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Notas de aulas da disciplina Ajustamento de Observações 
FCT/UNESP – Departamento de Cartografia / Presidente Prudente 
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1 CONCEITO DE OBSERVAÇÃO E MODELO MATEMÁTICO 
 
1.1 Introdução 
 
 O ajustamento é um ramo da matemática aplicada. Tem por objetivo a solução única para 
problemas onde o número de observações (ou medidas) é redundante e o sistema de equações 
inconsistente, bem como a estimativa da precisão da solução adotada. A inconsistência do sistema 
de equações é devido às flutuações probabilísticas das observações, e faz com que um determinado 
subconjunto de dados proporcione valores diferentes de um outro subconjunto. A solução única 
nestes problemas é dada pelo Método dos Mínimos Quadrados (MMQ) desenvolvido 
independentemente por GAUSS (1795) e LEGENDRE (1805). 
 A figura 1.1 esquematiza uma pequena rede de nivelamento geométrico; em função dos 
desníveis medidos a altitude de A pode ser transportada até L por vários caminhos, cada um 
proporcionando inúmeras soluções. O ajustamento conduzirá a uma única solução, qualquer que seja 
o caminho percorrido, tornando as observações coerentes com o modelo matemático. 
Alternativamente, a altitude de L pode ser fixa, neste caso as observações são ajustadas de tal 
maneira que o transporte de altitudes a partir de A produza em L um valor idêntico ao prefixado. 
 
 L
 A
 
Figura 1.1 - Rede de nivelamento geométrico 
(Fonte: Gemael, 1994) 
 
 Não faz sentido falar em ajustamento para problemas onde os dados (observações ou 
medidas) não excedem o mínimo requerido para a solução do problema. Além disso, o ajustamento 
não melhora os resultados das medições. 
 Ao final do ajustamento o que se obtém são valores para as incógnitas e uma estimativa de 
sua precisão, pois qualquer parâmetro estimado, além de apresentar solução única, deve ser 
acompanhado da estimativa de sua qualidade, que representa a dispersão do resultado. Nenhum 
resultado terá valor científico ou técnico se não estiver acompanhado de sua precisão, a qual pode 
ser expressa por 1 (desvio padrão), 2, 3 e etc. Quando usa 1, o valor da medida estimada tem 
aproximadamente 68,27% de probabilidade de estar no intervalo de +/- 1. 
 Pode-se também, com base nas técnicas do ajustamento, detectar a presença de erros 
grosseiros em um conjunto de observações, efetuar o planejamento da coleta de dados e saber a 
priori se atenderão as prescrições estabelecidas. 
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 O ajustamento beneficiou-se, nas últimas décadas, da concisão da linguagem matricial e do 
desenvolvimento ocorrido na computação eletrônica que tornou exeqüível a manipulação de matrizes 
de elevadas dimensões, bem como das técnicas estatísticas, empregada na análise do ajustamento, 
que pode nos dizer a respeito da confiabilidade e qualidade dos resultados . 
 Pode-se, em resumo, dizer que (Gemael, 1994): 
 
A partir de observações redundantes sujeitas a flutuações probabilísticas e de uma estimativa 
de sua precisão, o AJUSTAMENTO tem por objetivo: 
 
a) estimar, mediante a aplicação de modelos matemáticos adequados e do MMQ, um valor 
único para cada uma das incógnitas do problema; 
b) estimar a precisão de tais incógnitas e a eventual correlação entre elas. 
 
1.2 Conceito de Observação 
 
 O termo observação ou medida, aqui tomada como sinônimos, é freqüentemente usado na 
prática para referir-se à operação, bem como para o resultado da operação. O valor numérico da 
observação é de fundamental importância para a ciência e engenharia, pois submete o instrumento à 
análise e manipulação. 
 Propriedades fundamentais da medida: 
 
1. Medir significa realizar uma operação física, e o processo de medida consiste de várias 
operações elementares; tais como: preparação, calibração, pontaria, leitura e etc.; 
2. O resultado do processo representa a medida; 
3. A não ser na contagem de certos eventos, a medida é sempre realizada com o auxílio de 
instrumento; 
4. As medidas estão referenciadas a um padrão
1
, os quais são estabelecidos por convenção. 
Medir é então comparar uma grandeza a um padrão, tendo então dimensão e unidade; 
5. A medida é um conceito teórico, tal como uma abstração geométrica usada para distância 
e ângulo, os quais não têm equivalentes direto na natureza física. No entanto, tais 
conceitos permitem descrever certos elementos da natureza, como localização, área, etc. 
 
