aula3 cinematica3D

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Física 1
Mecânica
Sandra Amato
Instituto de Física - UFRJ
Cinemática - 3D
(Vetores) Física 1 1 / 63
2/ 73
Outline
1 Grandezas da Cinemática 3D
2 Lançamento de Projéteis
3 Movimento Circular
4 Movimento Relativo
(Vetores) Física 1 2 / 63
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Cinemática 3D
Estudamos os conceitos de posição, velocidade, aceleração,
deslocamento em 1 dimensão.
Vamos estender esses conceitos para o caso mais comum que são
os movimentos em 2 e 3 dimensões.
Trajetória da partícula
Atenção: Não confunda o
gráfico da trajetória (y x ) com
o gráfico da função horária
(x t ou y t)
r1 e r2 são os vetores posição nos instantes t1 e t2
O movimento da partícula será dado pelo vetor posição em
qualquer instante de tempo, ou seja, r t .
(Vetores) Física 1 3 / 63
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Vimos que um vetor pode ser escrito em termos das suas
componentes:
r t x t y t z t k
Alguns problemas de 3 dimensões podem ser “reduzidos” ao
tratamento de 3 movimentos unidimensionais independentes.
Ex: x t 10 t y t 20 5 t2 e z t 0
Esse movimento é do tipo chamado parabólico, pois sua
trajetória é uma parábola.
r t 10t 20 5t2
Ex: x t 5 2t y t 5sen 2t e z t 4 t
Esse movimento é do tipo chamado helicoidal, pois sua trajetória
é uma hélice.
r t 5 2t 5sen 2t 4 t k
(Vetores) Física 1 4 / 63
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Velocidade Média
Definimos o vetor deslocamento da partícula para ir do ponto
P1 até o ponto P2:
r r t2 r t1 x2 x1 y2 y1 z2 z1 k
Definimos o vetor velocidade média
vm t1 t2
r
t
r2 r1
t2 t1
x
t
vmx
y
t
vmy
Note que a direção do vetor velocidade média é a mesma do vetor
deslocamento.
(Vetores) Física 1 5 / 63
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Velocidade Instantânea
Ao considerarmos o limite da vm quando t 0 obtemos o
vetor velocidade instantânea:
v t
t 0
r
t t 0
r t t r t
t
dr
dt
o vetor velocidade instantânea é sempre tangente à
trajetória na posição em que está a partícula e no sentido
do movimento
Escrevendo em termos de suas componentes:
v t
dr
dt
dx
dt
vx
dy
dt
vy
dz
dt
vz
k
(Vetores) Física 1 6 / 63
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Exemplo
Dada uma partícula que realiza um movimento parabólico de
acordo com a função:
r t 10 t
x t
20 5t2
y t
Determine o vetor velocidade dessa partícula:
v t 10 10t
Determine a trajetória da partícula, ou seja, determine y x
x 10 t t
x
10
y 20 5
x 2
100
20 0 05x 2 parbola
(Vetores) Física 1 7 / 63
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Exemplo
Dada uma partícula que realiza um movimento parabólico de
acordo com a função:
r t 10 t
x t
20 5t2
y t
Determine o vetor velocidade dessa partícula:
v t 10 10t
Determine a trajetória da partícula, ou seja, determine y x
x 10 t t
x
10
y 20 5
x 2
100
20 0 05x 2 parbola
(Vetores) Física 1 7 / 63
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Exemplo
Dada uma partícula que realiza um movimento parabólico de
acordo com a função:
r t 10 t
x t
20 5t2
y t
Determine o vetor velocidade dessa partícula:
v t 10 10t
Determine a trajetória da partícula, ou seja, determine y x
x 10 t t
x
10
y 20 5
x 2
100
20 0 05x 2 parbola
(Vetores) Física 1 7 / 63
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Aceleração Média
O vetor aceleração média em um intervalo de tempo é definido
como a variação da velocidade neste intervalo.
am
v
t
v2 v1
t2 t1
Qual a direção do vetor am ?
