Aula 12

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Vamos jogar sinuca?
Ao fi nal desta aula, você deverá ser capaz de:
• Discutir o ensino de múltiplos e divisores.
• Aplicar diferentes atividades para o ensino 
de múltiplos e divisores.
• Utilizar o método investigativo nas formulações 
das atividades.
Pré-requisitos 
Para o bom acompanhamento desta aula, é necessário que você 
retome alguns conteúdos trabalhados no Ensino Fundamental 
e na disciplina Álgebra I. Como: múltiplos e divisores, números primos, 
regras de divisibilidade, algoritmo de Euclides e propriedades 
relacionadas ao MDC e MMC.
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Meta da aula 
Instrumentalizar o ensino 
de múltiplos e divisores.
12AULA
Instrumentação do Ensino da Aritmética e da Álgebra | Vamos jogar sinuca?
C E D E R J30
No ensino tradicional, o trabalho com múltiplos e divisores é usualmente feito na 
5ª série do Ensino Fundamental. O enfoque dado ao assunto segue geralmente 
a seqüência: conceito de múltiplos e divisores, números primos, regras de 
divisibilidade, Mínimo Múltiplo Comum (MMC) e Máximo Divisor Comum (MDC). 
Encontramos nos livros didáticos esses tópicos, mais ou menos nessa ordem, 
sempre com problemas ao fi m, cujo objetivo é a fi xação do que foi estudado. 
Nessa perspectiva, o ensino de MDC e MMC se resume a técnicas, os conteúdos 
não são apresentados de forma problematizada. Além disso, ao longo 
do Ensino Fundamental e Médio, o MDC não é praticamente utilizado, e o MMC 
se limita à aplicação da técnica para reduzir frações ao mesmo denominador. 
Alguns professores questionam o ensino do MDC ou o justifi cam para que mais 
tarde, na 7ª série, possam ensinar MDC com expressões algébricas.
INTRODUÇÃO
Lembre-se de acessar a disciplina na Plataforma. Lá, você encontrará diferentes 
animações e recursos que auxiliarão sua aprendizagem na aula.
!
A INVESTIGAÇÃO 
MATEMÁTICA é uma 
metodologia atual que 
vem sendo difundida 
em Portugal, na 
Universidade de 
Lisboa. Atividades 
de investigação 
são atividades nas 
quais a ênfase é 
dada a processos 
matemáticos 
como a busca de 
regularidades, 
formulação, teste, 
justifi cativa e 
demonstração de 
conjecturas. 
Algumas das 
características de uma 
situação investigativa 
são a motivação 
e o desafi o, o que 
vem provocando 
nos alunos grande 
entusiasmo pela 
Matemática.
Pense no assunto
E você, o que acha? Que signifi cado que o estudo de MDC, MMC e regras 
de divisibilidade tiveram em sua formação? Com o assunto trabalhado 
novamente na disciplina Álgebra I, que mudanças ocorreram na formação 
desses conceitos?
Nesta aula, vamos apresentar o estudo de múltiplos e divisores 
com base na INVESTIGAÇÃO MATEMÁTICA.
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O MDC GEOMÉTRICO
Você deve conhecer alguns métodos para o cálculo do MDC. 
Nosso objetivo aqui é oferecer uma outra maneira de ensinar o 
MDC, com um enfoque geométrico.
Vamos descobrir o MDC entre 5 e 7 geometricamente. Para isso, 
considere um retângulo de dimensões 5x7, formado por 35 quadrados 
de área 1.
Qual o maior quadrado que podemos formar neste retângulo? 
É um quadrado cuja medida do lado é 5, observe:
Retirando esse quadrado, obtemos um retângulo de dimensões 5x2. 
Instrumentação do Ensino da Aritmética e da Álgebra | Vamos jogar sinuca?
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Repetimos a mesma pergunta, agora para o retângulo de dimensões 
5x2. 
Qual o maior quadrado que podemos formar neste retângulo? 
Agora, é um quadrado cuja medida do lado é 2.
Retirando esse quadrado, obtemos um retângulo de dimensões 3x2.
O maior quadrado que podemos formar nesse novo retângulo é 
novamente um quadrado de lado 2.
Enfi m, retirando mais uma vez o quadrado formado, encontramos 
um retângulo de dimensões 1x2. O maior quadrado que podemos formar 
nesse novo retângulo tem a medida do lado 1.
Quando retiramos esse último quadrado, temos na medida do 
lado do menor quadrado, o MDC entre 5 e 7.
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Assim, como você sabe, o MDC entre 5 e 7 é 1.
Podemos representar esse MDC em um mesmo retângulo, onde 
os quadrados “retirados” estão destacados. Veja:
A medida do lado do menor quadrado 
obtido no processo é o MDC entre 5 e 7.
Vamos ver outro exemplo, em que o MDC não é 1. Vamos 
encontrar por esse processo o MDC entre 4 e 6, isto é, MDC (4, 6).
O maior quadrado formado no retângulo é um quadrado 
de lado 4.
Instrumentação do Ensino da Aritmética e da Álgebra | Vamos jogar sinuca?
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Considerando agora o retângulo 4x2 que “sobrou” quando 
“retiramos” o quadrado de lado 4, o maior quadrado que podemos 
retirar agora tem lado de medida 2.
Agora, na medida do lado do quadrado que “sobrou”, temos 
o MDC (4, 6).
