demandas é de 
90.48%. 
 
1.b) Pede-se a garantia em termos do nº de demandas (x*) para a qual a probabilidade de o 
interruptor falhar em até x* demandas seja de apenas 5%. Em outros termos, a 
probabilidade de o interruptor operar sem problemas em x* demandas é de 95%. 
Matematicamente, pede-se x* para o qual 
P(X ≤ x*) = 0.05 = 1 - P(X > x*)→ 
P(X > x*) = 0.95 = 0.999x*→ln(0.95) = x*ln(0.999)→ x* = =
)999.0ln(
)95.0ln( 51.27 ≈ 52. Logo, 
a garantia associada a uma confiabilidade de 95% seria de x*=52 demandas. 
 
1.c) Quanto às suposições que fundamentam as igualdades em (1.a) e (1.b), destacam-se: 
(i) A probabilidade p se mantém constante à medida que o interruptor é posto em operação, 
isto é, assume-se que o interruptor não se desgasta. 
(ii) Os eventos Ei e Ej são independentes (para quaisquer i < j = 2, 3, ...). Em outros termos, 
considerando E'j como sendo o evento complementar a Ej, supõe-se que P(Ej| E'1∩ E'2∩... 
∩E'j-1) = P(Ei). Em palavras, supõe-se que o sucesso/fracasso do interruptor em uma 
demanda independe do de outra, reforçando a ideia de que o interruptor não sofre qualquer 
desgaste ao longo de sua vida util uma vez que não possui memória sobre seu uso passado. 
█ 
2) Para esta questão, vale destacar a variável Ti~Normal(μ=50h, σ=5h), onde Ti≡ "O tempo 
consumido pelo iº aluno para assimilar dado conteúdo"; isto é, as incertezas quanto ao 
tempo consumido por um aluno (Ti) podem ser modeladas por uma distribuição Normal, 
com média de 50 horas e um desvio-padrão de 5 horas. 
 
 
Universidade Federal do Cariri - UFCa 
INTRODUÇÃO À ESTATÍSTICA 
Prof. Paulo Renato Alves Firmino 
Lista de exercícios resolvidos – Variáveis Aleatórias 
 
 6
2.a) Pede-se a probabilidade de que dado aluno aprenda em até 35 horas. Matematicamente, 
pede-se P(Ti≤35). Como Ti segue uma distribuição normal, tem-se que P(Ti ≤ 35) = P(Zi≤ 
(35-μ)/σ), onde Zi = (Ti-μ)/σ é uma variável que segue uma normal-padrão (com média 
igual 0 e variância equivalente a 1). Seguindo, =≤ )35( iTP P(Zi ≤ (35-50)/5) = P(Zi ≤ -
3.00). De uma tabela da normal-padrão, tem-se 
 
Assim, tem-se que P(Ti ≤ 35) = P(Zi ≤ -3.00) = 0.0013; isto é, a probabilidade de um aluno 
aprender em até 35 horas é de 0.13%, apenas. 
 
2.b) Pede-se a probabilidade de que dentre 40 alunos, todos aprendam em até 35 horas. 
Matematicamente, pede-se )35...353535( 40321 ≤∩∩≤∩≤∩≤ TTTTP . Aplicando a 
regra do produto e supondo que o tempo de aprendizado de um aluno é independente do 
tempo de aprendizado dos demais, chega-se a 
40
40
1
40321 )]35([)35()35...353535( ≤=≤=≤∩∩≤∩≤∩≤ ∏
=
i
i
i TPTPTTTTP , para um i 
qualquer. 
Seguindo, como P(Ti ≤ 35) = P(Zi ≤ -3.00) = 0.0013, 
.1166.3)0013.0()35()35...353535( 40
40
1
40321 −==≤=≤∩∩≤∩≤∩≤ ∏
=
ETPTTTTP
i
i 
Logo, a probabilidade de que os 40 alunos consigam assimilar o conteúdo em até 35 horas é 
consideravelmente baixa (na ordem de 10-116), pode-se considerar um evento raríssimo. 
 
2.c) Pede-se o valor esperado de Y≡ "O nº de alunos, dentre 40, capazes de assimilar o 
conteúdo em até 35 horas de dedicação". Aqui, supondo que o tempo de aprendizado de um 
aluno é independente do tempo de aprendizado dos demais (assim como no quesito anterior) 
e que Ti~Normal(μ=50h, σ=5h) (i=1, 2, ..., 40), pode-se concluir que Y~Binomial (n=40, p), 
onde p≡ "probabilidade de um dado aluno (i) aprender em até 35 horas". Isto é, 
p = P(Ti ≤ 35) = 0.0013. Logo, Y~Binomial (n=40, p=0.0013). Para responder ao quesito, 
pede-se E(Y) = n•p = 40•0.0013 = 0.052. Como Y é uma variável discreta, mostra-se 
oportuno arredondar E(Y) para o inteiro mais próximo. Logo espera-se que, dentre os 40 
alunos, nenhum consiga aprender o conteúdo em até 35 horas. 
 █ 
3) Considere-se o evento de interesse E≡"alguém torna-se viciado em crack ". 
Considere-se λ*≡"nº médio de ocorrências de E por hora". Do enunciado, tem-se que 
λ*=4 pessoas/hora. Estuda-se o nº novos viciados por unidade de tempo. Trata-se de um 
experimento intrinsecamente de Poisson. 
 
3.a) Pede-se a média da variável X≡"nº de novos viciados em 25 minutos". Note-se que 
sendo X o nº de ocorrências do evento de interesse (E) por unidade de medida (25 
minutos), trata-se de uma variável de Poisson. De maneira a obter o nº médio de novos 
viciados em 25 minutos, recorre-se à regra de três: 
 
Universidade Federal do Cariri - UFCa 
INTRODUÇÃO À ESTATÍSTICA 
Prof. Paulo Renato Alves Firmino 
Lista de exercícios resolvidos – Variáveis Aleatórias 
 
 7
⎩⎨
⎧
λ→
→
pessoas minutos 25
pessoas 4minutos 60
 
Logo, λ = 4•25/60 = 1.667 novos viciados a cada 25 minutos. Assim, X~Poisson(λ = 
1.667) e E(X) = λ = 1.667. Como E(X) trata-se de uma quantidade inteira, arredonda-se 
o seu resultado para o inteiro mais próximo; ou seja, haveria em média 2 novos viciados 
em crack a cada 25 minutos. 
 
3.b) Estuda-se, ainda, a variável X definida no quesito anterior. Como 
X~Poisson(λ=1.667), tem-se que P(X=x) = 
!x
e xλ⋅λ− . Do enunciado, pede-se P(X=1) e 
P(X≤1). Como P(X≤1) = P(X=1) + P(X=0): 
P(X=0) = e-1.667= 0.189, 
P(X=1) = e-1.667•1.6671/1!= 0.315 
e 
P(X ≤ 1) = P(X=1) + P(X=0) = 0.504. 
Logo, a probabilidade de que apenas uma pessoa torne-se viciada é de 31.5%, enquanto 
que a de que não mais que uma se vicie é de 50.4%. 
 
3.c) A principal suposição que embasa as análises feitas nesta questão é a de que a taxa 
(média) de novos viciados por unidade de tempo não varia ao longo do tempo; isto é, não 
haveria diferença em tal taxa ao se comparar, por exemplo, uma hora do dia com uma hora 
durante a madrugada. Supõe-se ainda que as ocorrências de E são independentes entre si, 
isto é, que uma nova pessoa se tornar viciada não influencia uma outra. Note-se que tais 
suposições provavelmente distanciam o modelo de Poisson tradicional da realidade 
estudada. 
█ 
4) Para esta questão tem-se, do enunciado, que X~Normal(μ=7.64 dias, σ=1.3 dia), onde 
X≡"Tempo necessário para que um jovem introduzido ao crack torne-se viciado"; isto é, as 
incertezas quanto ao tempo que um jovem introduzido ao crack leva até se tornar um 
viciado (X) podem ser modeladas por uma distribuição Normal. Os jovens levam, em 
média, μ=7.64 dias para se tornarem viciados após introduzidos ao crack, sob uma 
variabilidade representada por um desvio-padrão de σ=1.3 dia. 
 
4.a) Aqui, o evento de interesse é {X < 7}, ou seja, "um jovem se vicie em menos que 1 
semana (7 dias)". Pergunta-se sobre a probabilidade de ocorrer {X < 7}. Matematicamente, 
pede-se P(X < 7). Como X segue uma distribuição normal, tem-se que P(X < 7) = P(Z< (7-
μ)/σ), onde Z = (X-μ)/σ é uma variável que segue uma normal-padrão (com médio igual a 0 
e variância igual a 1). Seguindo, P(X < 7) = P(Z< (4-μ)/σ) = P(Z< (7-7.64)/1.3) = P(Z < -
0.49). De uma tabela da normal-padrão, tem-se 
 
 
Universidade Federal do Cariri - UFCa 
INTRODUÇÃO À ESTATÍSTICA 
Prof. Paulo Renato Alves Firmino 
Lista de exercícios resolvidos – Variáveis Aleatórias 
 
 8
 
 
Assim, tem-se que P(X <7) = P(Z < -0.49) = 0.3121. Logo, a probabilidade de que um 
jovem introduzido ao crack torne-se viciado em menos de uma semana é de 31.21%. 
 
4.b) Deseja-se estudar a distribuição de probabilidades de Y≡ "O nº de jovens, dentre 10, 
que se viciam em uma semana após apresentados ao crack". Para cada um dos 10 jovens, o 
evento de interesse é {Xi < 7}, que pode ocorrer ou não (i=1, 2, ..., 10). Como visto no 
quesito anterior, P(Xi < 7) = 0.3121. Aqui, supondo que o tempo necessário para que um 
jovem se vicie após introduzido ao crack é independente do dos demais jovens introduzidos,pode-se concluir que Y~Binomial (n=10, p), onde p≡ " probabilidade de que um dado 
jovem introduzido à droga se vicie em uma semana" (perceba-se que tratam-se de 10 
oportunidades, onde a probabilidade de ocorrer o evento de interesse em cada uma, {Xi < 
7}, é p). Isto é, p = P(Xi < 7) = 0.3121, do quesito anterior. 
A probabilidade de Y assumir um valor específico y (a distribuição de probabilidades de Y) 
é dada por 
P(Y=y) = ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
y
10
(0.3121)y(1-0.3121)10-y, onde y assume valores entre 0 e 10 (o nº de 
oportunidades). 
 
