Transformada_Inversa_de_Laplace

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE – FURG 
INSTITUTO DE MATEMÁTICA, ESTATÍSTICA E FÍSICA – IMEF 
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II – TURMA:B 
 
TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE 
 
 
Se L ( ){ } ( )sFtf = é a transformada de Laplace de ( )tf , a transformada 
inversa de Laplace de ( )sF é L 1− { L ( ){ }tf }= L 
1− ( ){ }sF = ( )tf . 
 
 
TRANSFORMADAS INVERSAS BÁSICAS 
 
 
 L
 
{ } →=
s
1
1 L 1
11 =





−
s
 
 L{ } →==
+
K,3,2,1,
!
1
n
s
n
t
n
n
 L
n
n
t
s
n
=






+
−
1
1 ! 
 L{ } →
−
=
as
eat
1
 L
ate
as
=






−
− 11 
 L ( ){ } →
+
=
22 as
a
atsen L ( )atsen
as
a
=






+
−
22
1 
 L ( ){ } →
+
=
22
cos
as
s
at L ( )at
as
s
cos
22
1 =






+
− 
 L ( ){ } →
−
=
22 as
a
atsenh L ( )atsenh
as
a
=






−
−
22
1
 
 L ( ){ } →
−
=
22
cosh
as
s
at L ( )at
as
s
cosh
22
1 =






−
−
 
 
 
TEOREMA: Se as transformadas inversas de Laplace de duas funções ( )sF e ( )sG 
existem, então, para quaisquer constantes α e β temos: 
L ( ) ( ){ } αβα =+− sGsF1 L ( ){ } β+− sF1 L ( ){ } ( ) ( )tgtfsG βα +=−1 
 
Ex.: 1. Calcule L





−
4
1 1
s
. 
 
Solução: 
 
L
!3
11
4
1 =





−
s
 L
6!3
1!3 33
4
1 tt
s
==





− 
 
Ex.: 2. Calcule L






−
−−
5
13
2
1
s
s
. 
 
Solução: 
 L =






−
−−
5
13
2
1
s
s
 L =






−
−
−
−
5
1
5
3
22
1
ss
s
 
 = 3 L
5
1
52
1 −






−
−
s
s
 L =






−
−
5
5
2
1
s
 
 = ( ) ( )5
5
1
5cosh3 tsenht − 
 
Ex.: 3. Calcule L






−++
−
825
1
23
1
sss
. 
 
Solução: 
 
L






−++
−
825
1
23
1
sss
= L
( )( )( ) 





++−
−
421
11
sss
 
 
 Utilizando o método das frações parciais obtemos: 
 
( )( )( ) 421421
1
+
+
+
+
−
=
++− s
C
s
B
s
A
sss
 
daí, obtemos: 
 
( )( ) ( )( ) ( )( )2141421 +−++−+++= ssCssBssA 
ou seja 
 
( ) ( ) CBAsCBAsCBA 248361 2 −−++++++= 
 
Obtemos então o seguinte sistema: 
 





=−−
=++
=++
1248
036
0
CBA
CBA
CBA
 
cuja solução é: 
10
1
,
6
1
,
15
1
=−== CBA 
Portanto 
 
L






−++
−
825
1
23
1
sss
= 
15
1
 L






−
−
1
11
s 6
1
− L






+
−
2
11
s
+ 
10
1
 L






+
−
4
11
s
= 
 ttt eee 42
10
1
6
1
15
1 −− +−= 
Ex.: 4. Calcule L ( ) 




+
−−
4
23
23
1
ss
s
. 
 
Solução: 
 
 Através do método das frações parciais, obtemos: 
 
( ) 44
23
22323 +
+
+++=
+
−
s
EDs
s
C
s
B
s
A
ss
s
 
 
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )4
444
4
23
23
32222
23 +
+++++++
=
+
−
ss
sEDssCssBssA
ss
s
 
 
( ) ( ) ( ) ABssCAsEBsDCs 44423 234 ++++++++=− 
 
Daí, obtemos o seguinte sistema: 
 








−=
=
=+
=+
=+
24
34
04
0
0
A
B
CA
EB
DC
 
cuja solução é dada por: 
 
4
3
,
8
1
,
8
1
,
4
3
,
2
1
−=−===−= EDCBA 
 
Portanto 
 
L ( ) 




+
−−
4
23
23
1
ss
s
= 
2
1
− L
4
31
3
1 +





−
s
 L
8
11
2
1 +





−
s
 L +





−
s
11
 L =












+
−−
−
4
4
3
8
1
2
1
s
s
 
 tsenttt 2
8
3
2cos
8
1
4
1
4
3
8
1 2 −−−+=
 
 
Ex.: 5. Calcule L






+−
+−
43
2
2
1
ss
s
. 
 
Solução: 
 
 Através do método de completar quadrados, obtemos: 
22
22
2
7
2
3
4
4
9
4
9
343 







+




 −=+−+−=+− sssss 
portanto 
222
2
7
2
3
2
43
2








+




 −
+
=
+−
+
s
s
ss
s
 
Então escrevendo o numerador como: 








+




 −=+−=+
2
7
7
2
3
2
7
2
3
2 sss 
 
 
Portanto 
 
L






+−
+−
43
2
2
1
ss
s
= L 7
2
7
2
3
2
3
22
1 +






















+




 −
−
−
s
s
 L






















+




 −
−
22
1
2
7
2
3
2
7
s
 
 
 








+







= tsenete
tt
2
7
7
2
7
cos 2
3
2
3