AS PRÁTICAS DE MODELAGEM MATEMÁTICA EM

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AS PRÁTICAS DE MODELAGEM MATEMÁTICA EM 
SALA DE AULA: REFLEXÕES A PARTIR DE QUATRO 
SITUAÇÕES 
 
Marilaine de Fraga Sant’Ana 
UFRGS – Universidade Federal do Rio Grande do Sul 
marilaine@mat.ufrgs.br 
 
Resumo 
Discorro no texto sobre as práticas de Modelagem Matemática em sala de aula, apoiada na 
definição de modelagem como ambiente de aprendizagem. Descrevo brevemente quatro 
experiências realizadas em momentos distintos, analisando o ambiente criado, a postura de 
professores e alunos e o caráter das discussões ocorridas. Ao final, teço algumas considerações 
sobre estes aspectos, evidenciando os riscos e desafios que a Modelagem Matemática 
proporciona a professores e alunos. 
 
Palavras-chave: Modelagem Matemática, ambientes de aprendizagem. 
 
1. Introdução 
Neste trabalho, tomo como ponto de partida a definição de Modelagem 
Matemática apresentada por Barbosa (2001), como “um ambiente de aprendizagem no 
qual os alunos são convidados a investigar, por meio da Matemática, situações com 
referência na realidade”, entendendo por ambiente de aprendizagem, todas as condições 
de aprendizagem disponibilizadas aos alunos, incluindo: ambiente físico, recursos, 
propostas metodológicas, etc, de acordo com Skovsmose (2000). 
Barbosa (2001) também apresenta um quadro sobre a divisão de tarefas em 
Modelagem Matemática (tabela 1). Segundo o autor, as atribuições do professor podem 
variar desde a elaboração da situação a ser abordada, com coleta e simplificação dos 
dados necessários, como no caso 1, até o papel de orientador do processo, 
compartilhando todas as tarefas com os alunos, como no caso 3. 
Tabela 1: O aluno e o professor na Modelagem Matemática 
 Caso 1 Caso 2 Caso 3 
Elaboração da 
situação-problema 
Professor Professor Professor / Aluno 
Simplificação Professor Professor / Aluno Professor / Aluno 
Dados qualitativos e 
quantitativos 
Professor Professor / Aluno Professor / Aluno 
Resolução Professor / Aluno Professor / Aluno Professor / Aluno 
 
Fonte: BARBOSA, 2001, página 9. 
 
2 
Com um primeiro olhar ingênuo, o caso 3 pode parecer mais fácil para o 
professor, pois suas responsabilidades parecem menores. Mas, um segundo olhar 
permeado por algumas reflexões sugere justamente o contrário. O professor, ao delegar 
poderes aos alunos, se coloca em uma posição arriscada, uma vez que lida com o 
imprevisto. Quanto mais as tarefas são compartilhadas, mais o professor tem que 
avaliar, ponderar e estudar, correndo sempre o risco de se deparar com conhecimentos 
novos. 
Esse risco não é exclusivo da Modelagem Matemática. Segundo Skovsmose 
(2000), o risco faz parte de ambientes de aprendizagem pautados pelo paradigma dos 
cenários para investigação, que se difere do paradigma do exercício por atribuir aos 
alunos a responsabilidade pelo processo. Segundo o autor “qualquer cenário para 
investigação coloca desafios para o professor. A solução não é voltar para a zona de 
conforto do paradigma do exercício, mas ser hábil para atuar no novo 
ambiente”(SKOVSMOSE, 2000, página 18). Essa habilidade permeia o debate acerca 
de práticas educacionais, uma vez que a iniciativa de uma ou outra prática é vinculada à 
disposição do professor para propô-la. 
O trabalho aborda alguns exemplos de práticas de Modelagem Matemática 
realizadas anteriormente e, ao final de cada relato, são tecidas observações sobre a 
prática, destacando especificidades do ambiente de aprendizagem, postura e a natureza 
das discussões ocorridas entre professores e alunos, como em Barbosa (2007). 
 
2. Modelagem Matemática em ação 
Apresento resumidamente duas práticas de modelagem do caso 2, uma prática de 
caso 3 e ainda uma prática que considero como um caso 2 “especial”, pois se tratou de 
uma proposta que iniciou em uma disciplina da Licenciatura em Matemática e foi 
estendida a alunos do Ensino Médio. 
 
