Série de Fourier 3

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Universidade Salvador – UNIFACS 
Cursos de Engenharia – Métodos Matemáticos Aplicados / Cálculo Avançado / 
Cálculo IV 
Profa: Ilka Rebouças Freire 
 
 
Série de Fourier 
 
Texto 03: Série de Fourier para uma função de período qualquer. 
Desenvolvimento de uma função não periódica em série de Fourier: 
prolongamentos pares e ímpares 
 
 
Se f(x) é uma função periódica de período 2L qualquer podemos dar o seu desenvolvimento 
em série de Fourier, bastando para isto efetuarmos uma mudança de variável de acordo com 
a seguinte relação: 
t
pi
L)t(φx == . Desta maneira, a função 





pi
Ltf , interpretada como função de t, ou seja 






pi
Ltf = g(t), tem período 2pi. 
De fato: ))t(φ(f = g(t) é tal que g(t + 2 pi) = 
( ) ))t(φ(f)x(fL2xfL2
pi
Ltf)pi2t(
pi
Lf))pi2t(φ(f ==+=





+=





+=+ = g(t) 
 
Podemos então desenvolver a série de Fourier da função g(t) no intervalo ]−pi, pi[. 
 
∑ ++==





=
+∞
1
nn
o )senntbntcosa(
2
a)t(g
pi
Ltf)x(f , onde 
 
i) dt
pi
Ltf
pi
1
a
pi
pi
0 ∫ 





=
−
; ii) ktdtcos
pi
Ltf
pi
1
a
pi
pi
k ∫ 





=
−
; iii) senktdt
pi
Ltf
pi
1b
pi
pi
k ∫ 





=
−
 
 
Voltando à mudança de variável temos que: 
 







−=⇒−=
=⇒=
=⇒=⇒=
Lxpit
Lxpit
dx
L
pidt
L
xpi
t
pi
Lt
x
 Introduzindo estas relações nas fórmulas de Euler para os 
coeficientes obtemos: 
 
 2 
i) dt
pi
Ltf
pi
1
a
pi
pi
0 ∫ 





=
−
 = ( ) ∫=⇒∫
−−
L
L
0
L
L
dx)x(f
L
1
adx
L
pi
xf
pi
1
 
 
 
ii) ktdtcos
pi
Ltf
pi
1
a
pi
pi
k ∫ 





=
−
= dx
L
xpik
cos)x(f
L
1dx
L
pi
L
xpik
cos)x(f
pi
1 L
L
L
L






∫=





∫
−−
 
 
 
iii) senktdt
pi
Ltf
pi
1b
pi
pi
k ∫ 





=
−
= dx
L
xpik
sen)x(f
L
1dx
L
pi
L
xpik
sen)x(f
pi
1 L
L
L
L






∫=





∫
−−
 
 
A série fica portanto, ∑ ++=
+∞
1
nn
o )
L
xpin
senb
L
xpin
cosa(
2
a)x(f para os coeficientes calculados 
de acordo com as fórmulas 
 
i) ∫=
−
L
L
0 dx)x(fL
1
a ; ii) dx
L
xpik
cos)x(f
L
1
a
L
L
k 





∫=
−
; iii) dx
L
xpik
sen)x(f
L
1b
L
L
k 





∫=
−
 
 
Observação: Todos os resultados que são válidos para série de Fourier de funções de 
período 2pi também se aplicam para séries de funções de período 2L qualquer, assim como 
o cálculo dos coeficientes e as simplificações dos cálculos quando a função for par ou 
ímpar. 
 
 
Exemplo: Dê o desenvolvimento em série de Fourier das seguintes funções, esboçando os 
respectivos gráficos. 
 
1) 



<<
<<−−
=
1 x 0 se ;1 
0x1 se ;1 )x(f , 
 f periódica de período 2L = 2. 
 
 
 
i) ∫=
−
L
L
0 dx)x(fL
1
a 0dx)x(f
1
1 1
1
=∫=
−
 ( f é uma função ímpar ) 
ii) dx
L
xpik
cos)x(f
L
1
a
L
L
k 





∫=
−
 0dx
1
xpik
cos)x(f
1
1 1
1
=





∫=
−
 ( f é ímpar e cosseno é par, logo o 
produto é ímpar) 
 
iii) dx
L
xpik
sen)x(f
L
1b
L
L
k 





∫=
−
 = [ ] =−=∫=





∫
−
1
0
1
0
1
1
)xpikcos(
pik
2dx)xpik(sen2dx
1
xpik
sen)x(f
1
1
 
 3 
[ ]1pikcos
pik
2
−
−
 [ ]1)1(
pik
2 k
−−
−
= = 




ímpar ék se ;
pik
4
par ék se ;0
 
 