A medida do lado do menor quadrado 
obtido é 2. Assim, o MDC (6, 4) = 2.
ATIVIDADES 
1. Você sabe que o MDC (12, 18) = 6. Faça o processo geometricamente 
e confi ra:
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2. Faça geometricamente cada MDC indicado.
MDC (2,4) MDC (2,8) MDC (4,8)
MDC (2,6) MDC (3,6) MDC (5,15)
a. O que você observa na formação dos quadrados para o processo 
do MDC? Por que isso ocorre?
 COMENTÁRIO 
O cálculo do MDC nos casos apresentados é imediato, e você, com certeza, 
o fará de cabeça. O objetivo da atividade é que você analise as formas 
geométricas formadas no processo e relacione-as com o MDC.
Atividades como essas podem 
ser desenvolvidas com alunos
para que percebam propri-
edades do cálculo do MDC, 
como a propriedade:
Sendo m, n dois números 
inteiros não-nulos, se m divide 
n, então, MDC (m, n) = n. 
Uma outra exploração de 
propriedade é com o cálculo 
do MDC (m, 1) no qual m é um 
número inteiro não-nulo. 
!
O Algoritmo de Euclides, que você estudou na Aula 5 do curso de 
Álgebra I, é um dos métodos de cálculo do MDC entre dois números inteiros 
positivos. Caso você não se lembre, volte à aula e dê uma olhadinha.
No caso, no cálculo do MDC entre 5 e 7, temos, pelo Algoritmo 
de Euclides:
Instrumentação do Ensino da Aritmética e da Álgebra | Vamos jogar sinuca?
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7 = 1 x 5 + 2
5 = 2 x 2 + 1
2 = 2 x 1 + 0
O Algoritmo de Euclides possui um dispositivo prático conhecido 
como jogo da velha, em que efetuamos diretamente as divisões sucessivas.
quocientes 1 2 2
 7 5 2 1
restos 2 1 0
Muitos autores utilizam a disposição dos restos colocando-os a partir do 
primeiro número a ser dividido, no nosso exemplo, o 7. O processo é o mesmo, 
apenas o tipo de visualização dos “novos” divisores é modifi cado.
 1 2 2
 7 5 2 1
 2 1 0
!
Será que há alguma relação entre o Algoritmo de Euclides e o 
MDC geométrico? Observe:
7= 1 x 5 + 2
Retângulo de dimensão 7x5
Retângulo de dimensão 5x2
5= 2 x 2+ 1
2= 2 x 2+ 0
Retângulo de dimensão 2x1
Do lado de medida 7, 
retiramos 5 unidades 
e sobraram 2 unidades. 
Do lado de medida 5, 
retiramos 2 unidades 2 vezes 
e sobrou 1 unidade.
Do lado de medida 2, 
retiramos 2 vezes 1 unidade 
e não sobrou nada.
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O MMC GEOMÉTRICO
Da mesma maneira que fi zemos com o MDC, faremos com o MMC. 
Nosso objetivo, nesta aula, não é discutir os métodos que você conhece, 
mas apresentar uma outra maneira de apresentar esse conteúdo.
Para encontrar geometricamente o MMC entre dois números 
positivos, vamos considerar novamente o retângulo cujas dimensões 
são os números em questão.
Vamos calcular o MMC entre 4 e 6. Paraisso, considere um 
retângulo 4x6 subdividido em quadrados cuja medida do lado é 1. 
D C
A B
Pense nesse retângulo como uma mesa de sinuca, não como 
uma qualquer, mas como uma sinuca matemática, claro. Nessa 
sinuca matemática, os vértices (A, B, C e D) são as quatro caçapas 
da mesa. A “bola” se move sempre da mesma forma. Ela sai de uma 
das caçapas e se “movimenta” pela diagonal dos quadradinhos indicados 
no retângulo. Veja:
A B
D C
Saída da bola
A B
D C
Percurso
da bola
Instrumentação do Ensino da Aritmética e da Álgebra | Vamos jogar sinuca?
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Quando essa bola chega a um dos lados dessa sinuca matemática, 
ela faz uma rotação “perfeita”, dá um giro de 900 no sentido anti-horário 
e continua seu caminho com a mesma regra.
O fato de a rotação ser no sentido anti-horário depende do vértice de onde 
sai a bola, mas a idéia é que a rotação seja feita de forma que a bola sempre 
continue no retângulo (na sinuca). 
!
Então, a bolinha roda 90º no sentido anti-horário, continua seu 
caminho e ops! Esbarra em outro lado da mesa de sinuca.
D C
A B
Novamente, a bola roda 90º no sentido anti-horário e continua. 
Esbarra mais uma vez no lado da sinuca, faz uma rotação de 90º no 
sentido anti-horário e...
D C
A B
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Encontra a caçapa indicada pelo vértice D. Fim de jogo!
Quantos quadradinhos a bolinha percorreu saindo da caçapa 
indicada pelo vértice A até chegar à caçapa indicada pelo vértice D?
– Até encontrar a parte superior da mesa, ela percorreu 4 
quadradinhos.
– Andou por mais 2 quadradinhos e encontrou a lateral direita 
da mesa.
– Mais 2 quadradinhos e encontrou a parte inferior da mesa.
– Mais 4 quadradinhos e encontrou a caçapa indicada pelo vértice D.
Percorreu, então, um total de 4 + 2 + 2 + 4 = 12, que é o MMC 
entre 4 e 6.