Do enunciado, pede-se P(Y>1) = 1 - P(Y≤1) = 1 - P(Y=1) - P(Y=0), onde 
P(Y=0) = ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
0
10
 (0.3121)0(1-0.3121)10-0 = 0.024; 
P(Y=1) = ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
1
10
 (0.3121)1(1-0.3121)10-1 = 0.108. 
Logo, a probabilidade de que, dentre 10 jovens introduzidos ao crack, mais que 1 se viciem 
em menos de 1 semana é de: P(Y>1) = 1 - 0.131 = 86.9%. 
 
4.c) Para esta questão, as principais suposições são de que (i) o tempo que um jovem leva 
para se viciar após introduzido ao crack é independente do dos demais jovens introduzidos à 
droga e, do próprio enunciado, de que (ii) as incertezas quanto ao tempo para que qualquer 
jovem apresentado a droga se vicie podem ser modeladas por uma distribuição Normal, 
 
Universidade Federal do Cariri - UFCa 
INTRODUÇÃO À ESTATÍSTICA 
Prof. Paulo Renato Alves Firmino 
Lista de exercícios resolvidos – Variáveis Aleatórias 
 
 9
com média de μ = 7.64 dias e um desvio-padrão de 1.3 dia. Isto garante um p constante no 
quesito anterior, por exemplo, e o conduz a um experimento Binomial. 
█ 
 
5) Para esta questão, vale destacar as variáveis NA ≡ "O nº de falhas do servidor A em 
períodos de 10.5 horas" e TB≡ "O tempo em operação até a falha do servidor B". Supondo 
que uma falha de A independe de outra falha deste servidor e que a taxa (média) de falhas 
se matem constante ao longo do tempo, tem-se que NA~Poisson(λA=0.05 falha a cada 10.5 
horas), onde λA≡” taxa (média) de falhas do servidor A em períodos de 10.5 horas”. Já 
sobre B, tem-se do enunciado que TB~Normal(μB=12h, σB=2h), isto é, as incertezas quanto 
ao tempo consumido até a falha de B (TB) podem ser modeladas por uma distribuição 
Normal, com média de 12 horas e desvio-padrão de 2 horas. 
 
5.a) Pede-se a probabilidade de que A opere sem problemas durante 10.5 e, da mesma 
forma, para B. Matematicamente, pede-se P(NA =0) e P(TB > 10.5). Como NA segue uma 
distribuição de Poisson, tem-se que P(NA =x) = 
!x
e xAA λλ ⋅− , para x inteiro e não-negativo. 
Assim, 
P(NA=0)=e-0.05 (0.05)0/0! =e-0.05=0.9512. Logo, a probabilidade de que A não falhe durante 
10.5 horas é de 95.12 %. 
 
Por outro lado, TB segue uma distribuição normal e P(TB > 10.5) = P(ZB > (10.5-μB)/σB), 
onde ZB = (TB-μB)/σB é uma variável que segue uma normal-padrão (com média igual a 0 e 
variância igual a 1). Seguindo, P(TB > 10.5) = P(ZB > (10.5-12)/2) = P(ZB > -0.75) = 1-P(ZB 
≤ -0.75). De uma tabela da normal-padrão, tem-se 
 
Assim, tem-se que P(ZB ≤ -0.75) = 0.2266 e que P(TB > 10.5) = P(ZB > -0.75) = 1-
0.2266=0.7734; isto é, a probabilidade de B não falhar durante 10.5 horas é de 77.35%. 
 
Assim, conclui-se que o servidor A é mais confiável que o B. 
 
5.b) Pede-se a probabilidade de que o sistema-servidor composto pela série entre A e B 
opere sem problemas durante 10.5 horas. Sejam os eventos 
S≡”o sistema-servidor opera adequadamente durante 10.5 horas”, 
SA≡”A opera adequadamente durante 10.5 horas” e 
SB≡”B opera adequadamente durante 10.5 horas”. 
 
Universidade Federal do Cariri - UFCa 
INTRODUÇÃO À ESTATÍSTICA 
Prof. Paulo Renato Alves Firmino 
Lista de exercícios resolvidos – Variáveis Aleatórias 
 
 10
Veja que SA = {NA = 0} e que SB = {TB > 10.5} e que P(SA)= 0.9512 e P(SB)= 0.7734, do 
quesito anterior. Veja ainda que do enunciado S é a interseção entre A e B, isto é, S ocorrerá 
se, e só se, ocorrem ambos, SA e SB. Consequentemente, 
P(S) = P(SA ∩ SB) = P(SA) (SB|SA)= P(SA)(SB). 
A segunda igualdade é devido à regra do produto e a terceira devido a SA e SB serem 
eventos independentes entre si, de acordo com o enunciado. Assim, P(S) = P(SA)(SB)= 
0.9512.0.7734 = 0.7357. Logo, a confiabilidade do sistema-servidor para o período de 10.5 
horas é de 73.57%. 
 
5.c) Neste quesito, estuda-se a variável Y≡ "nº de sistemas-servidores, dentre 15, que 
operem sem problemas durante 10.5 horas". Seja Si≡”o iº sistema-servidor operar 
adequadamente durante 10.5 horas”, i=1, 2, ..., 15. Aqui, supondo que o tempo até a falha 
de um sistema-servidor é independente do dos demais e que cada sistema-servidor tem uma 
probabilidade de operar adequadamente de p=P(Si)=0.7357, do quesito anterior, tem-se que 
Y~Binomial (n=15, p=0. 7357), 
P(Y=y) = ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
y
n
py(1-p)n-y, y = 0, 1, 2, ..., 15, e E(Y)=n.p=15.0.7357=11.0355. 
Como Y trata-se de uma quantidade inteira, arredonda-se E(Y) para o inteiro mais próximo 
(11). Logo, em média, 11 dos 15 sistemas-servidores não falharão. 
 █ 
6) Esta questão relaciona-se a fundamentos do cálculo das probabilidades e de variáveis 
aleatórias discretas. 
 
6.a) Na verdade, o experimento descrito não é Binomial; mas, sim, Geométrico. Em um 
experimento Binomial, estuda-se o nº de sucessos ocorridos dentre uma quantidade 
predeterminada de oportunidades. Logo, a afirmação está INCORRETA. 
 
6.b) Na verdade, o experimento descrito não é Geométrico; mas, sim, Binomial. Em um 
experimento Geométrico, estuda-se o nº de tentativas até que ocorra o sucesso pela 
primeira vez; desta forma o nº de tentativas poderia tender a infinito. Logo, a afirmação 
está INCORRETA. 
 
6.c) Na verdade, no experimento de Poisson contabiliza-se o nº de sucessos por unidade de 
medida, onde tal unidade pode se tratar de uma distância (metros, centímetros), uma área 
(cm2, m2), um volume (m3, ml), tempo (horas, minutos), e assim por diante. Note-se assim 
que a unidade de medida é tipicamente contínua, permitindo uma quantidade infinita (AO 
INVÉS DE FINITA como diz o enunciado) de oportunidades para a ocorrência do evento 
de interesse. Logo, a afirmação é INCORRETA. 
█ 
7) Para esta questão, tem-se do enunciado que X~Normal(μ=4.64 anos, σ=0.64 ano), onde 
X≡"Tempo consumido por uma família assistida pelo governo até que esta supere a linha da 
pobreza"; isto é, as incertezas quanto ao tempo que uma dada família assistida pelo governo 
leva até superar a linha da pobreza (X) podem ser modeladas por uma distribuição Normal. 
As famílias levam, em média, μ=4.6 anos até superarem a linha da pobreza, sob uma 
variabilidade representada por um desvio-padrão de σ=0.64 ano. 
 
 
Universidade Federal do Cariri - UFCa 
INTRODUÇÃO À ESTATÍSTICA 
Prof. Paulo Renato Alves Firmino 
Lista de exercícios resolvidos – Variáveis Aleatórias 
 
 11
7.a) Aqui, o evento de interesse é {X ≤ 4}, ou seja, "uma família supere a linha da 
pobreza durante (em até) 4 anos". Pergunta-se sobre a probabilidade de ocorrer {X ≤ 4}. 
Matematicamente, pede-se P(X ≤ 4). Como X segue uma distribuição normal, tem-se que 
P(X ≤ 4) = P(Z≤ (4-μ)/σ), onde Z = (X-μ)/σ é uma variável que segue uma normal-padrão 
(com μ=0 e σ=1). Seguindo, P(X ≤ 4) = P(Z≤ (4-μ)/σ) = P(Z≤ (4-4.64)/0.64) = P(Z ≤ -1.00). 
De uma tabela da normal-padrão, tem-se 
 
 
 
Assim, tem-se que P(X ≤ 4) = P(Z ≤ -1.00) = 0.1587. Logo, a probabilidade de que uma 
dada família assistida pelo governo supere a linha da pobreza durante 4 anos é de 15.87%. 
 
