Rendas Certas Postecipadas

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Rendas certas postecipadas
Cleia Denise Santos Ciscato
Introdução
Você sabia que as rendas são parte integrante dos financiamentos ou dos empréstimos? 
Nesta aula, estudaremos os pagamentos sucessivos que compõem uma operação financeira, e 
cujo objetivo é amortizar uma dívida.
Objetivos da aprendizagem
Ao final desta aula, você será capaz de:
 • compreender o significado do termo “rendas” e conhecer seus modelos básicos;
 • entender como calcular renda certa postecipada.
1 Rendas 
Entenda que “rendas” referem-se a valores rentabilizados com juros ou não, empregados 
sucessivamente na composição de um capital investido ou no pagamento de um capital tomado 
como empréstimo. As rendas são séries de pagamentos, também chamadas de parcelas, termos 
ou prestações. Esses pagamentos são realizados para amortizar uma dívida financeira ou finan-
ciar a aquisição de bens.
EXEMPLO
Pense em um financiamento imobiliário, em que o devedor realiza pagamentos pe-
riódicos para amortizar sua dívida. Esses pagamentos de rendas parceladas irão 
compor o total do capital financiado para a aquisição do imóvel. As prestações são 
pagas ao credor na forma de rendas, em períodos e parcelas pré-determinadas.
No caso de um investimento, quando um poupador realiza créditos periódicos de valores em 
seu banco, na modalidade “poupança”, por exemplo, está gerando rendas. Podemos entender a 
renda, portanto, como o conjunto de dois ou mais pagamentos que ocorrem em períodos distintos, 
objetivando o pagamento de uma dívida.
Figura 1 – Valor do dinheiro no tempo
Fonte: isak55 / Shutterstock.com
FIQUE ATENTO!
No Brasil, a remuneração pelo capital é muito inferior ao custo dos empréstimos. 
Ao mesmo tempo em que o sistema bancário remunera um capital a 12% ao ano, 
poderá cobrar 12% ao mês pelo uso de limite de cheque especial. Por isto, as rendas 
de aplicação somente serão interessantes se a mesma pessoa física ou jurídica 
não tiver endividamento. Confira uma matéria sobre os juros no Brasil em: <http://
epocanegocios.globo.com/Economia/noticia/2016/07/brasil-tem-maior-taxa-de-
-juro-real-do-mundo.html> .
Vejamos agora a conceituação de rendas certas!
2 Rendas certas
As rendas certas também são denominadas “séries periódicas uniformes” e referem-se às 
rendas em que os elementos de cálculo já estão previamente determinados. Tais elementos são o 
valor do capital, o percentual de juros e a quantidade de parcelas. 
EXEMPLO
Considere uma sequência de n pagamentos de valores iguais. Estamos tratando de 
uma série uniforme de pagamentos, visto que está definida a periodicidade de par-
celas, bem como os valores de cada uma dessas rendas, de acordo com o que foi 
acordado na operação de financiamento ou de aplicação financeira. Isso compõe 
uma série uniforme de pagamentos.
Figura 2 – Série uniforme de pagamentos
Taxa de Juros = i%
VP = ?
0 1 2 3 .... n - 2 n - 1 n
Tempo
PG
TO
.
PG
TO
.
PG
TO
.
PG
TO
.
PG
TO
.
PG
TO
.
Fonte: SOUZA; CLEMENTE, 2015, p. 37.
Saiba que as rendas certas estão classificadas conforme a variação dos elementos, dividin-
do-se em: postecipadas; antecipadas; e diferidas. Confira!
 • Rendas Postecipadas: são as rendas determinadas pelo pagamento feito sempre ao 
final de cada período, como, por exemplo, no caso das faturas de cartão de crédito, 
mensalidades de empréstimos ou de financiamentos.
 • Rendas Antecipadas: são as rendas em que há a obrigatoriedade de o pagamento ser 
realizado no início de cada período. Como exemplo, pense em um financiamento com 
um pagamento de entrada, sendo as prestações sucessivas realizadas em períodos 
seguintes a essa entrada.