 
1
 Por exemplo, o metro: unidade fundamental de medida de comprimento no Sistema Internacional (símbolo m), originalmente 
definido como a décima-milionésima parte da distância entre o Equador e o pólo Norte, mas redefinida inúmeras vezes na 
busca de maior precisão. A definição mais recente, define o metro como sendo igual ao comprimentos do trajeto percorrido 
pela luz no vácuo em 1/299.792.458 de segundo. (Resolução de 17
a
 Conferência Geral de Pesos e Medidas, Paris, outubro de 
1983). 
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Para descrever certos elementos da natureza recorre-se aos modelos, que em nossa área 
serão sempre os modelos matemáticos. O modelo matemático é de importância básica para os 
objetivos do ajustamento 
 As observações ou medidas possuem uma propriedade inerente a elas, conhecidas de 
flutuações probabilísticas, pois quando se repete n vez a medida de uma grandeza, os n valores não 
são idênticos, mas estão dispersos numa certa região ou intervalo, que tradicionalmente eram 
classificados como erros de observação. 
 Nos casos mais simples realiza-se medidas diretamente sobre as próprias grandezas 
incógnitas (observações diretas). Algumas vezes as incógnitas se ligam por equações de condições 
(observações diretas condicionadas) . Em outras, mede-se grandezas que se vinculam com as 
incógnitas (ou parâmetros) através de relações funcionais conhecidas (observações indiretas). 
 
1.3 Modelo Matemático 
 
 Para descrever matematicamente uma realidade física, recorre-se as fórmulas, expressões 
ou equações, que representam tal realidade com suficiente aproximação. O modelo matemático é 
definido como sendo um sistema teórico ou um conceito abstrato, que descreve uma situação física 
ou uma série de eventos. Desta forma, tal descrição não necessita explicar totalmente a situação 
física, mas relacionar somente os aspectos ou propriedades de interesse. Tendo em vista que o 
modelo serve para um propósito particular, ele pode apresentar-se de formas diferentes para uma 
mesma situação física, dependendo portando do propósito em questão. 
 O modelo teórico está estritamente relacionado à aproximação desejada, como por exemplo: 
 
1. A representação da Terra ou parte dela, realidade física nas disciplinas de Topografia e 
Geodésia, utilizando os modelos teóricos: plano, esfera, elipsóide, etc.; 
2. Considerando em Fotogrametria, que uma foto aérea é perfeitamente vertical; ou admitindo 
que o raio luminoso, que se propaga através da atmosfera e sistema de lentes tem 
trajetória reta; são exemplos de modelo teóricos. Modelos mais precisos consideram a 
inclinação da foto ou efeitos de não colinearidade dos raios. 
 
 Nota-se que o modelo matemático não descreve exatamente o fenômeno, os eventos ou a 
realidade física. Descreve aspectosde interesse desta realidade e com aproximação requerida. 
 O modelo matemático é freqüentemente composto de duas partes, dividido em modelo 
funcional e modelo estocástico. O modelo funcional constitui a parte determinística da realidade física 
ou evento em consideração. O modelo estocástico descreve as propriedades não determinísticas 
(estocásticas) das variáveis envolvidas, particularmente aquelas representando as observações. Os 
modelos funcionais e os estocásticos devem ser tratados juntos, podendo-se ter várias combinações. 
 