O resultado do MMC geométrico independe do vértice escolhido para a 
“saída da bola”. 
!
Quer outro exemplo? Então vamos fazer o MMC entre 5 e 7. 
Para isso, partiremos de um retângulo de dimensões 5x7. 
A bola sai da caçapa indicada pelo vértice A.
D C
A B
Bate na parte superior, na lateral direita, na parte inferior e na 
lateral esquerda, mas ainda não encontra a caçapa.
D C
A B
Instrumentação do Ensino da Aritmética e da Álgebra | Vamos jogar sinuca?
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Bate na parte superior, depois na inferior, na lateral direita, 
na parte superior, novamente na lateral esquerda, mas ainda não encontra 
a caçapa.
D C
A B
Por fi m, bate na parte inferior e cai na caçapa indicada pelo 
vértice C.
D C
A B
O MMC entre 5 e 7 será o número de quadradinhos que a bola 
passou. Mas, observe que a bola passou por todos os quadradinhos do 
retângulo. Assim, o MMC será a área desse retângulo, ou seja, 5x7 = 35.
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ATIVIDADES
3. Você sabe que o MMC (12, 18) = 36. Faça o processo geometricamente 
e confi ra:
D C
A B
a. Partindo do vértice A, em qual caçapa a bola cai?
4. Faça geometricamente cada MMC indicado.
a. Em cada caso, em qual caçapa a bola cairá? Observe relações entre 
números envolvidos no MMC e caçapa na qual a bola caiu. Registre suas 
conclusões.
A B
D C
MMC (2,4)
A B
D C
MMC (3,9) A B
D C
MMC (4,8)
A B
D C
MMC (2,6)
A B
D C
MMC (3,6)
A B
D C
MMC (5,15)
A B
D C
MMC (2,8)
A B
D C
MMC (1,8)
A B
D C
MMC (1,7)
Instrumentação do Ensino da Aritmética e da Álgebra | Vamos jogar sinuca?
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 COMENTÁRIO 
O objetivo da atividade não é o cálculo do MMC. Busque observar as formas 
geométricas criadas e relacioná-las com o MMC.
A exploração do MMC geométrico possibilita explorar a álgebra e a geometria 
em conjunto através das noções de área, diagonal, rotação e simetrias. 
Além da conjectura lançada no boxe explicativo, você pode formular outras, 
por exemplo, será que quando os números são primos entre si, como 
no exemplo do 5 e do 7, a caçapa sempre cai na caçapa correspondente 
ao vértice D?
Use seus conhecimentos do curso de Álgebra I para demonstrações formais 
de suas conjecturas.
!
Você reparou que tanto no exemplo feito no cálculo do MMC geométrico 
entre 4 e 6 quanto naquele entre 12 e 18 a bola caiu na caçapa D? Por que 
isso ocorreu?
A SINUCA DE SNOOKER E A INVESTIGAÇÃO MATEMÁTICA
A sinuca de SNOOKER traduz a idéia de interpretar o retângulo como 
uma mesa de sinuca. Além da exploração do MMC, outra observação 
interessante é o número de batidas da bola nas laterais da mesa até 
entrar na caçapa.
No retângulo de dimensão 4x6, se incluirmos os vértices A 
(a caçapa de onde sai a bola) e D (a caçapa onde entra a bola), quantas 
batidas a bola dará no total? Observe:
Visite a página da Confederação 
Brasileira de Bilhar e Sinuca (CBBS) 
na internet e conheça 
as regras da Sinuca 
SNOOKER.
http://www.sinuca.com.br/
sinuca/cbbs/conteudo/
Regras_Ofi cial.asp
Na página ilustrada 
a seguir http:
//www.sinuca.com.br/
sinuca/cbbs/conteudo/ 
você poderá conhecer as 
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São 3 batidas nas laterais, mais 2 nas caçapas, totalizando 5 batidas.
E no retângulo 5x7, quantas batidas são?
Por fi m, a bola bate na parte inferior e cai na caçapa indicada 
pelo vértice B.
D C
A B
São 10 batidas nas laterais mais 2 nas caçapas, totalizando 12 batidas.
Você conseguiu perceber a relação existente entre 4 e 6 e o 
total de batidas 5? E entre 5 e 7 e o total de batidas 12? Qual a regra? 
Essa generalização não é imediata.
Agora pare um pouco a leitura da aula e investigue.
Para ajudá-lo, sugerimos que você acesse o site http://illuminations.
nctm.org/tools/tool_detail.aspx?id=28. Lá você encontra possibilidade
de modificar as dimensões do tabuleiro de sinuca. Nesse recurso, a conta-
gem do número de batidas é dado por Hits, o que acelerará sua investigação.
Na tela inicial aparecerá um retângulo de dimensão 3x5.
Instrumentação do Ensino da Aritmética e da Álgebra | Vamos jogar sinuca?
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Com o mouse na bolina de sinuca, você dispara a bola.
Na sinuca fi ca indicado Hit para cada batida e toda vez que a 
bola cai na caçapa. Na parte inferior da tela, há a contagem Hits: 8, 
isso signifi ca que o número de batidas é 8.
Figura 12.1: Tela inicial do jogo de sinuca.
Figura 12.2: Tela inicial do jogo de sinuca.
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Para modifi car as dimensões da mesa, movimente os traços verticais Length 
e Width. Assim, você pode investigar todas as dimensões de mesa que quiser, 
até o máximo de 21x21, com facilidade.
