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matemática financeira 2

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amortiza
(abate) a dívida.
Exemplo 6
Pedro tomou um empréstimo de 100, a juros mensais de taxa 10%. Quitou-
-o em três meses, pagando a cada mês os juros devidos e amortizando 30% da
dívida no primeiro mês e 30% e 40% nos dois meses seguintes.
Na planilha abaixo, Ak, Jk, Pk e Dk são, respectivamente, a parcela de
amortização, a parcela de juros, a prestação e o estado da dívida (isto é, o valor
da dívida após o pagamento da prestação) na época k.
7
Unidade 10
Sistemas de Amortização
k Pk Ak Jk Dk
0 − − − 100
1 40 30 10 70
2 37 30 7 40
3 44 40 4 −
Para facilitar a compreensão, olhe cada linha na ordem Ak, Dk, Jk e Pk.
Os sistemas usuais de amortização são o sistema de amortização constante
(SAC) e o sistema francês de amortização, também chamado de Tabela Price
(Richard Price foi um economista inglês). O sistema francês é caracterizado
por prestações constantes.
Exemplo 7
Uma dívida de 100 é paga, com juros de 15% ao mês, em 5 meses, pelo
SAC. Faça a planilha de amortização.
Solução. Como as amortizações são iguais, cada amortização será de
1
5
da
dívida inicial.
A planilha é, portanto:
k Pk Ak Jk Dk
0 − − − 100
1 35 20 15 80
2 32 20 12 60
3 29 20 9 40
4 26 20 6 20
5 23 20 3 −
Para facilitar a compreensão, olhe cada linha na ordem Ak, Dk, Jk e Pk.
Teorema 4
No SAC, sendo n o número de pagamentos e i a taxa de juros, temos
Ak =
D0
n
, Dk =
n− k
n
D0 , Jk = iDk−1, Pk = Ak + Jk.
Demonstração
Se a dívida D0 é amortizada em n quotas iguais, cada quota é igual a
Ak =
D0
n
.
8
Unidade 10
Matemática Financeira (continuação)
O estado da dívida, após k amortizações, é
Dk = D0 − kD0
n
=
n− k
n
D0.
As duas últimas fórmulas são óbvias.
Exemplo 8
Uma dívida de 150 é paga, em 4 meses, pelo sistema francês, com juros de
8% ao mês. Faça a planilha de amortização.
No sistema francês, as prestações são constantes. Pelo Teorema 4, cada
prestação vale
P = D0
i
1− (1 + n)−n = 150
0, 08
1− 1, 08−4 = 45, 29.
k Pk Ak Jk Dk
0 − − − 150, 00
1 45, 29 33, 29 12, 00 116, 71
2 45, 29 35, 95 9, 34 80, 76
3 45, 29 38, 83 6, 46 41, 93
4 45, 29 41, 93 3, 35 −
Para mais fácil compreensão, olhe cada linha na ordem Pk, Jk, Ak e Dk.
Teorema 5
No sistema francês de amortização, sendo n o número de pagamentos e i
a taxa de juros, temos
Pk = D0
i
1− (1 + i)−n ,
Dk = D0
1− (1 + i)−(n−k)
1− (1 + i)−n ,
Jk = iDk−1, A = Pk − Jk.
9
Unidade 10
Sistemas de Amortização
Demonstração
A primeira fórmula é simplesmente o Teorema 4 e as duas últimas fórmulas
são óbvias. Quanto à segunda fórmula, observe que Dk é a dívida que será
liquidada, postecipadamente, por n−k pagamentos sucessivos a Pk. Portanto,
novamente pelo Teorema 4, temos
Dk = Pk
1− (1 + i)−(n−k)
i
.
Substituindo o valor de Pk, obteremos a segunda fórmula.
Exemplo 9
Em um mês cuja inflação foi de 25%, Paulo Jorge investiu seu capital a
juros de 30% ao mês. Evidentemente, isso não significa que Paulo Jorge tenha
aumentado seu poder de compra em 30%, pois, embora a quantidade de reais de
Paulo Jorge tenha crescido 30%, o valor do real sofreu uma redução. Dizemos
nesse caso que 30% ao mês é a taxa nominal de juros mensais de Paulo Jorge.
Suponhamos que, no início do referido mês, o capital C de Paulo Jorge
pudesse comprar x artigos de preço unitário igual a p. No fim do mês, o capital
passou a ser 1, 3C e o preço unitário passou a ser 1, 25p. Logo, Paulo Jorge
poderá agora comprar
1, 3C
1, 25p
= 1, 04x artigos.
O poder de compra de Paulo Jorge aumentou de 4% nesse mês.