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1.3.1 Modelo Funcional 
 
 Quando as medidas são planejadas, um modelo funcional é usualmente escolhido para 
representar o sistema físico ou fictício com o qual as medidas estão associadas. As medidas são 
feitas usualmente com a finalidade de avaliar valores para alguns ou todos os parâmetros do modelo 
funcional. Em Topografia, Geodésia e Fotogrametria, geralmente trabalha-se com modelos 
geométricos que independem do tempo e, ocasionalmente com modelos dinâmicos; por exemplo: 
 
1. Modelo geométrico em Topografia: um triângulo plano no espaço euclidiano é 
caracterizado por 3 ângulos, 3 vértices, 3 lados e talvez também uma orientação com 
respeito a um sistema de coordenadas; 
2. Modelo geométrico em Fotogrametria: fotos aéreas são consideradas imagens perspectiva 
dos pontos do terreno; 
3. Modelo dinâmico em Geodésia: campo da gravidade terrestre. 
 
 Embora os modelos geométricos usados sejam fáceis e simples de visualizar, os elementos 
físicos para os quais eles se referem não são freqüentemente e claramente distinguíveis. Deve ser 
reconhecido, entretanto, que não há na natureza objetos tais como pontos, ângulos, distâncias ou 
coordenadas. Elas são somente elementos do modelo funcional que são usados para descrever 
feições de objeto ou sua localização. 
 Modelos funcionais não são freqüentemente estabelecidos explicitamente, mas por 
implicação. Se por momento um topógrafo diz que mediu uma distância, ele se refere que dois 
objetos são abstraídos e considerados como dois pontos geométricos. 
 Um cientista ou engenheiro deve ter habilidade prática para saber em quais casos opera com 
certos modelos e em quais casos deve construir um novo. O modelo funcional deve estar com 
acuracidade suficiente para o propósito em questão. As observações efetuadas são então 
introduzidas no modelo e todas considerações devem ser levadas a efeito. 
 
1.3.2 Modelo Estocástico 
 
 O modelo estocástico descreve as propriedades estatísticas das observações, que sempre 
estão sujeitas as incontáveis influências. Elas podem estar sujeitas as influências físicas que não 
podem ser completamente controlada, resultando em uma certa variabilidade do resultado quando as 
observações são repetidas. A variabilidade do resultado das medidas não pode ser atribuída a 
algumas causas específicas. Tem-se ainda como causas, além das físicas, a falibilidade humana e as 
imperfeições instrumentais. 
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 No passado estas variações eram ditas ser devido aos erros de observação. No presente 
aceita-se a variabilidade do resultado como a principal propriedade da observação e refere-se a 
conceitos estatísticos. 
 Do ponto de vista prático é difícil estabelecer as propriedades estatísticas das observações. 
Um caminho é repetir as medidas e derivar as propriedades requeridas, mas isto demanda tempo e 
dinheiro. Um outro caminho, freqüentemente usado na prática é assumir as propriedades estatísticas 
com base em observações similares (mesmo tipo e circunstância) que foram realizadas no passado. 
Entretanto, quando as medidas são realizadas, todas circunstâncias físicas e ambientais devem ser 
registradas, com a finalidade de proporcionar subsídio para julgar os resultados apropriadamente. Por 
exemplo, em Geodésia, as observações são usualmente consideradas independentes, e de igual 
precisão. 
 Todas as propriedades das variáveis envolvidas devem ser consideradas no modelo 
estocástico. Elas podem ser consideradas fixas (constantes durante o ajustamento ou conhecida a 
priori), livres (incógnitas do ajustamento) e semi-livres (podem variar, porém sujeitas a certas 
restrições). 
 A teoria clássica do ajustamento não explicitava especificadamente o conceito de modelo 
estocástico. Ao invés, o termo erro observacional ou propriedades dos erros de observação eram 
usados. 
 