Observe que, analisando o percurso da bola, essa mesa permite explorar o 
MMC geométrico também.
!
Agora, jogue sinuca, formule sua conjectura, procure validar o 
que pensou, ou seja, investigue!
Já fez suas descobertas? Fez anotações? Então, vamos 
continuar!
Qual a diferença entre o que está sendo proposto a você 
agora e um problema mais “usual”? A maioria das atividades 
realizadas nas aulas de Matemática é focada em procedimentos 
e se apresenta de forma estruturada. Estas são necessárias, 
mas com uma metodologia concentrada apenas nesse tipo de 
atividade, não proporcionamos ao aluno desenvolver algumas 
atitudes importantes em relação à Matemática.
As atividades investigativas se contrapõem às tarefas 
procedimentais e estruturadas, sendo, portanto, mais “abertas”, 
favorecendo processos de descoberta e redescoberta, numa atmosfera 
de motivação e desafi o. Quanto mais experiência o aluno tem com 
atividades de investigação, mais aberta deve ser a proposta.Por exemplo, 
no problema do número de batidas da sinuca, poderíamos ter dado as 
regras e perguntar: o que você observa?
Para o desenvolvimento de uma atividade de investigação, devem estar 
aliadas as crenças do professor acerca da matemática e da educação. Essas 
idéias infl uenciam diretamente no processo de aprendizado do aluno e 
em suas concepções. É necessário que o ensino não seja embasado apenas 
em trabalhos estruturados e que o aluno tenha oportunidade de formular 
e validar questões.
Instrumentação do Ensino da Aritmética e da Álgebra | Vamos jogar sinuca?
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No desenvolvimento de uma atividade de investigação com alunos, 
é necessário que o professor redimensione seu papel, provocando outras 
questões. Tais intervenções são essenciais para a continuidade da tarefa.
Love (1998) afi rma que, nesse tipo de atividade, o aluno tem 
oportunidade de:
 identifi car e iniciar os seus próprios problemas;
 expressar as suas próprias idéias e desenvolvê-las ao resolver 
problemas;
 testar as suas idéias e hipóteses de acordo com experiências 
relevantes;
 defender racionalmente as suas idéias e conclusões e submeter as 
idéias dos outros à crítica ponderada.
Voltando ao problema proposto a você, vamos analisar o número 
de batidas de alguns casos nos quais os números são primos entre si, ou 
seja, quando o MDC entre os números é 1.
Dimensões da mesa Número de batidas
5x7 12
3x7 10
2x9 11
7x11 18
15x16 31
:
:
:
:
Analisando este caso, podemos CONJECTURAR que, quando os números 
são primos entre si, o número de batidas é a soma desses números.
Será que essa primeira sensação é verdadeira? Vamos analisar 
casos em que o MDC entre os números não seja 1.
CONJECTURAR
Emitir uma opinião 
sem fundamentos 
precisos.
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Dimensões da mesa Número de batidas
4x6 5
10x20 3
9x12 7
14x21 5
15x18 11
:
:
:
:
Não, o número de batidas não é a soma dos números envolvidos. 
Mas existe uma relação com a soma.
Dimensões da mesa Número de batidas Soma dos números das 
dimensões da mesa
4x6 5 10
10x20 3 30
9x12 7 21
14x21 5 35
15x18 11 33
:
:
:
:
:
:
Os números da segunda coluna estão relacionados com os números 
da terceira coluna através de uma divisão.
Dimensões da mesa Número de batidas Soma dos números das 
dimensões da mesa
4x6
5 =
10
2
10
10x20
3 =
30
10
30
9x12
7 =
21
3
21
14x21
5 =
35
7
35
15x18
11 =
33
3
33
:
:
:
:
:
:
Instrumentação do Ensino da Aritmética e da Álgebra | Vamos jogar sinuca?
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E o divisor em questão é o MDC entre os números das dimensões 
da mesa.
Dessa forma, podemos expressar o número de batidas por: 
m + n
mdc (m,n)
.
No livro Investigações matemáticas na sala de aula, 
dos autores João Pedro da Ponte, Joana Brocado e Hélia 
Oliveira, da Editora Autêntica, você encontrará vários 
registros de alunos a respeito desse problema.
!
MÚLTIPLOS, DIVISORES, MMC E MDC
Vimos dois processos, um para o cálculo de MDC e outro para 
MMC. Estes dão possibilidades de várias explorações e conexões com 
a Matemática. Entretanto, é importante que o professor tenha em mente 
que o trabalho com múltiplos e divisores e posteriormente com MDC e 
MMC não pode estar restrito à repetição de procedimentos. Para isso, 
é necessário que os conceitos sejam trabalhados.
Estas são algumas crenças de alunos a respeito de múltiplos e 
divisores no Ensino Fundamental e Médio:
I. 2 ÷0 = 2.
II. 0 ÷5 = 5.
III. 0 ÷0 = 1.
IV. –6 não é múltiplo de 3 porque é negativo.
V. –5 não é divisível por 1 porque é negativo.
VI. O MMC é sempre positivo.
VII. O MDC é sempre positivo.
VIII. 1 é primo.
Essas crenças estão todas erradas?
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O conceito de divisibilidade envolve dois números inteiros. 