2.1. Caso 2: o professor escolhe o tema 
No segundo caso, o tema é escolhido previamente pelo professor e as demais 
tarefas são compartilhadas com os alunos. Por um lado, ao ter o poder da escolha do 
tema, o professor pode se proteger de um tema desconhecido ou difícil, ou seja, controla 
uma variável importante, se mantendo, de acordo com Skovsmose (2000), na “zona de 
 
3 
conforto”, por outro lado, corre o risco de escolher um tema que não desperte a atenção 
do aluno, o que pode comprometer o aceite do “convite” para a Modelagem. Mas, 
observo que, embora o tema seja escolhido previamente, nem tudo é previsível para o 
professor e o encaminhamento dos alunos pode reservar muitas surpresas. 
 
2.2.1. Uma prática com calouros da Licenciatura em Matemática 
O tema “área da superfície corporal” foi proposto em uma turma do primeiro 
semestre de Licenciatura em Matemática, da Universidade Federal do Rio Grande do 
Sul, com 51 alunos, relatado em Sant’Ana e Sant’Ana (2007). O tema é muito simples, 
a área da superfície corporal de uma pessoa, já explorado por Baccon e Arruda (2004) e 
Basso (2007) e também ilustra o envolvimento de professores com a Modelagem 
Matemática em Almeida e Dias (2007). 
O objetivo da proposta, prevista e realizada em uma aula, foi estabelecer 
estratégias para o cálculo da área da superfície corporal, ou área de pele, de uma pessoa. 
Na experiência, o tema foi proposto a partir das perguntas: “qual é a quantidade de pele 
que o colega ‘X’ tem?” “Qual é a área da superfície corporal deste colega?”. 
Como primeiro passo, pedimos aos alunos que escolhessem um componente em 
seu grupo. Após, foram convidados a determinarem uma estratégia para calcular, em 
metros quadrados, a área da superfície corporal do aluno escolhido. O material 
disponível na sala para a realização desta atividade era barbante não elástico e réguas de 
20 e de 30 centímetros. Cada grupo registrou a sua estratégia para a realização da 
atividade, os dados utilizados, descrevendo os procedimentos realizados para o cálculo 
da superfície corporal do colega escolhido. Ao final, aconteceu a socialização do 
trabalho. 
Os alunos utilizaram cilindros ou troncos de cone para aproximarem as partes do 
corpo. Em todos os grupos, a figura do corpo humano foi planificada. Na tabela 2, 
mostramos os valores, em metros quadrados, encontrados em cada grupo, para a área da 
superfície corporal do componente escolhido, bem como os valores de validação 
calculados a partir de fórmulas obtidas na literatura. 
 
 
 
 
4 
Tabela 1: Área da superfície corporal 
 
Área (m2) 
Modelagem 
do grupo 
Área (m2) 
Para crianças 
de 3 a 30 kg 
Área (m2) 
Fórmula dos 
fisiologistas 
Área (m2) 
Fórmula de 
Mosteller 
Grupo 1: aluno 30 1,9856 2,7333... 2,0081 1,9638 
Grupo 2: aluno 46 1,7216 2,2 1,7231 1,711 
Grupo 3: aluno 12 2,8532 3,23 2,25 2,2 
Grupo 4: aluno 35 1,2643 2,1333... 1,6858 1,73 
Grupo 5: aluna 34 1,5973 1,966 1,5908 1,6115 
Grupo 6: aluno 49 2,22 2,73 2 1,92 
Grupo 7: aluno 17 1,77 2,13 1,6858 1,6782 
Grupo 8: aluna 39 1,5916 2,13 1,68 1,7 
 
 “Fórmula para crianças de 3 a 30 Kg” é 
30
4+
=
mA (MINISTÉRIO DA 
EDUCAÇÃO – PORTUGAL, 2007). 
“Fórmula dos fisiologistas” é 3 2)11,0( mA = (AGUIAR e outros, 1988). 
“Fórmula de Mosteller”, é 
60
hm
A = (MOSTELLER, 1987) 
Nessas fórmulas, a letra A representa a área de pele, em metros quadrados, e a 
letra m a massa corporal, em quilogramas. 
 
Observações sobre a prática 
Além de ser a primeira experiência com Modelagem Matemática de quase todos 
os alunos que compunham a turma, essa prática foi como uma recepção, pois ocorreu na 
sua primeira semana de aula na UFRGS. Praticamente todos relataram sua satisfação em 
participar da atividade, destacando o caráter integrador da mesma, transparecendo uma 
impressão positiva acerca da Modelagem Matemática, 
As discussõesentre os membros dos grupos variaram entre técnicas e 
matemáticas, se referindo às aproximações do corpo humano através de sólidos 
 