Por definição, o vetor am tem a mesma direção da variação da
velocidade:
(Vetores) Física 1 8 / 63
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Aceleração Média
O vetor aceleração média em um intervalo de tempo é definido
como a variação da velocidade neste intervalo.
am
v
t
v2 v1
t2 t1
Por definição, o vetor am tem a mesma direção da variação da
velocidade:
(Vetores) Física 1 8 / 63
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Aceleração Instantânea
A aceleração instantânea é definida como
a t
dv
dt
dvx
dt
dvy
dt
dvz
dt
k
a t
d2r
dt2
d2x
dt2
d2y
dt2
d2z
dt2
k
a t ax t ay t az t k
A aceleração instantânea aponta sempre para a
concavidade da trajetória, ou é tangente à ela no caso
particular da trajetória ser retilínea.
(Vetores) Física 1 9 / 63
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Aceleração Instantânea
Em um movimento retilíneo, a velocidade pode mudar apenas em
módulo e sentido, e nesse caso a aceleração tem sempre a mesma
direção do vetor velocidade.
Se o movimento é curvo, a velocidade necessariamente muda de
direção e a aceleração nunca pode ser nula. Podemos
decompor o vetor aceleração em duas componentes, uma
tangente à trajetória e outra perpendicular a esta. Se o módulo
da velocidade for constante, só teremos a componente que aponta
para o centro.
(Vetores) Física 1 10 / 63
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Exercício
A função horária vetorial de uma partícula é
r t 5 t2 2t3 3t2k
Determine a velocidade e a aceleração da partícula
(i) em um instante arbitrário;
(ii) no instante t 0;
(iii) no instante t 1 0 s .
(Vetores) Física 1 11 / 63
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[P1-2012-2] Considere as seguintes afirmações sobre os vetores
velocidade e aceleração de um corpo em movimento: I) A
velocidade pode ser zero e a aceleração ser diferente de zero. II)
O módulo do vetor velocidade pode ser constante, com o vetor
velocidade mudando com o tempo. III) O vetor velocidade pode
ser constante mas seu módulo variar com o tempo. IV) O vetor
velocidade pode mudar de sentido com o tempo mesmo que o
vetor aceleração permaneça constante. São verdadeiras as
afirmações:
(a) I, II e III
(b) I, II e IV
(c) II e III
(d) Todas as afirmações
(e) Nenhuma das afirmações anteriores.
(Vetores) Física 1 12 / 63
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Lançamento de Projéteis
Um tipo de movimento bem comum na natureza é o chamado
lançamento de projéteis. Ele é caracterizado por lançarmos
um objeto perto da superfície da Terra, de forma que podemos
considerar a Terra plana, desprezar a resistência do ar e termos o
vetor aceleração constante, apontando para baixo e de módulo
g 9 8 m/s2.
(Vetores) Física 1 13 / 63
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Uma partícula é lançada das coordenadas iniciais x0 y0 , com
velocidade inicial v0 que faz um ângulo com a direção horizontal
r0 x0 y0
v0 v0x v0y v0cos v0sen
(1)
Queremos determinar o vetor posição e o vetor velocidade em
qualquer instante de tempo.