7.b) Deseja-se estudar a distribuição de probabilidades de Y≡ "O nº de famílias, dentre 13, 
que superam a linha da pobreza durante 4 anos". Para cada uma das 13 famílias, o evento de 
interesse é {Xi ≤ 4}, que pode ocorrer ou não (i=1, 2, ..., 13). Como visto no quesito 
anterior, P(Xi ≤ 4) = 0.1587. Aqui, supondo que o tempo consumido por uma família 
assistida pelo governoaté que esta supere a linha da pobreza é independente do das demais 
famílias assistidas, pode-se concluir que Y~Binomial (n=13, p), onde p≡ " probabilidade de 
que uma dada família assistida pelo governo supere a linha da pobreza durante 4 anos" 
(perceba-se que tratam-se de 13 oportunidades, onde a probabilidade de ocorrer o evento de 
interesse em cada uma- {Xi ≤ 4} - é p). Isto é, p = P(Xi ≤ 4) = 0.1587, do quesito anterior. 
A probabilidade de Y assumir um valor y (a distribuição de probabilidades de Y) é dada por 
P(Y=y) = ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
y
13
(0.1587)y(1-0.1587)13-y, onde y assume valores entre 0 e 13 (o nº de 
oportunidades) 
Do enunciado, pede-se P(Y>10) = P(Y=11)+ P(Y=12)+ P(Y=13), onde 
P(Y=11) = ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
11
13
 (0.1587)11(1-0.1587)13-11 = 8.85•10-08; 
P(Y=12) = ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
12
13
 (0.1587)12(1-0.1587)13-12 = 2.78•10-09; 
P(Y=13) = ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
13
13
 (0.1587)13(1-0.1587)13-13 = 4.04•10-11. 
Logo, a probabilidade de que, dentre 13 famílias assistidas, mais que 10 superem a linha da 
pobreza durante 4 anos é consideravelmente baixa: P(Y>10) = 9.13•10-08. 
 
 
Universidade Federal do Cariri - UFCa 
INTRODUÇÃO À ESTATÍSTICA 
Prof. Paulo Renato Alves Firmino 
Lista de exercícios resolvidos – Variáveis Aleatórias 
 
 12
7.c) Para esta questão, as principais suposições são de que (i) o tempo para que uma família 
assistida pelo governo supere a linha da pobreza é independente do das demais famílias e, 
do próprio enunciado, de que (ii) as incertezas quanto ao tempo para que qualquer família 
assistida pelo governo supere a linha da pobreza podem ser modeladas por uma distribuição 
Normal, com média de μ = 4.64 anos e um desvio-padrão de 0.64 ano. Isto garante um p 
constante no quesito anterior, por exemplo, e o conduz a um experimento Binomial. 
█ 
 
8) Do enunciado tem-se que a probabilidade de que uma pessoa sorteada ao acaso 
prefira B equivale a p= 0.3. 
 
8.a) Pede-se o valor esperado da variável X≡"Nº de entrevistas até que a primeira pessoa 
votante em B apareça". Supondo que (i) a preferência de voto de uma pessoa não 
interfere na de outra e que (ii) a probabilidade de que cada pessoa prefira B não varia, se 
mantendo constante em p, conclui-se que X~Geométrica(p=0.3). Matematicamente, 
pede-se E(X) = 1/p = 1/0.3 = 3.33. Como E(X) trata-se de uma quantidade inteira, 
arredonda-se 3.33 para o inteiro mais próximo. Assim, espera-se que a 1ª pessoa votante 
em B apareça já na 3ª entrevista. 
 
8.b) Para este quesito, o interesse ainda recai sobre a variável X, definida no quesito 
anterior. De maneira geral, a distribuição de probabilidades de X é dada por 
P(X=x) = p•(1-p)x-1. Diante disto, pede-se: 
P(X=1) = p = 0.3•(1-p)0; 
P(X=2) = p•(1-p)1 = 0.3•0.7 =0.21; 
P(X=10) = p•(1-p)9 = 0.3•0.79 =0.012. 
 
8.c) Para esta questão, as principais suposições são de que (i) a preferência de voto de uma 
pessoa não interfere na de outra e que (ii) a probabilidade de que cada pessoa prefira B 
não varia, se mantendo constante em p, conduzindo a X~Geométrica(p=0.3), tal como 
feito nos quesitos anteriores. 
█ 
9) Considere-se o evento de interesse E≡"acesso à página de internet". Considere-se 
λ*≡"nº médio de ocorrências de E por semana". Do enunciado, tem-se que 
λ*=30 acessos/semana. 
Estuda-se o nº acessos à página por unidade de tempo. Trata-se de um experimento 
intrinsecamente Poisson. 
9.a) Pede-se a média da variável X≡"nº de acessos em 1 dia". Note-se que sendo X o nº 
de ocorrências do evento de interesse (E) por unidade de medida (1 dia), trata-se de uma 
variável de Poisson. De maneira a obter o nº médio de acessos por dia, recorre-se à 
regra de três: 
⎩⎨
⎧
λ→
→
acessos dia 1
acessos 30dias 7
 
Logo, λ = 30/7 = 4.286 acessos/dia. Assim, X~Poisson(λ = 4.286) e E(X) = λ = 4.286. 
Como E(X) trata-se de uma quantidade inteira, arredonda-se o seu resultado para o 
inteiro mais próximo; ou seja, haveria em média 4 acessos à página por dia. 
 
 
Universidade Federal do Cariri - UFCa 
INTRODUÇÃO À ESTATÍSTICA 
Prof. Paulo Renato Alves Firmino 
Lista de exercícios resolvidos – Variáveis Aleatórias 
 
 13
9.b) Estuda-se, ainda, a variável X definida no quesito anterior. Como 
X~Poisson(λ=4.286), tem-se que P(X=x) = 
!x
e xλ⋅λ− . Do enunciado, pede-se P(X=0) e 
P(X>2): 
P(X=0) = e-4.286•4.2860/0!= 0.014 e 
P(X>2) = 1 - P(X ≤ 2) = 1 - P(X=2) - P(X=1) - P(X=0), onde 
P(X=2) = e-4.286•4.2862/2!= 0.126; 
P(X=1) = e-4.286•4.2861/1!= 0.059. Assim, P(X>2) = 1-0.199 = 0.801. 
Logo, a probabilidade de que não ocorra qualquer acesso é razoavelmente baixa (1.4%), 
enquanto que a de que ocorram mais que 2 acessos é bem mais elevada (80.1%). 
 
9.c) A principal suposição que embasa as análises feitas nesta questão é a de que a taxa de 
acessos à página por unidade de tempo não varia ao longo do tempo. Supõe-se ainda que as 
ocorrências de E são independentes entre si, isto é, que o acesso de um indivíduo à página 
não influencia no de outro. 
█ 
10) Considere-se o evento de interesse Ev≡"tentativa bem sucedida de inseminação em 
um ruminante". Do enunciado tem-se que P(Ev) = p = 0.85. Sejam 
X≡"nº de tentativas bem sucedidas de inseminação dentre as 15 de F1"; 
Y≡"nº de tentativas de inseminação de F2 até que a 1ª bem sucedida ocorra"; 
Z≡"nº de tentativas bem sucedidas de inseminação de F3". 
 
10.a) Pode-se considerar que X~Binomial(n=15, p=0.85) - tratam-se de 15 
oportunidades onde o evento de interesse (Ev) pode ocorrer, em cada, com 
probabilidade p=0.85. Pede-se o nº esperado de tentativas de inseminação bem 
sucedidas de F1; isto é, o valor médio de X, E(X) = np = 15•0.85 = 12.75. Como X 
trata-se de uma quantidade discreta, pode-se arredondar E(X) para o inteiro mais 
próximo; ou seja, pode-se assumir que F1 espera obter sucesso em cerca de 13 das 15 
tentativas de inseminação. 
 
10.b) Pode-se considerar que Y~Geométrica(p=0.85) - trata-se do nº de tentativas até a 
ocorrência de Ev. Pede-se o nº esperado de tentativas de inseminação de F2 até a 
ocorrência da 1ª bem sucedida; isto é, o valor médio de Y, E(Y) = 1/p = 1/0.85 = 1.18. 
Como Y trata-se de uma quantidade discreta, pode-se arredondar E(Y) para o inteiro 
mais próximo; ou seja, pode-se assumir que F2 espera tentar por cerca de 1 vez para que 
ocorra o sucesso na tentativa de inseminação. 
 
10.c) Considerando que F3 deseja, em média, inseminar com sucesso 10 animais, pode-
se adotar Z~Binomial(n, p=0.85). Pede-se o nº de tentativas, n, para o qual E(Z) = 10. 
Vale ressaltar que como trata-se de um valor esperado, considera-se as incertezas sobre 
o sucesso ao longo das tentativas. Como E(Z) = np, onde p = 0.85, tem-se que 10 = 
0.85n e, assim, que n = 10/0.85 = 11.76. Como n trata-se de uma quantidade discreta, 
pode-se arredondá-lo para o inteiro mais próximo; ou seja, pode-se assumir que F3 
submeterá cerca de 12 animais, uma vez que se espera 10 inseminações. 
 
10.d) Pergunta-se sobre P(X ≥ 13). Como X~Binomial(n=15, p=0.85), P(X≥13) = 
P(X=13) + P(X=14) + P(X=15), onde 
 
Universidade Federal do Cariri - UFCa 
INTRODUÇÃO À ESTATÍSTICA 
Prof. Paulo Renato Alves Firmino 
Lista de exercícios resolvidos – Variáveis Aleatórias 
 
 14
P(X=x) = )x15(x )15.0()85.0(
x
15 −⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
. Logo, P(X=13) = 0.286; P(X=14) = 0.231; P(X=15) 
= 0.087. Assim, P(X≥13) = 0.604; isto é, a probabilidade de que F1 alcance seus 
objetivos de inseminar com sucesso ao menos 13 animais é de 60.4%. As suposições 
que embasam as análises são de que (i) a probabilidade de inseminação bem sucedida 
não varia de um animal para outro e que (ii) o (in)sucesso em uma tentativa de 
inseminação independe do (in)sucesso de uma outra tentativa. 
█ 
11) Considere-se o evento de interesse Ev≡"chegada de indivíduo fraturado na 
emergência". Considere-se λ*≡"nº médio de ocorrências de Ev em intervalosde 20 
minutos". Do enunciado, tem-se λ*=1
utosmin20
chegada
 
. 
Estuda-se o nº de animais fraturados por unidade de tempo. Trata-se de um experimento 
intrinsecamente Poisson. 
11.a) Pode-se calcular a média da variável X≡"nº de indivíduos fraturados que chegam à 
emergência em 24 horas". Note-se que sendo X o nº de ocorrências do evento de 
interesse (Ev) por unidade de medida (24 horas), trata-se de uma variável de Poisson. 
De maneira a obter o nº médio de chegadas de indivíduos fraturados em intervalos de 24 
horas (1440 minutos), recorre-se à regra de três: 
⎩⎨
⎧
λ→
→
chegadasutosmin1440
chegada1utosmin20
 
 
 
Logo, λ = 1440/20 = 72 chegadas a cada 24 horas. Assim, X~Poisson(λ = 72) e E(X) = 
λ = 72; ou seja, chegariam em média 72 indivíduos fraturados durante 24 horas. 
 
