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Prof. Wanderson S. Paris -‐ prof@cronosquality.com.br MECÂNICA DOS SÓLIDOS Aula 04 – Sistemas Equivalentes Prof. Wanderson S. Paris, M.Eng. prof@cronosquality.com.br Prof. Wanderson S. Paris -‐ prof@cronosquality.com.br MECÂNICA DOS SÓLIDOS Sistema Equivalente • Representa um sistema no qual a força e o momento resultantes produzam na estrutura, o mesmo efeito que o carregamento original aplicado. • A redução de um sistema de forças coplanares consiste em converter o sistema de forças aplicadas na estrutura em uma única força resultante e um momento atuantes em um ponto específico. Prof. Wanderson S. Paris -‐ prof@cronosquality.com.br MECÂNICA DOS SÓLIDOS Cargas Concentradas !"#$%&'(#"($)(*+,-").(#"(/'0%.,( 1'23.4.0", ! !"#$%&'%&("()*)'%+,(-%(."&/,)(,01*2,-,)(#,(%)'&3'3&,(%+(3+,(4#*2,( ."&/,(&%)31',#'%(%(3+(+"+%#'"(,'3,#'%)(%+(3+(-%'%&+*#,-"(0"#'"5 5$3.(67 80'9:(;*<:(=$+>(?#$.0#'(;+0.4#.(@:(!'#0+A$", ;"<B4+<.(CD<4+<. !" !"! ## !" $"$ ## !" %%" !"#$%&'(#"($)(*+,-").(#"(/'0%.,( 1'23.4.0", ! !"#$%&'%&("()*)'%+,(-%(."&/,)(,01*2,-,)(#,(%)'&3'3&,(%+(3+,(4#*2,( ."&/,(&%)31',#'%(%(3+(+"+%#'"(,'3,#'%)(%+(3+(-%'%&+*#,-"(0"#'"5 5$3.(67 80'9:(;*<:(=$+>(?#$.0#'(;+0.4#.(@:(!'#0+A$", ;"<B4+<.(CD<4+<. !" !"! ## !" $"$ ## !" %%" Prof. Wanderson S. Paris -‐ prof@cronosquality.com.br MECÂNICA DOS SÓLIDOS Sistema de Cargas Distribuidas • A intensidade da força resultante é equivalente a soma de todas as forças atuantes no sistema. • A força resultante deve ser calculada por integração, quando existem infinitas forças atuando sobre o sistema. A força resultante é igual a área total sob o diagrama de carga. !"#$%&'()%(*'+,'#(-"#$+"./")'# 0/1'(23 4+567(8!97(:/";(<)/'+)5(8"+'=)'(>7(?5)+",/%# 8%9@="9'(AB9="9' ! !" #$%&$'#()(&"()" *+,-)" ,&'./%)$%&"0 &1.#2)/&$%&")"'+3)"(&" %+()'")'" *+,-)'")%.)$%&'"$+"'#'%&3)"&"&3"3.#%+'"4)'+'"(&2&"'&,"4)/4./)()"5+," #$%&6,)-7+8" .3)" 2&9" 1.&" &:#'%&3" #$*#$#%)'" *+,-)'" )%.)$(+" '+;,&" +" '#'%&3)< ! !"*+,-)",&'./%)$%&"0 #6.)/")"=,&)"%+%)/"'+;"+"(#)6,)3)"(&"4),6)< !"!"##$% !&' !!"! ## !" Prof. Wanderson S. Paris -‐ prof@cronosquality.com.br MECÂNICA DOS SÓLIDOS Localização da Força Resultante • A localização da linha de ação da força resultante em relação ao eixo x pode ser determinada pela equação de momentos e da distribuição de forças em relação ao ponto “O”. • A força resultante tem uma linha de ação que passa pelo centróide da área definida pelo diagrama de carregamento. !"#$%&'$()"*+$*,"-($*./01%2$32/ 41%$*56 7-"89*:;#9*!1&'*<+1$-+"*:&-$3+$*=9*."+-&>1/0 :/#?3&#$*@A#3&#$ ! !"#$%&#'(&)*$"+&"#',-&"+."&)*$"+&"/$0)&"0.12#3&,3.".4"0.#&)*$"&$".'5$" ! 6$+." 1.0" +.3.04',&+&" 6.#&" .72&)*$" +." 4$4.,3$1" +&" /$0)&" 0.12#3&,3."."+&"+'130'82')*$"+."/$0)&1".4"0.