Lista Álgebra Matricial

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MAB 115 - A´lgebra Linear Algor´ıtmica Luziane F. de Mendonc¸a
Lista de Exerc´ıcios - A´lgebra Matricial
1. Sejam A, B e C matrizes. Assinale V para verdadeiro e F para falso:
( ) Se AB e BA esta˜o bem definidas, enta˜o AB e BA sa˜o matrizes quadradas.
( ) Se AB e BA esta˜o bem definidas, enta˜o A e B sa˜o matrizes quadradas.
( ) Se A e´ m× n e A(BA) esta´ bem definida, enta˜o B e´ uma matriz n×m.
( ) Se A tem uma linha de zeros e AB esta´ bem definida, enta˜o AB tambe´m tem uma linha de zeros.
( ) Se B e C teˆm duas colunas iguais, e AB e AC esta˜o bem definidas, enta˜o AB e AC tambe´m
possuem duas colunas iguais.
( ) As expresso˜es tr(ATA) e tr(AAT esta˜o sempre bem definidas.
( ) (A + B) (A−B) = A2 −B2.
( ) Se A e´ invers´ıvel e AB = 0, enta˜o B = 0.
2. Encontre a expressa˜o da matriz X que satisfaz a equac¸a˜o:
(a) tr(B)A + 3X = BC (b) B + (A + X)T = C
(c) tr(2C)C + 2X = B (d) B + (tr(A)X)
T
= C
3. Seja A =
(
3 1
5 2
)
. Encontre A−2 e p(A), onde p(x) = 3x− 1.
4. Considere A, B, C e D matrizes com o mesmo tamanho. Simplifique a expressa˜o:
(a) (AB)−1(AC)−1(D−1C−1)−1D−1
(b) A
(
A−1 + B−1
)−1
B (A + B)
−1
5. Sejam u, v vetores no Rn, e seja A = I = uvT . Mostre que se uT v 6= −1, enta˜o A e´ invers´ıvel e
A−1 = I − 1
1 + uT v
uvT
6. Mostre que e´ imposs´ıvel ter AB −BA = I, sendo A, B matrizes quadradas e I a matriz identidade de
mesma ordem.