Como você viu na Aula 5, da disciplina Álgebra I:
Dados dois inteiros m e n, dizemos que m divide n se existe um 
inteiro q tal que n = qm. Nesse caso, dizemos que m é divisor de n ou 
“n é múltiplo de m”.
Assim, o conceito de divisor de um número é válido para números 
positivos e negativos. Acontece que os números positivos são trabalhados 
primeiro, e quando os alunos trabalham com números negativos, esses 
conceitos não são retomados. Isso faz com que o aluno pense como nos 
itens IV e V, uma vez que nada foi falado a ele a esse respeito.
No caso das divisões, qual o resultado de 2 ÷0?
De acordo com a defi nição dada, se 0 fosse divisor de 2, existiria 
um número inteiro q tal que 2 = 0.q. Como todo número inteiro 
multiplicado por 0 é 0, 2 ÷0 não existe. Assim, a crença que 2 ÷0 = 2 
(I) está errada.
A propriedade 0.q = 0 para qualquer número inteiro q é uma propriedade de 
anéis. Preste atenção nesse fato no estudo da estrutura de anéis.
!
O caso em que 0 ÷5 = 5 (II) também não se justifi ca. De acordo 
com o que foi visto, se 5 divide 0, existe q tal que 0 = 5.q. O único número 
inteiro que satisfaz a igualdade é q = 0, assim, o resultado de 0 ÷5 = 0.
Vamos analisar agora a crença (III): 0 ÷0 = 1. Você observou que, 
de acordo com a defi nição feita na disciplina Álgebra I, não há restrição 
inicial ao fato de o divisor ser 0?
Se o divisor é 0, ou seja n = 0, m também deverá ser 0. Nesse caso, 
o valor de q na expressão 0 = q.0 não será único. Como uma operação 
matemática tem resultado único, costuma-se excluir o caso em que o 
divisor é 0. Assim, assumimos que o divisor é n (n ≠ 0). Por isso, dizemos 
que 0 ÷0 não existe (III).
O trabalho de MDC e MMC com alunos de Ensino Fundamental 
é muito focado nas técnicas. Cabe lembrar que o MDC e o MMC são 
sempre positivos. Revise essas defi nições nas Aulas 5 e 6 da disciplina 
Álgebra I. Assim, as crenças (VI) e (VII) estão corretas.
Instrumentação do Ensino da Aritmética e da Álgebra | Vamos jogar sinuca?
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Para relembrar, o conjunto dos divisores positivos de um número 
é um conjunto finito. Quando falamos de MDC entre dois 
números, estamos nos remetendo ao MAIOR número que divide os dois 
números ao mesmo tempo.
Por exemplo, o MDC (6, 8) é o maior número positivo que divide 
6 e 8 ao mesmo tempo. Os divisores positivos do 6 são 1, 2, 3 e 6, 
e os divisores do 8 são 1, 2, 4, e 8. O maior número positivo que é divisor 
de 6 e 8 ao mesmo tempo é o 2. Assim, MDC (6, 8) = 2.
Como falamos antes, muitos professores são contra o estudo do MDC, 
pois afi rmam que o assunto não tem utilização nem no Ensino Fundamental, 
nem no Médio. Dizem, ainda, que os problemas que envolvem o MDC são 
artifi ciais, o que, na maioria dos casos, é verdade. Outros defendem que 
o MDC é importante no estudo das relações entre números e que o Algoritmo 
de Euclides deve ser estudado. As duas idéias devem ser respeitadas e 
questionadas por você, futuro professor de matemática.
!
No estudo do MDC, as idéias de encontrar divisores comuns e 
de que o MDC deve ser o maior deles não devem ser descartadas, e o 
ensino do tema não pode ser restrito ao procedimento, seja por fatoração, 
pelo Algoritmo de Euclides ou pelo método geométrico.
O mesmo deve ocorrer com o estudo do MMC. O conjunto dos 
múltiplos de um número inteiro é um conjunto infi nito. Quando falamos 
do MMC entre dois números inteiros positivos, nos remetemos à idéia do 
MENOR número possível que ao mesmo tempo é múltiplo desses dois 
números envolvidos.
Por exemplo, o MMC (6, 8).
M6 = {0,.± 6, ± 12, ± 18, ± 24, ± 30, ± 36, ± 42, ± 48, ± 54, ...}
M8 = {0, ± 8, ± 16, ± 24, ± 32, ± 40, ± 48, ± 56, ...} 
Os múltiplos comuns a 6 e a 8 são 0, 
M6∩M8 = = {0,± 24, ± 48, ...}.
Assim, o MMC (6, 8) é o menor número positivo desse conjunto, 
ou seja, 24.
Agora, só falta analisar a afi rmação VIII. Para isso, vamos recordar 
o que é um número primo. Um número é dito primo quando tem 
exatamente dois divisores diferentes. Caso tenha mais de dois divisores 
diferentes, é chamado composto. De acordo com o que foi dito, o número 
1 não é primo, tampouco composto.
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ATIVIDADES 
5. Observe a situação-problema:
A Confederação Internacional dos Jogadores de Bolinhas de Gude realiza 
um torneio a cada cinco anos. O primeiro ocorreu em 1987, o segundo, 
em 1992 e assim por diante.
a. Os números 1988, 1993, 1998 e 2003 são múltiplos de 5?
b. Os números 1988, 1993, 1998 e 2003 são múltiplos de 5 somados com 3?
c. Se o campeonato continuar a ser realizado a cada cinco anos, haverá 
torneiro em 2068?
d. Além dos múltiplos de 5, o que está sendo abordado no problema?