#&)*$"&$"6$,3$""9 ! !"/$0)&"0.12#3&,3."3.4"24&"#',-&"+."&)*$"72."6&11&"6.#$"%.,30:'+."+&" ;0.&"+./','+&"6.#$"+'&<0&4&"+."%&00.<&4.,3$9 ! ! ! ! "# " "" # ! ! " " #! #!$ #$$% #$$%$ $ !" !" Prof. Wanderson S. Paris -‐ prof@cronosquality.com.br MECÂNICA DOS SÓLIDOS Exemplos de Cargas Distribuidas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rof. Wanderson S. Paris -‐ prof@cronosquality.com.br MECÂNICA DOS SÓLIDOS Exercício 01 SubsHtua as cargas atuantes na viga por um única força resultante e um momento atuante no ponto A. !"#$%&%'()* ! !"# $%&'()(%*# *'# +*,-*'# *(%*.(/'# .*# 0)-*# 12,# %3*# 4.)+*# 52,6*# ,/'%7(*.(/#/#%3#323/.(2#*(%*.(/#.2#12.(2#!8# +,-.)*/ 0$(12)34%2)5,'6)!7,.$7()3'$.87.)92):(7$';,#< 3#%=8'%.)>?%8'%. Prof. Wanderson S. Paris -‐ prof@cronosquality.com.br MECÂNICA DOS SÓLIDOS Solução do Exercício 01 !"#$%&"'("')*+,-.-/"'0 1$#2'03 4,"56'7!-6'8$/9')($2,("'7/,2:(2';6'<"(,/=$+> 7+-?:/-2'@A-:/-2 !" !"! ## #$%%" !"#$%!&&'&&"!# ()*(+%""!# ()*(+""!# !" $"$ ## #$%%" !"!&&,&& %&'#"$ ()((+%""$# ()((+""$# ++ -.-. "$"!" ### &" ++ -()((+.-()*(+. &""# /,+""# '' ( ) ** + , " "! "$ # # ()*+,- ' ( ) * + ," ()*(+ ()((+()*+,- #" ,),,- !"#$%#&'()'*&+,)'+-.%#/)0/-1 2&'-34&'!1 2&'-34&'"1 2 2 2 2 2 53+-,6&'()'*&+,)'+-.%#/)0/-1 Prof. Wanderson S. Paris -‐ prof@cronosquality.com.br MECÂNICA DOS SÓLIDOS Solução do Exercício 01 !"#$%&"'("')*+,-.-/"'0 1$#2'03 4,"56'7!-6'8$/9')($2,("'7/,2:(2';6'<"(,/=$+> 7+-?:/-2'@A-:/-2 !" !"! ## !"#$%&'()%##*+"#$%&%##*%"#,###-## #$#%#$#%#%#" $%&# "! &&-%""!# &&-""!# !"#$%&"'($)*+&,%&$- .# .# /0)&$#,'$1*02,+$%&$- Prof. Wanderson S. Paris -‐ prof@cronosquality.com.br MECÂNICA DOS SÓLIDOS Exercício 02 Determine a intensidade e a localização da força resul-‐ tante equivalente que atua no eixo mostrado na figura. !"#$%&%'()* ! !"# $%&%'()*%# +# )*&%*,)-+-%# %# +# ./0+.)1+23/# -+# 4/'2+# '%,5.&+*&%# %65)7+.%*&%#65%#+&5+#*/#%)8/#(/,&'+-/#*+#4)95'+: +,-.)*/ 0$(12)34%2)5,'6)!7,.$7()3'$.87.)92):(7$';,#< 3#%=8'%.)>?%8'%. Prof. Wanderson S. Paris -‐ prof@cronosquality.com.br MECÂNICA DOS SÓLIDOS Solução do Exercício 02 !"#$%&"'("')*+,-.-/"'0 1$#2'03 4,"56'7!-6'8$/9')($2,("'7/,2:(2';6'<"(,/=$+> 7+-?:/-2'@A-:/-2 !" !!" #" #" $#! # $" ! " ! #$"% $%%!" ! " & & $" % & ' ( ) * $" %!" % & ' ( ) * +$" & " & !$" && "! & '$" $""! ($"""! !"#"$%&'()*+,-(,.+$)(,$"/01#('#"2 3 Prof. Wanderson S. Paris -‐ prof@cronosquality.com.br MECÂNICA DOS SÓLIDOS Solução do Exercício 02 !"#$%&"'("')*+,-.-/"'0 1$#2'03 4,"56'7!-6'8$/9')($2,("'7/,2:(2';6'<"(,/=$+> 7+-?:/-2'@A-:/-2 ! ! "# !! "! "!# # !"# $"#% & # &! ""# "### # !"# $"#% & # '! "# "## # !"# ( "# & # ( $ % & ' ( ) " # # # !"# ( # ( &"# (( $ % & ' ( ) *" ## (!"# !""# " " ## !"# ("# " ## )*!## !"#$%&'$()"*+$*,"-($*-./0%1$21.3 4 Prof. Wanderson S. Paris -‐ prof@cronosquality.com.br MECÂNICA DOS SÓLIDOS Exercício 03 !"