5 
geométricos, aproximações nas medidas e precisão utilizada pelas calculadoras. Os 
professores não tinham pretensões prévias além desse ponto. Porém, uma aluna 
desencadeou uma discussão reflexiva ao informar que alguns planos de saúde utilizam 
como método de cálculo para a superfície corporal uma fórmula válida, de acordo com a 
literatura consultada, somente para crianças até 30 quilos. Tal fórmula apresentou, na 
prática, resultados muito distantes daqueles calculados pelos grupos, bem como 
daqueles obtidos pelas demais fórmulas. Essa observação levou a turma a uma 
importante discussão acerca dos interesses que levam tais planos de saúde a utilizarem 
uma fórmula tão imprecisa. 
Observo que, a discussão reflexiva foi desencadeada pelos conhecimentos 
informais de uma aluna, tradicionalmente não considerados no ensino formal. Os 
professores, ao admitirem a inclusão deste conhecimento informal, abriram a 
possibilidade de comunicação entre a Matemática escolar e o cotidiano, e os alunos, por 
sua vez, perceberam o quanto sua participação pode ser fundamental para o 
enriquecimento das discussões em sala de aula. Detectamos que esse episódio 
contribuiu para que os alunos dessa turma assumissem uma postura mais ativa e 
participativa ao longo de toda a disciplina de Fundamentos de Matemática I. 
 
2.2.2. Experiência com alunos de Cálculo 
Essa experiência foi desenvolvida em 2003 com alunos de Cálculo I da ULBRA, 
Universidade Luterana do Brasil, e publicado com maiores detalhes no Capítulo 9 do 
livro “Modelagem Matemática na Educação Matemática Brasileira: pesquisas e práticas 
educacionais” (Sant’Ana, 2007 b). 
Na ocasião, iniciava minha prática com Modelagem Matemática, tomando por 
base a obra de Bassanesi (2002). Procurava centrar o trabalho, na explicação através da 
Matemática, de experimentos simples que poderiam ser realizados em sala de aula, 
continuando o trabalho iniciado em Sant’Ana et al (2002) e Sant’Ana (2004). 
A prática parte de um experimento simples: o escoamento de água por um 
orifício em uma garrafa plástica. O material utilizado para a experiência foi: uma 
garrafa plástica de refrigerante de dois litros (reta), uma régua de vinte centímetros, fita 
adesiva transparente, prego ou alfinete e um recipiente para depositar a água após o 
escoamento. 
 
6 
Furamos a lateral da garrafa próximo à base com o prego ou alfinete, neste caso 
específico, usamos um alfinete, e fixamos a régua com a fita adesiva verticalmente na 
garrafa, localizando o furo no nível zero, como é possível ver na figura 1. 
 Figura 1: Régua fixa na garrafa 
Enchemos a garrafa com água até o nível de vinte centímetros, marcado pela 
régua, fechando o orifício. Em seguida, abrimos o orifício e cronometramos a saída da 
água até 41 minutos, registrando a altura a cada minuto em uma tabela e representando 
os pontos em um gráfico (figura 2) construído com o auxílio do software Maple. 
 
 Figura 2: Representação gráfica dos dados da altura da água (cm)por tempo (min) 
 Procurando uma função capaz de expressar a altura pelo tempo, convencionamos 
que o domínio seria ),0[ ∞ , com base no argumento de um dos alunos: “Mesmo que não 
pudéssemos continuar observando, o processo poderia continuar ocorrendo por muito 
tempo”. 
Após a criação, validação e descarte de alguns modelos, os alunos escolheram 6 
dos dados coletados e optaram pela construção de uma função polinomial de grau 5 que 
descrevesse a situação. Os dados escolhidos estão dispostos na tabela 3. 
 
 
7 
Tabela 3: Dados usados na construção da função polinomial de quinto grau 
Tempo t 
(minutos) 
0 8 16 24 32 40 
Altura h 
(centímetros) 
20 13,3 8,3 4,6 2,2 1,1 
 
De forma muito simples, os alunos tomaram 
ftetdtctbtath +++++= 2345)( , substituíram t e h pelos dados e encontraram os 
coeficientes a , b , c , d , e e f , resolvendo um sistema linear com o auxílio do 
software Maple. A função polinomial encontrada foi: 
 
345 1670005533854,031250000122070,02526040000001017,0)( tttth −+−= 
 
O gráfico da função polinomial, considerando o tempo entre 0 e 42 minutos, foi 
construído usando o software Maple e está representado na figura 3. 
 
 
Figura 3: Gráfico da função polinomial de quinto grau 
 
Neste momento, chamei atenção quanto a escolha do domínio da função, feita 
durante as observações, ou seja, optamos por utilizar ),0[ ∞ como domínio, logo não 
bastava uma boa aproximação entre 0 e 41 minutos, era necessário verificar o 
comportamento da função depois de 41 minutos. 
 Os alunos resolveram então modificar o intervalo de tempo na construção do 
gráfico, aumentando para 0 a 80 minutos, obtendo o resultado expresso na figura 4. 
 