11.b) Estuda-se a variável Y≡"nº de indivíduos fraturados que chegam à emergência em 
1 hora". De maneira a obter o nº médio de chegadas de indivíduos fraturados em 
intervalos de 1 hora (60 minutos), recorre-se à regra de três: 
⎩⎨
⎧
λ→
→
chegadasutosmin60
chegada1utosmin20
 
 
 
Logo, λ = 60/20 = 3 chegadas/hora. Assim, Y~Poisson(λ = 3) e P(Y=y) = 
!y
e yλ⋅λ− . Do 
enunciado, pede-se P(Y>4) = 1 - P(Y≤4), onde P(Y≤4) = P(Y=0)+ P(Y=1)+ P(Y=2)+ 
P(Y=3)+ P(Y=4) e 
P(Y=0) = e-3•30/0!= 0.05; 
P(Y=1) = e-3•31/1!= 0.149; 
P(Y=2) = e-3•32/2!= 0.224; 
P(Y=3) = e-3•33/3!= 0.224; 
P(Y=4) = e-3•34/4!= 0.168. 
Como P(Y≤4) = 0.815, P(Y>4) = 1 - 0.815 = 0.185. Logo, a probabilidade de que em 
uma hora cheguem mais de 4 indivíduos fraturados na emergência é de 18.5%. 
 
11.c) Este quesito pode ser respondido de muitas maneiras. Por exemplo, considerando-se o 
intervalo de uma hora, espera-se que cheguem E(Y) = 3 indivíduos fraturados. Por outro 
lado, a probabilidade de não chegar indivíduos fraturados na emergência em 1 hora é de 
 
Universidade Federal do Cariri - UFCa 
INTRODUÇÃO À ESTATÍSTICA 
Prof. Paulo Renato Alves Firmino 
Lista de exercícios resolvidos – Variáveis Aleatórias 
 
 15
apenas P(Y=0) = 5% e, consequentemente, a de chegar ao menos 1 de 95% (razoavelmente 
alta). Estes são alguns exemplos de indícios que, como decisor, me levariam a sempre 
manter um traumatologista presente no local. 
 
11.d) A principal suposição que embasa as análises feitas nesta questão é a de que a taxa de 
chegadas de indivíduos fraturados por unidade de tempo não varia ao longo do tempo. 
Assim, seja um período do dia ou da noite, tal taxa se mantém constante. Supõe-se ainda 
que as ocorrências de Ev são independentes entre si, isto é, que a chegada de um indivíduo 
fraturado não influencia na de outro. 
█ 
 
12) Do enunciado, tem-se que Xi~Normal(μ = R$ 20000.00; σ = R$ 1000.00), onde Xi ≡ 
"gasto da clínica no mês i"; isto é, as incertezas quanto ao gasto mensal da clínica no iº mês 
podem ser modeladas por uma distribuição Normal, com média de μ = R$ 20000.00 e um 
desvio-padrão de σ = R$ 1000.00. 
 
12.a) Pede-se a probabilidade de que o gasto mensal ultrapasse R$22000.00 em todos os 
meses do ano, ou seja, que Xi > 22000.00, para i=1, 2, ..., 12. Em outros termos, pede-se a 
probabilidade de que ocorra de: X1>22000 e X2>22000 e X3>22000 e ... e X12>22000. 
Pede-se, então, )22000X...22000X22000X22000X(P 12321 >∩∩>∩>∩> . 
Aplicando a regra do produto e supondo que o gasto da clínica em dado mês é independente 
do dos demais meses, chega-se a 
[ ] .)22000X(P)22000X(P...)22000X(P)22000X(P)22000X(P
)22000X...22000X22000X22000X(P
12
i12321
12321
>=>⋅⋅>⋅>⋅>
=>∩∩>∩>∩>
 
Seguindo, como Xi, para um i inteiro qualquer entre 1 e 12, segue uma distribuição normal, 
tem-se que 
P(Xi >22000) = P(Zi> (22000-μ)/σ), onde Zi = (Xi-μ)/σ é uma variável que segue uma 
normal-padrão (com média=0 e variância=1). Seguindo, 
P(Xi >22000) = P(Zi> (22000-20000)/1000) = P(Zi > 2.00) = 1 - P(Zi ≤ 2.00). De uma tabela 
da normal-padrão, tem-se 
 
 
Assim, P(Xi >22000) = P(Zi > 2.00) = 1 - P(Zi ≤ 2.00) = 1 - 0.9772 = 0.0228; isto é, a 
probabilidade de o gasto da clínica em dado mês ultrapassar R$22000 é de 2.28%. Logo, 
.1097.1)0228.0()22000X...22000X22000X22000X(P 201212321
−⋅==>∩∩>∩>∩>
 Logo, o risco (a probabilidade) de que o gasto mensal ultrapasse R$22000.00 em todos os 
meses do ano é consideravelmente baixo (na ordem de 10-20). 
 
 
Universidade Federal do Cariri - UFCa 
INTRODUÇÃO À ESTATÍSTICA 
Prof. Paulo Renato Alves Firmino 
Lista de exercícios resolvidos – Variáveis Aleatórias 
 
 16
12.b) Pede-se a probabilidade de que ocorra de: X1≤22000 e X2≤22000 e X3≤22000 e 
X4>22000, uma vez que estuda-se o evento de que apenas no 4º, dos próximos 4 meses, o 
gasto mensal ultrapasse os R$22000.00. Pede-se, então, 
)22000X22000X22000X22000X(P 4321 >∩≤∩≤∩≤ . 
Aplicando a regra do produto e supondo que o gasto da clínica em dado mês é independente 
do dos demais meses, chega-se a 
[ ] ).22000X(P)22000X(P
)22000X(P)22000X(P)22000X(P)22000X(P
i
3
i
4321
>⋅≤
=>⋅≤⋅≤⋅≤
 
Como do quesito anterior sabe-se que P(Xi >22000) = 0.0228 e que, consequentemente, 
P(Xi ≤22000) = 0.9772 , tem-se que 
)22000X22000X22000X22000X(P 4321 >∩≤∩≤∩≤ = (0.9772)3•(0.0228)1 = 0.021. 
Assim, a probabilidade de que apenas no 4º, dos próximos 4 meses, o gasto mensal 
ultrapasse os R$22000.00 é de 2.1%, apenas. 
 
12.c) Deseja-se estudar a distribuição de probabilidades de Y≡ "O nº de meses, dentre 12, 
nos quais o gasto mensal ultrapassa os R$22000.00". Aqui, supondo que o gasto da clínica 
em dado mês é independente do dos demais meses (assim como no quesito anterior), pode-
se concluir que Y~Binomial (n=12, p), onde p≡ "probabilidade de que em dado mês o gasto 
ultrapasse os R$22000.00" (perceba-se que tratam-se de 12 oportunidades, onde a 
probabilidade de ocorrer o evento de interesse em cada uma- Xi >22000 - é p). Isto é, p = 
P(Xi >22000) = 0.0228. 
A probabilidade de Y assumir um valor y (a distribuição de probabilidades de Y) é dada por 
P(Y=y) = ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
y
12
(0.02287)y(1-0.0228)12-y. 
Do enunciado, pede-se P(Y= 2) = ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
2
12
(0.02287)2(1-0.0228)12-2 = 0.0272. Logo, o risco de 
que ao longo do ano, o gasto mensal da clínica seja superior a R$22000.00 em apenas 2 
meses é de 2.72%. 
 
12.d) Para esta questão, as principais suposições são de que (i) o gasto da clínica em dado 
mês é independente do dos demais meses (assim como no quesito anterior) e, do próprio 
enunciado, de que (ii) as incertezas quanto ao gasto mensal da clínica em qualquer mês 
podem ser modeladas por uma distribuição Normal, com média de μ = R$ 20000.00 e um 
desvio-padrão de σ = R$ 1000.00. 
 █ 
13) Para esta questão, tem-se do enunciado que X~Normal(μ=4.64 semanas, σ=0.64 
semana), onde X≡"Tempo de recuperação de um animal operado"; isto é, as incertezas 
quanto ao tempo de recuperação de um animal operado (X) podem ser modeladas por uma 
distribuição Normal. A recuperação leva, em média, μ=4.6 semanas, sob uma variabilidade 
representada por um desvio-padrão de σ=0.64 semana. 
 
13.a) Aqui, o evento de interesse é {X < 4}, ou seja, " um animal operado se recupere em 
menos de 4 semanas". Pergunta-se sobre a probabilidade de ocorrer {X ≤ 4}. 
Matematicamente, pede-se P(X<4). Como X segue uma distribuição normal, tem-se que 
P(X < 4) = P(Z< (4-μ)/σ), onde Z = (X-μ)/σ é uma variável que segue uma normal-padrão 
 
Universidade Federal do Cariri - UFCa 
INTRODUÇÃO À ESTATÍSTICA 
Prof. Paulo Renato Alves Firmino 
Lista de exercícios resolvidos – Variáveis Aleatórias 
 
 17
(com μ=0 e σ=1). Seguindo, P(X < 4) = P(Z< (4-μ)/σ) = P(Z< (4-4.64)/0.64) = P(Z < -1.00). 
De uma tabela da normal-padrão, tem-se 
 
 
 
Assim, tem-se que P(X < 4) = P(Z < -1.00) = 0.1587. Logo, a probabilidade de que um dado 
animal operado se recupere durante 4 semanas é de 15.87%. 
 