#$%&%'()* ! !"# $%# &'(()*'%)+,-# ./0,(/123.-# &-%#! 4# 5667# 8'# ',2'# +-# ,-9-# .)# 2%'# 029)(:3&/)# .)# 2%'# ;/*'# &-%-# %-0,('# '# :/*2('<# =),)(%/+)# '# /+,)+0/.'.)#)#'#>-&'>/?'@A-#.'#:-(@'#()02>,'+,)#)B2/;'>)+,)< +,-.)/0 1$(23)45%3)6,'7)!8,.$8()4'$.98.):3);(8$'<,#= 4#%>9'%.)?@%9'%. Um carregamento distribuido p = 800 x Pa atua no topo de uma superPcie de uma viga como mostra a figura. Determine a intensidade e a localização da força resultante equivalente. Prof. Wanderson S. Paris -‐ prof@cronosquality.com.br MECÂNICA DOS SÓLIDOS Solução do Exercício 03 !"#$%&"'("')*+,-.-/"'0 1$#2'34 5,"67'8!-7'9$/:')($2,("'8/,2;(2'<7'="(,/>$+? 8+-@;/-2'AB-;/-2 !"#$%##& !!" !" $'(#& !" !" #" #$ %#& ! '(&$ ! " ! '))#* ! "$& ()%#"$& !"#"$%&'()*+,-(,.+$)(,$"/01#('#"2 34,! 5,6%,#"%7/",80"," 5,9::;<4% < Prof. Wanderson S. Paris -‐ prof@cronosquality.com.br MECÂNICA DOS SÓLIDOS Solução do Exercício 03 !"#$%&"'("')*+,-.-/"'0 1$#2'34 5,"67'8!-7'9$/:')($2,("'8/,2;(2'<7'="(,/>$+? 8+-@;/-2'AB-;/-2 ! " # $ % & '() ! " #!! $)! !"#$%&'$()"*+$*,"-($*-./0%1$21.3 4.%"*5.21-6&+.*+"*1-&7280%"3 9 Prof. Wanderson S. Paris -‐ prof@cronosquality.com.br MECÂNICA DOS SÓLIDOS Exercícios Propostos [P11] A placa mostrada na figura esta submeHda a quatro forças. Determine a força resultante equivalente e especifique sua localização (x,y) sobre a placa. !"#$%&%'()*+$(,()-() ./01*23 +$(45*67%5*8/'9*!:/1$:(*6'$1;:1*<5*=(:$'>/#) ! !"# $# %&'('# )*+,-'.'# /'# 0123-'# 4+,5 +36)4,1.'# '# 73',-*# 0*-8'+9# :4,4-)1/4# '# 0*-8'# -4+3&,'/,4# 4731;'&4/,4# 4# 4+%4(101734# +3'# &*('&1<'8=*#>!?#""#+*6-4#'#%&'('9# 6#%?;'%1*@A%;'%1 Prof. Wanderson S. Paris -‐ prof@cronosquality.com.br MECÂNICA DOS SÓLIDOS Exercícios Propostos [P12] SubsHtua as cargas atuantes na viga por um única força resultante e um momento atuante no ponto A. !"#$%&%'()*+$(,()-() ./01*23 +$(45*67%5*8/'9*!:/1$:(*6'$1;:1*<5*=(:$'>/#) ! !"# $%&'()(%*# *'# +*,-*'# *(%*.(/'# .*# 0)-*# 12,# %3*# 4.)+*# 52,6*# ,/'%7(*.(/#/#%3#323/.(2#/8%)0*7/.(/'#.2#12.(2#!9 6#%?;'%1*@A%;'%1 Prof. Wanderson S. Paris -‐ prof@cronosquality.com.br MECÂNICA DOS SÓLIDOS Exercícios Propostos [P13] SubsHtua as cargas atuantes na viga por um única força resultante. Especifique onde a força atua, tomando como referência o ponto B. !"#$%&%'()*+$(,()-() ./01*23 +$(45*67%5*8/'9*!:/1$:(*6'$1;:1*<5*=(:$'>/#) ! !"# $%&'()(%*# *'# +*,-*'# *(%*.(/'# .*# 0)-*# 12,# %3*# 4.)+*# 52,6*# ,/'%7(*.(/8#9'1/+)5):%/#2.;/#*#52,6*#*(%*<#(23*.;2#+232#,/5/,=.+)*#2# 12.(2#!8 6#%?;'%1*@A%;'%1 Prof. Wanderson S. Paris -‐ prof@cronosquality.com.br MECÂNICA DOS SÓLIDOS Exercícios Propostos [P14] O suporte de alvenaria gera a distribuição de cargas atuando nas extremidades da viga. Simplifique estas cargas a uma única força resultante e especifique sua localização em relação ao ponto O. !"