209829166667,0021875,0 2 +−+ tt
 
8 
 
Figura 4: Gráfico do polinômio de quinto grau para tempo entre 0 e 80 minutos 
Constatando que esta função não representaria bem a situação após 41 minutos, 
foi feita a opção por considerar uma função de duas sentenças, considerando a função 
polinomial de quinto grau obtida a partir dos dados da tabela 3, quando o tempo varia 
entre 0 e 40 minutos e a constante 1,1 quando o tempo supera 40 minutos, uma vez 
observado que a altura da água permanece em 1,1 cm por muito tempo após decorridos 
os 41 minutos da observação. Assim a expressão da função passa a ser 
 
345 1670005533854,031250000122070,02526040000001017,0)( tttth −+−= 
 401,1 >tpara 
Construímos o gráfico desta função usando o software Maple, considerando o 
tempo entre 0 e 80 minutos, como mostra a figura 5. 
 
Figura 5: Gráfico da função h(t) 
O modelo foi considerado pelo grupo como satisfatório, uma vez que, foi possível 
obter, simultaneamente, uma diferença média satisfatória em relação aos dados 
coletados e formato do gráfico da função de acordo com o esperado, porém observo que 
poderíamos obter muitos outros modelos diferentes, com maior ou menor precisão, sem 
que um invalide o outro. 
 
 
400209829166667,0021875,0 2 ≤≤+−+ tparatt
 
9 
Observações sobre a prática 
Essa prática foi muito importante para minha formação de professora 
modeladora especialmente por promover uma avaliação de minhas atitudes na condução 
da modelagem. Reconheci como é difícil mudar o foco do ensino de Matemática do 
professor para o aluno, como é difícil abandonar a “zona de conforto” e migrar para o 
que Skovsmose (2000) denomina “zona de risco”. 
Quando realizei a atividade, tinha uma ideia prévia a respeito do modelo a ser 
criado, pensava em envolver funções exponenciais. Essa ideia acabou atrapalhando um 
pouco, pois tentei influenciar nas decisões do grupo. Com o decorrer do trabalho, os 
caminhos traçados pelos alunos “felizmente” não levaram em conta minha ideia, o que 
inicialmente frustrou minhas expectativas. Afinal, percebi que as alternativas por eles 
elaboradas foram satisfatórias. Concluí que seria necessário mudar a minha maneira de 
trabalhar a fim de realizar Modelagem Matemática, teria que escutar mais e confiar mais 
nos alunos. 
Refletindo sobre a natureza das discussões tecidas na experiência, percebo a 
quase inexistência do caráter reflexivo, pois praticamente todas as discussões giraram 
em torno da realização do experimento, coleta de dados e interpretação destes 
(discussões técnicas), bem como da função mais adequada para a representação dos 
dados, seu domínio, questões sobre limites, limites laterais, funções com mais de uma 
sentença, etc (discussões matemáticas). 
 
2.3.Caso 3: Tudo é compartilhado 
No terceiro caso, todas as etapas da Modelagem Matemática são de 
responsabilidade de professores ealunos. O professor é constantemente desafiado, tanto 
pela variedade de temas propostos quanto pela necessidade de orientar os alunos com a 
sutileza necessária para não influenciar demais e a determinação necessária para 
administrar os conflitos entre os membros dos grupos. Aqui praticamente não existe 
“zona de conforto” (Skovsmose, 2000), o risco é diretamente ligado à prática, o que 
tanto pode amedrontar quanto desafiar o professor. 
 
 
Seven
Realce
 
10
2.3.1. Uma prática na Pós-Graduação 
No primeiro semestre de 2005, atuando com uma disciplina obrigatória de 
Matemática para uma turma de Mestrado em Ensino de Ciências e Matemática, na 
Universidade Luterana do Brasil, desenvolvia projetos de modelagem como trabalho da 
disciplina, acompanhando os trabalhos ao longo de todo o semestre. A turma foi 
dividida em três grupos que tinham a liberdade de escolher os temas de sua preferência 
para a Modelagem Matemática. Os temas escolhidos foram: análise de solos, 
crescimento de crianças e frangos. Detalho um pouco abaixo o trabalho e as discussões 
pertinentes ao último grupo, que pode ser vista com mais detalhes em Sant’Ana et al 
(2005). 
No grupo, composto por dois alunos e duas alunas, a discussão para a escolha 
do tema iniciou levando em consideração a origem dos componentes do grupo, todos da 
região Norte do Brasil. Foram selecionados alguns temas como peixes, caranguejos e 
tartarugas, mas o grupo não se sentia motivado suficientemente ou não encontrava 
dados consistentes sobre estes temas. Após muitas discussões, um tema despertou sua 
curiosidade: o crescimento de crianças. 
Em particular, o grupo coletou dados estatísticos1 e procurou explicar o 
crescimento de meninos e meninas com base nestes dados, utilizando ajuste exponencial 
assintótico. 
Como exemplo, apresento uma parte do trabalho, que trata do crescimento de 
um menino, observando que os objetivos passam a ser a descrição do crescimento e a 
obtenção de uma estimativa da altura que o menino atingiria na idade adulta. 
A escolha do ajuste exponencial assintótico deu-se pelo fato do crescimento do 
menino apresentar tendência a se estabilizar ao longo do tempo. A estabilidade, que é o 
ponto de equilíbrio, pode ser estimada através do método de Ford-Walford, que foi 
pesquisado pelo grupo em Bassanezzi (2002). 
Tabela 4: Crescimento Idade x altura 
 