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2 PROPRIEDADES DOS ERROS DAS OBSERVAÇÕES 
 
2.1 Introdução 
 
 Até recentemente usava-se falar da teoria da observação ou teoria dos erros. Os 
conhecimentos sobre o assunto baseavam-se na idéia de erros. O termo erro é atualmente um tanto 
confuso e seu uso tem diminuído cada vez mais. Ao invés, fala-se em geral das propriedades 
estatísticas das observações. 
 Embora o conceito convencional de erro deva ser evitado, o mesmo contínua sendo usado. 
Com a finalidade de evitar dificuldades, para maioria que não são familiares com o assunto, será 
usado o termo erro. No entanto, um esforço será feito, sempre que possível, para relacioná-lo com os 
conceitos modernos. 
 Mesmo cercando-se de precauções e cuidados especiais no momento da obtenção das 
observações, estas vêm eivadas dos inevitáveis erros de medidas, conseqüência da imperfeição do 
equipamento, falha humana e das condições ambientais nas quais se processa a mensuração. A 
classificação tradicional apresenta estes erros como sendo de três tipos: grosseiro, sistemático e 
acidental (aleatório ou randômico). 
 
2.2 Tipos de erros 
 
2.2.1 Erros grosseiros 
 
 Erros grosseiros freqüentemente ocorrem na prática, geralmente estão associados à 
desatenção do observador ou mesmo do anotador. A inversão de dígitos numa leitura, a contagem 
errônea do número de trenadas na medida de uma distância, a troca do bordo visado na medida da 
distância zenital do sol, são exemplos clássicos de erros grosseiros. Mesmo em técnicas automáticas 
de registro podem ocorrer, em razão de uma falha no equipamento, porém com menor freqüência. 
 Do ponto de vista estatístico, observações com erro grosseiro não podem ser consideradas 
como pertencentes à amostra da distribuição em questão, não podendo ser usada com outras 
observações. Desta forma, as medidas devem ser planejadas de modo que na coleta de dados, seja 
possível detectar erro grosseiro ou evitar a sua ocorrência. Há uma grande variedade de 
procedimentos para isto, tais como: leituras múltiplas e checagem da consistência; cuidado com a 
checagem do valor observado e anotado utilizando-se de técnicas simples e rápida de verificação; 
verificando a performance do equipamento (particularmente dos automáticos), aplicando a geometria 
simplificada ou checagem algébrica. 
 Todas as observações contaminadas de erro grosseiro devem simplesmente ser rejeitadas; 
em alguns casos a detecção do erro é fácil (erro grande). Entretanto, erro grosseiro de moderada 
magnitude é difícil de ser detectado, mesmo usando-se de técnicas estatísticas. 
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2.2.2 Erros sistemáticos 
 
 Os erros sistemáticos são aqueles oriundos de causas conhecidas; podem, na maioria das 
vezes, ser evitados através de técnicas especiais de observação ou eliminados a posteriori mediante 
a aplicação de fórmulas fornecidas pela teoria. 
 A minimização dos erros sistemáticos é obtida pela calibração dos instrumentos, técnicas de 
observação e de processamento dos dados para eliminar efeitos atmosféricos ou outros. Do ponto de 
vista estatístico, a repetição de observações não auxiliará na detecção de erros sistemáticos, pois 
eles afetam as observações da mesma forma. Exagerando pode-se dizer que quando uma 
observação contém efeitos sistemáticos, não há nada de errado com a observação, mas sim com a 
sua interpretação, isto é, o modelo funcional não é apropriado. Exemplo: um triângulo sobre a 
superfície terrestre pode ser tratado por um dos três modelos funcionais: plano, esférico ou elipsoidal. 
A escolha inadequada pode resultar em erros sistemáticos. 
 A colocação do nível a igual distância das miras no nivelamento geométrico, é um exemplo de 
eliminação de efeitos sistemáticos (refração, esfericidade e colimação) durante a medição. O mesmo 
se diz a respeito da reiteração ou repetição e leituras conjugadas (CE, CD) nas observações 
angulares, com objetivo de eliminar os efeitos sistemáticos (graduação do limbo, excentricidade da 
alidade, colimação, etc). Ambos exemplos utilizam-se das técnicas de observação para eliminar os 
efeitos sistemáticos. 
 Certas influências das condições ambientais, que neste caso não são erros, devem ser 
eliminadas ou minimizadas através de modelos matemáticos estabelecidos. Como exemplos, têm-se: 
a medida eletrônica de uma distância deve ser depurada do efeito da refração, numa operação a 
posteriori ou em campo; a leitura de um gravímetro expurgada da influência da atração luni-solar; a 
distância zenital de uma estrela corrigida da aberração diurna, em fotogrametria a correção das 
fotocoordenadas devido às distorções das lentes (radial e simétrica), refração atmosféricas e 
deformações do filme, etc. 
 Os erros sistemáticos também podem estar associados ao observador; é o caso, por 
exemplo, do nivelador que efetua a leitura sempre um pouco abaixo (ou acima) do traço da mira, ou 
do topógrafo que efetua a leitura um pouco à esquerda (ou à direita) do alvo. Esse tipo de erro é 
difícil de se eliminado, exceto nos casos de observações diferenciais. 
 Por último vamos focalizar o aspecto acumulativo dos erros sistemáticos: por exemplo, na 
medida de uma distância AB. Para tal foi executado um piqueteamento prévio conforme ilustra a 
figura (Figura 2.1); erros no alinhamento dos piquetes fazem com que alguns deles caiam fora da 
linha de visada. As medidas parciais Aa’, a’b’, b’c’, c’d’, d’B, são realizadas com todo rigor e precisão, 
mas as distâncias parciais observadas são, em todos os casos maiores que as reais, o que ilustra o 
efeito acumulativo dos erros sistemáticos. 
 