13.b) Deseja-se estudara distribuição de probabilidades de Y≡ "O nº de animais, dentre 5 
operados, que se recuperem durante 4 semanas". Para cada um dos 5 animais, o evento de 
interesse é {Xi < 4}, que pode ocorrer ou não (i=1, 2, ..., 5). Como visto no quesito anterior, 
P(Xi < 4) = 0.1587. Aqui, supondo que o tempo de recuperação de um animal é 
independente do dos demais animais operados, pode-se concluir que Y~Binomial (n=5, p), 
onde p≡ " probabilidade de que um dado animal operado se recupere durante 4 semanas" 
(perceba-se que tratam-se de 5 oportunidades, onde a probabilidade de ocorrer o evento de 
interesse em cada uma- {Xi < 4} - é p). Isto é, p = P(Xi < 4) = 0.1587, do quesito anterior. 
A probabilidade de Y assumir um valor y (a distribuição de probabilidades de Y) é dada por 
P(Y=y) = ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
y
5
(0.1587)y(1-0.1587)5-y, onde y assume valores entre 0 e 5 (o nº de 
oportunidades) 
Do enunciado, pede-se P(Y>3) = P(Y=4)+ P(Y=5), onde 
P(Y=4) = ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
4
5
 (0.1587)4(1-0.1587)5-4 = 2.67•10-03; 
P(Y=5) = ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
5
5
 (0.1587)5(1-0.1587)5-5 = 1.01•10-04. 
Logo, a probabilidade de que, dentre 5 animais operados, mais que 3 se recuperem durante 
4 semanas é consideravelmente baixa: P(Y>3) = 2.77•10-03. 
 
13.c) Para esta questão, as principais suposições são de que (i) o tempo de recuperação de 
um animal operado é independente do dos demais animais e, do próprio enunciado, de que 
(ii) as incertezas quanto ao tempo para que qualquer animal operado se recupere podem ser 
modeladas por uma distribuição Normal, com média de μ = 4.64 semanas e um desvio-
padrão de 0.64 semana. Isto garante um p constante no quesito anterior, por exemplo, e o 
conduz a um experimento Binomial. 
 █ 
14) Considere-se o evento de interesse Ev≡"um indivíduo da localidade estar acometido 
pela enfermidade sob estudo". Do enunciado tem-se que P(Ev) = p = 0.1. Sejam 
 
Universidade Federal do Cariri - UFCa 
INTRODUÇÃO À ESTATÍSTICA 
Prof. Paulo Renato Alves Firmino 
Lista de exercícios resolvidos – Variáveis Aleatórias 
 
 18
X1≡"nº de indivíduos doentes dentre os 17 estudados pela equipe EP1"; 
X2≡"nº de indivíduos estudados por EP2 até que a equipe diagnostique o 1º doente"; 
X3≡"nº de indivíduos doentes na amostra sorteada por EP3". 
 
14.a) Pode-se considerar que X1~Binomial(n=17, p=0.1), já que tratam-se de 17 
oportunidades onde o evento de interesse (Ev) pode ocorrer com probabilidade p=0.1 
em cada uma. Pede-se o nº esperado de doentes dentre os 17 sorteados por EP1; isto é, o 
valor médio de X1, E(X1) = n.p = 17.0.1 = 1.7. Como X1 trata-se de uma quantidade 
discreta, pode-se arredondar E(X1) para o inteiro mais próximo; ou seja, assumir que 
EP1 espera envolver cerca de 2 doentes na sua amostra de 17 indivíduos da localidade. 
 
14.b) Pode-se considerar que X2~Geométrica(p=0.1), já que trata-se do nº de tentativas 
até a ocorrência de Ev. Pede-se o nº esperado de indivíduos sorteados por EP2 até a 
constatação da 1ª incidência da doença; isto é, o valor médio de X2, E(X2) = 1/p = 1/0.1 
= 10. Logo, assume-se que EP2 estudaria em média 10 pessoas, de modo que esperar-
se-ia que a 10ª estaria doente. 
 
14.c) Considerando que EP3 deseja estudar 20 indivíduos doentes, pode-se adotar 
X3~Binomial(n, p=0.1). Pede-se o nº de indivíduos na amostra de EP3, n, para o qual 
E(X3) = 20. Como E(X3) = n.p, onde p = 0.1, tem-se que 20 = n.0.1 e, assim, que n = 
20/0.1 = 200. Assim, EP3 deve trabalhar com uma amostra envolvendo 200 indivíduos 
da localidade, de forma a envolver 20 doentes em média. 
 
14.d) Pergunta-se sobre P(X1 ≥ 3). Como X1~Binomial(n=17, p=0.1), 
P(X1≥3) = P(X1=3) + P(X1=4) + ...+P(X1=17), um cálculo notadamente desgastante. 
 
Contudo, tem-se que P(X1≥3) = 1-P(X1<3), uma vez que ou X1≥3 ou X1<3, de forma 
mutuamente exclusiva e exaustiva em relação ao espaço de possibilidades de X1, 
ΩX1={0, 1, 2, 3, 4, ..., 17}. Em outros termos, dos axiomas da probabilidade, P({X1≥3} 
∪ {X1<3}) = P(X1≥3) + P(X1<3) = P(ΩX1)=1, onde a primeira igualdade decorre do 
fato de que os eventos {X1≥3} e {X1<3} são mutuamente exclusivos (não há como 
ocorrerem simultaneamente); a segunda igualdade condiz ao fato de que estes eventos 
compõem uma partição de ΩX1 (ou seja, além de serem mutuamente exclusivos, eles 
contemplam qualquer possível resultado pertencente a ΩX1); e a última igualdade refere-
se ao axioma que destaca que ΩX1 certamente ocorrerá (uma vez que envolve todos os 
possíveis resultados de X1). 
 
Por sua vez, P(X1<3) = P(X=2)+ P(X=1)+ P(X=0), onde 
P(X1=x) = )17()9.0()1.0(
17 xx
x
−⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
. Logo, P(X1=2) = 0.280; P(X1=1) = 0.315; P(X1=0) = 
0.167. Assim, P(X1<3) = 0.762 e P(X1≥3) = 1 - 0.762 = 0.238; isto é, a probabilidade 
de que EP1 alcance seu objetivo de estudar ao menos 3 indivíduos doentes é de 23.8%, 
algo relativamente baixo. 
 
14.e) Deseja-se comparar a variabilidade de X1 com a de X2. Como tratam-se de duas 
variáveis quantitativas, pode-se recorrer a medidas tais como o desvio-padrão (σ) e o 
 
Universidade Federal do Cariri - UFCa 
INTRODUÇÃO À ESTATÍSTICA 
Prof. Paulo Renato Alves Firmino 
Lista de exercícios resolvidos – Variáveis Aleatórias 
 
 19
coeficiente de variação (γ). De fato, enquanto que σ trata-se de uma medida de 
variabilidade absoluta, γ pode ser entendida como uma medida relativa à média (μ) da 
variável: γ = σ/μ. Note-se desta forma que γ termina por eliminar a unidade de medida 
das variáveis sob comparação (presentes tanto em σ quanto em μ). Neste sentido, veja 
que a natureza das variáveis X1 e X2 é bem distinta. Enquanto que X1 contabiliza o nº 
de doentes dentre 17, X2 contabiliza o nº de indivíduos até a verificação do 1º doente. 
Desta forma, o espaço de possibilidades de X1 é notadamente menor que o de X2 - ΩX2 
= {1, 2, 3, ...., 17, 18, ...}. 
 
Das propriedades das distribuições Geométrica e Binomial temos que σ2X1 = n.p.(1-p) = 
17.0.1.(1-0.1) = 1.53 (indivíduos doentes dentre 17)2 e que σ2X1 = (1-p)/p2 = 0.9/0.12=90 
(indivíduos selecionados até o 1º doente)2. Logo, em termos absolutos às suas 
respectivas unidades de medida, tem-se que X2 envolve uma variabilidade muito maior 
que X1. 
 
Por outro lado, a partir do coeficiente de variação, temos as médias μX1= 2 e μX2= 10 
(tal como calculado nos quesitos (a) e (b)). Assim, obtemos γX1= σX1/ μX1=0.61 e γX2= 
σX2/ μX2=0.95. Assim, também em termos relativos às suas respectivas médias, tem-se 
que X2 envolve uma variabilidade muito maior que X1. 
 
Conclui-se desta forma que caso ambas as equipes EP1 e EP2 repliquem suas 
experimentações por diversas vezes, o nº de indivíduos doentes nas amostras de EP1 
tenderia a variar bem menos que o nº de investigados nas amostras de EP2. 
 
14.f) As principais suposições que embasam as análises são as de que (i) a 
probabilidade de que se observe um indivíduo doente é sempre a mesma para cada um 
dos indivíduos da localidade. Note-se assim que não são levadas em conta eventuais 
dinâmicas de contaminação (onde algumas regiões apresentam probabilidades de 
incidência diferentes). Adicionalmente, supõe-se que (ii) a incidência da doença em um 
indivíduo não altera nossas incertezas acerca da de um outro. Perceba que em se 
tratando de uma doença contagiosa, por exemplo, selecionar indivíduos da mesma 
família poderia levar à violação desta suposição. 
█ 
15) Considere-se o evento de interesse Evi≡"ocorrer nova incidência da doença em Li", 
com i=1, 2, ..., 6. Considere-se λ*≡"nº médio de ocorrências de Evi por semana em Li". 
Do enunciado, tem-se λ*=14
semana
sincidência . 
Estuda-se o nº de incidências da doença em cada localidade por unidade de tempo. Trata-se 
de um experimento intrinsecamente de Poisson em cada localidade. 
 
