Série de Fourier 2

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1 
Universidade Salvador – UNIFACS 
Cursos de Engenharia – Métodos Matemáticos Aplicados / Cálculo Avançado / 
Cálculo IV 
Profa: Ilka Rebouças Freire 
 
Série de Fourier 
 
Texto 02: Definição. Cálculo dos coeficientes 
 
Definição: Uma série de funções da forma 
...x3senbx3cosax2senbx2cosasenxbxcosa
2
a
332211
0 +++++++ = 
∑ ++
∞
1
nn
o )sennxbnxcosa(
2
a
 
é chamada de série trigonométrica e as constantes a0, an e bn são chamadas de coeficientes 
da série trigonométrica 
 
Suponhamos que: 
 
1º ) Uma função periódica de período 2pi seja tal que se pode representá-la como uma 
série trigonométrica, que converge para a função dada, no intervalo ]−pi, pi[, ou seja, 
∑ ++=
∞
1
nn
o )sennxbnxcosa(
2
a)x(f 
2º ) A integral da função f(x) seja igual à soma das integrais dos termos da série. Isto 
acontece se supusermos que a série numérica formada pelos coeficientes é absolutamente 
convergente. Neste caso, a série trigonométrica converge pois é majorada por uma série 
convergente. 
De fato: 
nnnnnnnn basennxbnxcosasennxbnxcosasennxbnxcosa +≤+≤+≤+ 
 
Assumindo as hipóteses acima, vamos calcular os coeficientes da série trigonométrica. 
 
1. Cálculo de a0. 
 
Suponhamos que ∑ ++=
∞
1
nn
o )sennxbnxcosa(
2
a)x(f . Integrando termo a termo obtemos: 
∑ ∫+∑ ∫+∫=∫
+∞
−
+∞
−−−
1
pi
pi
n
1
pi
pi
n
pi
pi
0pi
pi
sennxdxbnxdxcosadx
2
adx)x(f . 
Temos que: i) 0]
n
sennx[2nxdxcos2nxdxcos pi0
pi
0
pi
pi
==∫=∫
−
; ii) 0sennxdxpi
pi
=∫
−
 ( função ímpar) 
Logo, 00
pi
pi
0
pi
pi
0
pi
pi
api]pipi[
2
a
2
xadx
2
adx)x(f =+=





=∫=∫
−
−−
 e, portanto: 
 2 
 
∫=
−
pi
pi
0 dx)x(f
pi
1
a 
Observação: O termo constante 
2
a 0
 corresponde ao valor médio de f(x) em um período: 
∫=
−
pi
pi
0 dx)x(f
pi2
1
2
a
 o que justifica escrevermos, por conveniência, o primeiro termo como 
2
a 0
. 
 
 
2. Cálculo de ak. 
 
Multipliquemos ∑ ++=
∞
1
nn
o )sennxbnxcosa(
2
a)x(f por coskx: 
 
∑ ++=
∞
1
nn
o )kxcossennxbkxcosnxcosa(
2
kxcosa
kxcos)x(f . Integrando termo a termo no 
intervalo [−pi, pi] 
∑ ∫+∑ ∫+∫=∫
+∞
−
+∞
−−−
1
pi
pi
n
1
pi
pi
n
pi
pi
0pi
pi
kxdxcossennxbkxdxcosnxcosadx
2
kxcosa
kxdxcos)x(f 
 
De resultados já obtidos anteriormente ( Texto 01 ) temos que :. 
 
i) 0
k
senkxakxdxcosa
pi
pi
0
pi
pi
0 =





=∫
−
−
 
ii) 



=
≠
=∫
−
k n se ;pi
k n se ;0
kxdxcosnxcos
pi
pi
 
iii) 0kxdxcossennxpi
pi
=∫
−
 
 
Ficamos então com ∫ =
−
pi
pi
kpiakxdxcos)x(f . Logo, 
 
∫=
−
pi
pi
k kxdxcos)x(f
pi
1
a 
 
 
3. Cálculo de bk. 
 
Multipliquemos ∑ ++=
∞
1
nn
o )sennxbnxcosa(
2
a)x(f por senkx: 
 3 
 
∑ ++=
∞
1
nn
o )sennxsenkxbnxsenkxcosa(
2
senkxa
senkx)x(f . Integrando termo a termo no 
intervalo [−pi, pi] 
∑ ∫+∑ ∫+∫=∫
+∞
−
+∞
−−−
1
pi
pi
n
1
pi
pi
n
pi
pi
0pi
pi
dxsennxsenkxbnxsenkxdxcosadx
2
senkxa
senkxdx)x(f 
 