6. Considere o problema a seguir.
a. Se um número inteiro é múltiplo de 3, o mesmo acontece com o seu 
quadrado? E com a sua décima potência?
b. Escreva uma forma de explorar esse problema com alunos de 5ª ou 6ª série.
c. Escreva agora uma forma de explorar o problema, com alunos de 7ª 
ou 8ª série.
 COMENTÁRIO 
Um modo de você pensar na diferença da exploração possível em cada 
item é ter em mente que, com alunos de 5ª ou 6ª série, devemos buscar 
generalizações, mas a manipulação dos símbolos algébricos ainda não é o 
foco principal, ao passo que, com alunos de 7ª ou 8ª série, o professor deve ter 
dentre seus objetivos exatamente a manipulação de símbolos algébricos.
O trabalho com múltiplos 
não deve ficar restrito à 
exploração imediata do con-
ceito e às regras de divisi-
bilidade. Algumas situ-
ações-problema que explo-
ram seqüências de múltiplos 
somados com um número, ou 
seja, seqüências de números 
que deixam o mesmo resto 
na divisão por um número 
inteiro não-nulo, no caso 3, 
devem ser trabalhadas com 
alunos. 
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C E D E R J52
7. Considere os problemas a seguir.
Em uma estrada de 360km, de um lado há postes de 12 em 12 quilômetros 
a partir do quilômetro zero e do outro há árvores de 18 em 18 quilômetros, 
também a partir do quilômetro zero.
a. De quantos em quantos quilômetros haverá um poste na mesma direção 
de uma árvore?
Tenho 18 livros de Matemática e 12 livros de Português. Quero arrumar 
esses livros em prateleiras só com livros de Matemática ou só com livros 
de Português, de maneira que, em cada prateleira, eu tenha o maior 
número possível de livros.
b. Quantos livros colocarei em cada prateleira?
c. Quantas prateleiras usarei? 
d. Esses problemas são usualmente apresentados em livros como 
problemas envolvendo MDC e problemas envolvendo MDC. Você acha 
necessário o estudo do MDC e do MMC para resolver esses problemas? 
Você acha interessante trabalhar esses problemas com alunos? Registre 
suas observações e discuta com seu tutor.
Ser professor exige um olhar atento sobre o que é trabalhado e a maneira 
como esse trabalho é feito. Procure sempre refl etir sobre o que você está 
ensinando! 
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COMPREENDENDO REGRAS DE DIVISIBILIDADE
O que são regras de divisibilidade? O número 12.345.678 é 
divisível por 2? O número 789.567 é divisível por 5? E o número 
345.687.390 é divisível por 10? Você rapidamente deve ter respondido 
que 12.345.678 é divisível por 2, que 789.567 não é divisível por 5 
e que 345.687.390 é divisível por 10 sem ter feito nenhum cálculo. 
Você provavelmente pensou que 2.345.678 é par, que 789.567 não termina 
em 0, nem em 5, e que 345.687.390 termina em 0. Por meio das chamadas 
regras de divisibilidade, podemos saber se um número é divisível ou não 
por outro sem efetuar a divisão entre respectivos números.
As regras de divisibilidade são geralmente dadas aos alunos sem 
que haja uma exploração dos porquês. As regras de divisibilidade mais 
úteis aos alunos são as de 2, 3, 5, 6, 9 e 10.
As regras de divisibilidade dos números 2, 5 e 10 são facilmente 
percebidas pelos alunos por meio da análise dos padrões formados pelos 
respectivos múltiplos, representados em uma tabela.
A regra do 6, após o aluno saber as regras de divisibilidade por 2 
e por 3, pode ser facilmente percebida também, pois 6 = 3x2, e a regra 
de divisibilidade por 6 envolve uma conjunção, ou simultaneidade, 
já que o número pode ser divisível por 2 e por 3 ao mesmo tempo.
As regras de divisibilidade por 3 e por 9 são mais artifi ciais se 
forem apenas dadas sem justifi cativa. Vale lembrar que:
Se um número é divisível por 3, então a soma de seus algarismos 
é divisível por 3, e, se um número é divisível por 9, então a soma dos 
seus algarismos é divisível por 9.
A difi culdade de justifi car algebricamente essa regra está na 
generalização da escrita do número na base 10, pois, nesse caso, teríamos de 
supor um número de n algarismos, e a escrita fi ca difícil para alunos 
de 5ª ou 6ª séries.
Podemos, então, justifi car essas regras aos alunos supondo um 
número de três ou quatro algarismos. Por exemplo, para saber qual a 
condição necessária para que um número seja divisível por 3, supondo 
um número de quatro dígitos (ABCD), vamos recorrer à sua escrita no 
sistema de numeração decimal.
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C E D E R J54
A escrita de (ABCD) entre parênteses foi utilizada para reforçar que A, B, C e D 
são algarismos e diferenciá-la da escrita de multiplicação de quatro números.
(ABCD) = 1000A + 100B + 10 C + D
Mas,
1000A = 999A + A
100B = 99B + B
10C = 9C + C
Assim, (ABCD) = 999A + A + 99B + B + 9C + C + D.
Reorganizando as parcelas, temos:
(ABCD) = 999A + 99B + 9C + A + B + C + D.