1
 http://www.lincx.com.br/lincx/saude_a_z/saude_crianca/crescimento_desenvolvimento.asp. 
 
Método de Ford-Walford 
Idade 
(anos) 
Altura(cm
)-yi 
yi+1 
1 72 84 
2 84 91 
3 91 97 
 
11
 
 
 
 
 
 
Desenvolvimento Idade x Altura
0
50
100
150
0 5 10 15Idade (anos)
A
ltu
ra
 
(cm
)
 
Figura 6: Representação gráfica dos dados 
 
CURVA AJUSTADA yi = yi + 1
y(i+1) = 0,893yi + 17,262
R2 = 0,996
0
50
100
150
0 50 100 150
yi
yi
 
+
 
1
 
Figura 7: Ajuste linear para o método de Ford Walford 
O grupo denominou y* o ponto de equilíbrio calculado através do ajuste linear 
da figura 7, determinado pelo método de Ford-Walford, ou seja, resolvendo a identidade 
yi+1 = yi = y*. 
4 97 103 
5 103 109 
6 109 115 
7 115 120 
8 120 125 
9 125 129 
10 129 132 
11 132 136 
12 136 
 
12
Assim, 262,17893,0 ** += yy . Logo y* = 161,33, ou seja, este em sua idade 
adulta não mediria mais que 1 metro e 62 centímetros. O grupo observou que o 
resultado poderia melhorar, mas decidiram não utilizar outras estratégias, 
provavelmente pelo tempo disponível. 
A partir do cálculo do valor assintótico, o grupo montou a tabela 5. 
Tabela 5: Crescimento Idade x altura da criança do sexo masculino 
Idade 
(anos) 
Altura(cm)
-yi 
yi+1 yi+1=g(yi) y* - yi 
1 72 84 81,56 89,32 
2 84 91 92,27 77,32 
3 91 97 98,53 70,32 
4 97 103 103,88 64,32 
5 103 109 109,24 58,32 
6 109 115 114,60 52,32 
7 115 120 119,96 46,32 
8 120 125 124,42 41,32 
9 125 129 128,89 36,32 
10 129 132 132,46 32,32 
11 132 136 135,14 29,32 
12 136 138,71 25,32 
 
 
Ajuste y* - yi
y = 99,948e-0,1121x
R2 = 0,9979
0
20
40
60
80
100
0 5 10 15Idade
y*
 
-
 
yi
 
 Figura 8 : Ajuste exponencial de (xi,y* - yi) 
 
Portanto a função que ajusta xi e yi , na hipótese de um crescimento assintótico 
de yi (modelo exponencial assintótico), é dada pela figura 9, xeyy 1121,0948,99* −−= . 
 
13
 
 Figura 9: Gráfico da função do modelo exponencial assintótico. 
 
Observações sobre a prática 
Essa turma era composta por professores de Matemática que traziam de suas 
práticas profissionais e de seus cursos de graduação uma bagagem importante de 
conhecimentos. No caso do grupo em questão, a maior dificuldade foi a escolha do 
tema. Inicialmente, pensaram em escolher o tema “peixes”, visto que todos os 
integrantes do grupo eram do norte do país e em sua região existe uma grande 
diversidade de peixes. Mas, a diversidade acabou não ajudando muito, pois a 
abundância de dados os deixou com mais dúvidas. Passaram então para “caranguejo” e 
depois “tartarugas”, buscando informações na página do “Projeto Tamar”1, mas esse 
tema também não os satisfez. 
Dialogando com o grupo, percebi que os temas “peixes”, caranguejos” e 
“tartarugas” eram sugestões de dois de seus membros, não despertando o interesse dos 
demais. Sugeri que pensassem em um tema que fosse do interesse de todos, algo mais 
próximo de sua realidade. Uma das alunas, que tinha um filho pequeno, sugeriu o tema 
“crescimento de crianças” através das questões: “como será que meu filho vai crescer?”, 
“será que a curva que é traçada na carteirinha de vacinas pode ser representada por uma 
função?” Estava instaurada a curiosidade manifestada por essas perguntas, uma vez que 
tinham encontrado o ponto comum entre os membros do grupo: filhos. A curiosidade 
foi fundamental para a decisão do grupo e consegui desempenhar um papel conciliatório 
diante de um impasse. Essa situação ilustra a afirmação de Freire (1996) que a 
construção do conhecimento implica no exercício da curiosidade, argumentando sobre a 
 