 • Rendas Diferidas: referem-se às rendas nas quais há um prazo determinado entre o 
início da contratação do financiamento (ou da compra) e o pagamento da primeira par-
cela. Perceba que esse prazo, ou período de tempo, é diferente dos que se sucedem. É 
o caso, por exemplo, da aquisição de um bem, em que há uma carência de seis meses 
para pagamento da primeira prestação do financiamento.
FIQUE ATENTO!
Ao contratar um financiamento, verifique se ele está no padrão em que ocorre o pa-
gamento da primeira parcela antecipadamente (renda antecipada), ou se a primeira 
parcela ocorre no período seguinte à contratação (renda postecipada). Essa dife-
rença provoca uma mudança no valor final de um endividamento, sendo que o total 
de juros será menor se houver antecipação da primeira parcela, visto que ocorre a 
redução de parte do valor principal (capital) já no início do tempo total.
Agora que compreendemos o conceito de rendas certas, vamos analisar mais atentamente 
as rendas certas postecipadas.
3 Rendas certas postecipadas
Neste tópico, estudaremos especificamente as “rendas certas postecipadas”. Veja, no dia-
grama do tempo, como ocorre um fluxo financeiro de um financiamento de um bem no valor de 
R$ 10.000,00, a ser pago em quatro prestações fixas de R$ 2.787,44, sem entrada, calculadas com 
juros compostos de 4,5% a.m. Perceba que esse é um caso de renda certa postecipada, em que o 
primeiro pagamento ocorre no período seguinte à contratação do financiamento.
Figura 3 – Diagrama de um financiamento com rendas certas postecipadas
} 1.a parcela 30 dias após a compra
10.000,00
0 1 2 3 4
Meses
i = 4,5% a.m.
2.787,44 2.787,44 2.787,44 2.787,44
Fonte: elaborado pela autora, 2017.
SAIBA MAIS!
Quando não existia a facilidade de calculadoras financeiras ou planilhas eletrônicas, 
ou quando era proibido o emprego desses recursos em treinamentos para 
concursos públicos, os cálculos com séries uniformes, como no caso das rendas 
certas postecipadas, eram feitos com tabelas de séries de pagamentos, nas quais 
o valor principal era dividido por um fator para obtenção rápida do valor de PMT 
(prestação ou parcela).
Tabela 1 – Fator atual de uma série de pagamentos (tabela parcial)
I / n 1% 2% 3% 4% 5%
1 0,990099 0,980392 0,970874 0,961538 0,952381
2 1,970395 1,941561 1,913469 1,886094 1,859410
3 2,940985 2,883883 2,828611 2,775091 2,723248
4 3,091965 3,807728 3,717098 3,629895 3,545951
I / n 1% 2% 3% 4% 5%
5 4,853431 4,713459 4,579707 4,451822 4,329476
6 5,795476 5,601431 5,417191 5,242137 5,075692
7 6,728194 6,471991 6,230283 6,002054 5,786373
8 7,651678 7,325481 7,019692 6,732745 6,463213
9 8,566017 8,162237 7,786109 7,435331 7,107821
10 9,471304 8,982585 8,530203 8,110896 7,721735
11 10,367628 9,786848 9,252624 8,760477 8,306414
12 11,255077 10,575341 9,954004 9,385074 8,863251
13 12,133740 11,348374 10,634955 9,985648 9,393573
14 13,003703 12,106249 11,296073 10,563123 9,898641
15 13,865052 12,849263 11,937935 11,118387 10,379658
16 14,717874 13,577709 12,561102 11,652295 10,837769
17 15,562251 14,291872 13,166118 12,165669 11,274066
18 16,398268 14,992031 13,753513 12,659297 11,689587
Fonte: BRUNI; FAMÁ, 2009, p. 415.
Agora vamos calcular um caso de rendas certas postecipadas.
