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A hipótese de de Broglie
De Broglie propôs as seguintes relações para uma onda de elétrons:
Para fótons são válidas as mesmas relações:
Onde λ é chamado de comprimento de onda de de Broglie
 
A hipótese de de Broglie
No modelo de Bohr a quantização vem do fato do momento angular ser quantizado.
Na teoria clássica, uma quantização aparece nas ondas estacionárias, onde apenas 
frequências múltiplas de uma frequência fundamental são possíveis.
 
A hipótese de de Broglie
No modelo de Bohr o momento angular é:
A ideia era de que a órbita eletrônica correspondesse a uma onda estacionária
Da relação de Bohr temos que
 
Aplicando a hipótese de de Broglie
Um elétron acelerado numa ddp:
Usando que:
NOTE: a energia cinética foi não relativśitica, ou seja:
 
Experimento Davisson Germer (1927)
Eles estudavam a reflexão de eletrons da 
superfície de Niquel. E observaram...
 
Experimento Davisson Germer (1927)
A condição de Bragg é:
 
Experimento Davisson Germer (1927)
Pela relação de de Broglie:
Realizando mais experimentos com outros tensões obteve-se::
 
Experimento Davisson Germer (1927)
Eles mostraram ainda que realmente o pico era devido a presença de planos 
sucessivos, variando a a ddp aceleradora dos elétrons :
 
Experimento G.P.Thomsom (1927)
Raio X
λ=0,071nm
Elétrons 
600eV
λ=?
 
 
Difração de outras partículas: He
 
Difração de outras partículas: He
Stern e Estermann em 1930 realizaram difração de átomos de He.
Por serem neutros não podem ser acelerados por uma ddp
 => energia térmica ~0,3 eV
Qual o comprimento de onda de de Broglie para essa energia? λ=0,10 nm
 
Difração de outras partículas: n
 
Outra determinação do comprimento de de Broglie
Uma partícula com energia cinética não relativística:
Usando que:
Mas e se a energia for relativística?
Chamando a energia de repouso mc2 = E0
Como a energia total é E= Ek + E0
 
Outra determinação do comprimento de de Broglie
Isolando o momento linear em
Encontramos que
Que na fórmula básica de de Broglie fornece para o comprimento de onda:
Uma expressão mais útil pode ser encontrada dividindo-se o numerador e o 
denominador da fórmula acima por E0=mc2
 
Outra determinação do comprimento de de Broglie
Reconhecendo o comprimento de onda 
Compton
Encontramos, para qualquer partícula de 
massa m
 
Outra determinação do comprimento de de Broglie
Comprimento de onda de de Broglie de raios cósmicos protônico de Ek=150 GeV
Para o próton m = 1,67 10-27 kg
Então:
 
Outra determinação do comprimento de de Broglie
Usando que 
Então:
 
Ondas… de quê?
Ondas de matéria foram observadas e seus comprimentos de onda medidos;
Mas o que ondula numa onda de matéria?
Ondas clássicas obedecem à equação da onda:
A equação acima descreve uma onda 1D (numa corda), cuja solução é:
é a frequência angular
é o número de onda
é a velocidade (de fase) da onda
 
Onda harmônica
 
Sobre as ondas abaixo podemos dizer que elas:
a) possuem a mesma velocidade, mesmo k e mesmo ω
b) possuem a mesma velocidade, k diferente e ω igual
c) possuem a mesma velocidade , mesmo k e ω diferente.
d) possuem a mesma velocidade, mas k e ω diferentes
 
Sobre as ondas abaixo podemos dizer que elas:
a) mesmo k e mesmo ω
b) k diferente e ω igual
c) mesmo k e ω diferente.
d) ω / k = cte
 
Sobre as ondas abaixo podemos dizer que elas:
a) mesmo λ e mesmo ω
b) λ diferente e ω igual
c) mesmo λ e ω diferente.
d) ω / λ = cte
 
Sobre as ondas abaixo podemos dizer que elas:
a) mesmo λ e mesmo ω
b) λ diferente e ω igual
c) mesmo λ e ω diferente.
d) ω / λ = cte
 
Ondas de matéria 
Mas o que ondula numa onda de matéria?
A probabilidade de encontrar a partícula!
Voltando às ondas, existem ondas que não são 
descritas por simples função harmônica os 
pulsos de onda...
 e o chamados pacotes de onda...
Matematicamente pulsos e pacotes de onda são construídos pela superposição 
de várias funções harmômicas de diferentes comprimentos de onda/frequência
Essa composição envolve as séries de Fourier e as integrais de Fourier.
 
Pacote de ondas: batimento
Um exemplo de pacote de ondas ocorre com a superposição de 2 ondas de 
frequências próximas
 Que podem ser escritas como:
Introduzindo:
Onde:
Chegamos a:
 
Pacote de ondas: batimento
 
Pacote de ondas: batimento
 
Velocidade de fase e velocidade de grupo
Velocidade de fase:Velocidade de grupo:
Quando Quando 
 
Velocidade de fase e velocidade de grupo
O ponto verde mostra a velocidade de grupo e o vermelho a velocidade de fase.
No batimento acima qual é maior, a velocidade de grupo ou de fase?
 
Um pacote de ondas
 
Um pacote de ondas
Velocidade de grupo:
Se na construção do pacote somamos um número infinito de ondas espaçadas 
de dk no mesmo intervalo de comprimento de onda (número de onda) obteremos
um pacote único, centrado em x=0.
Velocidade de fase
Que pode ser escrito como
Então, derivando com relação a k :
Se a velocidade de fase não depende do comprimento de onda, então a 
velocidade de grupo será igual à velocidade de fase e o meio é chamado de 
não dispersivo.
 
