Juros e Descontos Simples

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Introdução
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Se alguém lhe pedisse R$ 10.000,00 para pagar os
mesmos R$ 10.000,00 daqui a um ano o que você
acharia?
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 Será que ele vai me pagar?
 Será que o poder de compra daqui a um ano será o mesmo?
 Se eu permanecesse com os R$ 10.000,00 poderia colocar na 
poupança e ter rendimentos!!! 
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 Risco de Crédito
 Inflação
 Juros 
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O valor do dinheiro não é o mesmo no tempo!!!!
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 Em Matemática Financeira NUNCA utilize valores em datas 
diferentes!!!!
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A matemática financeira, ou matemática das finanças, pode ser
conceituada como uma ciência que se preocupa em analisar os
fenômenos econômico-financeiros à luz dos métodos quantitativos ou
mensuráveis, convergindo essa análise para o fornecimento de modelos e
processos eficientes na solução de problemas relacionados à tomada de
decisão de ordem pessoal, empresarial e governamental (FERREIRA,
2010).
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Calculadora HP 12c
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 Criada em 1981, a HP 12 C é a calculadora mais antiga e mais 
bem vendida de toda a história da HP.
 Duas de suas características principais são :
▪ A lógica RPN
▪ A pilha de operadores
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 A soma dos números 4 e 5 pode ser feita em uma operação algébrica da seguinte 
forma :
Lógica algébrica : 4 + 5 = Resp : 9
 Na lógica RPN, os operandos (os números) devem vir primeiro e os operadores (os 
sinais) depois
 Não é necessário o sinal de igualdade (=)
 Para separar os números usa-se a tecla ENTER
Lógica RPN : 4 ENTER 5 + Resp : 9
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Registradores da
HP 12C
Last X
Outros T
registradores Z
Y
Visor X
Além do número exposto 
no visor,
a HP 12C possui um pilha 
de registradores
que facilita as operações.
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 Com o auxílio da HP12C calcule :
▪ 45 + 53
▪ (45 + 4) x 2
▪ 80 / (15 +5)
Resposta
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Limpa o registrador X
Troca X porY
Rola a pilha para baixo
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Azuis 
Amarelas 
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Apenas teclas amarelas
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 Limpa a memória da calculadora
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Apenas teclas azuis
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 Calcula o logaritmo neperiano
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[n] : Abastece ou calcula o número de períodos
[i] : Abastece ou calcula a taxa de juros
[PV] : Abastece ou calcula
o Valor Presente
[PMT] : Abastece ou calcula a Prestação
[FV] : Abastece ou calcula o Valor Futuro
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Ocorre quando se tenta calcular um
fluxo de caixa irregular, cuja TIR seja
entre 0% e 0,5%
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 Façam o seguinte teste (conforme indicado pela HP): 
218720 [CHS] [g] [CFo]; 
0 [g] [CFj]; 
16 [g] [Nj]; 
28000 [g] [CFj]; 
0 [g] [CFj]; 10 [g] [Nj]; 
65000 [g] [CFj]; 
0 [g] [CFj]; 
5 [g] [Nj]; 
47000 [g] [CFj]; 
0 [g] [CFj]; 
18 [g] [Nj]; 
88000 [g] [CFj]; 
[f] [IRR]. 
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Resultado Correto = 0,111049848
Resultado incorreto de 1,191000 -10 
(pela HP-12C Platinum)
Juros Simples
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 Juro é a remuneração de um capital empregado.
 Montante é a soma do capital empregado (principal) em um determinado período 
de tempo e a sua remuneração (juros).
Montante = Capital + Juros
 Logo, 
Juros = Montante –Capital 
 Os juros decorrentes do emprego de um capital podem 
ser obtidos pelo produto entre a taxa de juros e esse 
capital:
Juros = Capital x Taxa
 Igualando das duas expressões, têm-se uma relação entre 
montante e o capital em um determinado período:
Montante –Capital = Capital x Taxa
Montante = Capital(1+Taxa)
FV= PV x (1 + i)
Onde: 
FV – Montante (Valor Futuro)
PV – Capital (Valor Presente)
i – Taxa de juros
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Capitalização 
Juros Compostos Juros Simples 
Não Capitalização 
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• Ano 1: 5% de $ 100 = $ 5 + $ 100 = $ 105
• Ano 2: 5% de $ 100 = $ 5 + $ 105 = $ 110
• Ano 3: 5% de $ 100 = $ 5 + $ 110 = $ 115
• Ano 4: 5% de $ 100 = $ 5 + $ 115 = $ 120
• Ano 5: 5% de $ 100 = $ 5 + $ 120 = $ 125
No caso de juros simples, não se recebem juros sobre juros.
