aula 18
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Explorando o Teorema 
de Pitágoras
Esperamos que, após o estudo do conteúdo desta 
aula, você seja capaz de:
 Enunciar e demonstrar o Teorema de Pitágoras.
 Conhecer episódios da história do Teorema de 
Pitágoras.
 Utilizar vários recursos para ensinar o Teorema 
de Pitágoras.
Pré-requisitos 
Para um bom desempenho nesta aula, 
basta que você se lembre das defi nições 
e propriedades elementares das fi guras 
geométricas, inclusive do próprio Teorema 
de Pitágoras. Se você sentir alguma 
difi culdade durante a aula, recorra ao seu 
material de Geometria Básica. 
Você deve ter à mão cartolina, papelão 
ou material emborrachado, para construir 
alguns quebra-cabeças do tipo Tangram 
e acrescentar ao seu laboratório 
pessoal de Geometria. 
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Meta da aula 
Instrumentalizar o ensino do 
Teorema de Pitágoras.
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Instrumentação do Ensino da Geometria | Explorando o Teorema de Pitágoras
O Teorema de Pitágoras é, certamente, o mais conhecido resultado da Matemática. 
Em qualquer ambiente fechado que estejamos, ele está presente. Pessoas sem 
qualquer iniciação matemática utilizam-no diariamente! Talvez isso explique o fato 
de os antigos egípcios já utilizarem a chamada \u201ccorda dos treze nós\u201d para marcar 
os terrenos férteis à beira dos rios. Atualmente, esse procedimento 
é muito utilizado pelos pedreiros e mestres-de-obras em geral; 
ou seja, eles constroem ângulos de 90 graus utilizando uma corda, 
formando o conhecido terno pitagórico 3, 4 e 5.
Apesar disso, os livros e os professores de Matemática insistem em 
apresentar o Teorema de Pitágoras aos estudantes, apenas ao 
fi nal do Ensino Fundamental, na oitava série. Obviamente, uma 
demonstração formal do Teorema tem como pré-requisitos a 
semelhança de triângulos e algumas manipulações algébricas que 
envolvem potência e radiciação, além de abstração e visualização 
geométricas, freqüentemente não dominadas pelos estudantes de oitava série.
Você verá, nesta aula, atividades simples que podem ser propostas desde o início do 
terceiro ciclo para desenvolver a intuição do aluno e prepará-lo para a demonstração 
formal que será feita ao fi nal do quarto ciclo do Ensino Fundamental. Por exemplo, 
o estudo dos ternos pitagóricos quase nunca é explorado nos livros didáticos e, no 
entanto, representa uma grande interação entre Álgebra e Geometria. No Ensino 
Médio, o Teorema de Pitágoras pode ser demonstrado, utilizando-se a Geometria 
Analítica, que também não costuma ser trabalhada.
Nas atividades desta aula, você estudará alternativas para explorar o Teorema de 
Pitágoras, sem, no entanto, esgotar o assunto. 
INTRODUÇÃO
Figura 18.1
Lembre-se de acessar a página da disciplina e seu conjunto de aulas na 
Plataforma Cederj. Há interessantes animações que auxiliam o desenvolvimento 
da visualização e representação. Ao acessar também os sites sugeridos na aula, 
você terá novas motivações para o estudo do Teorema de Pitágoras.
!
PITÁGORAS DE SAMOS
Como resultado do pacto de silêncio dos pitagóricos, reunidos na irmandade 
fi losófi co-religiosa fundada por Pitágoras, pouco se sabe sobre sua história e 
produção matemática. Muitos historiadores consideram lendas as informações 
biográfi cas sobre Pitágoras. Atribuem-se aos pitagóricos algumas importantes 
contribuições à Matemática, como: a soma dos ângulos internos do triângulo; 
a demonstração do Teorema de Pitágoras; a descoberta dos irracionais e a 
construção dos poliedros regulares. Saiba mais sobre Pitágoras, consultando 
http://www.calculu.cjb.net/.
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Não deixe de conversar com o tutor e com colegas, 
e de consultar a bibliografi a e os sites indicados!
!
O TEOREMA DE PITÁGORAS
Na Aula 12, de Geometria Básica, você estudou o Teorema de 
Pitágoras numa visão moderna, como uma das conseqüências da semelhança 
de triângulos. 
Teorema de Pitágoras
Em todo triângulo retângulo, o quadrado 
da medida da hipotenusa é igual à soma dos 
quadrados das medidas dos catetos (Aula 12, 
Geometria Básica ).