(Vetores) Física 1 14 / 63
g
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Independência dos movimentos
https://www.youtube.com/watch?v=z24_ihikEqQ
(Vetores) Física 1 15 / 63
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Independência dos movimentos
https://www.youtube.com/watch?v=cxvsHNRXLjw
(Vetores) Física 1 16 / 63
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Podemos decompor o movimento em duas direções x e y e
tratá-las independentemente:
Como a g , temos:
No eixo x :
ax 0 ‹
MU ‹ vx v0x constante, x x0 v0x t
No eixo y :
ay g ‹
MUV ‹ y y0 v0y t 12g t
2 , vy v0y g t
Voltamos agora a “juntar” os dois movimentos escrevendo o
vetor posição :
r t x0 v0x t y0 v0yt
1
2
gt2
r t r0 v0t 12gt
2
e o vetor velocidade:
v t vx0 vy0 gt v t v0 gt
Equações fundamentais do lançamento de projéteis
(Vetores) Física 1 17 / 63
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Podemos decompor o movimento em duas direções x e y e
tratá-las independentemente:
Como a g , temos:
No eixo x :
ax 0 ‹ MU ‹ vx v0x constante, x x0 v0x t
No eixo y :
ay g ‹
MUV ‹ y y0 v0y t 12g t
2 , vy v0y g t
Voltamos agora a “juntar” os dois movimentos escrevendo o
vetor posição :
r t x0 v0x t y0 v0yt
1
2
gt2
r t r0 v0t 12gt
2
e o vetor velocidade:
v t vx0 vy0 gt v t v0 gt
Equações fundamentais do lançamento de projéteis
(Vetores) Física 1 17 / 63
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Podemos decompor o movimento em duas direções x e y e
tratá-las independentemente:
Como a g , temos:
No eixo x :
ax 0 ‹ MU ‹ vx v0x constante, x x0 v0x t
No eixo y :
ay g ‹ MUV ‹ y y0 v0y t 12g t
2 , vy v0y g t
Voltamos agora a “juntar” os dois movimentos escrevendo o
vetor posição :
r t x0 v0x t y0 v0yt
1
2
gt2
r t r0 v0t 12gt
2
e o vetor velocidade:v t vx0 vy0 gt v t v0 gt
Equações fundamentais do lançamento de projéteis
(Vetores) Física 1 17 / 63
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Podemos decompor o movimento em duas direções x e y e
tratá-las independentemente:
Como a g , temos:
No eixo x :
ax 0 ‹ MU ‹ vx v0x constante, x x0 v0x t
No eixo y :
ay g ‹ MUV ‹ y y0 v0y t 12g t
2 , vy v0y g t
Voltamos agora a “juntar” os dois movimentos escrevendo o
vetor posição :
r t x0 v0x t y0 v0yt
1
2
gt2
r t r0 v0t 12gt
2
e o vetor velocidade:
v t vx0 vy0 gt v t v0 gt
Equações fundamentais do lançamento de projéteis
(Vetores) Física 1 17 / 63
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Trajetória de projéteis
Qual a trajetória da partícula?
x x0 v0x t t
x x0
v0x
y y0
v0y
v0x
x x0
g
2v 20x
x x0 2
que é a equação de uma parábola
(Vetores) Física 1 18 / 63
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Altura Máxima, Alcance
Podemos calcular algumas grandezas características:
Qual a altura máxima H atingida pelo projétil?
Neste ponto vy 0 ‹ tH v0seng ‹ H
v20 sen
2
2g
Qual o alcance A do projétil?
A: distância horizontal quando
o projétil volta à altura de lançamento.
Neste ponto y 0 ‹ tA 2v0seng 2tH ‹ A
v20 sen2
g
A trajetória é simétrica em relação à reta vertical que passa pelo
ponto de altura máxima. Amax ocorre quando 45
Qual a velocidade com que o projétil atinge o solo?
vy v0sen gtA v0sen vx v0cos ‹ v v0x v0y
Ele só difere da velocidade inicial pela inversão da componente
vertical, o que vale para qualquer plano
(Vetores) Física 1 19 / 63
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Altura Máxima, Alcance
Podemos calcular algumas grandezas características:
Qual a altura máxima H atingida pelo projétil?
Neste ponto vy 0 ‹ tH v0seng ‹ H
v20 sen
2
2g
Qual o alcance A do projétil?
A: distância horizontal quando
o projétil volta à altura de lançamento.
Neste ponto y 0 ‹ tA 2v0seng 2tH ‹ A
v20 sen2
g
A trajetória é simétrica em relação à reta vertical que passa pelo
ponto de altura máxima. Amax ocorre quando 45
Qual a velocidade com que o projétil atinge o solo?
vy v0sen gtA v0sen vx v0cos ‹ v v0x v0y
Ele só difere da velocidade inicial pela inversão da componente
vertical, o que vale para qualquer plano
(Vetores) Física 1 19 / 63
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Altura Máxima, Alcance
Podemos calcular algumas grandezas características:
Qual a altura máxima H atingida pelo projétil?
Neste ponto vy 0 ‹ tH v0seng ‹ H
v20 sen
2
2g
Qual o alcance A do projétil? A: distância horizontal quando
o projétil volta à altura de lançamento.