1
 www.tamar.org.br 
 
14
necessidade de estabelecer um diálogo pautado no questionamento entre professor e 
alunos. 
Outro ponto a observar é sobre as discussões ocorridas. Percebi que as 
discussões desse grupo versaram entre matemáticas e técnicas, com poucas inserções no 
âmbito reflexivo, embora os resultados obtidos não tenham sido completamente 
satisfatórios. A avaliação destes resultados gerou críticas e discussões, mas o caráter 
dessas foi predominantemente técnico. 
Atribuo parte da responsabilidade pela ausência de discussões reflexivas à minha 
conduta da situação, eu não estava próxima a este grupo no momento certo para 
procurar introduzir tal discussão através de alguma indagação. Outro fator importante é 
o fato dos alunos serem professores de Matemática, habituados em suas graduações ao 
ensino tradicional, com forte preocupação com o formalismo e o rigor matemático. 
 
2.4. Um caso 2 especial 
Coloco como último exemplo uma prática que decorreu de uma parceria entre 
uma escola e uma Universidade, ocorrida no Rio Grande do Sul, na qual professora e 
alunos de Licenciatura em Matemática vivenciaram, junto a alunos de Ensino Médio, 
um ambiente de aprendizagem caracterizado como cenário para investigação. Através 
da Modelagem Matemática, foi desenvolvido um projeto com tema a rede de 
relacionamento Orkut. Maiores detalhes sobre a prática podem ser vistos em Sant’Ana 
et al (2007). 
O Projeto Orkutemática iniciou em uma sala de aula de Laboratório de Prática 
de Ensino de Matemática III, disciplina do Curso deLicenciatura em Matemática da 
Universidade Federal do Rio Grande do Sul, UFRGS. Tal disciplina oferece aos alunos 
a possibilidade de desenvolverem um curso de extensão voltado para alunos de Ensino 
Médio. 
Após leituras e discussões sobre Ambientes de Aprendizagem (Skowsmose, 
2000) com especial atenção para a Modelagem Matemática (Barbosa, 2001), quatro 
alunos se sentiram desafiados e decidiram que não realizariam um curso de extensão 
nos moldes tradicionais. O colega Rodrigo sugeriu uma prática com os alunos de sua 
escola sobre o Orkut, uma vez que o tema vinha despertando o interesse dos alunos 
 
15
enquanto usuários, bem como a preocupação da escola sobre a segurança e a 
privacidade de seus alunos. 
Através do licenciando Rodrigo, entramos em contato com o Instituto de 
Educação Ivoti, localizado em Ivoti, município distante 55 quilômetros de Porto Alegre, 
para desenvolvermos o curso de extensão. Essa é uma escola particular, da Rede 
Sinodal de Educação, vinculada à Comunidade Evangélica Luterana. Participaram do 
projeto 19 alunos do Ensino Médio, escolhidos pela escola. Uma característica comum 
destes alunos é que todos moravam na escola, ou seja, eram alunos do internato. 
O projeto foi realizado nos meses de outubro e novembro de 2006, em 5 
encontros presenciais, além da realização de atividades entre esses, período em que nos 
comunicávamos via e-mail e via ferramentas disponíveis em uma comunidade criada no 
ambiente do Orkut. 
Com o tema central definido, optamos por oferecer aos alunos um ambiente de 
aprendizagem de Modelagem Matemática caracterizado como cenário para investigação 
com referências à realidade, ou seja, um pouco audacioso, mas muito desafiador. É 
claro que tínhamos alguns receios, especialmente, em relação à aceitação dos alunos, 
mas também quanto à Matemática que seria utilizada, uma vez que, todos os aspectos a 
serem abordados seriam decididos junto aos alunos da escola, poderíamos ter surpresas 
a esse respeito. 
Nossos encontros ocorreram aos sábados pela manhã. Foi o horário mais 
conveniente, pois os alunos envolvidos no projeto participavam de atividades diversas 
da escola, como esportes e música. A escola nos disponibilizou uma excelente sala 
equipada com cerca de vinte computadores e canhão para projeção. 
No primeiro encontro, apresentamos aos alunos o convite, no sentido da 
definição de Modelagem Matemática de Barbosa (2001). Apresentamos o tema Orkut, 
que os interessou muito. Percebemos logo que nosso convite foi aceito e partimos para o 
conhecimento sobre o tema central. Investigamos juntos as funcionalidades do ambiente 
e, aqueles alunos que não participavam da rede, ingressaram, embora tenhamos 
observado que eles não necessitariam ingressar no Orkut para participarem do projeto. 
Criamos uma comunidade no Orkut, chamada Orkutemática. Observamos que seria 
preciso criar um símbolo para a comunidade. Lançamos a idéia de discutirmos este 
 
