História da Matemática - Slides de Aula - Unidade I

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Unidade I 
 
 
 
HISTÓRIA DA MATEMÁTICA 
 
 
 
Profa. Ângela Maria 
Objetivos da disciplina e sua vinculação 
com o Projeto Pedagógico e Político do Curso 
 A história da matemática não pode ser considerada 
como estanque, sem vinculação pedagógica com 
disciplinas específicas e muito menos como mero 
atrativo inicial para conteúdos específicos. 
 Ela deve ser considerada, sobretudo, uma forma de orientação 
aos profissionais docentes a respeito da origem de questões 
ideológicas que perpassam o ensino, notadamente, 
a força da visão eurocêntrica da matemática. 
Objetivos da disciplina e sua vinculação 
com o Projeto Pedagógico e Político do Curso 
 Ou seja, a maioria dos professores de matemática defende 
(conscientemente ou não) a abordagem internalista, que 
privilegia somente o conhecimento do ponto de vista interno 
da própria matemática, levando os estudantes a crerem que 
o desenvolvimento da área sempre esteve pautado pela 
racionalidade. Essa é uma perspectiva equivocada. 
Objetivos da disciplina e sua vinculação 
com o Projeto Pedagógico e Político do Curso 
 O conhecimento que a humanidade acumulou nesta área 
não pode perder de vista as análises dos contextos social, 
histórico e cultural, que proporcionam a possibilidade de 
compreensão da ciência de modo mais abrangente e, em 
consequência, uma ação política mais efetiva na esfera 
da Educação. 
A Pré-História 
 A divisão da história em épocas é apenas por pretensão 
didática. A história da matemática se desenvolveu de acordo 
com condições e necessidades históricas, ou seja, ela não é 
linear e nem suas descobertas estiveram sempre relacionadas. 
Na verdade, a história da matemática é caótica, muitas vezes 
completamente anônima. 
A Pré-História 
 O primeiro momento a ser focado é o da Idade da Pedra 
(c. 5000000 – 3000 a.C). O período designado para essa era 
é arbitrário, pois não se sabe com certeza quando a Idade 
da Pedra começou. 
A Pré-História 
 Os povos da Idade da Pedra eram nômades e viviam 
da caça de pequenos animais selvagens, das frutas, 
castanhas e raízes. Habitavam, em geral, porções 
menos inóspitas da África, sul da Europa, sul da 
Ásia e América Central. 
 Nos dois primeiros períodos da Idade da Pedra, 
há poucos registros de avanços científicos e intelectuais 
em decorrência da atividade de caça e colheita de frutos 
destes povos e dificuldade para sobreviver. 
A Pré-História 
 A sociedade era rígida e as comunidades formadas por 
clãs ou tribos tinham um líder ou chefe. Não havia ascensão 
social e nem rudimentos de política, valendo a “lei do mais 
forte”. Os homens caçavam para obter alimento e as mulheres 
cuidavam dos filhos, da limpeza e preparavam os alimentos. 
Os agrupamentos humanos não eram numerosos, uma vez 
que a comida era escassa e estragava rapidamente. 
Por isso, era necessário que frequentemente se deslocassem, 
o que justifica o caráter nômade das tribos primitivas. 
A Pré-História 
 Mas nesses períodos aconteceu um prelúdio do progresso 
científico em decorrência da comercialização já existente 
entre as pessoas. Elas comercializavam entre si e havia 
necessidade de anotar a parte de cada família na caçada 
e na colheita. 
 Assim, iniciou-se um rudimentar processo de contagem para 
o qual eram utilizados desenhos em cavernas e em pedras, 
ranhuras em ossos e marcas em galhos. 
A Pré-História 
 Porém, mudanças climáticas obrigaram os homens 
e mulheres a se adaptarem a um ambiente progressivamente 
hostil e seguir os animais em fuga para lugares com 
condições para todas as formas de vida. 
 Quando a produção de alimentos passou a ser superior 
às necessidades locais, começou a surgir o comércio 
e as grandes civilizações. Emergem, assim, após 3000 a.C., 
comunidades agrícolas densamente povoadas ao longo 
do rio Nilo na África, dos rios Tigre e Eufrates no Oriente 
Médio e ao longo do rio Amarelo na China. 
A Pré-História 
 As civilizações que emergiram diferiam amplamente 
das sociedades de caçadores e colhedores. A densidade 
populacional obrigou esses povos a encontrar outros 
meios de obter alimentos. Iniciou-se, assim, uma 
