Lista Autovalores e autovetores

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MAB 115 - A´lgebra Linear Algor´ıtmica Luziane F. de Mendonc¸a
Lista de Exerc´ıcios - Autovalores e autovetores, Me´todo da
Poteˆncia
1. Considere as matrizes
A =
[ −2 4
3 2
]
e W =
 4 −5 −52/5 1 −1
6/5 −3 −1

Para cada matriz:
(a) Encontre a equac¸a˜o caracter´ıstica da matriz.
(b) Calcule seus autovalores e e suas multiplicidades alge´bricas.
(c) Encontre os autovetores das matrizes.
(d) Encontre o autoespac¸o da matriz e o descreva geometricamente.
(e) De posse das informac¸o˜es dos itens anteriores, calcule os autovetores e autovalores de A25 e W 9.
2. Mostre que se λ e´ um autovalor da matriz A e x e´ o correspondente autovetor, enta˜o:
λ =
〈Ax, x〉
‖x‖2
3. Assinale V para verdadeiro e F para falso:
( ) Os autovalores de A sa˜o os mesmos autovalores da forma escalonada reduzida de A.
( ) Se autovetores correspondentes a autovalores distintos sa˜o somados, enta˜o o vetor resultante na˜o
e´ autovetor de A.
( ) Se o polinoˆmio caracter´ıstico de A e´ p(λ) = λn + 1, enta˜o A e´ invers´ıvel.
4. Prove que se λ e autovalor e x e´ o correspondente autovetor de A, enta˜o λ − s e´ autovalor de A − sI
para qualquer escalar s (com o mesmo autovetor x).
5. A partir de x0 = (0; 1)
T , aplique o me´todo das poteˆncias normalizado para obter o valor aproximado
do autovalor dominante.
A =
[
5 −1
−1 −1
]
6. Considere a matriz sime´trica A =
[
0 1
1 0
]
. Discuta o comportamento da sequeˆncia de poteˆncias
x0, x1, . . . normalizados de forma Euclidiana.
7. Prove que se A e´ uma matriz quadrada na˜o nula, enta˜o ATA e AAT possuem autovalores dominantes
positivos.