Neste ponto y 0 ‹ tA 2v0seng 2tH ‹ A
v20 sen2
g
A trajetória é simétrica em relação à reta vertical que passa pelo
ponto de altura máxima. Amax ocorre quando 45
Qual a velocidade com que o projétil atinge o solo?
vy v0sen gtA v0sen vx v0cos ‹ v v0x v0y
Ele só difere da velocidade inicial pela inversão da componente
vertical, o que vale para qualquer plano
(Vetores) Física 1 19 / 63
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Altura Máxima, Alcance
Podemos calcular algumas grandezas características:
Qual a altura máxima H atingida pelo projétil?
Neste ponto vy 0 ‹ tH v0seng ‹ H
v20 sen
2
2g
Qual o alcance A do projétil? A: distância horizontal quando
o projétil volta à altura de lançamento.
Neste ponto y 0 ‹ tA 2v0seng 2tH ‹ A
v20 sen2
g
A trajetória é simétrica em relação à reta vertical que passa pelo
ponto de altura máxima. Amax ocorre quando 45
Qual a velocidade com que o projétil atinge o solo?
vy v0sen gtA v0sen vx v0cos ‹ v v0x v0y
Ele só difere da velocidade inicial pela inversão da componente
vertical, o que vale para qualquer plano
(Vetores) Física 1 19 / 63
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Use estas fórmulas com moderação
(Vetores) Física 1 20 / 63
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Exercícios
Halliday. Um pacote de suprimentos é solto por um avião que
está a 100m acima do solo e que voa a uma velocidade de 40 m/s.
(a) Por quanto tempo o pacote ficou no
ar?
R: 4.52s
(b) A que distância horizontal a partir da
origem o pacote atingiu o solo?
R: 181m
(c) qual a velocidade do pacote ao atingir
o solo?
R: v 40m s 44 3m s
(d) em que posição está o avião quando o
pacote atinge o solo?
(Vetores) Física 1 21 / 63
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(Vetores) Física 1 22 / 63
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Halliday. Uma pedra é lançada do topo de um prédio, com um
ângulo de 30 acima da horizontal com uma velocidade de
módulo 20m/s. A altura do prédio é de 45m.
(a) Quanto tempo a pedra levou para
atingir o solo?
R: 4.22s
(b) A que distância horizontal a partir da
origem a pedra atinge o solo?
R: 73m
(c) qual a velocidade da pedra ao atingir o
solo?
R: v 17 3m s 31 4m s
(Vetores) Física 1 23 / 63
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(Vetores) Física 1 24 / 63
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Exercícios
[PF-2013-1] Um pequeno corpo é lançado a partir da origem com
velocidade v0 segundo um ângulo com a horizontal. Outro
corpo é lançado (não simultaneamente) horizontalmente de uma
altura h com uma velocidade v1 de mesmo módulo de v0, como
mostra a figura. Qual deve ser o valor de h tal que eles atinjam o
mesmo ponto x no eixo OX?
(a) v0sen 2 g
(b) 2 v0sen 2 g
(c) v0sen2 2 2g
(d) v0sen 2 2g
(e) v 20 sen 2g
(Vetores) Física 1 25 / 63
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(Vetores) Física 1 26 / 63
a) o→
al
b) e)
e)
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Movimento Circular
Movimento Circular (MC) de uma partícula é caracterizado por
sua trajetória ser um círculo (ou arco de círculo). Queremos
caracterizar as velocidades e acelerações possíveis nesse
movimento.
Um caso particular de MC é o movimento circular uniforme
(MCU) em que a partícula percorre arcos iguais em intervalos
de tempos iguais.
Exemplos: ponteiros de um relógio, movimento da lua, um ponto
em um disco girando
Atenção: o nome uniforme pode levar à uma interpretação
errada: O que é constante é o módulo da velocidade, mas
como a trajetória é curva, sua direção varia, e portanto a
aceleração nunca é nula.
(Vetores) Física 1 27 / 63
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Movimento Circular Uniforme
Como o módulo de v não muda, aT 0 e temos apenas a
componente radial (ou centrípeta).