agricultura intensiva. 
A Pré-História 
 Essa espécie de “revolução agrícola” criou novas 
necessidades, como o desenvolvimento da engenharia em 
construções de sistemas de barragens e irrigações e também 
registros das estações das chuvas e das enchentes e traçados 
de mapas que especificavam as valas de irrigação. 
A Pré-História 
 No interior desses novos agrupamentos, fixados em 
cidades e sem a necessidade de se deslocar atrás de 
alimento, surgiram pessoas – reis, sacerdotes, mercadores 
e escribas – que tinham tempo para ponderar sobre 
os mistérios da natureza e da ciência. 
 O período de 3000 a 525 a.C. testemunhou o nascimento 
de uma nova civilização humana cuja centelha foi uma 
revolução agrícola. 
Matemática Primitiva e Escrita 
 As cidades propiciavam condições para mercados 
de agricultores e artesãos trocarem bens, surgindo, 
assim, uma classe de mercadores. 
 Há a criação da escrita, evolução das 
antigas figuras rupestres, ainda desordenadas. 
Matemática Primitiva e Escrita 
 A invenção dos algarismos é anterior à escrita 
e estes estiveram relacionados com o pensamento místico 
e religioso do homem no decorrer da história. Assim, a lógica 
não foi o fio condutor da história da matemática. 
Matemática Primitiva e Escrita 
 As pessoas construíram cidades, criaram escritas, utilizaram 
metais e desenvolveram empiricamente a matemática básica 
da agrimensura, da engenharia e do comércio. A ênfase da 
matemática primitiva ocorreu na aritmética e na mensuração 
prática, para assistir atividades ligadas à agricultura 
e à engenharia. 
Matemática Primitiva 
 As novas atividades necessitavam de uma forma de cálculo 
para um calendário utilizável; do desenvolvimento de um 
sistema de pesos e medidas para ser empregado na colheita; 
da criação de métodos de agrimensura para o armazenamento 
e distribuição de alimentos, a construção de canais e 
reservatórios e para dividir a terra; e da instituição de práticas 
financeiras e comerciais para o lançamento e arrecadação de 
taxas para propósitos mercantis. 
Interatividade 
Assinale a alternativa falsa: 
a) A matemática primitiva se 
desenvolveu em função de uma “revolução agrícola”. 
b) Análises dos contextos social, histórico e cultural 
proporcionam uma ação política mais efetiva na 
esfera da educação. 
c) Há dificuldades em localizar no 
tempo as descobertas em matemática. 
d) A história da matemática é organizada e linear. 
e) A matemática se desenvolveu de acordo 
com condições e necessidades históricas. 
Matemática no Antigo Egito 
 O Egito localiza-se no nordeste da África, na região 
do deserto do Saara. A vida no Egito sempre dependeu 
e teve estreita relação com o rio Nilo, que provia a 
população de água e dos peixes para sua sobrevivência, 
além de viabilizar em suas margens a agricultura e o cultivo 
do papiro para a escrita. 
Matemática no Antigo Egito 
 O rio Nilo também possibilitava o transporte e a 
comunicação entre as diversas regiões situadas de Norte 
a Sul e, por ter águas caudalosas, facilitava a construção 
de canais de irrigação e diques. No entanto, o fato de o rio 
ter um comportamento bastante regular e o fato de o país 
ser geograficamente protegido de invasões estrangeiras 
permitiram um alto grau de estagnação no 
desenvolvimento das ciências. 
Matemática no Antigo Egito 
 O desenvolvimentoda ciência e da matemática no Antigo 
Egito teve estreita relação com suas necessidades práticas. 
Os estudos de astronomia e agrimensura surgiram pela 
premência que os egípcios tinham em saber quando 
ocorreriam enchentes no Nilo e quais seriam suas extensões. 
Matemática no Antigo Egito 
 Por volta de 4000 a.C foram desenvolvidas no Egito 
duas formas de escrita: uma mais simples, denominada 
demótica, e uma forma mais complexa, a hieroglífica, 
composta de símbolos e figuras. 
Matemática no Antigo Egito 
 A numeração hieroglífica egípcia foi facilmente decifrada, 
a partir da descoberta em 1799 pela expedição de Napoleão 
da pedra de Rosetta (antigo porto de Alexandria). Ela continha 
uma mensagem em três línguas: demótica, hieroglífica 
e grego. Pelo menos tão antigo quanto as pirâmides, 
o sistema, datando de cerca de 5000 anos atrás, 
baseava-se na escala de dez. 
 
