Lista1 teoria do risco

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LISTA 1
TEORIA DO RISCO
Questa˜o 1. Seja X um risco (varia´vel aleato´ria) cuja a distribuic¸a˜o e´ dada por
F (x) =
 0 , se x < 2 ,4−1x , se 2 ≤ x < 4 ,
1 se x ≥ 4 .
(1) Determine o preˆmio puro e o prˆemio exponencial para o risco acima.
(2) O que acontece com o preˆmio exponencial, nesse caso, quando a aversa˜o ao risco vai a zero?
E quando a aversa˜o ao risco vai ao infinito?
Questa˜o 2. Suponha que um segurado tenha func¸a˜o de utilidade exponencial com aversa˜o ao risco
α, e suponha que uma seguradora tenha func¸a˜o de utilidade exponencial com aversa˜o ao risco 1.
(1) Para quais valores de α ambos agentes podera˜o ter ganho de utilidade (no caso do segurado
contratar a seguradora)?
(2) Havendo a possibilidade de ganho de utilidade, determine em qual faixa de preˆmio isso ira´
ocorrer para o risco X na Questa˜o 1.
Questa˜o 3. Suponha que no modelo do risco coletivo tenhamos S =
∑N
i=1Xi, onde N tem dis-
tribuic¸a˜o de Poisson de paraˆmetro λ, e os sinistros sejam independentes com distribuic¸a˜o
F (x) =
{
3
8 max{0 , x} se x < 2
1 se x ≥ 2
(1) Calcule a func¸a˜o cumulante do risco coletivo.
(2) Supondo que a seguradora estabelec¸a uma franquia no valor de 1, calcule a func¸a˜o geradora
de momentos do novo risco coletivo.
Questa˜o 4. Uma seguradora possui uma carteira S com n = n1 +n2 seguros de vida com validade
de um ano: n1 deles tem um pagamento b1, cujo a probabilidade de morte em um ano e´ de q1,
enquanto n2 deles tem um pagamento b2, cujo a probabilidade de morte em um ano e´ de q2. Usando
aproximac¸a˜o Normal Power, determine o carregamento mı´nimo (em porcentagem sobre o premio
puro relativo a S), para que a probabilidade da seguradora cumprir com todas as suas obrigac¸o˜es
seja de (1 − α) × 100%. A resposta deve vir em func¸a˜o dos parameˆtros nk, bk, qk e dos quantis
referentes a α.
Questa˜o 5. Considere o modelo do risco individual S =
∑n
i=1Xi onde as vairia´veis Xi sa˜o inde-
pendentes.
(1) Explique como funciona a aproximac¸a˜o pela gama transladada, x0 + Γ(α, β), demonstrando
as foˆrmulas para os respectivos paraˆmetros envolvidos.
(2) Suponha que os riscos tenham a mesma distribuic¸a˜o, n = 106, EX1 = 10−2, VarX1 = 1 e
γX1 = 10
3. Determine aproximadamente o valor retido para que as chances da seguradora
cobrir todos os custos seja de 95%.
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Questa˜o 6. Suponha que no modelo do risco coletivo tenhamos S =
∑N
i=1Xi, onde N tem dis-
tribuic¸a˜o de Poisson de paraˆmetro 1, e os sinsitros sejam independentes com disctribuic¸a˜o discreta
dada por
P(X = 1) = P(X = 2) = P(X = 3) =
1
3
.
(1) Calcule a func¸a˜o geradora de momentos do risco coletivo.
(2) Suponha agora que o contrato ira´ cobrir somente os valores 2 e 3 em caso de sinistro. Como
fica o modelo do risco coletivo nesse caso? Qual seria a sua respectiva func¸a˜o geradora de
momentos?
Questa˜o 7. Seja U(t) = u+ct−S(t) um processo de excedentes onde S(t) = ∑N(t)i=1 Xi e´ um processo
de Poisson composto de taxa 1, e Xi tem distribuic¸a˜o exponencial de paraˆmetro 1. Considere a
probabilidade de ruina
φ(u) = P (∃ t > 0 : U(t) < 0) .
(1) Dado u > 0 fixo, para quais valores de c > 0 φ(u) = 1? Justifique a sua resposta.
(2) Calcule o coeficiente de ajuste R > 0 para esse processo.
(3) Mostre que E(e−RU(t)) e´ uma constante e determine o seu valor.
(4) Para c = 2, determine uma cota inferior para o capital inicial u de modo que a probabilidade
de ru´ına seja menor ou igual a 0.05.
Questa˜o 8. Considere a probabilidade de ruina ψ(u) associada ao processo de excedentes U(t) =
u+ ct− S(t), onde S(t) = ∑N(t)i=1 Xi (sob as hipotese usuais). Suponha que o coeficiente de ajuste
R > 0 esteja bem definido e assuma tambe´m que P (Xi ≤ b) = 1 para algum b > 0. Prove que
ψ(u) ≥ e−R(u+b) .
Questa˜o 9. Suponha que o processo de excedentes tenha sinistros Xi com distribuic¸a˜o dada na
questa˜o 1 (em unidades de mil reais), que sinistros ocorram a uma taxa λ = 20 por dia e que os
recursos entrem com uma taxa linear de c = 40 mil reais por dia. Qual e´ a probabilidade de que
haja no futuro a necessidade de usar a reserva inicial para cobrir o processo de excedentes? E se
c = 60 mil reais por dia?
Questa˜o 10. Suponha que o processo de excedentes tenha sinistros Xi com distribuic¸a˜o exponencial
de me´dia de 3 mil reais, que sinistros ocorram a uma taxa λ = 15 por dia e que os recursos entrem
com uma taxa linear de c = 50 mil reais por dia. Determine a reserva inicial para que a probabilidade
de ru´ına seja igual a 0, 01?