De resultados já obtidos anteriormente ( Texto 01 ) temos que :. 
 
i) 0senkxdxapi
pi
0 =∫
−
 ( função ímpar ) 
ii) 0nxsenkxdxcospi
pi
=∫
−
 ( função ímpar ) 
iii) 



=
≠
=∫
−
k n se ;pi
kn se ;0
dxsennxsenkx
pi
pi
 
 
Ficamos então com ∫ =
−
pi
pi
kpibsenkxdx)x(f . Logo, 
 
∫=
−
pi
pi
k senkxdx)x(f
pi
1b 
 
Os coeficientes a0, ak e bk determinados pelas fórmulas deduzidas acima são chamados de 
coeficientes de Fourier e as fórmulas correspondentes de fórmulas de Euler. A série 
trigonométrica formada com esses coeficientes se chama série de Fourier. 
 
Observações: 
 
• Devido à periodicidade dos integrandos, no cálculo dos coeficientes a0, ak e bk o 
intrvalo de integração pode ser substituído por qualquer outro de comprimento 2pi. 
 
...
pi4
pi2
pi2
0
pi
pi
=∫=∫=∫
−
 
• De acordo com a definição de integral definida, se f(x) for contínua ou 
simplesmente contínua em intervalos ( ou seja, contínua exceto num número finito 
de pontos ) as integrais para o cálculo dos coeficientes existem. 
 
 
A questão pendente é saber se a série de Fourier assim obtida converge e possui soma f(x). 
Vamos então enunciar um resultado que nos dá uma condição suficiente para que uma 
função seja representada por sua série de Fourier. 
 
 
 
 4 
 
Definição: Uma função f(x) é chamada de seccionalmente monótona ( ou monótona por 
partes) em [a, b], se este intervalo puder ser dividido por um número finito de pontos x1, x2, 
...xn-1, em subintervalos ]a, x1[, ]x1, x2[,....,]xn-1, b[ de modo que f(x) seja monótona 
( crescente ou decrescente) em cada subintervalo. 
 
 
Desta definição segue que se uma função é monótona por partes e limitada em [a,b], então 
ela possui apenas pontos de descontinuidades de 1ª espécie, isto é, se x0 é ponto de 
descontinuidade de f, então os limites laterais em x0 existem: )x(flim
0xx −→
∃ e )x(flim
0xx +→
∃ . 
 
 
Teorema de Fourier: Se f é uma função de período 2pi, monótona por partes e limitada 
em ]−pi, pi[, então a série de Fourier de f(x) converge em cada ponto x. A soma da série 
resultante s(x) é igual f(x) se f é contínua em x. Nos pontos de descontinuidade de f a soma 
é igual à média aritmética dos limites laterais de f. Ou seja, se x = x0 é descontinuidade de 
f, então 
2
)x(f)x(f)x(s 000
+− +
= , sendo )x(flim)x(f
0xx
0
−→
−
= e )x(flim)x(f
0xx
0
+→
+
= 
 
Deste Teorema vemos que a classe de funções que podem ser representadas por uma série 
de Fourier é muito grande. Desta maneira as séries de Fourier têm encontrado grandes 
aplicações nos diversos ramos da matemática e das engenharias. 
 
Exemplo: Dê o desenvolvimento em série de Fourier das seguintes funções esboçando os 
gráficos correspondentes. 
 
 
1) 



<<
<<−−
=
pix0 ;1 
0xpi ;1)x(f 
 
f periódica de período 2pi. 
 
Esta função pode representar, por exemplo, 
uma força externa aplicada a um sistema mecânico 
ou uma força eletromotriz num circuito elétrico 
 
 
 
 
Observemos, inicialmente, que f é limitada e monótona em ]−pi, pi[ , logo satisfaz ao 
Teorema de Fourier. 
 
