Texto 03 Integral Dupla em Coordenadas Polares

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Universidade Salvador – UNIFACS 
Cursos de Engenharia – Cálculo IV 
Profa: Ilka Rebouças Freire 
 
Integrais Múltiplas 
 
Texto 03: A Integral Dupla em Coordenadas Polares 
 
Noções de Coordenadas Polares 
 
Introduziremos agora um novo sistema de coordenadas planas que, para certas curvas e 
problemas de lugar geométrico, apresenta algumas vantagens em relação às 
coordenadas retangulares, além de facilitar, em alguns casos, o cálculo de integrais. 
No sistema de coordenadas retangulares a localização de um ponto P do plano é dada 
através da distância de P a duas retas perpendiculares fixas denominadas de eixos 
coordenados. 
No sistema de coordenadas polares, as coordenadas de um ponto consistem de uma 
distância e da medida de um ângulo, em relação a um ponto fixo e a uma semi-reta fixa. 
Fixados um ponto O, denominado pólo ou origem e uma semi-reta de origem nesse 
ponto, denominada de semi-eixo polar podemos localizar qualquer ponto P do plano se 
conhecermos a sua distância ao pólo e o ângulo  que o segmento OP faz com o semi-
eixo polar. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
P 
r 
 
O 
semi-eixo polar 
pólo 
 2 
As coordenadas de um ponto P são representadas pelo par P( r, ) no qual 
 r é denominado raio vetor ou raio polar e corresponde à distância de P ao pólo 
  é denominado ângulo vetorial ou ângulo polar e corresponde ao ângulo de 
rotação do semi-eixo polar até o segmento OP 
  > 0 se a rotação for no sentido anti-horário 
  < 0 se a rotação for no sentido horário 
  pode ser medido em graus ou radianos 
 
Denominamos 
 eixo polar - a reta orientada que contém o semi-eixo polar 
 eixo a 90 ou eixo ortogonal – a reta que passa pelo pólo e é ortogonal ao eixo 
polar. 
Exemplo: Marcar no sistema polar os seguintes pontos: P(3, /4); Q(2,  /3); R(4, 90) e 
S(2, 0) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Podemos considerar o raio vetor como distância orientada de um ponto P ao pólo O da 
seguinte maneira: 
 Se r < 0 giramos o semi-eixo polar de ângulo  e na semi-reta oposta marcamos 
r
 unidades, a partir do pólo 
 
Exemplo: Marcar os pontos P( 2, 45); Q ( 1, 30 ); R( 2, 180) 
 
 
 
 
P 
/4 
/3 
Q 
R 
S 
/4 
P 
30 
Q 
O 
R 
 3 
 
Exemplo: Representar P1 (1, /6); P2(1, 7/6); P3( 1, 5/6); P4(1, 11/6) 
 
 
 
 
 
 
 
Observamos pelo exemplo anterior que um mesmo ponto P pode ser obtido por vários 
pares de coordenadas polares. De um modo geral, conhecidas as coordenadas de um 
ponto P(r, ), r  R e  em radianos, P também pode ser representado por ( r,  + 2n 
) ou ( r,  + 2n + ) que resulta na única expressão ( (1)n r,  + n  ), n Z. A 
menos que P seja o pólo, esta expressão representa todas as possíveis coordenadas 
polares de P. 
 
 
Observações: 
 
1. No caso de coordenadas polares não existe uma correspondência biunívoca entre 
pares e pontos, como no caso das cartesianas. É justamente este fato que leva a 
resultados que, em alguns casos, diferem dos obtidos no sistema retangular. 
2. Dados P1(r1, 1) e P2(r2, 2) então P1 = P2  r1 = r2 = 0 ou  n  Z tal que 
r2 = ( 1)
n r1 e 2 = 1 + n . 
3. Se P é o pólo, então (0, ) representa P qualquer que seja  
4. Entre os infinitos pares de coordenadas polares de um ponto P diferente do pólo, 
existe um único par com raio vetor r positivo e   [0, 2[. A este par (ro, o) tal que 
ro > 0 e 0  o < 2 denominamos par ou conjunto principal de coordenadas 
polares do ponto P. 
5. Convencionamos que o par principal do pólo é P(0,0) 
 
 
 
P1 
/6 
7/6 
P2 
P3 
5/6 P4 11/6 
 4 
Equação Polar x Equação Cartesiana 
 
Dado um ponto P do plano tendo como coordenadas polares P(r, ) e coordenadas 
cartesianas P(x,y) temos as seguintes relações entre x, y, r e . 
 