Pacote de onda
Qual o efeito do meio ser dispersivo?
 
Pacode de onda: Velocidade de fase e velocidade de grupo
O ponto azul mostra a velocidade de grupo e o vermelho a velocidade de fase.
 
O princípio da incerteza clássico
A largura no espaço “x” é de aproximadamente 1/12, enquanto que a largura do 
pacote no espaço “k” é
O pacote de onda possui uma largura tanto no espaço “x” como no espaço “k”
Fazendo o produto dessas largura encontramos
Uma análise semelhante pode ser feita nos espaços “t” e “ω”, que levaria a
 
O princípio da incerteza clássico
É importante na análise de circuitos e na digitalização de sinais:
A relação
O seu valor exato depende do detalho sobre a forma dos pacotes.
 
O princípio da incerteza clássico
Substituindo as diferenciais por deltas finitos:
Diferenciando com relação ao tempo a relação
Alguns exemplos vão ilustrar a utilidade dessas relações de incerteza.
E voltando na nossa relação de incerteza, temos que:
 
Ondas
O comprimento de onda seria:
Um observador registra que ao longo de um pier de 20 m existem 15 cristas de 
ondas. Qual a incerteza mínima no comprimento de onda?
Então a menor incerteza (teórica) possível é:
E a relação de incerteza diz que:
 
Frequência de controle
A frequência angular é
Para manter a tensão na rede elétrica estável em 60 Hz com exatidão de 0,01 Hz 
qual deve ser a frequência de controle da rede?
Então a menor intervalo entre medidas de controle da frequência deve ser:
E a relação de incerteza diz que:
 
Pacote de ondas de partícula
A função de onda da partícula está relacionada com a probabilidade de 
encontrar a partícula na posição x, no tempo t.
Para ondas de partículas chamamos a função oscilatória de função de onda:
Então, podemos encontrar a velocidade de fase da função de onda usando as 
relações de de Broglie ( E = h f e p = h / λ ) na definição de velocidade de fase:
Como qualquer onda a função de onda tem uma dependência que pode ser 
expressa como função harmônica:
 
Pacote de ondas de partícula
Usando essa energia na expressão da velocidade de fase:
Para uma partícula livre e não relativística a energia é :
Portanto, a velocidade de fase da função de onda dessa partícula (elétron, etc) é 
apenas metade da velocidade da partícula.
Como relacionaras propriedades da partícula, como por exemplo sua velocidade, 
com a propriedades da sua função de onda?
Considere também que uma onda de frequência única está espalhada por todo o 
espaço, então como é essa função de onda?
 
Pacote de ondas de partícula
Para mostrar que a velocidade de grupo é igual à velocidade da partícula 
vamos reescrever as relaçôes de de Broglie de uma forma alternativa
E, da mesma forma:
Aplicando a definição de velocidade de grupo:
Ψ(x,t) deve ser um pacote de onda e a sua velocidade é a velocidade de grupo.
E usando novamente a energia cinética não relativística:
 
A interpretação probabilística
No caso da onda de luz (OEM) a onda é cara cterizada pelo campo elétrico E(x,t)
A densidade de energia volumar na OEM é E2(x,t)
Então a energia do fóton é E=hf mas a densidade de fótons deve ser 
proporcional a E2(x,t).
Consideremos um experimento de interferência de duas fendas.
O que acontece se a intensidade é muito, muito baixa?.
 
Dupla fenda revisitada
Consideremos um experimento de interferência de duas fendas.
 
Dupla fenda com elétrons
 
Dupla fenda com elétrons
Conforma a dupla fenda é esposta ao feixe de elétrons vai aparecendo o 
padrão de difração de dupla fenda.
 
Dupla fenda com elétrons
Conforma a dupla fenda (P1+P2) é exposta ao feixe de elétrons vai 
aparecendo o padrão de difração de dupla fenda.
 
Dupla fenda com elétrons
Conforma apenas fenda P2 é exposta ao feixe de elétrons vai aparecendo o 
novamente o padrão de difração de uma fenda única.
 
2
7
209
1004
6235
Ampliação da parte central da fenda dupla para número 
variável de elétrons:
Filmes com a formação dos padrões podem ser 
vistos/baixados em:
 stacks.iop.org/NJP/15/033018/mmedia
 
Função de onda de uma partícula
representa a probabilidade de encontrar a partícula num 
volume unitário
Em uma dimensão, 
representa a probabilidade de encontrar a partícula no intervalo dx
 
O princípio da incerteza de Heisenberg
Vimos que pacotes de ondas possuem larguras que se relacionam por um 
princípio de incerteza:
As relações acima são inerentes de ondas, e multiplicando ambas por h/2π,
E reconhecendo as relações de de Broglie:
Chegamos às relações de incerteza de Heisenberg:
Definindo as incertezas como desvios padrões e assumindo pacotes de onda 
gaussianos, chegamos a uma expressão exata para as relações de incerteza:
 
O princípio da incerteza de Heisenberg
e a energia de ponto zero
Consideremos uma caixa de largura L. A incerteza máxima em x é Δx=L, 
porque a partícula está dentro da caixa.
Mas usando a forma aproximada
Encontramos que 
Por definição o desvio padrão é 
 
O princípio da incerteza de Heisenberg
e a energia de ponto zero
Então, para a energia cinética:
Mas numa caixa a partícula pode se mover tanto para a esquerda como para a 
direita com igual probabilidade, então 
A partícula não pode ficar parada!
Essa energia mínima, para objetos macroscópicos, mesmo pequenos, não é 
observável, ao contrário de situações envolvendo a escala de partículas 
subatômicas.
 
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