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 Neste regime de capitalização:
▪ Os juros do período são calculados sempre sobre o mesmo capital.
▪ O capital cresce a uma taxa linear.
▪ A taxa de juros pode ser convertida com base em multiplicações e 
divisões (taxa proporcional). 
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niPVJ =
Número de períodos
Taxa de juros
Valor presente
Total dos juros
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Importante
Taxa (i)
e 
Número de Períodos (n)
devem estar sempre na 
mesma base !!
Sugestão :
altere sempre n e evite alterar i
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Se for aplicado o capital de R$ 10.000 à taxa simples de 8% 
a.a. durante 5 anos, qual o valor dos juros auferidos?
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Juro comercial ou ordinário
Ano comercial
Juro exato
Ano civil
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(AFTN) A quantia de R$ 10.000,00 foi aplicada a juros simples exatos do dia 12 de abril ao 
dia 5 de setembro do corrente ano. Calcule os juros obtidos, à taxa de 18% ao ano, 
desprezando os centavos:
a) R$ 705,00
b) R$ 720,00
c) R$ 725,00
d) R$ 715,00
e) R$ 735,00
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Montante ou valor de resgate de uma aplicação é o capital
inicialmente investido (principal) acrescido da sua
remuneração no período (juros ganhos)
FV = PV + juros
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 O montante ou valor futuro pode ser definido como :
niPVPVFV +=
➢ Ou, colocando em evidência :
( )niPVFV += 1
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( )niPVFV += 1
( )ni
FV
PV
+
=
1
n
PV
FV
i






−
=
1
i
PV
FV
n






−
=
1
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Qual o valor a ser resgatado de um capital de R$ 10.000
aplicado por à taxa simples de 2,5% a.m. por um prazo de 3
semestres?
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$100,00
Valor Presente
n
10 2 3
$5,00 $5,00 $5,00
$115,00
Valor Futuro
$15,00
Juros
$100,00
Valor Presente
Incidência de Juros
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 Valor uniforme dos juros periódicos
 Valor futuro cresce linearmente
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 Juros de inadimplência 
▪ Um empréstimo de $ 100.000 vencido em 02/08 foi pago com atraso em 
16/08. A taxa de juros por inadimplência cobrada pela instituição financeira era 
de 10% a.m. Determine os juros devidos e o valor total pago.
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 Saldo Devedor
▪ Determinado cliente esteve com saldo negativo em sua conta bancária no mês 
passado até o dia 26, conforme apresentado abaixo:
▪ de 01 a 11 → - R$ 13.000
▪ de 12 a 16 → - R$ 18.300
▪ de 17 a 26 → - R$ 5.700
▪ de 27 a 31 → + R$ 3.000
▪ A taxa de utilização do cheque especial cobrada pela instituição financeira era 
de 12% a.m. Determine o valor dos juros pagos pelo cliente.
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 Esse método utiliza o critério de juros simples e se constitui 
numa forma simplificada de cálculo dos juros nos casos em 
que se tem uma única taxa remunerando dois ou mais 
capitais, aplicados por dois ou mais prazos diferentes.
 Saldo devedor
▪ o cliente pode sacar a descoberto até certo limite fixado em 
contrato;
▪ os juros incidentes sobre os saldos devedores podem ser debitados 
mensal, trimestral ou semestralmente na conta do cliente; no caso 
do cheque especial o valor dos juros é debitado mensalmente.
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 Exemplo
▪ No exemplo a seguir vamos demonstrar como os juros são 
calculados mensalmente e debitados no início do mês seguinte.