Matemática no Antigo Egito 
 No próximo slide será apresentada 
uma imagem da Pedra de Rosetta. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fonte: http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Rosetta_Stone._(1874)_-_TIMEA.jpg, 28 de março de 2011. 
Matemática no Antigo Egito 
Matemática no Antigo Egito 
 O sistema egípcio era o decimal, ou seja, cada dez 
símbolos eram trocados por um símbolo de ordem superior, 
mas não era posicional: cada símbolo não tinha um valor 
relativo, ou seja, um valor que dependia da sua posição 
dentro do número. Não havia um símbolo para o zero. 
Hiróglifos 
Hierático 
Matemática no Antigo Egito 
 Os conhecimentos e registros históricos sobre a 
civilização egípcia e provêm principalmente de alguns 
papiros encontrados a partir do século XIX. Os papiros 
mais importantes são o de Rhind, o de Moscou e o de Berlim. 
Matemática no Antigo Egito 
No próximo slide será apresentada uma imagem 
do Papiro de Rhind, que se encontra no Museu Britânico. 
Matemática no Antigo Egito 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fonte: http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons 
/d/d9/Rhind_Mathematical_Papyrus.jpg, 28 de Março de 2011 
Matemática no Antigo Egito 
 O Egito sempre se manteve em um semi-isolamento. 
Como já foi comentado, a natureza tranquila do rio Nilo 
fez com que o desenvolvimento do conhecimento matemático 
não tenha sido tão importante quanto aquele alcançado 
na Babilônia – o que será comentado no próximo bloco. 
Interatividade 
Assinale a alternativa falsa: 
a) Na cultura egípcia a escrita 
hierática foi usada pelos sacerdotes. 
b) Na cultura egípcia a escrita demótica 
era uma forma simplificada de escrita. 
c) O Sistema de numeração dos Egípcios 
baseava-se em dez números-chave: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9. 
d) A natureza tranquila do rio Nilo fez com que as ciências 
não tivessem muito desenvolvimento no Egito antigo. 
e) Os registros egípcios eram feitos em papiros. 
Matemática na Mesopotâmia 
 A Mesopotâmia localizava-se no Oriente Médio, 
na região situada no vale dos rios Eufrates e Tigre, 
onde hoje se localiza o Iraque e a Síria. A palavra 
Mesopotâmia, em grego, significa “entre rios”. A região foi 
habitada inicialmente pelos sumérios que, por volta do ano 
4000 a.C., desenvolveram o sistema de escrita provavelmente 
mais antigo da história humana. 
Matemática na Mesopotâmia 
 Como os babilônios utilizavam tabletes de argila, 
mais resistentes do que os papiros, há abundância de 
materiais relativos à Mesopotâmia. No entanto, eles provêm 
estranhamente de dois períodos muito distantes no tempo. 
Matemática na Mesopotâmia 
 Há uma quantidade de material dos primeiros séculos do 
segundo milênio a.C. (Babilônia antiga) e outra dos últimos 
séculos do primeiro milênio a.C. (período selêucida). A maior 
parte das contribuições importantes em matemática remonta 
ao período mais antigo. 
 