15.a) Pede-se para calcular a média da variável Yi≡"nº de novas incidências da doença em 
um dado dia de Li", com i=1. Note-seque sendo Yi o nº de ocorrências do evento de 
interesse (Evi) por unidade de medida (dia), trata-se de uma variável de Poisson. De 
maneira a obter o nº médio de novas incidências de Evi em um dia, recorre-se à regra de 
três: 
 
Universidade Federal do Cariri - UFCa 
INTRODUÇÃO À ESTATÍSTICA 
Prof. Paulo Renato Alves Firmino 
Lista de exercícios resolvidos – Variáveis Aleatórias 
 
 20
⎩⎨
⎧
λ→
→
sincidência dia 1
ncidênciasi 14dias 7
 
Logo, λ = 14/7 = 2 incidências a cada dia. Assim, Yi~Poisson(λ = 2) e E(Yi) = λ = 2; ou 
seja, ocorreriam em média 2 novas incidências da doença durante 1 dia na iª localidade. 
Como trata-se de uma conta envolvendo cada localidade, trata-se também de L1. 
 
15.b) Estuda-se a variável Y2, tal como definida no quesito (a). Contudo, deseja-se agora 
conhecer P(Y2 ≥ 1) = 1 - P(Y2<1) = 1-P(Y2=0). Tais igualdades são justificadas uma 
vez que o espaço de possibilidade de Yi é dado por ΩYi={0, 1, 2, 3, 4, ...}. 
Como Y2~Poisson(λ = 2) e P(Y2=y) = 
!y
e yλ⋅λ− , 
P(Y2 =0) =e-220/0!=e-2=0.135 e P(Y2 ≥ 1) = 1 - 0.135 = 0.865. 
Logo, a probabilidade de que em um dia ocorra ao menos uma incidência da doença em 
L2 é de 86.5%, algo relativamente alto. Destaque-se que como a taxa λ é a mesma para 
cada uma das localidades, P(Y1=y)= P(Y2=y)=P(Y3=y)=...=P(Y6=y), qualquer que seja 
o valor de y. 
 
2.c) Neste quesito, deseja-se calcular a probabilidade de que ocorra zero novas incidências 
da doença em dado dia em cada uma das cidades, isto é, em L1 e L2 e L3 e L4 e L5 e L6. 
Matematicamente deseja-se saber a probabilidade de ocorrência do evento 
{{Y1=0}∩{Y2=0}∩...∩{Y6=0}}, isto é, P({Y1=0}∩{Y2=0}∩...∩{Y6=0}), onde Yi está 
definida no quesito (a). Pela regra do produto, temos que 
P({Y1=0}∩{Y2=0}∩...∩{Y6=0}) = P(Y1=0).P(Y2=0|Y1=0). 
 .P(Y3=0|{Y1=0}∩{Y2=0})..... P(Y6=0|{Y1=0}∩{Y2=0}∩...∩{Y5=0}). 
De maneira a simplificar a abordagem do problema e se adequar às informações disponíveis 
no enunciado, supõe-se que as variáveis Y1, Y2, ..., Y6 são mutuamente independentes 
entre si, isto é, o nº de incidências da doença em uma cidade independe do de outra. Desta 
forma, a regra do produto se reduz a 
P({Y1=0}∩{Y2=0}∩...∩{Y6=0}) = P(Y1=0).P(Y2=0).....P(Y6=0) = (0.135)6= 6.05.10-6. 
Estas últimas igualdades fazem uso dos cálculos já realizados no quesito (b). 
Destaque-se que como é improvável que em um dado dia não haja novas incidências da 
doença nas localidades, têm-se argumentos para a permanência de equipes preparadas para 
tratá-la. 
 
15.d) Neste quesito estuda-se a ocorrência, em cada uma das 6 localidades, do evento Ev' ≡ 
"não haver nova incidência da doença em um dado dia". Para cada localidade, este evento 
pode ocorrer ou não de tal forma que P(Ev')=p=0.135, tal como calculado no quesito (b) 
para cada localidade (P(Yi=0)). Note-se que o problema trata da variável Z ≡"nº de 
localidades, dentre as 6, onde não haja novas incidências da doença em um dado dia". Tem-
se assim que Z ~ Binomial (n=6, p=0.135): 
P(Z=z) = )6()865.0()135.0(
6 zz
z
−⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
. 
Pede-se especificamente P(Z ≥ 2) = 1 - P(Z ≤ 1) = 1 - P(Z=1) - P(Z=0). Tais igualdades são 
justificadas uma vez que o espaço de possibilidade de Z é dado por ΩZ={0, 1, 2, 3, 4, 5, 
6}. Logo, P(Z=0)=0.419, P(Z=1)=0.392 e P(Z ≥ 2) = 1 - 0.811 = 0.189. Assim, a 
 
Universidade Federal do Cariri - UFCa 
INTRODUÇÃO À ESTATÍSTICA 
Prof. Paulo Renato Alves Firmino 
Lista de exercícios resolvidos – Variáveis Aleatórias 
 
 21
probabilidade de que, em um dado dia, não haja nova incidência da doença em ao menos 
duas das seis localidades é de 18.9%. 
 
15.e) As principais suposições que embasam as análises feitas nesta questão são as de que 
(i) a taxa de ocorrências de novas incidências da doença em cada localidade se mantém 
constante ao longo do tempo, seja esta medida em dias (λ) ou semanas (λ*); ou seja, parte-
se da premissa de que não há um dia (ou semana) cujo nº de novas incidências da doença 
em uma dada localidade é em média maior que o de outro dia (semana). Supõe-se ainda que 
(ii) o nº de incidências da doença em uma localidade independe do de outra. Perceba que 
ambas as suposições dificultam a modelagem de dinâmicas epidemiológicas em localidades 
vizinhas, por exemplo. 
█ 
16) Esta questão é totalmente voltada ao estudo do nº de tentativas até a inseminação bem 
sucedida em cada um de (n=)7 ruminantes. Tratam-se de experimentos geométricos (tentar 
até ocorrer o sucesso). Considere-se então a variável Xi≡"nº de tentativas até o sucesso 
na inseminação do ruminante Ri", com i=1, 2, ..., 7. Considere-se também o parâmetro 
p≡"probabilidade de sucesso em uma tentativa de inseminação em um animal". Do 
enunciado, tem-se que p=55%=0.55. Assim, a distribuição de probabilidades de Xi é 
dada por P(Xi=x) = p.(1-p)x-1= (0.55).(0.45)x-1 e seu espaço amostral é dado por ΩXi={1, 
2, 3, ....}. 
 
16.a) Pede-se para calcular a média da variável Xi, com i=3. Note-se que como 
Xi~Geométrica (p=0.55), E(Xi)=1/p = 1/0.55=1.82. Como o nº médio de tentativas até o 
sucesso da inseminação trata-se de uma quantidade discreta, arredonda-se E(Xi) para o 
inteiro mais próximo. Assim, E(Xi)≈2, isto é, espera-se que o sucesso na inseminação de 
R3 ocorra na 2ª tentativa. 
 
16.b) Estuda-se a variável Xi, i=1. Deseja-se agora conhecer a probabilidade de a 
inseminação em Ri ocorrer em até 3 tentativas. Em outros termos pede-se P(Xi ≤ 3) = 
P(Xi=3)+P(Xi=2)+P(Xi=1), onde, 
P(Xi=1) =(0.55).(0.45)1-1=0.550 
P(Xi=2) =(0.55).(0.45)2-1=0.248 
P(Xi=3) =(0.55).(0.45)3-1=0.111 e 
P(Xi ≤ 3) = 0.909. 
Logo, a probabilidade de que a inseminação em R1 ocorra em até 3 tentativas 
é de 90.9%, algo relativamente alto. Destaque-se que como a probabilidade p é a mesma 
para cada um dos animais, P(X1=x)= P(X2=x)=P(X3=x)=...=P(X7=x), qualquer que seja 
o valor de x. 
 
16.c) Neste quesito, as atenções voltam-se para o estudo do evento Ev ≡ {X ≤ 3}, onde X≡ 
"o nº de tentativas até o sucesso na inseminação de um ruminante" e X ~ 
Geométrica(p=0.55), tal como apresentado no início da resolução desta questão para cada 
um dos (n=)7 ruminantes de interesse. Tal evento reflete a restrição imposta ao médico. 
Sabe-se que Ev pode ocorrer ou não e, isto é, que o sucesso na inseminação de cada animal 
pode ocorrer ou não até a 3 tentativa. Do quesito anterior, tem-se que a probabilidade de 
ocorrer Ev é dada por p'=P(Ev)= P(X ≤ 3) = 0.909. 
 
 
Universidade Federal do Cariri - UFCa 
INTRODUÇÃO À ESTATÍSTICA 
Prof. Paulo Renato Alves Firmino 
Lista de exercícios resolvidos – Variáveis Aleatórias 
 
 22
No quesito atual, estuda-se a variável Y≡"o nº de vezes em que ocorre Ev dentre (n=)7 
oportunidades". Cada oportunidade trata-se de um dos 7 ruminantes sob estudo. Tem-se 
assim um experimento Binomial (nº de sucessos dentre n oportunidades), onde Y~ 
Binomial (n=7, p'=0.909): P(Y=y) = ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
y
7
(0.909)y(1-0.909)7-y. 
 
O quesito pede a probabilidade de que Ev ocorra em mais de 5 oportunidades, isto é, de que 
em mais de 5 ruminantes obtenha-se o sucesso na inseminação até a 3ª tentativa. 
Matematicamente pergunta-se sobre a probabilidade de Y exceder o valor 5, já que este 
contabiliza o nº de vezes, dentre 7, que ocorre Ev: 
P(Y > 5) = P(Y=6)+P(Y=7), onde 
P(Y=6) = ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
6
7
(0.909)6(1-0.909)7-6 = 0.359 
P(Y=7) = ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
7
7
(0.909)7(1-0.909)7-7 = 0.513 e P(Y > 5) = 0.872. 
Assim, a probabilidade de o médico conseguir inseminar mais que 5 ruminantes em até 3 
tentativas por ruminante é de 87.2%, algo relativamente elevado. Em outros termos, {Y>5} 
trata-se de um evento factível. 
 