Como os dois triângulos são semelhantes (isósceles e de mesmo
ângulo):
v
v
s
r
v v
s
r
(Vetores) Física 1 28 / 63
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Movimento Circular Uniforme
O módulo da aceleração média é
am
v
t
v
r
s
t
A aceleração instantânea é
a
t 0
v
r
s
t
v
r t 0
s
t
portanto, no MCU a aceleração é centrípeta, de módulo:
ac
v 2
r
e na forma vetorial:
a
v 2
r
r
onde r é o vetor unitário na direção radial, apontando para fora
da circunferência.
(Vetores) Física 1 29 / 63
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Período
Uma outra definição importante é o período T do movimento,
que é o tempo que a partícula leva para dar uma volta completa.
No caso em que a trajetória é um círculo completo:
T
2 r
v
v
2 r
T
e podemos expressar a aceleração centrípeta como
ac 4 2R T 2
(Vetores) Física 1 30 / 63
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Movimento Circular Geral
No movimento circular mais geral (sem ser uniforme) temos
também uma componente tangencial da aceleração, que está
ligada à variação do módulo da velocidade.
arad
v 2
R
atan
dv
dt
MC
(Vetores) Física 1 31 / 63
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Relação entre velocidade e aceleração
Não existe uma relação fixa entre velocidade e aceleração
(Vetores) Física 1 32 / 63
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Exercícios
Halliday 68. Uma roda gigante tem um raio de 15m e completa 5
voltas em torno do seu eixo horizontal a cada minuto. Qual a
aceleração de um passageiro no ponto mais alto? e no ponto mais
baixo?
Halliday 72. Um menino gira uma pedra em uma circunferência
de 1,5 m de raio, localizada em um plano horizontal a 2m acima
do solo por meio de um fio. Suponha que o fio arrebente e a
pedra seja atirada horizontalmente, atingindo o chão a 10m de
distância. Qual era a aceleração radial da pedra enquanto estava
em movimento circular uniforme?
Moysés 19. Com que velocidadelinear estamos nos movendo
devido à rotação da Terra em torno do seu eixo, se estivermos na
Linha do Equador? Qual seria a nossa aceleração centrípeta?
Exprima essa aceleração como um percentual de g . Raio da
Terra = 6.37 106m.
(Vetores) Física 1 33 / 63
43/ 73
Uma roda gigante tem um raio de 15m e completa 5 voltas em
torno do seu eixo horizontal a cada minuto. Qual a aceleração de
um passageiro no ponto mais alto? e no ponto mais baixo?
(Vetores) Física 1 34 / 63
R = 15 M
V = 5×-25 R = 7 , 8 mls
60
I oil = v£ = };I= 4.
1mW
44/ 73
Um menino gira uma pedra em uma circunferência de 1,5 m de
raio, localizada em um plano horizontal a 2m acima do solo por
meio de um fio. Suponha que o fio arrebente e a pedra seja
atirada horizontalmente, atingindo o chão a 10m de distância.
Qual era a aceleração radial da pedra enquanto estava em
movimento circular uniforme?
(Vetores) Física 1 35 / 63
x = xo + T.at
r=nsm
{ Y = Yo + v. ytzqt
'
i. . .
2
am -
.
O = 2 - £ gt
:
t£
=
 2x2_ = 0 . 64
s
9.8
10 = To a × O . 69
Voa = 15 . 6 in 11
2
10 m
a = Is = 45¥= 163 m1s2
R
45/ 73
Com que velocidade linear estamos nos movendo devido à
rotação da Terra em torno do seu eixo, se estivermos na Linha do
Equador? Qual seria a nossa aceleração centrípeta? Exprima essa
aceleração como um percentual de g . RT = 6.37 106m.