 
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Figura 2.1 - Aspecto acumulativo dos erros sistemáticos 
(Fonte: Gemael, 1994) 
 
 Os efeitos sistemáticos tomam diferentes formas dependendo do valor e sinal de cada efeito. 
Se o valor e o sinal permanecer o mesmo durante todo o processo de medida, teremos um erro 
constante, por exemplo: um instrumento com erro de zero ou constante aditiva (Z0 - distância entre o 
centro eletrônico e centro geométrico do distanciômetro). Se o sinal do efeito sistemático muda, talvez 
devido uma tendência pessoal do observador, os erros sistemáticos resultantes são freqüentemente 
contrabalançados. O modelo funcional deve ser estabelecido de modo que os efeitos sistemáticos 
sejam considerados. Isto pode ser feito de várias maneiras, uma delas consiste em eliminar os erros 
sistemáticos antes de efetuar o ajustamento, e a outra na qual o efeito deve ser considerado como 
uma incógnita e ser determinado no ajustamento (parametrização). 
 Com freqüência, os efeitos sistemáticos não são introduzidos no modelo matemático, mas 
corrigido as observações, dessa forma as observações são substituídas por outra série de valores. 
 
2.2.3 Erros acidentais 
 
 Os erros acidentais ou aleatórios, ao contrário dos erros sistemáticos, ocorrem ora num ora 
noutro sentido e não podem ser vinculados a nenhuma causa conhecida. Uma vez eliminado os erros 
grosseiros e sistemáticos, as observações repetidas sobre a mesma grandeza ainda se revelam 
inconsistentes; as discrepâncias constatadas são atribuídas aos erros acidentais. Enquanto que os 
erros sistemáticos tendem a se acumular, os erros acidentais tendem a se neutralizar quando o 
número de observações cresce. Antes de iniciar o ajustamento, as observações deverão ser 
depuradas de todas as influências sistemáticas, bem como dos erros grosseiros, uma vez que o 
ajustamento prevê que as mesmas se apresentem contaminadas apenas pelos erros acidentais. 
 O termo erro acidental ou erro aleatório é muito freqüentemente restrito a distribuição normal 
de probabilidade. Isto é devido ao fato de que as observações repetidas, usualmente apresentam a 
distribuição de probabilidade normal. Em princípio, o termo aleatório não é necessário ser restrito a 
distribuição normal. Adicionalmente, ele não é limitado a distribuição unidimensional, mas igualmente 
para a distribuição multidimensional. 
 As propriedades dos erros das observações são equivalentes as propriedades estatísticas da 
amostragem. A população de onde as observações são obtidas é hipoteticamente considerada 
infinita. Amostras independentes essencialmente significa que as observações previamente obtidas 
não influenciam nas seguintes. Isto é distinguido da possível correlação de observações 
subsequentes, talvez pela influência comum de um certo parâmetro físico (tal como a refração). 
A B 
a 
b c d 
a´ 
b´ 
c´ 
d´ 
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2.3 Precisão, Exatidão, Matriz Cofatora e Matriz Peso 
 
