aula 12

Vamos jogar sinuca?
Ao fi nal desta aula, você deverá ser capaz de:
• Discutir o ensino de múltiplos e divisores.
• Aplicar diferentes atividades para o ensino 
de múltiplos e divisores.
• Utilizar o método investigativo nas formulações 
das atividades.
Pré-requisitos 
Para o bom acompanhamento desta aula, é necessário que você 
retome alguns conteúdos trabalhados no Ensino Fundamental 
e na disciplina Álgebra I. Como: múltiplos e divisores, números primos, 
regras de divisibilidade, algoritmo de Euclides e propriedades 
relacionadas ao MDC e MMC.
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Meta da aula 
Instrumentalizar o ensino 
de múltiplos e divisores.
12AULA
Instrumentação do Ensino da Aritmética e da Álgebra | Vamos jogar sinuca?
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No ensino tradicional, o trabalho com múltiplos e divisores é usualmente feito na 
5ª série do Ensino Fundamental. O enfoque dado ao assunto segue geralmente 
a seqüência: conceito de múltiplos e divisores, números primos, regras de 
divisibilidade, Mínimo Múltiplo Comum (MMC) e Máximo Divisor Comum (MDC). 
Encontramos nos livros didáticos esses tópicos, mais ou menos nessa ordem, 
sempre com problemas ao fi m, cujo objetivo é a fi xação do que foi estudado. 
Nessa perspectiva, o ensino de MDC e MMC se resume a técnicas, os conteúdos 
não são apresentados de forma problematizada. Além disso, ao longo 
do Ensino Fundamental e Médio, o MDC não é praticamente utilizado, e o MMC 
se limita à aplicação da técnica para reduzir frações ao mesmo denominador. 
Alguns professores questionam o ensino do MDC ou o justifi cam para que mais 
tarde, na 7ª série, possam ensinar MDC com expressões algébricas.
INTRODUÇÃO
Lembre-se de acessar a disciplina na Plataforma. Lá, você encontrará diferentes 
animações e recursos que auxiliarão sua aprendizagem na aula.
!
A INVESTIGAÇÃO 
MATEMÁTICA é uma 
metodologia atual que 
vem sendo difundida 
em Portugal, na 
Universidade de 
Lisboa. Atividades 
de investigação 
são atividades nas 
quais a ênfase é 
dada a processos 
matemáticos 
como a busca de 
regularidades, 
formulação, teste, 
justifi cativa e 
demonstração de 
conjecturas. 
Algumas das 
características de uma 
situação investigativa 
são a motivação 
e o desafi o, o que 
vem provocando 
nos alunos grande 
entusiasmo pela 
Matemática.
Pense no assunto
E você, o que acha? Que signifi cado que o estudo de MDC, MMC e regras 
de divisibilidade tiveram em sua formação? Com o assunto trabalhado 
novamente na disciplina Álgebra I, que mudanças ocorreram na formação 
desses conceitos?
Nesta aula, vamos apresentar o estudo de múltiplos e divisores 
com base na INVESTIGAÇÃO MATEMÁTICA.
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O MDC GEOMÉTRICO
Você deve conhecer alguns métodos para o cálculo do MDC. 
Nosso objetivo aqui é oferecer uma outra maneira de ensinar o 
MDC, com um enfoque geométrico.
Vamos descobrir o MDC entre 5 e 7 geometricamente. Para isso, 
considere um retângulo de dimensões 5x7, formado por 35 quadrados 
de área 1.
Qual o maior quadrado que podemos formar neste retângulo? 
É um quadrado cuja medida do lado é 5, observe:
Retirando esse quadrado, obtemos um retângulo de dimensões 5x2. 
Instrumentação do Ensino da Aritmética e da Álgebra | Vamos jogar sinuca?
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Repetimos a mesma pergunta, agora para o retângulo de dimensões 
5x2. 
Qual o maior quadrado que podemos formar neste retângulo? 
Agora, é um quadrado cuja medida do lado é 2.
Retirando esse quadrado, obtemos um retângulo de dimensões 3x2.
O maior quadrado que podemos formar nesse novo retângulo é 
novamente um quadrado de lado 2.
Enfi m, retirando mais uma vez o quadrado formado, encontramos 
um retângulo de dimensões 1x2. O maior quadrado que podemos formar 
nesse novo retângulo tem a medida do lado 1.