+++=∑ 




 −
−
=
+∞
...
5
xpi5sen
3
xpi3sen
xpisen
pi
4
1
xpi)1n2(
sen
1n2
1
pi
4)x(f
1
 
Nos pontos de descontinuidade de f temos que s(x) = 0
2
11
=
−
 
 
 
2) 





<<
<<−
−<<−
=
2x1 ;0
1x1 ;1
1x2 ;0
)x(f 
 f periódica de período 2L = 4 
 
 
 
i) ∫=
−
L
L
0 dx)x(fL
1
a [ ] 1xdxdx)x(f
2
12dx)x(f
2
1 1
0
1
0
2
0
2
2
==∫=∫=∫=
−
 
 
ii) dx
L
xpik
cos)x(f
L
1
a
L
L
k 





∫=
−
[ ] ==∫ 





=





∫=
−
1
0
1
0
2
2
)2/xpik(sen
pik
2dx
2
xpik
cosdx
2
xpik
cos)x(f
2
1
 
[ ]




±= ímpar ék se ;
pik
2
par é k se ;0
)2/pik(sen
pik
2
 
 
iii) 0dx
2
xpik
sen)x(f
2
1b
2
2
k =





∫=
−
 ( f é par e seno é ímpar, logo o produto é ímpar e portanto a 
integral é nula ) 
 






++−+=∑ 




 −
−
−
+=
+∞
...)2/xpi5cos(
5
1)2/xpi3cos(
3
1)2/xpicos(
pi
2
2
1
2
xpi)1n2(
cos)1n2(
)2/pi)1n2((sen
pi
2
2
1)x(f
1
 
 
Nos pontos de descontinuidade de f temos que s(x) = 
2
1
2
01
=
+
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 4 
 
 
 
 
Desenvolvimento de uma função não periódica em série de Fourier 
 
Suponhamos que num certo intervalo [a,b] está definida uma função f(x) monótona por 
partes. Podemos representar essa função, nos seus pontos de continuidade, por uma série de 
Fourier. Para isto, consideramos uma função f1(x) nas seguintes condições: 
• f1(x) é monótona por partes, periódica, tal que o período abL2 −≥ 
• f1(x) coincide com f(x) em [a,b] 
 
A função f1 satisfaz as condições do Teorema de Fourier, tendo portanto o seu 
desenvolvimento em série de Fourier garantido nos seus pontos de continuidade. Logo, a 
soma desta série em todos os seus pontos de continuidade em [a,b] coincide com o da 
função f(x) o que significa que desenvolvemos f(x) na série de Fourier no intervalo [a,b] 
 
 
Desenvolvimento de meio período: prolongamentos pares e ímpares 
 
Uma aplicação importante do fato colocado anteriormente é a seguinte: Consideremos uma 
função dada no intervalo [0,L]. Podemos completar a definição dessa função no intervalo 
]−L, 0[ conservando a sua monotonicidade por partes e assim desenvolver a sua série de 
Fourier. 
Um caso particular importante surge quando completamos a definição da função em ]−L, 0[ 
de maneira que ela seja par ou ímpar. Neste caso dizemos que a função foi prolongada de 
maneira par ou ímpar. 
No caso do prolongamento da função ser par obtemos para ela uma série só de cossenos 
∑ 





+=
+∞
1
n
0
L
xpin
cosa
2
a)x(f e se o prolongamento for ímpar uma série só de senos: 
∑ 





=
+∞
1
n L
xpin
senb)x(f 
 
 
Exemplos: 
1) Seja f(x) =1, se 0 < x ≤ 2. Dê uma série só de senos e uma série só de cossenos para 
a função. 
 
a) Prolongamento par 
 
Um prolongamento par para a função é dado por f1(x) = 1, se −2 < x ≤ 2, sendo f1 função 
periódica de período 2L = 4 
 
 
 
 5 
 
 
 
 
Observação: Na verdade, o prolongamento par corresponde à função f(x) = 1, ∀ x ∈ R 
 
 
∑ 





+=
+∞
1
n
0
L
xpin
cosa
2
a)x(f 
 
i) [ ] 2xdxdx
2
1dx)x(f
L
1
a 20
2
0
2
2
L
L
0 ==∫=∫=∫=
−−
 
 
ii) 
0
pik
dx)2/xpik(sen2dx)2/xpikcos(dx)2/xpikcos()x(f
2
1dx)L/xpikcos()x(f
L
1
a
2
0
2
0
2
2
L
L
k =





=∫=∫=∫=
−−
 
 
Assim, o desenvolvimento em sérieé simplesmente f(x) = 1 
 
 
b) Prolongamento ímpar 
 
O prolongamento ímpar é dado pela função 



≤<−−
≤<
=
0x2 se ;1
2 x 0 se ;1 )x(f2 
f2 periódica de período 2L = 4 
 
∑ 





=
+∞
1
n L
xpin
senb)x(f 
 
∫=
−
L
L
k dx)L/xpik(sen)x(fL
1b = 
[ ] [ ] [ ]1)1(
pik
21pikcos
pik
2)2/xpikcos(
pik
2dx)2/xpik(sendx)2/xpik(sen)x(f
2
1 k2
0
2
0
2
2
−−
−
=−
−
=
−
=∫=∫
−
 ⇒ 
 