Matemática na Mesopotâmia 
 O desenvolvimento da civilização na Mesopotâmia 
ocorreu em estreita dependência dos rios Tigre e Eufrates. 
Os povos prosperaram com base na agricultura, que 
se desenvolvia graças à fertilização da terra decorrente 
das inundações dos dois rios. 
Matemática na Mesopotâmia 
 Contudo, de forma diversa do que se passava com as águas 
do rio Nilo, os períodos de cheia dos rios Tigre e Eufrates 
eram bastante irregulares, obrigando a realização de 
numerosas obras de irrigação e drenagem. Desse modo, 
desenvolveu-se a engenharia e a navegação para 
o transporte de mercadorias. 
 
Matemática na Mesopotâmia 
 Os babilônios usavam um sistema numérico sexagesimal, 
isto é, com base no número 60. Eles conheciam os resultados 
das multiplicações e divisões, raízes quadradas e cúbicas, 
equações e o processo de fatoração e usavam palavras 
como incógnitas num sentido abstrato. 
Matemática na Mesopotâmia 
 Nos tabletes da Mesopotâmia encontrou-se o sistema 
de numeração sexagesimal e as tábuas trigonométricas 
e, na geometria, o estudo do tronco de cone e do tronco de 
pirâmide quadrangular regular; o perímetro da circunferência; 
o teorema de Pitágoras e as ternas pitagóricas. 
Matemática na Mesopotâmia 
 O sistema de numeração usado variava entre o posicional, 
o decimal e o sexagesimal e a base 60 era apropriada 
principalmente para o cálculo com frações, por conta dos 
divisores naturais de 60: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60. 
 Especula-se que o sistema sexagesimal teve origem 
provavelmente na astronomia, especificamente na contagem 
do tempo, isto é, na divisão do tempo em horas, minutos 
e segundos. O sistema seria originário da junção de dois 
sistemas mais antigos: o decimal e outro de base seis. 
Matemática na Mesopotâmia 
 No próximo slide a figura retrata numerais babilônicos. 
Os povos da Mesopotâmia escreviam em tabletes de 
argila cozida em fornos ou ao sol e, para gravar os caracteres, 
usavam estiletes. Eles desenvolveram uma escrita que ficou 
conhecida como cuneiforme, pois as marcas feitas na argila 
pareciam pequenas cunhas. 
Matemática na Mesopotâmia 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fonte: http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Babylonian_numerals.jpg>, 10 maio 2011 
Matemática na Mesopotâmia 
 Os babilônios desenvolveram a melhor notação para frações 
conhecida até a Renascença. A precisão de seus resultados 
diferia muito pouco daqueles possibilitados pelo processo 
atual. Além disso os matemáticos babilônios não foram 
hábeis apenas com sistemas de numeração, mas também 
no desenvolvimento de processos algoritmos, entre os quais 
um para extrair a raiz quadrada. As operações aritméticas 
fundamentais eram tratadas de forma semelhante à atual 
e com facilidade comparável. 
Matemática na Mesopotâmia 
 Existem tabelas babilônicas que contêm potências 
sucessivas de um dado número, semelhante às atuais tabelas 
de logaritmos ou, mais propriamente, de antilogaritmos. 
Apesar de existirem lacunas em suas tabelas exponenciais, os 
babilônios utilizavam a interpolação por partes proporcionais 
para a obtenção de valores intermediários aproximados. 
 
