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Física do Contínuo - Lições de Física de Feynman FÍSICA 1 Rotação, Dinâmica, Corpos Rígidos e Torque

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18–1 O centro de massa
Nos capítulos anteriores estudamos a mecânica dos pontos ou de partículas pequenas 
cuja estrutura interna não nos preocupava. Para os próximos poucos capítulos devemos 
estudar a aplicação das leis de Newton para coisas mais complicadas. Quando o mundo 
se torna mais complicado, ele também se torna mais interessante e devemos descobrir 
que os fenômenos associados com a mecânica de um objeto mais complexo que so-
mente um ponto são realmente notáveis. Obviamente esses fenômenos envolvem nada 
mais que combinações das leis de Newton, mas algumas vezes é difícil de acreditar que 
somente F = ma está atuando.
Os objetos mais complicados que tratamos podem ser de diversos tipos: água es-
correndo, galáxias espiralando e assim por diante. O objeto “complicado” mais sim-
ples para analisar, no começo, é o que chamamos de corpo rígido, um objeto sólido 
que está rodando enquanto se move. No entanto, até esse objeto simples pode ter um 
movimento mais complicado e por isso devemos primeiro considerar os aspectos mais 
simples de tal movimento, no qual um corpo extenso roda ao redor de um eixo fi xo. 
Então um determinado ponto nesse corpo se move em um plano perpendicular a esse 
eixo. Tal rotação de um corpo ao redor de um eixo fi xo é chamada de rotação plana ou 
rotação em duas dimensões. Devemos, mais tarde, generalizar os resultados para três 
dimensões, mas ao fazer isso acharemos que, diferentemente do caso da mecânica de 
partículas ordinárias, rotações são sutis e difíceis de entender a menos que tenhamos 
uma base sólida em duas dimensões.
O primeiro teorema interessante envolvendo o movimento de objetos complicados 
pode ser observado funcionando se jogarmos um objeto feito de vários blocos e irre-
gularidades, mantidos juntos por uma corda, no ar. Claramente sabemos que ele anda 
numa parábola porque estudamos isso para uma partícula. Mas agora nosso objeto não é 
mais uma partícula; ele roda e balança, assim por diante. Apesar disso, ele percorre uma 
parábola; pode-se ver isso. O que percorre uma parábola? Certamente não é o ponto no 
canto do bloco, porque este está rodando, também não é o fi nal do bastão de madeira 
ou o seu meio ou o meio do bloco. Mas alguma coisa percorre uma parábola, existe 
um “centro” real que se move em uma parábola. Então nosso primeiro teorema sobre 
objetos complexos é demonstrar que existe uma posição média que é defi nida matema-
ticamente, mas não necessariamente um ponto do material, que percorre uma parábola. 
Esse é chamado o teorema do centro de massa e a prova dele é dada a seguir.
Podemos considerar qualquer objeto como sendo feito de muitas partículas pe-
quenas, os átomos, com várias forças entre eles. Representaremos por i um índice que 
defi ne uma das partículas. (Existem milhões delas, então i vai até 1023 ou algo assim) 
Então a força na i-ésima partícula é, obviamente, a massa vezes a aceleração dessa 
partícula:
 
 (18.1)
Nos próximos poucos capítulos nossos objetos se movendo serão tais que todas as 
suas partes estão se movendo com velocidade muito menor que a velocidade da luz e 
devemos usar a aproximação não relativística para todas as grandezas. Nessas circuns-
tâncias a massa é constante, então
 
 (18.2)
Se adicionarmos agora a força em todas as partículas, isto é, se tomarmos a soma de 
todos os Fis para todos os diferentes índices, obteremos a força total, F. No outro lado 
da equação, obtemos a mesma coisa apesar de adicionarmos antes da diferenciação:
18
Rotações em Duas Dimensões
18–1 O centro de massa
18–2 Rotação de um corpo rígido
18–3 Momento angular
18–4 Conservação do momento angular
18–2 Lições de Física
 