▪ Calcular o valor dos juros incidentes sobre os saldos devedores de um 
cliente durante o mês de abril, à razão de 4% ao mês, de acordo com 
dados contidos na tabela a seguir.
Desconto Simples
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Denominação dada a um abatimento que ocorre quando um título de 
crédito é resgatado antes de seu vencimento.
D = N –A
Onde:
D = Desconto
N = Valor Nominal
A = Valor Atual (líquido pago)
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 Documento representativo de um direito de crédito
 Documento necessário ao exercício de um direito literal e 
autónomo que nele se contém
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➢ CHEQUE
➢ É uma ordem de pagamento à vista, sacada em favor do próprio emitente ou de terceiro.
➢ SACADOR: QUEM EMITE (O CORRENTISTA)
➢ SACADO: O BANCO
➢ TOMADOR: O BENEFICIÁRIO
➢ NOTA PROMISSÓRIA
➢ É uma promessa de pagamento. Esse título de crédito constitui compromisso escrito e solene pelo qual alguém se obriga 
a pagar a outrem certa soma em dinheiro.
➢ Sendo promessa de pagamento a nota promissória envolve apenas dois personagens cambiários:
➢ SACADOR: QUEM EMITE (O DEVEDOR)
➢ TOMADOR: O BENEFICIÁRIO (O CREDOR)
➢ NÃO EXISTE A FIGURA DO SACADO
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➢ LETRA DE CÂMBIO
➢ É uma ordem de pagamento à vista ou a prazo e é criada através do ato chamado de saque.
➢ O sacador dirige-se ao sacado com o objetivo de que este pague a importância nela consignada a um terceiro chamado 
tomador.
➢ SACADOR: QUEM EMITE
➢ SACADO: QUEM DEVE PAGAR
➢ TOMADOR: O BENEFICIÁRIO
➢ DUPLICATA
➢ É o título de crédito emitido com fundamento em obrigação proveniente de compra e venda comercial ou prestação de 
serviços.
➢ SACADOR: O VENDEDOR DA MERCADORIA OU PRESTADOR DO SERVIÇO
➢ SACADO: O COMPRADOR
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A nota promissória é diferente da letra de câmbio,
fundamentalmente, no seguinte aspecto: a nota promissória é
promessa de pagamento, enquanto a letra de câmbio é ordem
de pagamento.
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 Devedor efetuar um pagamento antes do dia 
predeterminado;
 Credor necessitar de dinheiro antes da data predeterminada 
(venda do título para terceiros).
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 Pagar no futuro, receber a vista
0 n
Descontar
Retirar os juros
Valor nominal
Valor líquido
(-) Desconto
Preciso do dinheiro hoje!!!
Sinônimos
Valor nominal
Valor futuro
Valor líquido
Valor presente
Desconto
Juros
Desconto
Desconto Simples Desconto Composto
RacionalComercial Comercial Racional
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Juro calculado sobre o valor nominal
dc = N x i x n
Onde:
d = desconto comercial
N ou FV= valor nominal
n = tempo
i = taxa de desconto
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A = N – d
Substituindo d:
A = N – N x i x n
Logo:
A = N(1 – i x n) 
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 O banco Money & Papers tem por política operacional atuar com a taxa de 5% a.m. (juros simples), para 
operações financeiras de descontos, envolvendo a aquisição de direitos e utiliza a mesma taxa mensal, mas a 
juros compostos, para outras operações. A empresa comercial de sapatos e botas apresenta ao banco para 
desconto, o seguinte fluxo de duplicaras a receber:
Prazo de Venc. Valor do Título
30 dias R$ 5.000.000
60 dias R$ 3.000.000
90 dias R$ 2.000.000
Considerando aceitação total do fluxo financeiro, o valor dos juros cobrados pelo banco será de? 
d = 850.000
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Em certa data, uma empresa desconta em um banco os seguintes títulos:
Título A: Valor nominal de R$ 10.000,00, descontado 60 dias antes de seu vencimento.
Título B: Valor nominal de R$ 15.000,00, descontado 90 dias antes de seu vencimento e com a mesma taxa de 
desconto comercial simples usada para o título A.