Matemática na Mesopotâmia 
 Em torno de 2000 a.C., a aritmética babilônica já havia 
evoluído para uma álgebra retórica bem desenvolvida. 
Eles não só resolviam equações quadráticas, seja pelo 
método equivalente ao de substituição numa fórmula geral, 
seja pelo método de completar quadrados, 
mas também discutiam algumas equações 
cúbicas e algumas equações biquadradas. 
Matemática na Mesopotâmia 
 Do ponto de vista matemático, um dos mais importantes 
documentos quechegaram até nós é o tablete designado 
por Plimpton 322. Ele foi escrito no período babilônico antigo 
(aproximadamente entre 1900 e 1600 a.C.). A tábula encontra-
se parcialmente danificada, mas o esquema de construção 
é claramente discernível. O que foi registrado nela constitui 
em profundo significado matemático na teoria dos números. 
Sabe-se que, entre outras, a tábula traz a relação entre 
os três lados de um triângulo. 
Matemática na Mesopotâmia 
 No próximo slide a figura retrata o tablete designado 
por Plimpton 322 . Sua designação se deve ao fato 
de pertencer à coleção de G. A. Plimpton, da Universidade 
da Colúmbia, e à sua catalogação sob o número 322. 
Matemática na Mesopotâmia 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fonte: http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/c/c2/Plimpton_322.jpg>, 
28 de março de 2011 
Interatividade 
Assinale a alternativa falsa. Em relação 
aos povos da Mesopotâmia é possível afirmar: 
a) Um dos mais importantes documentos 
é o tablete designado por Plimpton 322. 
b) Em torno de 2000 a.C., 
a álgebra retórica era bem desenvolvida. 
c) O sistema de numeração usado variava 
entre o posicional, o decimal e o sexagesimal e a base 60. 
d) A escrita que ficou conhecida como cuneiforme. 
e) Os documentos eram escritos em papiros. 
Matemática na Grécia Antiga 
 A atividade intelectual das civilizações do Egito 
e da Mesopotâmia perdeu seu ritmo bem antes da era cristã, 
cedendo espaço para uma nova civilização assumir 
a hegemonia cultural. 
 As realizações culturais mais impressionantes ocorreram 
na Grécia, durante o período Helênico (c. 800-336 a.C.), 
e na China, nos primeiros tempos do Período Clássico 
(c. 600-221 a.C.). 
 Por volta de 800 a.C. começaram a surgir as “pólis”, 
isto é, as cidades-estado. Essa nova organização 
social criou um novo tipo de homem. 
Matemática na Grécia Antiga 
 Nas “pólis” os mercadores eram independentes, 
mas sabiam que tinham de lutar por este estado de coisas 
constantemente. Não havia lugar para uma visão estática 
de vida. Adicionalmente, a religião era politeísta – os deuses 
possuíam características humanas – e a mitologia era muito 
importante para os gregos, já que os mitos e as lendas eram 
usados para transmitir ensinamentos. 
Matemática na Grécia Antiga 
 A matemática grega começou a se desenvolver na Jônia, 
localizada na Ásia Menor, e tomou impulso a partir dos 
conhecimentos e descobertas dos egípcios e dos babilônios 
com as quais os gregos tiveram contato por meio de viagens. 
Mas a grande diferença estabelecida pelos gregos e esses 
povos foi o início da tentativa de se explicar os fenômenos da 
natureza de forma científica, sem recorrer a mitos e à religião. 
Matemática na Grécia Antiga 
 A utilização do raciocínio dedutivo em matemática – que se 
deve a Tales de Mileto (640?-564?) e Pitágoras (586?-500ª.C.) – 
deu origem à criação de uma matemática organizada, diferente 
daquela de caráter prático desenvolvida no Egito e na 
Mesopotâmia. A lógica foi sistematizada por Aristóteles e 
Hipócrates de Quio (a quem se deve o famoso juramento 
médico hipocrático). 
Escola Pitagórica 
 A Escola Pitagórica, além de ser centro de estudo de filosofia, 