Como 999A + 99B + 9C é divisível por 3, se A + B + C + D também for, 
o número (ABCD) também será. A regra da divisibilidade por 9 pode ser 
justifi cada da mesma maneira.
Se houver difi culdade dos alunos em relação à regra com “letras”, 
o professor pode trabalhar o raciocínio com exemplos, explorando o que 
ocorre de diferente com a soma dos algarismos, os números, no caso de 
serem ou não divisíveis por 3 ou por 9.
ATIVIDADE 
8. Um número natural formado por três algarismos iguais é sempre múltiplo 
de 37? Por quê?
 COMENTÁRIO 
Você pode realizar divisões por números ou pensar dedutivamente, 
orientando-se pelo boxe explicativo anterior.
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ATIVIDADE FINAL
Crivo de Eratóstenes
Na tabela, risque o número 2 e todos os seus múltiplos com lápis de uma 
determinada cor.
Depois, risque o 3 e todos os seus múltiplos com lápis de outra cor.
E assim, sucessivamente, para o 4, o 5, o 6, o 7 até o 99.
a. Que números têm apenas um risco? O que eles têm em comum?
b. Observe a cor com que você riscou o número 6 e seus múltiplos e a que você 
utilizou para riscar o número 8 e seus múltiplos. Que números têm riscos nestas duas 
cores ao mesmo tempo? Com base em sua resposta, qual é o MMC entre 6 e 8?
c. Observe os riscos que você fez nos múltiplos de 2 e nos múltiplos de 4. Existem 
números que têm o risco da cor do 2 e não têm da cor do 4? Existem números que 
têm riscos na cor do 4 e não têm na cor do 2? O que você pode concluir?
d. O número 1 não foi pintado. O que isso signifi ca?
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
61 62 63 64 65 66 67 68 69 70
71 72 73 74 75 76 77 78 79 8081 82 83 84 85 86 87 88 89 90
91 92 93 94 95 96 97 98 99 100
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 COMENTÁRIO 
Esta atividade é um exemplo para ser aplicado com alunos no trabalho com 
múltiplos e divisores e com números primos. Não deve haver difi culdades 
em fazê-la, o importante é que você refl ita sobre o que lhe está sendo pedido 
nos itens e em como a atividade favorece a concretização de algumas 
propriedades. A mesma atividade pode ser utilizada para reconhecer os 
divisores de um número. 
CONCLUSÃO
Quando falamos das atividades investigativas, vale destacar um 
importante aspecto do ensino da Matemática: aliar uma metodologia 
consistente ao conhecimento do professor.
A divisão por zero, por exemplo, deve ser analisada pelo professor 
por meio de suas próprias difi culdades e da maneira como as esclareceu. 
Isso pode gerar excelentes contextos para o trabalho de sala de aula.
Além das atividades de investigação, para o trabalho com 
múltiplos e divisores, o professor dispõe de excelentes problemas 
e jogos. Muitos estão presentes nos livros didáticos e outros podem ser 
criados pelo próprio professor.
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A exploração do MDC e do MMC geométricos são exemplos de processos para 
o cálculo dos mesmos que podem ser usados em sala de aula. Os dois consideram 
inicialmente um retângulo onde os quadrados de 1 unidade de área estão 
destacados, formando uma malha.
No processo do MDC, a idéia é a retirada dos maiores quadrados formados. 
Nesse processo, a medida do lado do menor quadrado é o MDC entre os números 
que são as medidas dos lados do retângulo inicial. No MMC, trabalhamos com 
a idéia de mesa de sinuca. A “bola” parte de um dos vértices e faz “tabelas” até 
chegar a outro vértice. O número de quadradinhos que percorreu é o MMC entre 
os números que compõem as dimensões do retângulo.
Na sinuca de Snooker, além de manipular novamente o MMC geométrico usando 
a internet, exploramos o “número de batidas”. Encontramos uma relação entre os 
números da medida dos lados do retângulo e o MDC.
Algumas questões sobre o ensino de múltiplos e divisores foram enfatizadas, 
como a divisão por zero e as restrições dadas aos cálculos do MDC e do MMC. 
Os critérios de divisibilidade foram resgatados onde exploramos, em particular, 
as justifi cativas dos critérios da divisibilidade por 3, em que a soma dos algarismos 
do número deve ser divisível por 3 e por 9, e em que a soma dos algarismos do 
número deve ser divisível por 9.
AUTO-AVALIAÇÃO
Os MDC e MMC geométricos foram duas maneiras apresentadas para abordar os 
processos de cálculo dos mesmos, em que exploramos algumas regularidades 
também. Verifique se você atingiu essa perspectiva nas Atividades 2 e 4. 
Na sinuca de Snooker, você utilizou a tecnologia no ensino da matemática, 
não como uma atividade à parte, mas inserida em um processo de investigação 
que foi exposto a você no decorrer do tópico. Questionamos, também, aspectos 
do ensino de múltiplos e divisores, regras de divisibilidade focalizando 
as dificuldades encontradas por alunos nesse estudo. Na Atividade Final, 
além de identifi car esses aspectos, uma boa avaliação é pensar em outras questões 
que esse contexto permite explorar.
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RESPOSTAS
Atividade 1
Menor quadrado formado tem 
medida do lado 6
Atividade 2
Faça geometricamente cada MDC indicado.