(Vetores) Física 1 36 / 63
V = 2 I R
F
T = 24×36
oo
V = 2T 6,37 ×
106
-
= 463 mls
24 × 3600
A = V÷ = 3.3×152-1^2
a
g-
= 3q÷×152 = 0.003g = 0.37 . g
46/ 73
[P1-2014-1] Um carro, considerável como uma partícula, sobe
uma lombada circular de centro de curvatura em O , como indica
a figura. O módulo da velocidade do carro vai diminuindo a
medida que ele sobe a lombada. Dadas as setas identificadas
pelos números 1, 2, 3, 4 e 5 da figura, a que pode representar a
aceleração do carro no ponto P da subida indicado é a número
(a) 1
(b) 2
(c) 3
(d) 4
(e) 5
(Vetores) Física 1 37 / 63
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[PF-2015-2] Uma partícula executa um movimento pendular num
plano vertical xy , oscilando entre duas posições extremas A e B,
como mostra a figura. Considerando o trajeto A B pode-se
afirmar que
x
y
A B
(a) o vetor velocidade média entre A e B tem a direção e o
sentido do eixo x positivo
(b) o vetor velocidade média entre A e B tem a direção e o
sentido do eixo x negativo
(c) nos pontos A e B a aceleração é nula
(d) o vetor velocidade média entre A e B é nulo
(e) o vetor aceleração média entre A e B tem a direção e sentido
do eixo y positivo
(Vetores) Física 1 38 / 63
48/ 73
Movimento Relativo
Pergunta: Uma pessoa se move com velocidade v = 1 m/s ao
longo do corredor de um trem, o qual se move com v = 3 m/s.
Qual a velocidade da pessoa? R: Depende...
Para descrever um movimento precisamos definir um referencial.
Neste caso o referencial mais simples é o que se move junto com o
trem, e podemos descrever o movimento do trem em relação à
Terra e compor os dois movimentos.
(Vetores) Física 1 39 / 63
49/ 73
Movimento Relativo
Temos um objeto P que se move em relação a um referencial B e
queremos descrever seu movimento em relação a um referencial
A, supondo que B se move com velocidade constante em
relação a A
rP A rP B rB A
(Vetores) Física 1 40 / 63
50/ 73
rP A rP B rB A
Essa equação vetorial é equivalente às três equações escalares:
xP A xP B xB A, yP A yP B yB A e zP A zP B zB A
Sendo vP A a velocidade de P em relação a A, vP B a velocidade
de P em relação a B , e vB A a velocidade do referencial B
relativa ao referencial A, obtemos
vP A vP B vB A
aP A aP B
Essa equação é equivalente às três equações escalares:
v P A x v P B x v B A x v P A y v P B y v B A y
v P A z v P B z v B A z
(Vetores) Física 1 41 / 63
cte
51/ 73
Exercícios
Halliday 2.73 Um barco está navegando rio acima, a 14km/h em
relação à água do rio. A velocidade da água em relação ao solo é
9km/h. (a) Qual a velocidade do barco em relação ao solo? (b)
uma criança no barco caminha da proa para a popa a 6km/h em
relação ao barco. Qual a velocidade da criança em relação ao
solo?
(Vetores) Física 1 42 / 63
fate tnas
52/ 73
(Vetores) Física 1 43 / 63
- > → - >
A) VB , = VBR + URT
To scolhendo 0 eixo ze
apron ton - para no
IBN
= 14km/h = acima .
Irt = - 9km/h i
JBT = 14 - 9 = 5 km/h i
←
b) -2 →
Is
÷
a
= Ers + Jia + Jat
Jet = - 6 + 5 = - l i
1 km/h - rented de des a
da do no ,
53/ 73
Exercícios
Halliday 2.80 A chuva cai verticalmente com velocidade constante
de 8,0 m/s. O motorista de um carro, viajando em linha reta
numa estrada com a velocidade de 50km/h, vê os pingos caírem
formando um ângulo com a vertical. Qual é este ângulo?
(Vetores) Física 1 44 / 63
ers
54/ 73
(Vetores) Física 1 45 / 63
→
^
To
, 
= I. + Tat Vat = 8 mlsj
• f
,
→ . TI Jat
= 13.8 - Isi
so f
en se
'
.
0 = Tax + 13.8 = > Tax = - 13.8
in y :
8 = Yay + ° - >VAT
¥
a 
=
- 13.8 I + 8 j m/s 
-
,
tg°= 13.8 =p . z
It # ¥,
-
K 1
.