Quando retiramos esse último quadrado, temos na medida do 
lado do menor quadrado, o MDC entre 5 e 7.
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Assim, como você sabe, o MDC entre 5 e 7 é 1.
Podemos representar esse MDC em um mesmo retângulo, onde 
os quadrados “retirados” estão destacados. Veja:
A medida do lado do menor quadrado 
obtido no processo é o MDC entre 5 e 7.
Vamos ver outro exemplo, em que o MDC não é 1. Vamos 
encontrar por esse processo o MDC entre 4 e 6, isto é, MDC (4, 6).
O maior quadrado formado no retângulo é um quadrado 
de lado 4.
Instrumentação do Ensino da Aritmética e da Álgebra | Vamos jogar sinuca?
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Considerando agora o retângulo 4x2 que “sobrou” quando 
“retiramos” o quadrado de lado 4, o maior quadrado que podemos 
retirar agora tem lado de medida 2.
Agora, na medida do lado do quadrado que “sobrou”, temos 
o MDC (4, 6).
A medida do lado do menor quadrado 
obtido é 2. Assim, o MDC (6, 4) = 2.
ATIVIDADES 
1. Você sabe que o MDC (12, 18) = 6. Faça o processo geometricamente 
e confi ra:
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2. Faça geometricamente cada MDC indicado.
MDC (2,4) MDC (2,8) MDC (4,8)
MDC (2,6) MDC (3,6) MDC (5,15)
a. O que você observa na formação dos quadrados para o processo 
do MDC? Por que isso ocorre?
 COMENTÁRIO 
O cálculo do MDC nos casos apresentados é imediato, e você, com certeza, 
o fará de cabeça. O objetivo da atividade é que você analise as formas 
geométricas formadas no processo e relacione-as com o MDC.
Atividades como essas podem 
ser desenvolvidas com alunos
para que percebam propri-
edades do cálculo do MDC, 
como a propriedade:
Sendo m, n dois números 
inteiros não-nulos, se m divide 
n, então, MDC (m, n) = n. 
Uma outra exploração de 
propriedade é com o cálculo 
do MDC (m, 1) no qual m é um 
número inteiro não-nulo. 
!
O Algoritmo de Euclides, que você estudou na Aula 5 do curso de 
Álgebra I, é um dos métodos de cálculo do MDC entre dois números inteiros 
positivos. Caso você não se lembre, volte à aula e dê uma olhadinha.
No caso, no cálculo do MDC entre 5 e 7, temos, pelo Algoritmo 
de Euclides:
Instrumentação do Ensino da Aritmética e da Álgebra | Vamos jogar sinuca?
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7 = 1 x 5 + 2
5 = 2 x 2 + 1
2 = 2 x 1 + 0
O Algoritmo de Euclides possui um dispositivo prático conhecido 
como jogo da velha, em que efetuamos diretamente as divisões sucessivas.
quocientes 1 2 2
 7 5 2 1
restos 2 1 0
Muitos autores utilizam a disposição dos restos colocando-os a partir do 
primeiro número a ser dividido, no nosso exemplo, o 7. O processo é o mesmo, 
apenas o tipo de visualização dos “novos” divisores é modifi cado.
 1 2 2
 7 5 2 1
 2 1 0
!
Será que há alguma relação entre o Algoritmo de Euclides e o 
MDC geométrico? Observe:
7= 1 x 5 + 2
Retângulo de dimensão 7x5
Retângulo de dimensão 5x2
5= 2 x 2+ 1
2= 2 x 2+ 0
Retângulo de dimensão 2x1
Do lado de medida 7, 
retiramos 5 unidades 
e sobraram 2 unidades. 
Do lado de medida 5, 
retiramos 2 unidades 2 vezes 
e sobrou 1 unidade.
Do lado de medida 2, 
retiramos 2 vezes 1 unidade 
e não sobrou nada.
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O MMC GEOMÉTRICO
Da mesma maneira que fi zemos com o MDC, faremos com o MMC. 
Nosso objetivo, nesta aula, não é discutir os métodos que você conhece, 
mas apresentar uma outra maneira de apresentar esse conteúdo.
Para encontrar geometricamente o MMC entre dois números 
positivos, vamos considerar novamente o retângulo cujas dimensões 
são os números em questão.
Vamos calcular o MMC entre 4 e 6. Para