2014-2gabaap1

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Instituto de Física
UFRJ
Gabarito da AP1 de Física IA
14 de setembro de 2014
1a Q
2a Q
3a Q
4a Q
Nota
1. [2,5 pontos] A função-aceleração de uma partícula que se movimenta ao longo do eixo OX é dada
por ax = −bt2 + c, onde b e c são constantes positivas. No instante inicial, t = 0, a partícula está
na origem e com velocidade nula.
(a) [0,5 ponto] Determine as unidades do SI em que se expressam as constantes b e c.
A constante c tem unidade de aceleração, assim como o produto bt2. Ou seja:
[c] = m/s2 e [b] = m/s4
(b) [0,5 ponto] Esboce o gráfico da aceleração em função do tempo, indicando no gráfico, os
instantes inicial e aquele no qual a aceleração é nula.
O gráfico é o de uma parábola com
concavidade para baixo. Em t=0, o
valor da aceleração será ax(0) = c.
Já no instante em que a aceleração
é nula será ax(t1) = 0⇒ t1 =
√
c/b
t
ax
O
c
√
c
b
(c) [0,5 ponto] Qual a velocidade da partícula em um instante de tempo t?
A diferença de velocidade entre 2 instantes de tempo é a integral da aceleração entre esses
mesmos instantes. Ou seja
v(t)− v(0) =
∫ t
0
axdt
′ = −b
∫
0
0
t′2dt′ + c
∫ t
0
dt′ ⇒ v(t) = − b
3
t3 + ct
(d) [0,5 ponto] Em que instantes a partícula inverte o sentido de seu movimento?
Para inverter o sentido do movimento, é necessário que a velocidade da partícula seja nula:
v(t) = 0⇒ − b
3
t3 + ct = 0⇒ t0 = 0; b
3
t2 − c = 0⇒ t1 =
√
3c
b
(e) [0,5 ponto] Qual a aceleração média da partícula entre os instantes t = 1s e t = 3s?
A aceleração média entre os instantes será
〈a1→3〉 = v(3)− v(1)
3− 1 =
(−b27
3
+ 3c
)− (− b
3
+ c
)
2
⇒ 〈a1→3〉 = −13b
3
+ c
1
2. [2,5 pontos] Responda os itens desta questão justificando claramente suas respostas a partir das
Leis de Newton. Só serão consideradas respostas com justificativa.
(a) [0,5 ponto] No meio de uma discussão, Maurício e Fabrício começam a se empurrar. Eles
estão em pé, no meio da rua e observa-se que Fabrício fica parado e consegue empurrar
Maurício para trás. É correto afirmar que a força que Fabrício exerce sobre Maurício é maior
do que a que Maurício exerce sobre Fabrício?
Pela Terceira Lei de Newton, a força que um corpo exerce sobre o outro é igual a força que
outro exerce sobre um. Se Fabrício empurra Maurício é porque o primeiro exerce uma força
sobre o solo maior do que aquela que o segundo exerce sobre o solo.
(b) [0,5 ponto] Em jogos de futebol em que está chovendo, é comum os narradores afirmarem
que a bola ganha velocidade quando quica na grama molhada. Explique o por quê de não ser
possível a bola ganhar velocidade quando quica na grama e comente sobre qual motivo que
pode levar os narradores a fazer tal afirmação.
Para haver mudança na velocidade de um objeto é preciso haver uma aceleração. De acordo
com a Segunda Lei de Newton, para haver aceleração em uma direção é preciso haver uma
força atuando nessa direção. Quando a bola quica no gramado, a única força que atua na
direção do movimento horizontal da bola é a de atrito entre a grama e bola. Uma vez que
a força de atrito atua sempre no sentido contrário ao do movimento, essa força só pode
diminuir o módulo da velocidade e jamais aumentá-lo. Por outro lado, na grama molhada
o coeficiente de atrito diminui e quando a bola quica ela perde menos velocidade do que
no caso de o gramado estar seco. Por ela perder menos velocidade que o normal, há uma
impressão equivocada de que ela ganhe velocidade.
(c) [0,5 ponto] O vetor velocidade de uma partícula que descreve um movimento circular uni-
forme é constante?
O vetor velocidade da partícula aponta sempre na direção tangente à trajetória. Portanto,
apesar de ter sempre o mesmo módulo, como ele muda de direção, o vetor não é constante.
(d) [1,0 ponto] Um bloco de massa m é mantido em repouso, pressionado contra uma parede
vertical por uma força horizontal de módulo F . Sabendo que os coeficientes de atrito estático
e cinético entre o bloco e a parede são, respectivamente, µe e µc, qual o módulo da força de
atrito?