4 Cálculo de rendas certas postecipadas
Saiba que calcular as rendas certas postecipadas significa aplicar a fórmula para encontrar o 
PMT, que é a prestação, parcela ou pagamento. 
FIQUE ATENTO!
Para saber o valor de prestações ou de rendas certas postecipadas geradas em um 
financiamento, devemos utilizar a fórmula para encontrar a prestação. Vamos consi-
derar a aquisição de um bem no valor de R$ 10.000,00 que será totalmente financiado 
em 10 prestações, com pagamento da primeira prestação no período posterior à con-
tratação. Os juros compostos cobrados no financiamento serão de 1,2% a.m. Qual é o 
valor de cada prestação nesse financiamento? Aplicando a fórmula, teremos:
FIQUE ATENTO!
( )( )( ) ( )( )
( )( ) ( )( )
( )( ) ( )
( )
 ( ( ) ) ( ( ) )   ) ) ) )
 ( ( ) ) ( ( ) )   
 n 
 n 
nn)n n))n n) (n n( )n n)(n n(
10 10
VP i 1 + i VP i 1 + i ( (VP i 1 + i( ( VP i 1 + i ( (VP i 1 + i( (   VP i 1 + i   ( ( ( (VP i 1 + i( ( ( (PMT =
  1 + i – 1 ( ( 1 + i – 1( ( ) ) 1 + i – 1) )  1 + i – 1 ( ( 1 + i – 1( ( ) ) 1 + i – 1) )    1 + i – 1   ( ( ( ( 1 + i – 1( ( ( ( ) ) ) ) 1 + i – 1) ) ) ) 
n  1 + i – 1 n 
PMT = VP x  i 1+ i / 1+ i –1(PMT = VP x  i 1+ i / 1+ i –1( )PMT = VP x  i 1+ i / 1+ i –1)(PMT = VP x  i 1+ i / 1+ i –1( )PMT = VP x  i 1+ i / 1+ i –1)(PMT = VP x  i 1+ i / 1+ i –1( )PMT = VP x  i 1+ i / 1+ i –1) (PMT = VP x  i 1+ i / 1+ i –1( )PMT = VP x  i 1+ i / 1+ i –1)(PMT = VP x  i 1+ i / 1+ i –1(n nPMT = VP x  i 1+ i / 1+ i –1n n)n n)PMT = VP x  i 1+ i / 1+ i –1)n n))n n)PMT = VP x  i 1+ i / 1+ i –1)n n) (n n(PMT = VP x  i 1+ i / 1+ i –1(n n( )n n)PMT = VP x  i 1+ i / 1+ i –1)n n)(n n(PMT = VP x  i 1+ i / 1+ i –1(n n(
PMT = 10.000 x 0,012 1+ 0,012   /   1 + 0,(PMT = 10.000 x 0,012 1+ 0,012   /   1 + 0,( )PMT = 10.000 x 0,012 1+ 0,012   /   1 + 0,)(PMT = 10.000 x 0,012 1+ 0,012   /   1 + 0,( )PMT = 10.000 x 0,012 1+ 0,012   /   1 + 0,) (PMT = 10.000 x 0,012 1+ 0,012   /   1 + 0,((PMT = 10.000 x 0,012 1+ 0,012   /   1 + 0,(10PMT = 10.000 x 0,012 1+ 0,012   /   1 + 0,10PMT = 10.000 x 0,012 1+ 0,012   /   1 + 0,012 – 1)012 – 1)10012 – 110
PMT =  10.000 x 0,012 x 1,12669177   /   1,(PMT =  10.000 x 0,012 x 1,12669177   /   1,( )PMT =  10.000 x 0,012 x 1,12669177   /   1,)(PMT =  10.000 x 0,012 x 1,12669177   /   1,( )PMT =  10.000 x 0,012 x 1,12669177   /   1,) (PMT =  10.000 x 0,012 x 1,12669177   /   1,( 12669177 – 1
PMT =  10.000 x 0,01352 / 0,(PMT =  10.000 x 0,01352 / 0,( )PMT =  10.000 x 0,01352 / 0,)
(PMT = 10.000 x 0,012 1+ 0,012   /   1 + 0,(PMT = 10.000 x 0,012 1+ 0,012   /   1 + 0,
12669177
PMT = 135,20 / 0,12669177
PMT = 1.067,16
A renda certa postecipada da aquisição do bem é de R$ 1.067,16 mensal. 