 (18.3)
Levando ao fato que a força total é a segunda derivada das massas vezes as suas posi-
ções, todas somadas juntas.
Agora a força total em todas as partículas é a mesma que a força externa. Por 
quê? Porque apesar de existirem todos os tipos de forças nas partículas devido aos 
fi os, às oscilações, aos puxões e empurrões, às forças atômicas e quem sabe mais o 
que, e nós temos que adicionar todas estas forças, somos resgatados pela Terceira 
Lei de Newton. Entre quaisquer duas partículas a ação e a reação são iguais, de tal 
maneira que quando adicionamos todas as equações, se quaisquer duas partículas têm 
força entre elas, esta se cancela com a sua reação; por esse motivo o resultado fi nal 
é dado somente pelas forças que são produzidas por outras partículas que não estão 
incluídas no objeto que decidimos fazer a soma sobre. Assim se Eq. (18.3) é a soma 
sobre certo número de partículas, que juntas são chamadas “o objeto”, então a força 
externa no objeto total é igual à soma de todas as forças em todas as partículas que o 
constituem.
Agora seria interessante se pudéssemos escrever a Eq. (18.3) como a massa total 
vezes alguma aceleração. Nós podemos. Vamos dizer que M é a soma de todas as mas-
sas, isto é, a massa total. Então se defi nimos certo vetor R sendo
 
 (18.4)
Eq. (18.3) será simplesmente
 
 (18.5)
já que M é constante. Dessa maneira achamos que a força externa é a massa total ve-
zes a aceleração de um ponto imaginário cuja localização é R. Esse ponto é chamado 
de centro de massa de um corpo. Ele é um ponto em algum lugar mais ou menos no 
“meio” do objeto, um tipo de média de r na qual os diferentes ris tem pesos ou impor-
tâncias proporcionais às massas.
Devemos discutir esse teorema importante com mais detalhe em um capítulo 
seguinte e devemos por isso limitar nossas observações a dois pontos: Primeiro, 
se as forças externas são zero, se o objeto está fl utuando no espaço vazio, ele pode 
rodar, balançar, torcer e fazer qualquer tipo de coisa. Mas o seu centro de mas-
sa, essa posição artifi cialmente inventada e calculada, em algum lugar no meio, 
se moverá com velocidade constante. Em particular se ele está inicialmente em 
repouso, ele fi cará em repouso. Então se temos algum tipo de caixa, talvez uma 
espaçonave, com pessoas dentro e calculamos a posição do centro de massa e 
o achamos parado, então ele continuará parado se nenhuma força externa está 
atuando sobre a caixa. Obviamente, a espaçonave pode se mover um pouco no 
espaço, mas isto é porque as pessoas estão andando para frente e para trás no 
seu interior; quando alguém anda em uma direção para frente, a nave se move na 
mesma direção para trás e com isso mantém a posição média de todas as massas 
exatamente na mesma posição.
Então a propulsão de um foguete é absolutamente impossível porque não pode-
mos mover o centro de massa? Não; mas claramente descobrimos que para impulsio-
nar uma parte de interesse do foguete, uma parte não interessante deve ser jogada fora. 
Em outras palavras, se começamos com o foguete com velocidade zero e jogamos 
um pouco de gasolina para fora na sua parte de trás, então essa pequena mancha de 
gasolina se move em uma direção enquanto o foguete se move em outra direção, mas 
o centro de massa está exatamente onde estava antes. Dessa maneira apenas movemos 
a parte que nos interessa contra a parte que não nos interessa.
O segundo ponto envolvendo o centro de massa, que foi a razão pela qual o intro-
duzimos na nossa discussão nesse momento, é que ele pode ser tratado separadamente 
dos movimentos “internos” de um objeto e pode por esse motivo ser ignorado nas 
nossas discussões de rotação.
Rotações em Duas Dimensões 18–3
18–2 Rotação de um corpo rígido
Agora vamos discutir rotações. Obviamente um objeto ordinário não simplesmente 
roda, ele tomba, balança e se dobra, então para simplifi car devemos discutir o movi-
mento de um objeto ideal, inexistente que chamamos de corpo rígido. Isto signifi ca 
um objeto no qual as forças entre os átomos são tão fortes e de uma característica tal 
que forças pequenas que são necessárias para movê-lo não o dobram. A sua forma fi ca 
essencialmente a mesma