!
PITÁGORAS enunciava: o quadrado sobre a hipotenusa 
é igual à soma dos quadrados sobre os catetos. Esse 
enunciado deixa claro que, para Pitágoras, o Teorema 
tratava de uma relação entre áreas, diferente do que os 
nossos livros de hoje nos fazem entender.
DEMONSTRANDO O TEOREMA DE PITÁGORAS
Todos sabemos que a primeira demonstração geral do Teorema de
Pitágoras é atribuída ao próprio Pitágoras, no século VI a.C., apesar 
de seu enunciado já ser conhecido pelos babilônios dos tempos de HAMURABI, 
mais de mil anos antes. Mesmo assim, através dos séculos, o famoso Teorema 
continuou a despertar o interesse e a curiosidade dos matemáticos e inúmeras 
(mais de 100) demonstrações dele se sucederam. Nas atividades seguintes, 
apresentaremos algumas delas, começando pela atribuída a Pitágoras.
HAMURABI 
(1792-1750 a.C.)
Quase tudo que se sabe da cultura dos antigos babilônios deve-se
à descoberta de cerca de meio milhão de tábulas com escritas 
cuneiformes encontradas na região noroeste do atual Irã. Dessas, 
cerca de 400 tratam estritamente de Matemática. A maior parte 
delas, do período de 2100 a 1600 a.C., durante a primeira dinastia 
babilônica, era do rei Hamurabi.
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Instrumentação do Ensino da Geometria | Explorando o Teorema de Pitágoras
ATIVIDADES
 COMENTÁRIO 
Como foi dito, essa é a prova atribuída a Pitágoras. Além do valor histórico, ela pode 
ser apresentada aos alunos na forma de quebra-cabeças. Construa o seu material 
e o acrescente a seu laboratório pessoal.
1. Construa um quadrado em algum MATERIAL. Divida o lado em duas partes, 
digamos a e b. Construa, agora, quatro triângulos retângulos com catetos a e b 
(chamemos a hipotenusa de c), de preferência em cor diferente da utilizada no 
quadrado. Se você cobrir os \u201ccantos\u201d do quadrado com os triângulos, restará 
descoberto um quadrado de lado c. Arraste os triângulos sobre o quadrado 
para deixar descobertos dois quadrados de lados a e b.
MATERIAL
O material pode ser: cartolina, 
papelão, isopor, borracha 
imantada etc. Hoje em dia, nos 
supermercados, alguns produtos 
são empacotados em bandejas de 
isopor prensado, que podem ser 
reaproveitadas a custo zero. 2. EUCLIDES fez uma das mais elegantes demonstrações do Teorema de 
Pitágoras. O diagrama que ilustra sua idéia fi cou conhecido como \u201ccapelo 
franciscano\u201d ou \u201ccadeira de noiva,\u201d numa alusão aos chapéus utilizados 
por cardeais franciscanos ou à cadeira onde se carrega a noiva, após os 
casamentos judaicos.
Comece observando que a área do quadrado ACHJ é duas vezes a área 
do triângulo JAB, que, por sua vez, é igual a duas vezes a área do triangulo 
CAD, que é a mesma área do retângulo ADKL, isto é:
(AC)2 = 2\u2206(JAB) = 2\u2206(CAD) = ADKL
Verifi que, você mesmo, e complete a demonstração de Euclides.
A B
C
D
E
F
G
H
J
K
L
Figura 18.2
 COMENTÁRIO 
É possível que você tenha percebido que (BC)2 = BEKL e que 
(AB)2 = ADKL + BEKL = (AB)2 + (BC)2. Se você teve difi culdades, lembre-se de 
que a área de um triângulo é a metade de uma base, vezes a altura relativa a ele. 
Procure bases convenientes e relacione as áreas dos quadrados e dos triângulos. 
EUCLIDES DE ALEXANDRIA 
Viveu no século IV a.C. 
e é famoso por sua obra 
Elementos, quase toda 
dedicada à Geometria, e um 
dos livros mais conhecidos 
do mundo. Além dessa, 
outras obras dele
 sobrevivem até hoje: 
Os Dados, sobre grandezas 
e lugares geométricos; 
Divisão de Figuras, sobre 
a divisão de fi guras planas; 
Os Fenômenos, sobre 
Geometria esférica para uso 
de astrônomos e Óptica, um 
tratado sobre perspectiva ou 
geometria da visão direta. 
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