16.d) Neste questão as suposições que embasam as análises são: (i) O sucesso/fracasso em 
uma dada tentativa de inseminação em um ruminante não altera nossas incertezas acerca do 
sucesso/fracasso em uma outra tentativano mesmo ruminante; (ii) o sucesso/fracasso na 
inseminação de um ruminante não altera nossas incertezas sobre o sucesso/fracasso na 
inseminação em outro ruminante; (iii) a probabilidade de ocorrência do sucesso em cada 
tentativa de inseminação em cada um dos 7 ruminantes é sempre a mesma (p=0.55). Note-
se que tanto (i) quanto (ii) implicam em suposições de independência ao longo das 
tentativas de inseminação e que, quando unidas à suposição (iii), amarram os experimentos 
de inseminação de tal forma que nem a tecnologia envolvida poderia ser alterada nem 
poderia haver algum grau de associação entre os ruminantes (tal como genealógica), já que 
isto possivelmente alteraria o valor de p e desvalidaria todos os cálculos desenvolvidos ao 
longo da formulação das respostas. 
█ 
17) Esta questão é voltada ao estudo do nível de glicose de indivíduos diabéticos quando em 
jejum. A unidade de medida adotada é mg/100ml. Para cada diabético, diga-se o iº, o 
enunciado apresenta a distribuição de Xi ≡ "o nível de glicose do iº indivíduo diabético 
quando em jejum" de forma que Xi~Normal(μ=106, σ=8), onde μ≡"quantidade média de 
glicose em indivíduos diabéticos em jejum, em mg/100ml" e σ≡"desvio-padrão da 
quantidade de glicose de indivíduos diabéticos em jejum, em mg/100ml". 
 
17.a) Caso o médico adote a média como parâmetro, ele preverá que o paciente R1 
apresentará um nível de glicose de cerca de 106 mg/100ml. Considerando o coeficiente de 
variação (γ) como medida de incerteza associada à previsão do médico, temos que 
γ = σ/μ= 8/106 = 0.075. Logo, relativamente à média, conclui-se que a previsão do médico 
de fato envolve um nível de incerteza pequeno. Assim, espera-se que o distanciamento entre 
o real nível de glicose de R1 a aquele previsto pelo médico a partir da média µ (=106 
mg/100ml) seja relativamente pequeno. 
 
 
Universidade Federal do Cariri - UFCa 
INTRODUÇÃO À ESTATÍSTICA 
Prof. Paulo Renato Alves Firmino 
Lista de exercícios resolvidos – Variáveis Aleatórias 
 
 23
17.b) Estuda-se aqui as incertezas sobre X1 (o nível de glicose de R1 quando em jejum). 
Especificamente, pede-se P(X1 > 116) = P(Z > (116-μ)/σ), onde Z = (X1-μ)/σ trata-se de 
uma transformação sobre a variável X1 tal que Z segue uma distribuição normal-padrão 
(com média 0 e variância 1). Dando sequência: 
P(X1 > 116) = P(Z > (116-106)/8) = P(Z > 1.25) = 1 - P(Z ≤ 1.25). 
Da tabela da normal-padrão (abaixo), temos que P(Z ≤ 1.25) = 0.8944 e que P(X1 > 116)= 1 
- P(Z ≤ 1.25) = 0.1056. 
 
 Logo, a probabilidade de que R1 apresente um nível de glicose superior a 116 mg/100ml 
equivale a 10.56%. 
 
17.c) Neste quesito, as atenções voltam-se para o estudo do evento {Y ≤ 2}, onde Y≡ "o nº 
de pacientes dentre os (n=) 7 que apresentam um nível de glicose superior a 116 
mg/100ml". Note-se que Y contabiliza o nº de ocorrências de dado evento de interesse (o 
paciente ter um nível de glicose superior a 116 mg/100ml) em 7 oportunidades (pacientes). 
Perceba-se ainda que para cada paciente, diga-se o iº (i=1, 2, ..., 7), o evento de interesse 
pode ocorrer com uma probabilidade p=P(Xi > 116)=0.1056, de acordo com o quesito 
anterior. 
 
Assim, supondo que o nível de glicose de um indivíduo é independente do dos demais, 
pode-se concluir que Y~Binomial (n=7, p=0.1056), onde p≡ " probabilidade de que um 
dado indivíduo sob estudo apresente um nível de glicose superior a 116 mg/100ml", p = 
P(Xi > 116)=0.1056, do quesito anterior. 
 
A probabilidade de Y assumir um valor y (a distribuição de probabilidades de Y) é dada por 
P(Y=y) = ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
y
7
(0. 1056)y(1-0. 1056)7-y, onde y assume valores entre 0 e 7 (o nº de 
oportunidades). 
 
Do enunciado, pede-se P(Y ≤ 2) = P(Y=2) + P(Y=1) + P(Y=0), onde 
P(Y=2) = ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
2
7
 (0. 1056)2(1-0. 1056)7-2 =0.1341; 
P(Y=1) = ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
1
7
 (0. 1056)1(1-0. 1056)7-1 =0.3785; 
P(Y=0) = ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
0
7
 (0. 1056)0(1-0. 1056)7-0 =0.4577. 
 
Universidade Federal do Cariri - UFCa 
INTRODUÇÃO À ESTATÍSTICA 
Prof. Paulo Renato Alves Firmino 
Lista de exercícios resolvidos – Variáveis Aleatórias 
 
 24
Logo, a probabilidade de que, dentre 7 indivíduos diabéticos e em jejum, não mais que 2 
apresentem glicose superior a 116 mg/100ml é de 97.03%; trata-se assim de um evento 
bastante provável. 
 
17.c) Para esta questão, as principais suposições são de que (i) o nível de glicose de um 
indivíduo é independente do dos demais indivíduos sob estudo e, do próprio enunciado, de 
que (ii) as incertezas quanto ao nível de glicose no sangue de qualquer indivíduo diabético e 
em jejum podem ser modeladas por uma distribuição Normal, com média de μ = 106 
mg/100ml e um desvio-padrão de σ = 8 mg/100ml. Isto garante um p constante no quesito 
anterior, por exemplo, e nos conduz a um experimento Binomial. 
█ 
18) Para esta questão, vale destacar do enunciado as variáveis TI ≡ "O tempo em operação 
até a falha do sistema I" e NA≡ "O número de falhas do sistema A por unidades de tempo de 
50 horas". Do enunciado tem-se que TI~Normal(μI=20h, σI=1.5h); isto é, as incertezas 
quanto ao tempo consumido até a falha de I podem ser modeladas por uma distribuição 
Normal, com médias de 20 horas e desvio-padrão de 1.5 horas. Por outro lado, tem-se que a 
média de NA é λ’A= 1 falha/50 horas. Note-se que NA é uma variável que contabiliza o nº 
de ocorrências de dado evento de interesse (a falha de A) por unidade de medida (períodos 
de 50 horas). Logo, NA é uma variável tal que NA~Poisson(λ’A=0.02 falha/hora), satisfeitas 
algumas suposições (a saber, que λ’A se mantenha constante ao longo do tempo e que as 
falhas de A ocorram de forma independente entre si). 
 
18.a) Pede-se a probabilidade de que I opere sem problemas durante 12 horas e, da mesma 
forma, para A. Para I, matematicamente, pede-se P(TI > 12). Como TI segue uma 
distribuição normal, tem-se que P(TI > 12) = P(Z > (12-μI)/σI), onde Z = (TI-μI)/σI é uma 
variável que segue uma normal-padrão (com μ=0 e σ=1). Seguindo, P(TI > 12) = P(Z > (12-
20)/1.5) = P(Z > -5.33) = 1-P(Z≤ -5.33). Da tabela da normal-padrão fornecida, tem-se -3.49 
como o menor valor para Z e que P(Z ≤ -5.33) < P(Z ≤ -3.49) = 0.0002. Logo, P(Z > -5.33) 
> 1- 0.0002 = 0.9998. 
 
Assim, a probabilidade de que I opere sem falhas é algo maior que 99.98%. De acordo com 
a regra simplificadora adotada em sala (valores bem maiores (menores) que os maiores 
(menores) presentes na tabela levariam a probabilidades acumuladas de aproximadamente 
1(0)), pode-se aproximar P(TI > 12) ≈1. 
 
Por outro lado, para A deseja-se computar a probabilidade de que este não falhe durante 12 
horas. Seja X≡ "O número de falhas do sistema A por unidades de tempo de 12 horas". Por 
regra de três e devido à suposição de que λ’A não varia ao longo do tempo, obtém-se a taxa 
(média) de falhas de A por unidade de 12 horas: 
 
Universidade Federal do Cariri - UFCa 
INTRODUÇÃO À ESTATÍSTICA 
Prof. Paulo Renato Alves Firmino 
Lista de exercícios resolvidos – Variáveis Aleatórias 
 
 25
24.0
horas 12
falha
50
12
média em falhas horas 21
média em falha 1 horas 50 ==λ∴⎩⎨
⎧
λ→
→
. 
Assim, satisfeitas as suposições destacadas para NA, tem-se que X~Poisson(λ=0.24) e que, 
para qualquer x inteiro não-negativo, tem-se que P(X=x) = e-λλx/x!. Note-se assim que o 
evento “A não falhar durante 12 horas” equivale ao evento “X=0” e que, dessa forma, 
deseja-se P(X=0)=e-0.24=0.7866. Logo, a probabilidade de que A opere sem falhar durante 
12 horas é de 78.66%. 
 
Desta maneira, o sistema de conexão de rede (I) mostra-se expressivamente mais confiável 
que o de arquivamento (A). 
 