8
O I 600
55/ 73
Exercícios
Halliday 2.83 Um trem viaja para o sul a 30 m/s em relação ao
solo sob uma chuva que o vento impele para o sul. A trajetória
de cada pingo de chuva forma um ângulo de 21,6 com a vertical
quando medido por um observador parado na Terra. Um
passageiro sentado no trem vê, no entanto, traços verticais.
Determine a velocidade da chuva em relação à Terra.
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(Vetores) Física 1 48 / 63
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[PF-2013-1] Num dia chuvoso uma pessoa está parada numa estação de trem e
observa a chuva caindo inclinada de um ângulo em relação a direção vertical.
Um passageiro sentado no interior do trem que se move horizontalmente com
velocidade de módulo vT em relação a estação observa a chuva caindo
verticalmente. O módulo da velocidade da chuva vC em relação a pessoa da
estação é igual a:
(a) vT cos ;
(b) vTsen ;
(c) vT tan ;
(d) vTcot ;
(e) vT sen ;
(Vetores) Física 1 49 / 63
:
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[P1-2015-2] Um passageiro atrasado que se encontra a uma certa
distância do portão de embarque em um aeroporto precisa chegar
a ele o mais rapidamente possível. Para tal intento ele considera
duas rotas alternativas indicadas na figura por A e B. Na
primeira delas (A) ele corre diretamente para uma esteira rolante
e continua correndo ao longo dela. A velocidade da esteira em
relação ao solo é de 2 m/s. Na segunda (B) ele corre diretamente
para o portão. Sabe-se que o comprimento da esteira é 42 m, e
que o passageiro, que consegue correr a uma velocidade de 4 m/s,
se encontra a 16 metros da esteira. Dentre estas duas
alternativas, aquela que levará o passageiro o mais rapidamente
ao portão e o tempo necessário para isto será
(a) a rota (A) com t 11 0 s
(b) g a rota (B) com t 12 5 s
(c) g a rota (A) com t 9 7 s
(d) g a rota (B) com t 8 3 s
(e) g a rota (A) com t 14 5 s
P42 m
16 m
Ev
50 m
A
B
(Vetores) Física 1 49 / 63
9.
B.
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Exercícios
Um barco parte de uma margem de um rio, direcionando o barco
na direção Norte. Sua velocidade em relação à água é de
10 km/h, e o rio tem uma velocidade de 5 km/h em relação à
Terra. Determine a velocidade do barco relativa a um observador
parado em uma das margens. Se a largura do rio é de 3 km,
quanto tempo ele leva para atravessá-lo?
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Exercícios
(Vetores) Física 1 51 / 63
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Exercícios
Se agora este barco, com a mesma velocidade de 10 km/h em
relação à água quiser atingir o lado diretamente oposto do rio,
qual deve ser a direção da sua velocidade em relação ao rio? E
em quanto tempo ele atravessa orio?
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Exercícios
(Vetores) Física 1 53 / 63
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Exercícios
(Vetores) Física 1 54 / 63
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Exercícios
Um problema de navegação:
Suponha que o navegador de um avião deseja ir de uma cidade C
a uma outra D distante 900km de C na direção Norte. O
meteorologista informa que há um vento soprando na direção
Nordeste com velocidade de 50 km/h . Ele sabe que o piloto
planeja manter uma velocidade de 240 km/h em relação ao ar.
a) O problema do navegador é informar ao piloto em que direcão
o avião deve ser dirigido.
b) Quanto tempo ele leva para chegar?
(Vetores) Física 1 55 / 63
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(Vetores) Física 1 56 / 63
Avian
- >
Terra
Ta't = Jar + vvt
Vmto
f za .¥50950
e-
em n : 0 = 240 seen O - 50 sin 45
son O = 5052/2
= 0.147 O = 8.50
.