16
tópico, nas semanas seguintes, no fórum da comunidade, o que de fato aconteceu, 
resultando no símbolo representado na figura 10. 
 
Figura10: Símbolo da comunidade 
Decidimos juntos que pesquisaríamos como os alunos do Ensino Médio usavam 
o Orkut. Para tal, naturalmente surgiu a necessidade de estudarmos alguns conteúdos de 
Estatística, bem como, a utilização de planilha eletrônica, pois eles faziam questão de 
pesquisar junto a todos os 310 alunos do Ensino Médio. Neste momento, o receio 
quanto aos conteúdos matemáticos que seriam abordados desapareceu. 
No segundo encontro, abordamos conteúdos estatísticos em paralelo com a 
utilização de planilha eletrônica. Os alunos fizeram algumas simulações com dados 
referentes aos seus perfis do Orkut, como números de amigos, comunidades, etc. A 
simulação foi importante tanto como auxílio para a compreensão da Estatística, quanto 
para fornecer idéias futuras para a pesquisa. 
Ao realizarmos cálculo de percentuais, percebemos que os alunos, em sua 
maioria, não tinham construído efetivamente o conteúdo de proporções e razões, 
apresentando dificuldades nas relações entre as grandezas. Tivemos que dar especial 
atenção a este ponto, retomando esses conceitos. Tal momento foi muito importante 
para os licenciandos, pois eles tinham um temor inicial, de não “ensinarem” Matemática 
aos alunos, que foi superado diante da necessidade de reconstrução de conteúdos 
prévios. 
No terceiro encontro, a partir de discussões no grande grupo, elaboramos uma 
lista de questões para compor o instrumento de pesquisa a ser aplicado junto aos alunos 
do Ensino Médio. Observamos que os alunos demonstraram preocupação com aspectos 
que nos surpreenderam, como a segurança, inserindo questões específicas sobre este 
tópico. O instrumento foi revisado por nós e então reproduzido para aplicação. 
No período entre o terceiro e o quarto encontro, os alunos aplicaram os 
instrumentos com seus colegas. Ao final desta etapa, tínhamos 222 instrumentos (de um 
 
17
total de 310 alunos) para analisarmos. Os alunos ficaram um pouco decepcionados com 
este número, pois esperavam maior colaboração dos colegas. 
No quarto encontro, os alunos tabularam os dados obtidos, utilizando fortemente 
os conhecimentos sobre planilha eletrônica abordados no segundo encontro. 
No quinto encontro, finalizaram a tabulação dos dados, organizando as 
informações em tabelas. 
Discutimos juntos os resultados, usando conhecimentos de Estatística, e estes 
foram registrados simultaneamente por duas alunas escolhidas como redatoras. 
Apresentamos a seguir alguns resultados da pesquisa: 
80% dos alunos participam do Orkut, com margem de erro de 2% para mais ou 
para menos, 55% acessam de suas casas e em segundo lugar aparece o acesso pela 
biblioteca da escola, com 24%. 
Os pais dos alunos conhecem o Orkut, porém poucos participam, mas 
identificamos um baixo índice de diálogo entre pais e filhos sobre o assunto, pois 
somente em 51% dos casos, ocorreu esse diálogo. 
70% dos alunos consideram que há exposição pessoal no Orkut, mas isso não 
garante precaução. Uma quantidade expressiva de alunos não tomou precaução alguma 
ao iniciar a participação no site de relacionamento e apenas 18% dos alunos leram o 
termo de serviço do site. Questionamos o motivo do descaso com a exposição e seus 
riscos. Algo que nos leva a confirmar isso é o fato dos alunos, em sua maioria, não 
apagarem recados e 80% deles publicarem fotos. 
 
Observações sobre a prática 
Esse projeto oportunizou uma experiência ímpar aos alunos da escola, aos 
professores/alunos e à professora de Laboratório1. Foi possível vivenciar um ambiente 
de aprendizagem caracterizado como cenário para investigação com referências à 
realidade. Percebemos claramente um profundo envolvimento dos alunos, 
proporcionando uma aprendizagem mútua, de alunos e professores. 
 