=
ímpar ék se ;
pik
4
par ék se ;0
bk 
 
O desenvolvimento em série da função fica então 




 −
∑
−
=
+∞
2
xpi)1n2(
sen)1n2(
1
pi
4)x(f
1
 = 
 
 6 






++++ ...)2/xpi7(sen
7
1)2/xpi5(sen
5
1)2/xpi3(sen
3
1)2/xpi(sen
pi
4
 
 
2) Utilize o desenvolvimento em série de senos da função do exercício anterior para 
mostrar que ∑ =
−
−
∞+ +
1
1n
4
pi
)1n2(
)1(
 
 
 f(x) = 





++++ ...)2/xpi7(sen
7
1)2/xpi5(sen
5
1)2/xpi3(sen
3
1)2/xpi(sen
pi
4
. 
Fazendo x = 1, temos que: 
 
f(1) = 1 = 
∑
−
−
=





+−+−=





++++
∞+ +
1
1n
)1n2(
)1(
pi
4
...
7
1
5
1
3
11
pi
4
...)2/pi7(sen
7
1)2/pi5(sen
5
1)2/pi3(sen
3
1)2/pi(sen
pi
4
 
⇒ ∑ =
−
−
∞+ +
1
1n
4
pi
)1n2(
)1(
 
 
 
3) Dê o desenvolvimento em séries de cossenos e senos para a função: 
 f(x) = x; 0 < x < pi 
 
a) prolongamento par 
 



<<−−
<<
=
0xpi ;x
pix0 ;x )x(f1 
 
 
i) pi
2
x
pi
2
xdx
pi
2
a
pi
0
2pi
0
0 =








=∫= 
ii) 








−−
=




 −
=





+=∫= 2
k
2
pi
0
2
pi
'0
k k
1)1(
pi
2
k
1)pikcos(
pi
2)kxcos(
k
1)kx(sen
k
x
pi
2dx)kxcos(x
pi
2
a ⇒ 





−= ímpar ék se ;
pik
4
par ék se ;0
a
2
k . Desta forma ∑
−
−
−=
1 2)1n2(
x)1n2cos(
pi
4
2
pi)x(f 
 
Observação: A questão é análoga ao exemplo 2 do Texto 02 
 
b) prolongamento ímpar 
 
f2(x) = x; se − pi < x < pi 
 
 7 
 
f2 periódica de período 2pi 
 
 
pi
0
2
pi
0
pi
pi
k k
)kx(sen
k
)kxcos(x
pi
2dx)kx(xsen
pi
2dx)kx(xsen
pi
1b 





+
−
=∫=∫=
−
=
k
k
)1(
k
2
k
)1(pi
pi
2
k
)pikcos(pi
pi
2
−
−
=








−−
=




−
. Logo, ∑ −−=
1
n
)nx(sen
n
)1(2)x(f 
 
 
4) Use as séries do exemplo anterior para mostrar que: 
a) ∑ =
−1 2 8
pi
)1n2(
1 ; b) ∑ =
−1 4
pi
)1n2(
1
 
 
a) Considerando a série dos cossenos ∑
−
−
−=
1 2)1n2(
x)1n2cos(
pi
4
2
pi)x(f e tomando x = 0 
temos f(0) = 0 ⇒ 
8
pi
)1n2(
1
)1n2(
1
pi
4
2
pi
2
1 21 2
=∑
−
⇒∑
−
= 
 
b) Considerando a série dos senos ∑ −−=
1
n
)nx(sen
n
)1(2)x(f e fazendo x = pi/2 temos 
 
∑
−
=
+
)2/pin(sen
n
)1(2)2/pi(f
1n
. Além disso, 




=
−=−
=
+
2m n se ;0
1 2m n se ;)1()2/pin(sen
1m
. 
 
Assim, 






++−+−=∑
−
==
+
)2/pi5(sen
5
1)pi2(sen
4
1)2/pi3(sen
3
1)pi(sen
2
1)2/pi(sen2)2/pin(sen
n
)1(2
2
pi)2/pi(f
1
1n
 
⇒ ...
7
1
5
1
3
11
4
pi
+−+−= 
 
 
Referências Bibliográficas: 
1. Boyce/ Di Prima – Equações Diferenciais Elementares LTC 
2. Dennis Zill/ Michael Cullen - Equações Diferenciais vol 2 Makron Books 
3. George B. Thomas – Cálculo vol 2 Pearson 
4. Marivaldo P Matos – Séries e Equações Diferenciais Prentice Hall