~F
~P
~N
~Fat
As forças que atuam sobre o livro são: o peso, a normal, a força que a pessoa exerce sobre o
livro e a de atrito, conforme o diagrama de forças representado na figura. Como o livro está
em repouso, a componente vertical da Segunda Lei de Newton fornece
~Fat + ~P = 0⇒ |~Fat| = mg
2
Para fazer as questões 3 e 4, considere a seguinte situação:
Um bloco de massa m desliza sobre uma superfície horizontal e atinge um plano inclinado, que
faz um ângulo θ = 30o com a direção horizontal. O bloco sobe o plano horizontal e atinge o topo
do mesmo com velocidade de módulo v1 = 2
√
g`, após percorrer todo o comprimento ` do plano.
Sabe-se que o coeficiente de atrito cinético entre o bloco e o plano inclinado vale µc =
[
1√
3
]
.
Depois de atingir o topo do plano, o bloco descreve o movimento de um projétil até atingir o solo
novamente conforme mostra a figura.
Sugestão:Só substitua os valores numéricos no final da resolução para evitar erros de cálculo.
Todas as respostas das questões 3 e 4 devem ser dadas em função somente de g e `.
X
Y
~vmax
∆~r
θ
O
~v1
~P
~Fat
~N
3. [2,5 pontos] Analisando somente a situação enquanto o bloco sobe o plano inclinado:
(a) [0,8 ponto] Faça um diagrama, indicando as forças que atuam sobre o bloco.
Atuam sobre o bloco o seu peso ~P , a normal ~N e a força de atrito ~Fat, que estão indicadas na
própria figura.
(b) [1,2 ponto] Qual o módulo da velocidade do bloco quando ele começa a subir o plano incli-
nado, na sua base?
Aplicando a Segunda Lei de Newton ao bloco, temos
~P + ~N + ~Fat = m~a
Na direção perpendicular ao plano não temos movimento, portanto
−mg cos θ +N = 0⇒ N = mg cos θ
Já na direção paralela ao plano, temos, escolhendo o sentido positivo do eixo no mesmo
sentido da velocidade
−mgsenθ − Fat = ma⇒ a = −g (senθ + µc cos θ)
onde usamos que, por ser o atrito cinético, Fat = µcN . O sinal de menos indica que a ace-
leração é contrária ao deslocamento. Como temos um movimento uniformemente acelerado
unidimensional, vale a equação de Torricelli e, com isso, podemos achar v0:
v2
1
= v2
0
+ 2a∆d⇒ v2
1
= v2
0
− 2a`⇒ v2
0
= 4g`+ 2g` (sen30o + µc cos 30
o)
Substituindo os valores para as funções trigonométricas e para µc, temos que
v0 =
√
6g`
3
(c) [0,5 ponto] Quanto tempo ele leva desde a base até o topo do plano inclinado?
Mais uma vez, usando o fato de o movimento ser uniformemente acelerado
v(t) = v0 + at⇒ t1 = v1 − v0
a
=
−2√g`+√6g`
g
⇒ t1 =
√
`
g
(
√
6− 2)
4. [2,5 pontos] Considerando agora o bloco a partir do instante em que ele atinge o topo do plano
inclinado e passa a se mover como projétil. Utilize o sistema de eixos desenhado na própria figura.
(a) [0,7 ponto] Quanto tempo o bloco demora desde o bloco perder contato com o plano inclinado
até atingir o solo?
Após abandonar o plano inclinado, o bloco descreve o movimento de projétil. Sendo assim,
a coordenada y de seu movimento será
y(t) = h+ v1senθt− gt
2
2
Quando ele atinge o solo, temos que y(t2) = 0. Além disso, usando a geometria do plano
inclinado, temos que h = `senθ.
0 =
`
2
+
√
g`t2 − gt
2
2
2
= 0⇒ gt2
2
− 2
√
g`t2 − ` = 0.
Usando a fórmula de Baskara encontramos o tempo
t2 =
2
√
g`+
√
4g`+ 4g`
2g
⇒ t2 =
√
`
g
(
1 +
√
2
)
(b) [0,8 ponto] Qual o vetor velocidade no instante em que o bloco atinge o ponto mais alto da
trajetória? Desenhe esse vetor na figura.
Quando atinge o ponto mais alto da trajetória, a componente vertical da velocidade é nula. E
na direção horizontal, a velocidade é constante.
~vmax = v1xuˆx = v1 cos θuˆx ⇒ ~vmax =
√
3g`uˆx
O vetor está desenhado na própria figura.
(c) [1,0 ponto] Qual o vetor deslocamento entre os instantes em que o bloco perde o contatocom
o plano inclinado e aquele em que atinge o solo? Desenhe esse vetor na figura.
O vetor deslocamento será ∆~r = ~r(t2)− ~r(t0). Sabendo que a posição inicial é ~r(t0) = huˆy
e que quando atinge o solo a altura é nula, temos que
∆~r = x(t2)uˆx − `
2
uˆy
A posição x(t2 é
x(t2) = v1 cos θt2 = 2
√
g`.
√
3
2
√
`
g
(
1 +
√
2
)
Portanto
∆~r = `(
√
3 +
√
6)uˆx − `
2
uˆy
O vetor está desenhado na própria figura.
4