18.b) Pede-se a probabilidade de que o sistema composto pela série entre A e B opere sem 
problemas durante 12 horas. Sejam os eventos 
SIA≡”E opera plenamente durante 12 horas”, 
SI≡”I opera adequadamentedurante 12 horas” e 
SA≡”A opera adequadamente durante 12 horas”. 
Veja que SA = {X = 0}, SI = {TI > 12} e que P(SA)= 0.7866 e P(SI)≈ 1, do quesito anterior. 
Veja ainda que do enunciado SIA é a interseção entre I e A, isto é, se ocorrerem ambos, SI e 
SA, SIA ocorrerá. Consequentemente, P(SIA) = P(SI ∩ SA) = P(SI) P(SA|SI) = P(SI) P(SA). A 
penúltima igualdade decorre da regra do produto, enquanto que a última é devido a SI e SA 
serem eventos independentes entre si, de acordo com o enunciado (I e A operam 
independentemente). Assim, P(SIA) = P(SI)(SA)≈ (1)(0.7866) = 0.7866. Logo, a 
probabilidade de E operar plenamente durante um período de 12 horas é de 
aproximadamente 78.66% (para ser mais preciso, concluir-se-ia que P(SIA) > 
(0.9998)(0.7866)=0.7864). 
 
18.c) Neste quesito, estuda-se a variável Y≡ "nº de dias em que E opera plenamente até 
ocorrer uma falha". Logo, de maneira mais genérica, estuda-se o nº de tentativas (dias de 
operação de E) até a ocorrência de dado evento de interesse (a operação não-plena de E); 
um experimento basicamente Geométrico, satisfeitas algumas suposições (a saber, que o 
desempenho de E em um dia não interfere no seu desempenho nos dias subsequentes e que 
a probabilidade de que E não opere plenamente, p, se mantém constante). Seja Fi≡”E não 
opera plenamente no iº dia”, para i inteiro e positivo. Note-se que uma vez definida a 
duração do dia de expediente como 12 horas, Fi é o evento complementar a SIA para o dia i. 
Do quesito anterior, tem-se que p=P(Fi)=1-0.7866=0.2134 e Y~Geométrica(p=0.2134). 
Busca-se assim o valor esperado de Y: E(Y)=1/p = 1/0.2134 = 4.686. Como E(Y) se trata de 
uma quantidade inteira, arredonda-se para o inteiro mais próximo. Assim, E espera operar 
plenamente até o 5º dia, quando, em média, ocorreria uma falha. 
█ 
19) Para esta questão, vale destacar as variáveis TA ≡ "O tempo em operação até a falha do 
servidor A" e TB≡ "O tempo em operação até a falha do servidor B". Do enunciado tem-se 
que TA~Normal(μA=12h, σA=2h) e que TB~Normal(μB=13h, σB=3h), isto é, as incertezas 
quanto ao tempo consumido até a falha de cada um dos servidores (TA e TB) podem ser 
modeladas por uma distribuição Normal, com médias de 12 e 13 horas e desvios-padrões de 
2 e 3 horas, respectivamente. Note-se assim que, embora o tempo até a falha de A seja, em 
média, menor que o de B (μA < μB), A envolve menos variabilidade e, dessa forma, 
incerteza que B (σA < σB). 
 
 
Universidade Federal do Cariri - UFCa 
INTRODUÇÃO À ESTATÍSTICA 
Prof. Paulo Renato Alves Firmino 
Lista de exercícios resolvidos – Variáveis Aleatórias 
 
 26
19.a) Pede-se a probabilidade de que A opere sem problemas durante 10.5 horas e, da 
mesma forma, para B. Matematicamente, pede-se P(TA > 10.5) e P(TB > 10.5). Como TA e 
TB seguem uma distribuição normal, tem-se que P(TA > 10.5) = P(ZA > (10.5-μA)/σA), onde 
ZA = (TA-μA)/σA é uma variável que segue uma normal-padrão (com μ=0 e σ=1). Seguindo, 
P(TA > 10.5) = P(ZA > (10.5-12)/2) = P(ZA > -0.75) = 1-P(ZA ≤ -0.75). De uma tabela da 
normal-padrão, tem-se 
 
Assim, tem-se que P(ZA ≤ -0.75) = 0.2266 e que P(TA > 10.5) = P(ZA > -0.75) = 1-
0.2266=0.7734; isto é, a probabilidade de A operar sem problemas durante 10.5 horas é de 
77.35%. 
 
Seguindo o mesmo raciocínio, tem-se que P(TB > 10.5) = P(ZB > (10.5-μB)/σB), onde ZB = 
(Ti-μB)/σB é uma variável que segue uma normal-padrão. Assim, P(TB > 10.5) = P(ZB > 
(10.5-13)/3) = P(ZB > -0.83) = 1-P(ZB ≤ -0.83)=1-0.2033=0.7967. Logo, a probabilidade de 
B operar sem problemas durante 10.5 horas é de 79.33%. Assim, conclui-se que o servidor 
B é mais confiável que o A. 
 
19.b) Pede-se a probabilidade de que o sistema-servidor composto pelo paralelo entre A e B 
opere sem problemas durante 10.5 horas. Sejam os eventos 
S≡”o sistema-servidor opera adequadamente durante 10.5 horas”, 
SA≡”A opera adequadamente durante 10.5 horas” e 
SB≡”B opera adequadamente durante 10.5 horas”. 
Veja que SA = {TA > 10.5} e que SB = {TB > 10.5} e que P(SA)= 0.7734 e P(SB)= 0.7967, do 
quesito anterior. Veja ainda que do enunciado S é a união entre A e B, isto é, se ocorrer ao 
menos um, SA ou SB, S ocorrerá. Consequentemente, P(S) = P(SA U SB) = P(SA) + P(SB) - 
P(SA ∩ SB). A última igualdade decorre da regra da adição. 
 
Por sua vez, P(SA ∩ SB) = P(SA) (SB|SA)= P(SA)(SB). A primeira igualdade é devido à regra 
do produto e a segunda devido a SA e SB serem eventos independentes entre si, de acordo 
com o enunciado. Assim, P(S) = P(SA) + P(SB) - P(SA)(SB)= 0.7734 + 0.7967 - 
0.7734.0.7967 = 0.9539. Logo, a confiabilidade do sistema-servidor para o período de 10.5 
horas é de 95.39%. 
 
Em relação a esta confiabilidade ser ou não elevada, esta interpretação dependerá do perfil 
do decisor. Para decisores avessos ao risco, uma probabilidade de falha de 4.61% pode ser 
considerada alta, por exemplo. 
 
19.c) Neste quesito, estuda-se a variável Y≡ "nº de sistemas-servidores, dentre 15, que 
operem sem problemas durante 10.5 horas". Seja Si≡”o iº sistema-servidor opera 
 
Universidade Federal do Cariri - UFCa 
INTRODUÇÃO À ESTATÍSTICA 
Prof. Paulo Renato Alves Firmino 
Lista de exercícios resolvidos – Variáveis Aleatórias 
 
 27
adequadamente durante 10.5 horas”, i=1, 2, ..., 15. Aqui, supondo que o tempo até a falha 
de um sistema-servidor é independente do dos demais e que cada sistema servidor tem uma 
probabilidade de operar adequadamente de p=P(Si)=0.9539, do quesito anterior, tem-se que 
Y~Binomial (n=15, p=0. 9539) e 
P(Y=y) = ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
y
n
py(1-p)n-y, y = 0, 1, 2, ..., 15. 
Para responder ao quesito, pede-se P(Y ≥ 13) = P(Y=13)+P(Y=14)+P(Y=15), onde 
P(Y=13)=0.1208; P(Y=14)=0.3571; P(Y=15)=0.4927. Logo, P(Y ≥ 13) = 0.9706. Assim, a 
probabilidade de que ao menos 13 dos 15 sistemas-servidores operem adequadamente 
durante 10.5 horas é de 97.06%. 
█ 
20) Para esta questão, vale destacar a variável X ≡ "O nº de itens fabricados com defeito por 
expediente de (4 horas de) trabalho". Supondo que a condição de um item (se conforme ou 
não) independe da de outro e que a taxa (média) de itens defeituosos se matem constante ao 
longo do tempo, tem-se que X~Poisson(λ=2.125 itens defeituosos por expediente), onde 
λ≡” taxa (nº médio) de itens fabricados com defeito em períodos de 4 horas”. 
 
20.a) Pede-se a probabilidade de que em um expediente (de 4 horas) sejam fabricados mais 
que 2 itens defeituosos. Matematicamente, pede-se P(X >2). Considerando que X segue 
uma distribuição de Poisson, tem-se que P(X =x) = !x
e xλ⋅λ− , para qualquer x inteiro e não-
negativo. Assim, 
P(X>2)=1-P(X≤ 2) = 1- [P(X=2)+P(X=1)+P(X=0)], onde 
P(X=2) = e-2.125 (2.125)2/2! = 0.270 
P(X=1) = e-2.125 (2.125)1/1! = 0.254 
P(X=0) = e-2.125 (2.125)0/0! = 0.119. 
Assim, P(X>2) = 1- (0.27 + 0.254 + 0.119) = 0.357. 
Logo, a probabilidade de que em um expediente (de 4 horas) sejam fabricados mais que 2 
itens defeituosos é de 35.7%. 
 
20.b) Neste quesito, estuda-se a variável Y≡ "nº de expedientes, dentre 8, em que não se 
observam itens defeituosos". Seja a variável Xi ≡”O nº de itens fabricados com defeito no iº 
expediente de (4 horas de) trabalho". Aqui, supondo que o nº de itens defeituosos em um 
expediente independe do dos demais e que cada expediente envolve uma probabilidade de 
não fabricar itens defeituosos de p= P(Xi=0)=0.119, do quesito anterior, tem-se que 
Y~Binomial (n=8, p=0.119), 
P(Y=y) = ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
y
n
py(1-p)n-y, y = 0, 1, 2, ..., 8. 
Como pergunta-se sobre a probabilidade de que não se observe itens defeituosos em ao 
menos 3 dos 8 expedientes, pede-se matematicamente 
P(Y > 2) = 1 - P(Y ≤ 2) = 1- [P(Y=2)+P(Y=1)+P(Y=0)], onde 
P(Y=2) = ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
2
8
(0.119)2(1-0.119)6 = 0.185 
P(Y=1) = ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
1
8
(0.119)1(1-0.119)7 = 0.392 
 
Universidade Federal do Cariri - UFCa 
INTRODUÇÃO