Sabendo-se que a soma dos valores recebidos pela empresa através destas duas operações foi de R$ 23.050,00, 
tem-se que a taxa de desconto comercial simples utilizada pelo banco, ao ano foi de:
i = 36%
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M = C(1 + if x n)
Sabendo que:
C = A e M = N
Tem-se: 
N = A (1 + if x n)
If = N –A
A x n
Como:
N –A = d
if = d
A x n
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 (ICMS-BA) Uma empresa desconta em um banco dois títulos, na data de hoje, recebendo um total de R$ 
13.110,00. Sabe-se que o primeiro desses títulos foi descontado 3 meses antes de seu vencimento e o 
segundo, 6 meses antes. A taxa de desconto comercial simples utilizada pelo banco foi de 36% ao ano e o 
valor do desconto, correspondente ao primeiro título, foi de R$ 810,00. Então, o valor nominal do 
segundo título é:
a) R$ 10.000,00
b) R$ 9.000,00
c) R$ 8.000,00
d) R$ 7.500,00
e) R$ 6.000,00
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 (CVM) Determinado título é descontado 6 meses antes de seu vencimento à taxa de desconto comercial 
simples de 6% ao mês. A taxa efetiva semestral correspondente a esta operação é de:
a) 56,25%
b) 42,50%
c) 36%
d) 32%
e) 24%
 (CEF/Gerente Júnior) Determinado banco realiza operações de desconto utilizando a taxa de desconto simples 
de 2,8% a.m. A taxa efetiva de desconto utilizando a taxa de desconto simples de 2,8% a.m. A taxa efetiva 
mensal cobrada numa operação com prazo de 45 dias é de, aproximadamente:
a) 4,05%
b) 3,80%
c) 2,90%
d) 2,88%
e) 2,69%
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Antecipação de Recebíveis
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Determinada empresa realiza vendas a prazo com 
recebimento para 60 dias. Mas, está avaliando um pedido 
de seu principal cliente, que deseja desconto de 3% para 
pagamento em 30 dias. Ou seja, em uma compra de $ 
100.000, pagará $ 97.000.
a) Considerando o custo para desconto de títulos da empresa 
de 2% a.m., qual decisão ela deve tomar?
b) E se o pagamento for à vista?
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Juro calculado sobre o valor atual
dr = Ar x i x n
Onde:
dr = desconto racional
Ar = valor atual ou valor descontado racional
n = tempo
i = taxa de desconto
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Ar = N – dr
Substituindo Ar:
dr = (N – dr) x i x n
Logo:
dr = N x i x n
1 + i x n 
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Ar = N – dr
Substituindo dr:
Ar = N – N x i x n 
1 + i x n 
Logo:
Ar = N
1 + i x n 
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dr = N x i x n
1 + i x n
dc = N x i x n
Substituindo:
dc = dr (1 + i x n)
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 Valor futuro
▪ Montante
▪ Valor de face
▪ Valor do título
▪ Valor nominal
 Valor presente
▪ Capital inicial
▪ Valor líquido
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 Borderô = conjunto de títulos
Título Valor Prazo
203A $500,0030 dias
305F $600,00 45 dias
440E $400,00 60 dias
0 30 45 60
Soma $1.500,00
n
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 Título ValorPrazo
 203A $500,00 30 dias
 305F $600,00 45 dias
 440E $400,00 60 dias
Soma $1.500,00
Prazo médio =
500 x 30 + 600 x 45 + 400 x 60 =
500 + 600 + 400
= 44 dias 
44 dias
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0 30 45 60
0 44
Simplificando …
VP = VF (1-id.n)
VP = 1500 (1-0,05.44/30)
VP = $1.390,00
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Em determinada data um banco creditou o valor líquido de $ 23.600 na conta de um 
cliente, após efetuar a seguinte operação de desconto no borderô de duplicatas:
Calcule o prazo médio e a taxa de desconto.Título Valor Nominal Prazo de Antecipação
A $ 5.000 50 dias
B $ 9.000 70 dias
C $ 8.000 82 dias
D $ 4.000 60 dias
Total $ 26.000
Amanda Albuquerque Assunção
amandabaa@gmail.com