1
 Nos referimos aos alunos da disciplina de Laboratório de Prática de Ensino de Matemática III como 
professores/alunos e a essa disciplina como Laboratório. 
 
18
Abandonamos a “zona de conforto” proporcionada pelos cursos de extensão 
sobre tópicos específicos de Matemática ou de preparação para o vestibular, usualmente 
oferecidos por professores e alunos da disciplina de Laboratório, assumindo o risco de 
nos movermos para o paradigma dos cenários para investigação. Foi necessário 
estarmos abertos para o incerto, o que não suspendeu a necessidade de planejamento, 
mas sim, ensinou a planejar de forma aberta e constante. Isto só foi possível a partir do 
comprometimento dos alunos com a aprendizagem. 
No início do projeto, os professores/alunos de Laboratório, embora 
entusiasmados, estavam apreensivos, especialmente por saberem que se deparariam com 
alunos com uma boa base de Matemática de uma escola muito bem conceituada.Eles 
tinham receio de, pelo fato dos alunos terem muitos conhecimentos prévios, não ocorrer 
construção da aprendizagem. A partir do segundo encontro, os temores do início foram 
gradativamente superados, e, no decorrer do projeto, observamos a crescente 
familiaridade de alunos e professores/alunos com o tema, com a Matemática e com as 
discussões que emergiam dos encontros. Também ficou evidente o ambiente de equipe 
formado, estabelecendo uma troca constante entre professores e alunos. 
As discussões entre o grupo foram muito ricas, especialmente quanto ao caráter 
reflexivo, presente em todas as etapas do projeto. Tais discussões partiram dos alunos, 
que revelaram maturidade e responsabilidade, discutindo sobre aspectos subjetivos 
como: “Será que meus amigos de Orkut são meus amigos de verdade?”, “É seguro 
acessar redes de relacionamento?”, “Conheço os moderadores das comunidades que 
faço parte?”, etc. 
Finalmente, classifiquei essa prática como um caso 2 especial, porque, embora, 
ao desenvolvermos o projeto com os alunos tenhamos proposto o tema, ou seja, 
desenvolvido uma modelagem do caso 2, esse tema não foi uma imposição minha, mas 
uma sugestão colocada por um dos professores/alunos de Laboratório, a partir de uma 
necessidade da comunidade escolar. Assim, do ponto de vista da disciplina de 
Laboratório, desenvolvemos um caso 3. 
 
 
 
 
 
19
3. Considerações Finais 
O risco assumido pelo professor, ao se dispor para compartilhar as 
responsabilidades e atribuições com o aluno na Modelagem Matemática, pode ser 
dividido em diferentes âmbitos: 
• O aceite do convite: não existem garantias prévias quanto o aceite ou não 
dos alunos, quando são convidados para a Modelagem Matemática. A 
curiosidade é um ponto importante nesse momento e perguntas bem 
formuladas podem orientar e conduzir o aluno à construção do 
conhecimento, de acordo com Freire (1996). 
•••• Orientação das discussões nos grupos: as negociações entre os alunos, 
diferem de acordo com o grupo. O professor pode se deparar tanto com 
discussões quanto à escolha e o encaminhamento da modelagem, como 
no caso dos alunos de Pós Graduação relatado, quanto discussões sobre a 
divisão de tarefas e responsabilidades entre os membros do grupo, 
podendo chegar até mesmo a orientações conciliatórias de conflitos 
dentro do grupo. 
•••• Aspectos sobre o tema: um tema para a modelagem pode desencadear 
um belo trabalho e discussões ricas nos aspectos técnicos, matemáticos e 
reflexivos. Mas também pode levar a conflitos, quando parte dos alunos 
não se sente confortável com este; pode levar à polêmica, quando 
envolve crenças ou convicções ou pode levar à desmotivação, quando é 
muito difícil de compreender ou não existem dados disponíveis. 
A flexibilidade do caso 3 pode reduzir em parte os aspectos indesejáveis, mas 
não garante o sucesso. No caso do exemplo relatado, a indecisão do grupo gerou um 
impasse que só foi resolvido após a intervenção da professora. 
O professor tem papel fundamental na Modelagem Matemática, que se torna 
mais importante na medida em que divide as tarefas com seus alunos. Ao ocorrer o 
compartilhamento das responsabilidades, o professor assume os riscos, transformando-
os em desafios. 
Ressalto também a necessidade da observação do professor sobre sua prática, 
refletindo sobre sua postura, sobre a postura de seus alunos e sobre os diálogos 
ocorridos na modelagem, a fim de alimentar práticas futuras e compartilhar tais 
experiências com seus colegas. 
 
20
4. Referências bibliográficas 
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