MDC (2,4)=2 MDC (2,8)=2 MDC (4,8)=4
MDC (2,6)=2 MDC (3,6)=3 MDC (5,15)=5
a. Em cada um dos casos do processo do MDC geométrico, todos os quadrados (tanto 
os “retirados” quanto o último) são congruentes. Isso ocorre porque os números 
envolvidos no MDC são múltiplos. Quando pensamos no maior quadrado possível, 
a medida do lado desse quadrado será o menor número envolvido no processo.
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Atividade 3
A B
D C
a. A bola cai na caçapa D, percorrendo um total de 36 quadradinhos.
Atividade 4
A B
D C
MMC (2,4)=4
A B
D C
MMC (3,9)=9 A B
D C
MMC (4,8)=8
A B
D C
MMC (1,8)=8
A B
D C
MMC (3,6)=6 A B
D C
MMC (5,15)=15
A B
D C
MMC (2,6)=6
A B
D C
MMC (2,8)=8
A B
D C
MMC (1,7)=7
Instrumentação do Ensino da Aritmética e da Álgebra | Vamos jogar sinuca?
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a. Observe que, em alguns casos, a bola cai na caçapa C e, em outros, na B, 
mas em todos os casos os números envolvidos são múltiplos. No MMC entre 3 e 9, 2 e 6, 5 
e 15 e 1 e 7, a bola caiu na caçapa indicada pelo vértice C. Já no MMC entre 2 e 4, 4 e 
8, 3 e 6, 2 e 8 e 1 e 8, a bola cai na caçapa indicada pelo vértice B. Uma possibilidade 
de generalização é a seguinte:
Sejam m e n dois números inteiros positivos tais que m divide n. Se m ÷n é ímpar, 
então a bola cai na caçapa indicada pelo vértice C, entretanto, se m÷n é par, a bola 
cai na caçapa indicada pelo vértice B.
Busque justifi car seu argumento.
Atividade 5
A resposta encontra-se no boxe de atenção.
Atividade 6
a. Esta questão não tem resposta fechada. Muitas questões devem ser levadas em 
consideração pelo professor quando aborda uma situação-problema com alunos. 
Veja, a seguir, uma forma de abordá-la, mas procure pensar em outras e discuta 
com seu tutor.
b. Uma possibilidade de manipulação é usar uma tabela, onde exploramos as 
potências dos números múltiplos de 3, em alguns casos concretos, trabalhando com 
a escrita de múltiplos de 3 em forma de produto e com a propriedade de potenciação 
(a.b)n = an.bn. Através da investigação, o aluno pode buscar uma argumentação.
Número divisível por 3 Elevado à 2ª potência Elevado à 3ª potência ... Elevado à 10ª potência
0=0x3 (0x3)2 = 02.32 (0x3)3 = 03.33 ... (0x3)10 = 010.310 
3=1x3 (1x3)2 = 12.32 (1x3)3 = 13.33 ... (1x3)10 = 110.310
6=2x3 (2x3)2 = 22.32 (2x3)3 = 23.33 ... (2x3)10 = 210.310
9=3x3 (3x3)2 = 32.32 (3x3)3 = 33.33 ... (3x3)10 = 310.310
12=4x3 (4x3)2 = 42.32 (4x3)3 = 43.33 ... (4x3)10 = 410.310
15=5x3 (5x3)2 = 52.32 (5x3)3 = 53.33 ... (5x3)10 = 510.310
18=6x3 (6x3)2 = 62.32 (6x3)3 = 63.33 ... (6x3)10 = 610.310
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33=11x3 (11x3)2 = 112.32 (11x3)3 = 113.33 ... (11x3)10 = 1110.310
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A partir da análise da tabela, o aluno pode concluir que sempre haverá pelo 
menos um fator 3 na escrita do número em forma de potência, logo, nos dois 
casos, elevando-se um número ao quadrado ou à décima potência, o número será 
divisível por 3.
c. A partir da 7ª série, o professor pode desenvolver com seus alunos raciocínios como 
o apresentado na tabela, a diferença pode ser apenas no tipo de argumentação 
dos alunos. Pode-se buscar argumentações que considerem a escrita algébrica. 
Por exemplo: se um número n é divisível por 3, podemos escrevê-lo como n = 
3m. Neste caso, n2 = 32m2 apresenta um fator 3 na expressão (precisamente dois 
fatores 3), sendo assim, divisível por 3. A décima potência também apresenta um 
fator 3 na expressão (precisamente dez fatores 3), sendo também divisível por 3. 
Observe: n10 = 310m10.
Atividade 8
Sim, todos os números naturais de três algarismos iguais são múltiplos de 37. 
Para justifi car, você pode efetuar a divisão por 37 dos números 111, 222, 333, 444, 
555, 666, 777, 888 e 999, ou pode optar por um raciocínio dedutivo.
Nesse caso, podemos escrever um número da forma AAA como 100A + 10A + A, 
mas 100A = 37A + 37A + 26A, assim, o número (AAA) = 37A + 37A + 26A + 10A 
+A = 37A + 37A + 37A = 3x37A.Logo, o número (AAA) é divisível por 37. 
Atividade Final
a. 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 
83, 89, 93, 97. Todos possuem apenas dois divisores, 1 e ele mesmo, ou seja, são 
números primos.
b. 24, 48, 72 e 96. É o 24.
c. Sim, o 6 por exemplo. Não. Todo múltiplo de 4 é múltiplo de 2, mas nem todo 
múltiplo de 2 é múltiplo de 4.
d. Ele não é primo nem composto.