Essa taxa de 4% ao mês, à qual cresceu o poder de compra de Paulo Jorge,
é chamada de taxa real de juros.
Exemplo 10
Em algumas situações (prazos pequenos, juros de mora) são usados juros
simples e não juros compostos. No regime de juros simples, os juros em cada
época são calculados sobre o principal e não sobre o montante da época anterior.
Por exemplo, um principal igual a 100, a juros simples de 10% ao mês evolui
de acordo com a tabela abaixo:
n 0 1 2 3 4 . . .
Cn 100 110 120 130 140 . . .
Não há dificuldade em calcular juros simples pois a taxa incide sempre sobre o
capital inicial. No nosso exemplo, os juros são sempre de 10% de 100, ou seja,
10.
10
Unidade 10
Matemática Financeira (continuação)
É claro então que, Cn = C0 + niC0, o que faz com que os valores de Cn
formem uma progressão aritmética.
Olhando para os gráficos de evolução de um mesmo principal C0 a juros de
taxa i, a juros simples e a juros compostos, observamos que o montante a juros
compostos é superior ao montante a juros simples, exceto se o prazo for menor
que 1. É por isso que juros simples só são utilizados em cobranças de juros em
prazos inferiores ao prazo ao qual se refere a taxa de juros combinada.
Figura 10.6: Comparando juros
11
Unidade 10
Exercícios Recomendados
10.4 Exercícios Recomendados
1. Um televisor, cujo preço à vista é de R$ 400,00, é vendido em dez presta-
ções mensais iguais. Se são pagos juros de 6% ao mês sobre o saldo devedor,
determine o valor das prestações, supondo a primeira prestação paga:
a) no ato da compra.
b) um mês após a compra.
c) dois meses após a compra.
2. Se a taxa corrente de juros é de 0,6% ao mês, por quanto se aluga um
imóvel cujo preço a vista é R$ 50 000,00, supondo:
a) o aluguel mensal pago vencido?
b) o aluguel mensal pago adiantadamente?
3. Supondo juros de 0,5% ao mês, quanto você deve investir mensalmente,
durante 30 anos, para obter ao fim desse prazo, por 30 anos, uma renda mensal
de R$ 100,00?
4. Supondo juros de 0,5% ao mês, quanto você deve investir mensalmente,
durante 35 anos, para obter, ao fim desse prazo, uma renda perpétua de R$
100,00.
5. Faça as planilhas de amortização de uma dívida de R$ 3 000,00, em 8
pagamentos mensais, com juros de 10% ao mês:
a) pela tabela Price.
b) pelo SAC.
6. Leigh investiu 30% do seu capital a juros de 10% ao mês e os 70% restantes
a 18% ao mês. Qual a taxa média de juros obtidas?
7. Laura quer comprar um violão em uma loja que oferece um desconto de
30% nas compras à vista ou pagamento em três prestações mensais, sem juros
e sem desconto. Determine a taxa mensal de juros embutida nas vendas a
prazo, supondo o primeiro pagamento:
a) no ato da compra.
b) um mês após a compra.
c) dois meses após a compra.
8. Regina tem duas opções de pagamento:
12
Unidade 10
Matemática Financeira (continuação)
a) à vista, com x% de desconto.
b) em duas prestações mensais iguais, sem juros, vencendo a primeira um mês
após a compra.
Se o dinheiro vale 5% ao mês, para que valores de x ela preferirá a segunda
alternativa?
9. Um banco efetua descontos à taxa de 6% ao mês. Qual a taxa mensal de
juros cobrada pelo banco nas operações:
a) de um mês?
b) de dois meses?
c) de três meses?
10. Um banco efetua descontos à taxa de 6% ao mês, mas exige que 20% do
valor efetivamente liberado sejam aplicados no próprio banco, a juros de 2% ao
mês. Essa é a chamada reciprocidade. Qual a taxa mensal de juros paga pelos
tomadores de empréstimo por dois meses?
10.5 Exercícios Suplementares
1. No cálculo de juros, considera-se sempre o ano comercial de 360 dias, ou
seja, 12 meses de 30 dias. Essa é a chamada �regra dos banqueiros�. Os juros
assim calculados são chamados de ordinários, ao passo que os juros calculados
com o ano de 365 (ou 366) dias são chamados de exatos e não são usados em
lugar nenhum.
a) Mostre que, dados o principal e a taxa anual, os juros ordinários produzidos
em t dias são maiores que os exatos.
b) Para um principal de R$ 1 000,00 e juros de 12% ao ano, determine os juros
simples, ordinários e exatos, produzidos em 16

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