240
tempo :
dt=
-
v
AT
em
y :
VAT = Va ✓ cos o + 50 cos 45 t = got =3 . 27k
275
Vat = 275 km/h
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Encontro de dois objetos
Um outro exemplo em que é vantajoso mudar de referencial é o
problema de evitar colisões no mar e no ar. Considere dois navios
com velocidades v1 e v2 em relação à água, constantes. As
trajetórias dos navios estendidas ao longo das direções do
movimento a partir dos pontos iniciais A e B interceptam-se em
um ponto P. Eles irão colidir? Responder a essa questão no
referencial do navio é muito mais fácil do que no referencial do
oceano, pois assim estaremos parados (em um navio) observando
o movimento de apenas um objeto ( o outro navio).
(Vetores) Física 1 57 / 63
nikita II:III
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Exercícios
Vamos nos colocar no navio A. A velocidade do navio B em
relação a A é v21 v2 v1
se v21 tiver a mesma direção que r21 eles irão bater. Senão qual é
a distância de menor aproximação entre eles? É quando
r21 v21, ou seja é a distância AN e o tempo para atingirem essa
menor separação é BNv21
(Vetores) Física 1 58 / 63
→
in
¥4 ,a£¥IsF-
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Exercícios
2.8 lista. Duas partículas, 1 e 2, deslocam-se ao longo dos eixos x
e y com velocidades constantes v1 2 cm/s e v2 3 cm/s. No
instante t 0 elas estão nas posições dadas por x1 3cm,
y1 0, x2 0 e y2 3cm. Obtenha o vetor r2 r1 que
representa a posição da partícula 2 em relação à partícula 1,
como função do tempo. Determine em que instante de tempo
elas estarão com a menor separação possível, e qual é essa
distância de máxima aproximação.
(Vetores) Física 1 59 / 63
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(Vetores) Física 1 60 / 63
^Y
- 3 Znys
' ¥.me
. - 3
a) iz , ( t ) = Ii I t ) - i.
>
It )
Ti( H = To
.
+ if t = ( x
. ,
+ v
,
t ) i = f-3 + 2 t ) i
Iz ( t ) = To 2 + I . t = ( yz + at 1 I = f3 + 3 t ) I
Jiz , ( t 1 = ( 3 - 2 t ) I + ( - 3 + 3 t ) I
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(Vetores) Física 1 61 / 63
A minor distomcia e. qdo 5'z , L 52
'
, ⇒
##i iii. Ji , =o^ is
,
= it . it = zj . zi = - 2i +3J21 • 2
Ii
,
= ( z . zt ) i + ( 3 t - 3)I
→
5>21
. Vz , = - z ( z . zt ) + 3 ( 3 t
- 3) = 0
4t - 6 + qt - 9=0 ⇒ t =
 1,15 s
e a distance nine instant e- :
I'z , ( t.n.is 's ) = (-2×1.15+3) it ( 3×1,15 - DI
/ I'z , I = O.fto.li# = 0 . 83 m
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Exercícios
Um rio de 1km de largura tem uma correnteza de velocidade
1,5 km/h. Um homem atravessa o rio de barco, remando a uma
velocidade de 2,5 km/h em relação à água. (a) Qual é o tempo
mínimo que leva para atravessar o rio? Onde desembarca neste
caso? (b) Suponha agora que ele quer chegar a um ponto
diametralmente oposto na outra margem, e tem duas opções:
remar de forma a atingi-lo diretamente, ou remar numa direção
perpendicular à margem sendo arrastado pela correnteza até
além do ponto onde quer chegar, e depois caminhar de volta até
lá. Se ele caminha a 6km/h, qual das duas opções leva menos
tempo? qual é esse tempo?
(Vetores) Física 1 62 / 63
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(Vetores) Física 1 63 / 63
Tnt = 1.5km/h I - qj
l5fr
-1=2.5 bmlhj
] '
-
z
- ) - ) - >
VI, = Jar + Vrt Try# rg → =3
✓
RT
VI , = DTI any :
y3+y=L_
⇒ At
 =
LD
t BE Vbty
Do dumb memos que VBTY e- - xiwo qdo
ItIvVB , for L a VRT - BR => VBR a = 0VRT
t.tn = 0.44=24 - n
2. 5km/h 4
y°
link : Du = VB
,z
Dt = ( Yµa+ Yzt ) Dt = 1.5×0.4
= O . 6km = Goon