#$%&%'()*+$(,()-() ./01*23 +$(45*67%5*8/'9*!:/1$:(*6'$1;:1*<5*=(:$'>/#) ! !"#$#%&'()*+#,+#-./+0-)1-#2+)-#-#,1%*)13&145(#,+#6-)2-%#-*&-0,(#0-%# +7*)+81,-,+%# ,-# /12-9# :18'.1;1<&+# +%%-%# 6-)2-%# -# &8-# =016-# ;()4-# )+%&.*-0*+#+#+%'+61;1<&+#%&-#.(6-.1>-45(#+8#)+.-45(#-(#'(0*(#!9 6#%?;'%1*@A%;'%1 Prof. Wanderson S. Paris -‐ prof@cronosquality.com.br MECÂNICA DOS SÓLIDOS Exercícios Propostos [P15] SubsHtua as cargas atuantes na viga por um única força resul-‐ tante e especifique sua localização sobre a viga em relação ao ponto O. !"#$%&%'()*+$(,()-() ./01*23 +$(45*67%5*8/'9*!:/1$:(*6'$1;:1*<5*=(:$'>/#) ! !"# $%&'()(%*# *'# +*,-*# *(%*.(/'# 01,# %2*# 3.)+*# 41,5*# ,/'%6(*.(/# /# /'0/+)4)7%/#'%*#61+*6)8*591#'1&,/#*#:)-*#/2#,/6*591#*1#01.(1#!; 6#%?;'%1*@A%;'%1 Prof. Wanderson S. Paris -‐ prof@cronosquality.com.br MECÂNICA DOS SÓLIDOS Exercícios Propostos [P16] SubsHtua as cargas atuantes na viga por um única força resul-‐ tante e especifique sua localização sobre a viga em relação ao ponto A. !"#$%&%'()*+$(,()-() ./01*23 +$(45*67%5*8/'9*!:/1$:(*6'$1;:1*<5*=(:$'>/#) ! !"# $%&'()(%*# *'# +*,-*# *(%*.(/'# 01,# %2*# 3.)+*# 41,5*# ,/'%6(*.(/# /# /'0/+)4)7%/#'%*#61+*6)8*591#'1&,/#*#:)-*#/2#,/6*591#*1#01.(1#!; 6#%?;'%1*@A%;'%1 Prof. Wanderson S. Paris -‐ prof@cronosquality.com.br MECÂNICA DOS SÓLIDOS Exercícios Propostos [P17] SubsHtua as cargas atuantes na viga por um única força resul-‐ tante e especifique sua localização sobre a viga em relação ao ponto O. !"#$%&%'()*+$(,()-() ./01*23 +$(45*67%5*8/'9*!:/1$:(*6'$1;:1*<5*=(:$'>/#) ! !"# $%&'()(%*# *'# +*,-*# *(%*.(/'# 01,# %2*# 3.)+*# 41,5*# ,/'%6(*.(/# /# /'0/+)4)7%/#'%*#61+*6)8*591#'1&,/#*#:)-*#/2#,/6*591#*1#01.(1#!; 6#%?;'%1*@A%;'%1 Prof. Wanderson S. Paris -‐ prof@cronosquality.com.br MECÂNICA DOS SÓLIDOS Exercícios Propostos [P18] SubsHtua as cargas atuantes na viga por um única força resul-‐ tante e especifique sua localização sobre a viga em relação ao ponto A. !"#$%&%'()*+$(,()-() ./01*23 +$(45*67%5*8/'9*!:/1$:(*6'$1;:1*<5*=(:$'>/#) ! !"# $%&'()(%*# *'# +*,-*# *(%*.(/'# 01,# %2*# 3.)+*# 41,5*# ,/'%6(*.(/# /# /'0/+)4)7%/#'%*#61+*6)8*591#'1&,/#*#:)-*#/2#,/6*591#*1#01.(1#!; 6#%?;'%1*@A%;'%1 Prof. Wanderson S. Paris -‐ prof@cronosquality.com.br MECÂNICA DOS SÓLIDOS Referências Bibliográficas • hHp://www.cronosquality.com/aulas/ms/index.html • Hibbeler, R. C. – Mecânica Está6ca, 10.ed. São Paulo:Pearson PrenHce Hall, 2005. • BEER, F.P. e JOHNSTON, JR., E.R. Mecânica Vetorial para Engenheiros: EstáXca, 5.o Ed., São Paulo: Makron Books, 1991. • Rodrigues, L. E. M. J. Mecânica Técnica,InsHtuto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia – São Paulo: 2009.
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