 
 5 
i) ∫=
−
pi
pi
0 dx)x(f
pi
1
a . Uma vez que f é ímpar temos que a0 = 0 
ii) ∫=
−
pi
pi
k kxdxcos)x(f
pi
1
a . Uma vez que f é ímpar e coskx é par o integrando é 
ímpar, logo ak = 0 
 
 
iii) ∫=
−
pi
pi
k senkxdx)x(f
pi
1b =
[ ] [ ]1pikcos
pik
2kxcos
pik
2
senkxdx
pi
2
senkxdx)x(f
pi
1 pi
0
pi
0
pi
pi
−
−
=−=∫=∫
−
 
Usando que 



−
=
ímpar ék se ;1
par ék se ;1 
pikcos , podemos escrever de forma compacta 
coskpi = ( −1)k. Logo, 
 
[ ]




=−−
−
=
ímpar ék se ;
pik
4
par ék se ;0
1)1(
pik
2b kk 
 
Temos assim que 





+++=∑
−
−
=
+∞
...
5
x5sen
3
x3sen
senx
pi
4
)1n2(
x)1n2(sen
pi
4)x(f
1
 
 
 
Vejamos as somas parciais de f(x) e a representação gráfica correspondente: 
...................................................
)
5
x5sen
3
x3sen
senx(
pi
4)x(s
)
3
x3sen
senx(
pi
4)x(s
;senx
pi
4)x(s
3
2
1
++=
+=
=
 
 
Observemos que o gráficos das somas parciais 
se aproxima, a medidaque n aumenta, do gráfico 
de f(x). 
 
 
 
Nos pontos de descontinuidade de f, que são da forma x0 = kpi temos que 
0
2
11
2
)x(f)x(f)x(s 000 =
−
=
+
=
+−
 
 
Observemos que a função é ímpar e portanto sua série de Fourier é de senos. 
 
 6 
 
 
 
2) 



<<
<<−−
=
pix0 ;x
0xpi ;x)x(f ; 
 
 f periódica de período 2pi. 
 
 
Observemos, inicialmente, que f é limitada e monótona em ]−pi, pi[ , logo satisfaz ao 
Teorema de Fourier. 
 
i) ∫=
−
pi
pi
0 dx)x(f
pi
1
a . Uma vez que f é par temos que [ ] pix
pi
1
xdx
pi
2
a
pi
0
2pi
0
0 ==∫= 
 
ii) ∫=
−
pi
pi
k kxdxcos)x(f
pi
1
a = ∫
pi
0
kxdxcosx
pi
2
. Usando partes: 




=⇒=
=⇒=
k
senkx
vdvkxdxcos
dudxux
 
kxcos
k
1
senkx
k
x
senkxdx
k
1
senkx
k
x
vduuv 2+=∫−=∫− . Logo, 
ak = ∫
pi
0
kxdxcosx
pi
2
= 





−=





+ 22
pi
0
2 k
1
pikcos
k
1
pi
2kxcos
k
1
senkx
k
x
pi
2
= [ ]1pikcos
kpi
2
2 − . 
 
ak = [ ]





−
=−−
ímpar ék se ;
kpi
4
par ék se ;0
1)1(
kpi
2
2
k
2 
 
iii) ∫=
−
pi
pi
k senkxdx)x(f
pi
1b = 0senkxdx)x(f
pi
1 pi
pi
=∫
−
 ( o integrando é o produto de uma função par 
por uma ímpar, logo é ímpar e portanto a integral é zero ) 
 
Temos assim que 





+++−=∑
−
−
−=
+∞
...
5
x5cos
3
x3cos
xcos
pi
4
2
pi
)1n2(
x)1n2cos(
pi
4
2
pi)x(f 221 2
 
 
Observemos que a função é par e portanto sua série de Fourier é de cossenos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 7 
 
 
3) f(x) = x, se 0 < x < 2pi; f periódica de período 2pi 
 
 
Observemos, inicialmente, que f é limitada 
e monótona em ]0, 2pi[, logo satisfaz ao 
Teorema de Fourier. 
 
i) pi2
pi2
pi4
2
x
pi
1
xdx
pi
1dx)x(f
pi
1
a
2pi2
0
2pi2
0
pi
pi
0 ==








=∫=∫=
−
 
Usamos o fato que ∫ ∫=
−
pi
pi
pi2
0
dx)x(fdx)x(f , ou seja, a integral de uma função periódica é a 
mesma em qualquer intervalo de comprimento igual ao período. 
 
ii) 0
k
1
k
pik2cos
pi
1kxcos
k
1
senkx
k
x
pi
1kxdxcosx
pi
1kxdxcos)x(f
pi
1
a 22
pi2
0
2
pi2
0
pi
pi
k =