 
 
 








222 ryx
senry
cosrx
 e 







22 yxr
x
y
tg 
 
 
 
 
Exemplos: 
 
1) Encontre o conjunto principal de coordenadas polares para o ponto 
)1,3(P 
 
 
Solução: 
21)3(r 2 
 O ângulo  é tal que 
2
3
r
x
cos


 e 
2
1
r
y
sen 
 
Logo, 
6
5

 e conjunto principal de coordenadas é 
)
6
5
,2(

 
 
2) Encontre as coordenadas cartesianas do ponto 
)
4
3
,2(P


 
Solução: Temos que 









1)
2
2
(2)4/3sen(2senry
1)
2
2
(2)4/3cos(2cosrx
 
 
Logo, o ponto P tem coordenadas cartesianas P( 1, 1) 
 
 
 
r 
P(x,y) 
 5 
3) Encontre uma equação polar para as curvas cujas equações cartesianas são 
 
A) x2 + y2 = 1 
Solução: x = r cos  e y = r sen   (r cos )2 + (r sen  )2 = 1  r2 = 1 
r = 1 e r = 1 são equações polares equivalentes da circunferência de centro na origem e 
raio 1. 
 
 A equação da circunferência com centro no pólo e raio a é r = a ou r =  a 
 
 
 
 
 
 
B) Circunferência de centro no ponto ( 0, a) e raio a 
 
Solução: 
A equação cartesiana da circunferência é x2 + ( y – a)2 = a2 
Usando as relações de transformação 
x = r cos e y = r sen   (r cos)2 + (r sen  – a )2 = a2  r2 (cos2 + sen2 ) – 2arsen 
+ a2 = a2  r2 = 2arsen  r = 0 ( pólo ) ou r = 2asen. Uma vez que o pólo pode ser 
obtido na 2a equação podemos concluir que a equação da circunferência é r = 2asen. 
Analogamente, pode-se mostrar que a equação polar da circunferência de centro em (a,0) 
e raio a é r = 2acos. 
 
 
 
 
 
O 
O 
 6 
 
C) y = x 
 
Solução: r sen = r cos   tg = 1   = arctg1=
4


 
 
De uma maneira geral, a equação  = k 
representa uma reta que passa pelo pólo 
 
 
 
 
A Integral Dupla em Coordenadas Polares. 
 
As integrais duplas em coordenadas polares são as integrais nas quais o integrando e a 
região de integração são expressos em coordenadas polares. Em muitas aplicações, se 
mudamos as coordenadas retangulares para polares, o cálculo da integral é bastante 
facilitado. Isto ocorre se a região R for limitada por curvas cuja equação é mais simples 
em coordenadas polares, e, em especial, quando o integrando envolve a expressão x2 + 
y2, que, em polares , pode ser substituída por r2. 
 
Consideremos a região R delimitada pelas retas  =  e  =  e as curvas polares r = 
r1() e r = r2() 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Se as funções r = r1() e r = r2() forem contínuas e seus gráficos não se 
interceptarem, então a região é chamada de uma região polar simples 
 
O 
 =  
 =  
r1() 
r2() 
 7 
 
As idéias básicas na dedução da integral dupla em retangulares e a interpretação 
geométrica como volume são análogas no caso polar. 
No caso retangular a região R foi dividida em retângulos elementares. No caso polar 
usaremos arcos e raios para subdividir a região R nos chamados retângulos polares. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Suponhamos que f(r, ) é não negativa para que possamos interpretar a integral dupla 
como um volume, ou seja, o volume do sólido limitado por R e por f(r, ) é dado por 
 
V = 
 R dA),r(f
 
 
Consideremos um retângulo polar arbitrário Ri de ângulo central i e espessura radial 
ri. Escolhendo um ponto arbitrário ( ri, i ) dentro do retângulo, como sendo o centrodesse retângulo, o raio interno desse retângulo polar é ri  ri / 2 e o raio externo é ri + 
ri / 2. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 =  
 =  
r1() 
r2() 
 
ri 
(ri,i) 
i 
 8 
A área desse retângulo polar Ai é a diferença de área entre dois setores: 
 







 

















4
r
rrr
4
r
rrr
2
r
2
1
r
2
1
r
2
1
r
2
1
A
2
i
ii
2
i
2
i
ii
2
i
i
i
2
iii
2
iii
= ri ri i 
 
Assim, como no caso de retangulares, fazendo o número de partições da região R tender 
para infinito temos que 
V = 
 R dA),r(f
= 
 

n
1i
iiiii
n
rr),r(flim
. O limite sugere que a integral pode ser 
escrita como a integral iterada 
 R dA),r(f
=
  




)(2r
)(1r
rdrd),r(f 
. Os limites são escolhidos 
para cobrir a região R, isto é,  fixo entre  e  e r variando de r1 a r2. 
 
Observação: Apesar de termos admitido f(r, ) não negativa, pode-se mostrar que o 
resultado vale no caso mais geral. 
 
 
 
Conversão de Integrais Duplas de Coordenadas Retangulares para Polares 
 
O cálculo da integral dupla em coordenadas retangulares pode ser facilitado transferindo 
o cálculo para polares, bastando fazer a substituição x = r cos e y = r sen no integrando 
e expressando a região de integração em forma polar 
 
  
sapropriado iteslimRR
rdrd)senr,cosr(fdA)senr,cosr(fdA)y,x(f
 
 
 
 
 
 
 
 9 
Exemplos: 
1) Calcule, convertendo para polares, as seguintes integrais 
 
A) 
dAyx
R
22
 
, sendo R a região do plano limitada no 1º quadrante pelo círculo 
2yx 22 
 
 
Solução: A região R de integração corresponde à região interior ao círculo de centro na 
origem e raio 
2
, no 1º quadrante. 
 