 As observações, bem como os resultados do ajustamento são freqüentemente analisados na 
prática pela precisão e exatidão ou acurácia. 
 Acurácia refere-se ao grau de aproximação de uma estimativa do seu valor considerado 
verdadeiro, e está vinculado aos efeitos aleatórios e sistemáticos. Enquanto, que a precisão expressa 
o grau de proximidade da observação com sua a média, vincula-se apenas aos efeitos aleatórios. 
Acurácia reflete a posição, e precisão () reflete a dispersão, por exemplo, de uma observação. 
 Num caso n-dimensional, a precisão é representada pela matriz variância-covariância (). O 
traço dessa matriz é freqüentemente tomado como indicação da precisão média: 
 
Precisão média = 
n
)(Tr 
. (2.1) 
 
 Por exemplo, as variâncias 
 i
2
 e covariâncias 
 ij
2
 de um conjunto de n observações (Lb) 
podem ser dispostas de maneira a formar uma matriz quadrada (n x n), representada por 
Lb
: 
 
 














Lb
1
2
12 1n
21 2
2
2n
n1 n n
2
. . . .
. . . .
. . .. . . . . . . . . . . ..
. . . .
  
  
  
.(2.2) 
 
 A matriz 
Lb
, simétrica (ij = ji), recebe o nome de matriz variância-covariância (MVC), ou 
simplesmente matriz covariância (MC). No caso das observações serem independentes entre si, as 
covariâncias serão nulas e 
Lb
 se degenera numa matriz diagonal. 
 Na prática, a matriz variância-covariância é freqüentemente substituída pela variância e 
covariância relativa. Em razão disto usa-se o termo matriz dos coeficientes de peso ou de cofator. 
 Designando a matriz dos coeficientes de peso ou de cofator por Q e representando o seu 
elemento por q. Um cofator relaciona-se com uma covariância por: 
 
q ou qij ij 


 
ij
ij
0
2 0
2
, (2.3) 
e com uma variância como: 
 
q ou qi  


 i i i
2
0
2
2
0
2
. (2.4) 
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 Nas equações acima, 
 0
2
 é uma constante arbitrária, admensional ou não (dimensão 
arbitrária), chamada de variância de referência, ou fator de variância, ou variância da unidade de 
peso unitário. 
 Aplicando no caso de uma MVC, tem-se que: 
 
   Q = q 1 ij ij
0
2
  
1
0
2


Lb
. (2.5) 
 
 Se a matriz Q for não singular admitirá uma inversa, que é conhecida como matriz dos pesos, 
e representada por P: 
 
P = Q -1  0
2 1
Lb
. (2.6) 
 
 A matriz dos pesos, também simétrica, se reduz a uma matriz diagonal quando as 
observações são não correlacionadas (independentes) entre si. Nesse caso, os elementos diagonais 
de P e Q são, respectivamente, os pesos e o inverso dos pesos das observações. Os pesos das 
observações recebem então uma definição simples, e podem ser calculados por: 
 
p = 
i


0
2
2
i
. (2.7) 
 
 Para os casos em que há uma perfeita correlação entre as variáveis, é ainda possível 
estabelecer uma matriz covariância e uma matriz cofatora. Não é possível, entretanto, estabelecer 
uma matriz de pesos, pois os elementos da diagonal da matriz P não são os pesos e os da matriz Q 
são os inversos dos pesos. 
 
2.4 Erro Verdadeiro, Aparente e Resíduo 
 
 Designando 
X
 o valor estimado de uma grandeza medida, por  o seu valor verdadeiro, e 
por li os valores observados, pode-se considerar que: 
 
 a) erro verdadeiro: i = li -  
 b) erro aparente : ei = li - X 
 c) resíduo : vi = X - li (erro aparente com sinal trocado) 
 
 Normalmente conhece-se o erro aparente, a não ser no caso de fechamento de triângulos.