−=





+=∫=∫=
−
 
 
Observação: A integral ∫ kxdxcosx foi resolvida no exemplo anterior 
 
iii) ∫=∫=
−
pi2
0
pi
pi
k xsenkxdx
pi
1
senkxdx)x(f
pi
1b . Usando partes: 




−
=⇒=
=⇒=
k
kxcos
vdvsenkxdx
dudxux
 
 
senkx
k
1kxcos
k
xkxdxcos
k
1kxcos
k
x
vduuv 2+−=∫+
−
=∫− . Logo, 
bk= ∫
pi2
0
xsenkxdx
pi
1
= =





−++−=





+− 00pik2sen
k
1
pik2cos
k
pi2
pi
1
senkx
k
1kxcos
k
x
pi
1
2
pi2
0
2 k
2
− 
 
 
 
Temos assim que ∑−=
+∞
1 n
sennx2pi)x(f = 





+++− ...
3
x3sen
2
x2sen
senx2pi . 
 
Para os pontos da forma 2kpi (pontos de descontinuidade), temos que 
0)x(flim e pi2)x(flim
pik2xpik2x
==
+→−→
. 
Assim, nesses pontos, pi
2
0pi2
2
)x(f)x(f)x(s =+=+=
+−
 
 
 
 
 
 8 
 
 
 
As somas parciais são: 
......................................................
x3sen)3/2(x2sensenx2pi)x(s
x2sensenx2pi)x(s
senx2pi)x(s
pi)x(s
3
2
1
0
−−−=
−−=
−=
=
 
 
 
 
 
 
 
4) 



<<
<<−
=
pix0 ;x
0xpi ;0)x(f ; 
 f periódica de período 2pi. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Observemos, inicialmente, que f é limitada e monótona em ] −pi, pi[, logo satisfaz ao 
Teorema de Fourier. 
 
i) 
2
pi
pi2
pi
2
x
pi
1
xdx
pi
1dx)x(f
pi
1
a
2pi
0
2pi
0
pi
pi
0 ==








=∫=∫=
−
 
 
 
ii) =





−=





+=∫=∫=
−
22
pi
0
2
pi
0
pi
pi
k k
1
k
pikcos
pi
1kxcos
k
1
senkx
k
x
pi
1kxdxcosx
pi
1kxdxcos)x(f
pi
1
a 
 
= [ ]





−
=−−
ímpar ék se ;
pik
2
par ék se ;0
1)1(
pik
1
2
k
2 
 
 
 
 
 9 
iii) bk = ∫
pi
0
xsenkxdx
pi
1
=
k
)1(
k
)1)(1(
pikcos
k
pi
pi
1
senkx
k
1kxcos
k
x
pi
1 1kkpi
0
2
+
−
=
−−
=





−=





+− 
 






−+−+





+++−=∑
−
+∑
−
−
−=
∞+ +∞+
...
3
x3sen
2
x2sen
senx...
25
x5cos
9
x3cos
xcos
pi
2
4
pi
n
sennx)1(
)1n2(
x)1n2cos(2
4
pi)x(f
1
1n
1 2
 
 
Para os pontos de descontinuidade que são da forma x = (2k+1)pi, temos que 
0)x(flim e pi)x(flim
pi)1k2(xpi)1k2(x
==
++→−+→
. 
Assim, nesses pontos, 
2
pi
2
0pi
2
)x(f)x(f)x(s =+=+=
+−
 
 
As somas parciais são 
...................................................
3
x3sen
x5cos
pi25
2
2
x2sen
x3cos
pi9
2
senxxcos
pi
2
4
pi)x(s
2
x2sen
x3cos
pi9
2
senxxcos
pi
2
4
pi)x(s
senxxcos
pi
2
4
pi)x(s
4
pi)x(s
3
2
1
0
+−−−+−=
−−+−=
+−=
=
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Referências Bibliográficas: 
1. Boyce/ Di Prima – Equações Diferenciais Elementares LTC 
2. Dennis Zill/ Michael Cullen - Equações Diferenciais vol 2 Makron Books 
3. George B. Thomas – Cálculo vol 2 Pearson 
4. Marivaldo P Matos – Séries e Equações Diferenciais Prentice Hall 
 
 
 
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