matemática e ciências naturais, era também uma irmandade 
estreitamente unida por ritos secretos e cerimônias. Num 
certo sentido, foi a primeira universidade do mundo ocidental. 
 Os ensinamentos da escola eram inteiramente orais 
e as descobertas eram atribuídas ao fundador. Portanto, 
não se sabe ao certo o que de fato se pode atribuir ao 
próprio Pitágoras em relação ao conhecimento produzido. 
Escola Pitagórica 
 Apesar do misticismo e religiosidade, 
 os pitagóricos eram grandes matemáticos. 
 É possível que Pitágoras tenha conhecido na Mesopotâmia 
as três médias: a aritmética, a geométrica e a subcontrária 
(posteriormente denominada harmônica) e, ainda, a proporção 
áurea, que relaciona duas delas: “o primeiro de dois números 
está para a sua média aritmética como a média harmônica 
está para o segundo”. 
Escola Pitagórica 
 A proporção áurea é de grande utilidade em estudos 
arquitetônicos e artísticos. Alguns conceitos derivados 
dela foram utilizados como parâmetros para determinado 
padrão estético. 
 Alguns exemplos muito conhecidos da aplicação da 
proporção áurea à concepção de beleza humana são as obras 
Homem Vitruviano e Mona Lisa, ambas de Leonardo da Vinci. 
Escola Pitagórica 
 Credita-se à Escola Pitagórica a demonstração de um 
dos mais famosos teoremas da matemática, que ficou 
conhecido como O teorema de Pitágoras, que demonstra 
que "num triângulo retângulo, o quadrado sobre a 
hipotenusa é igual a soma dos quadrados sobre os catetos". 
Esse teorema já era conhecido pelos babilônios há mais 
de um século, mas sua primeira demonstração geral pode 
ter sido dada por Pitágoras. 
Os Elementos, de Euclides 
 Por volta de 306 a.C., 
o Egito tinha Alexandria como sua capital. 
 Euclides de Alexandria foi autor da obra “Os Elementos”, 
da qual apenas a metade chegou até os nossos dias. Nessa 
obra, ele sistematizou conhecimentos acumulados por seu 
povo nos séculos anteriores, além de diversos teoremas que 
ele mesmo demonstrou. 
Os Elementos, de Euclides 
 Provavelmente nenhuma obra exerceu influência maior 
no pensamento científico do que o livro “Os Elementos”, 
de Euclides. Ela foi copiada inúmeras vezes de forma que 
erros e variações acabaram sendo incorporados a ela. Suas 
edições modernas se baseiam numa revisão feita por Teon 
de Alexandria, no século IV d.C. 
 A primeira tradução latina de “Os Elementos” foi em árabe. 
A Idade Heroica 
 Durante a segunda metade do quinto século a.C., 
uma série de matemáticos esteve envolvida com problemas 
que constituíram a base dos desenvolvimentos posteriores 
em geometria. Daí esta era ser denominada de Idade Heroica 
da matemática. 
 Foi por intermédio de Platão e Aristóteles 
que se soube o que ocorreu na Idade Heroica grega. 
A Idade Heroica 
 A importância de Platão está menos em descobertas 
matemáticas e mais em sua convicção de que o estudo da 
matemática fornecia o mais refinado treinamento do espírito. 
 Eudoxo de Cnido foi discípulo de Platão. Suas maiores 
contribuições na matemática são: a teoria das proporções 
e o método de exaustão. Até o aparecimento de Eudoxo, 
não havia uma definição para os números irracionais. 
Interatividade 
Assinale a alternativa falsa: 
a) Os pitagóricos descobriram os números irracionais. 
b) Para os pitagóricos o estudo 
teórico dos números era denominado “logística”. 
c) Povo heleno é denominação 
dada aos cidadãos da Grécia antiga. 
d) O número de ouro é também chamado de razão áurea, 
seção áurea ou segmento áureo. 
e) Provavelmente nenhuma obra exerceu influência maior 
no pensamento científico do que o livro “OsElementos”, 
de Euclides. 
 
 
 
ATÉ A PRÓXIMA!