É preciso considerar que o primeiro pagamento ocorre no período seguinte ao evento em 
que as rendas se originaram, visto que estamos falando de rendas postecipadas. Vamos, agora, 
realizar mais um experimento em que precisamos saber o PMT de um fi nanciamento de 100% de 
um veículo, no valor de R$ 85.000,00, parcelado em 24 meses, com juros mensais de 1,8% a.m. O 
primeiro pagamento é realizado no período seguinte à compra. Assim, aplicamos a fórmula:
PMT = VP x (( i (1+ i) n) / ((1+ i) n –1)
PMT = 85.000 x (0,01 8((1+ 0,018) 24)/ ((1 + 0,018) 24 – 1)
PMT = 85.000 x (0,018 x 1,53442855) / (1,53442855 –1)
PMT = 85.000 x (0,02761971/ 0,53442855)
PMT = 85.000 / 0,05168082
PMT = 4.392,87
A renda certa postecipada nesse fi nanciamento é, portanto, de R$ 4.392,87. 
SAIBA MAIS!
As taxas utilizadas no sistema bancário para o cálculo de rendas nos contratos 
de fi nanciamento têm suas prestações calculadas por uma taxa superior à 
taxa de juros inicialmente apresentada no negócio. Isso ocorre pela inclusão de 
outros custos fi nanceiros, como, por exemplo, a taxa de cadastro e o seguro, que 
aumentam o custo do fi nanciamento. Nesse caso, para gerar cálculo das parcelas, 
é utilizada a taxa CET ou Custo Efetivo Total. Para mais informações, acesse o site 
do Banco do Brasil: <https://www.bcb.gov.br/pre/bc_atende/port/custo.asp>.
Agora, você já conhece as rendas certas postecipadas e, além de calcular prestações, poderá 
também conferir as prestações fi xas de fi nanciamentos quando informadas por bancos, lojas ou 
outro tipo de credor.
Fechamento
Chegamos ao final de nosso conteúdo. Vimos, aqui, a conceituação de rendas e, mais especifica-
mente, de rendas certas postecipadas, as quais são comumente utilizadas nos cálculos financeiros em 
que há prestações fixas que ocorrem um período após a efetivação da aplicação ou do empréstimo.
Nesta aula, você teve oportunidade de:
 • compreender o significado do termo “rendas” e conhecer seus modelos básicos;
 • entender como calcular renda certa postecipada.
Referências
BANCO CENTRAL DO BRASIL. FAQ - Custo Efetivo Total (CET), dez. 2014. Disponível em: <https://
www.bcb.gov.br/pre/bc_atende/port/custo.asp>. Acesso em: 13 jan. 2017. 
BRUNI, Adriano Leal; FAMÁ, Rubens. Matemática Financeira com HP 12C e Excel. 5. ed. São Paulo: 
Atlas, 2009.
ÉPOCA NEGÓCIOS. Brasil tem a maior taxa de juro real do mundo, 20 jul. 2016. Disponível em: 
<http://epocanegocios.globo.com/Economia/noticia/2016/07/brasil-tem-maior-taxa-de-juro-real-
do-mundo.html>. Acesso em: 13 jan. 2017. 
PUCCINI, Abelardo. Matemática Financeira: objetiva e aplicada. 9. ed. revista e atualizada. São 
Paulo: Elsevier, 2011.
SOUZA, Alceu; CLEMENTE, Ademir. Decisões Financeiras e Análise de Investimentos. 6. ed. São 
Paulo: Atlas, 2015.