R corresponde ao retângulo polar 








2
0
2r0 
 
 
 
 
Para converter a integral dada para polar devemos substituir no integrando 





rseny
cosrx 222 ryx 
 e o elemento de área dA = rdrd 
 
Temos assim que 









     

d
3
)2(
d
3
r
drdrrdrdrdAyx
2/
0
3
2
0
2/'
0
32/
0
2
0
2
2/
0
2
0
2
R
22
 
3
 2
6
22
6
)2(
3
)2( 3
2/
0
3 














 
 
 
B) 


R
)2y2x( dAe
, sendo R a região limitada pelo círculo x2 + y2 = 1 
 
Solução: O círculo x2 + y2 = 1 tem, em polares , equação r = 1 e  varia de 0 a 2. 
 
 10 
Portanto, os limites de integração são r = 0 a r = 1 e  = 0 a  = 2. 
A região R corresponde ao retângulo polar 





20
1r0
 
Além disso, 





rseny
cosrx 222 ryx 
 e dA=rdrd 
A integral fica 


 

  

 

   
 )e1(]
2
)e1(
[d
2
1e
d]
2
e
[rdrde 12
0
12
0
12
0
2
0
1
0
2r1
0
2r 
 
 
C) 
dA
yx
x
R 22


, sendo R a região no primeiro quadrante limitada pelo círculo 
4
1
)
2
1
y(x 22 
 
( círculo de centro no ponto (0,1/2) e raio 1/2) 
 
 
Desenvolvendo a equação 
4
1
)
2
1
y(x 22 
 : 
yyx
4
1
4
1
yyx
4
1
)
2
1
y(x 222222 
 
 
Passando para a forma polar, usando as relações 





rseny
cosrx 222 ryx 
 obtemos: 
 
 senrrsenryyx 222
 
A região R, em polar, fica 







2
0
senr0 e a integral iterada 
 
 



 
rdrd
r
cosr
dA
yx
x 2/
0
sen
0 2R 22
 
  
 2/
0
sen
0
rdrdcos 
= 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 11 
= 
6
1
]
6
sen
[d
2
cossen
d]
2
cosr
[ 2/
0
32/
0
22/
0
sen
0
2


 


 


 
 
2) Identifique a região de integração e calcule a integral iterada convertendo para 
polares 
  
1
0
2x1
0
22 dydx)yx(
 
Solução: Vamos, inicialmente, identificar a região de integração. A região R, em 
cartesianas corresponde a R: 






1x0
x1y0 2
 
 
 
 
 
 
Em polares, R corresponde ao retângulo polar 







2
0
1r0 
 
Usando as relações 





rseny
cosrx 222 ryx 
 e dA=rdrd, a integral fica 
 
    
 2/
0
1
0
3
2/
0
1
0
2 drdr rdrdr 
=
8
]
4
[
4
d
d]
4
r
[ 2/0
2/
0
2/
0
1
0
4 




 


 
 
 
3) Calcule, usando integral dupla, o volume dos seguintes sólidos Q 
 
A) Q é o cilindro de raio a e altura h 
 
Solução: O volume do sólido pode ser interpretado como o volume limitado 
inferiormente pela região R, que é uma circunferência de equação x2 + y2 = a2 e 
superiormente pelo plano z = h. 
 
 
 12 
Usando a simetria teríamos V = 4 
dxhdy
a
0
2x2a
0
 
 . Usando as coordenadas polares 
temos 
V = 4 
ha]
2
ha
[4d
2
ha
4d]
2
hr
[4rdrd h 22/0
22/
0
22/
0
a
0
/2
0
a
0
2


    

 
 
 
 
 
B) Q é o sólido limitado inferiormente pelo plano xy, lateralmente por 
4yx 22 
 e 
superiormente por 
8zy 
. 
 
Solução: Q corresponde ao tronco de cilindro cuja base é o círculo 
4yx 22 
 e 
limitado superiormente pelo plano 
8zy 
. 
O volume corresponde à integral 
 
R
dA)y8(
, sendo R a região limitada pelo 
círculo 
4yx 22 
( círculo de raio 2) 
 
A região de integração circular indica que o caminho é a resolução da integral em 
polares, cuja região é 





20
2r0
 
 
 
Convertendo para polares obtemos 









    

dsen
3
r
r4drd)senrr8(rdrd)rsen8(
2
0
2
0
3
2
2
0
2'
0
2
2
0
2'
0
 




 

32
3
8
3
8
320cos
3
8
)2cos(
3
8
32cos
3
8
16d)sen
3
8
16(
2
0
2
0
 
 
 
 
 
Referências Bibliográficas: 
1. Cálculo um Novo Horizonte – Howard Anton vol 2 
2. Cálculo com Geometria Analítica – Swokowski vol 2 
3. Cálculo B – Diva Fleming 
4. Cálculo – James Stewart vol 2