aula 19

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Movendo discos, formando 
torres e pensando 
indutivamente
Esperamos que, após o estudo do conteúdo desta aula, 
você seja capaz de:
 Utilizar as Torres de Hanói como recurso de aprendizagem.
 Estudar regularidades.
 Aplicar o conceito de função na análise de movimentos 
de peças das Torres de Hanói
 Refl etir criticamente sobre a avaliação em Matemática.
Pré-requisitos 
Para o bom desenvolvimento desta aula, é aconselhável que você revise 
o princípio da indução fi nita (ou matemática), na Aula 4 
da disciplina Álgebra I.
ob
jet
ivo
s
Meta da aula 
Instrumentalizar o trabalho 
com as Torres de Hanói.
19AULA
Instrumentação do Ensino de Aritmética e Álgebra | Movendo discos, formando torres e pensando 
 indutivamente
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Conforme você identifi cou nos objetivos desta aula, revisaremos o conceito 
de função e de indução fi nita utilizando um jogo: Torres de Hanói. Apesar 
de a importância do uso de jogos em aulas de Matemática ser sempre ressaltada, 
muitos professores não o incluem em seus planejamentos. É comum utilizarem 
jogos e situações lúdicas apenas como passatempos. Esta não é nossa proposta, 
conforme você perceberá nesta aula. 
INTRODUÇÃO
Além de promover a socialização e despertar o espírito investigativo, 
importantes no processo de matematizar, o jogo provocará mudanças de 
atitude em relação ao erro. Assim, professor e aluno passarão a reconhecer 
o erro como potencial no processo de matematização. 
!
O JOGO E A PRÁTICA EM SALA DE AULA
Por ser o jogo uma atividade inata às crianças, o professor pode 
aproveitar o lúdico para fazer com que o processo ensino-aprendizagem, 
em especial o de Matemática, seja mais motivador e divertido, sem que 
a prática pedagógica seja confundida com falta de proposta educativa. 
Segundo Giménez e Rosich (1998), um jogo possui as características 
de vertente lúdica, fator de azar, tempo limitado e conteúdo curricular 
implícito. Como componente lúdico, o jogo confere um valor motivacional 
de atitudes e de predisposições ao livro didático. No mais, fomenta 
o processo de socialização, uma vez que tem um componente social 
indubitável, na medida em que estabelece efetivas reações de aceitação, 
cumprimento de regras etc. O azar é um dos principais elementos sociais 
do jogo, por desenvolver no aluno o hábito de ganhar ou perder como 
inerente ao processo. O tempo e o número limitado de movimentos 
de um jogo fazem com que seja possível utilizá-lo também como base de 
situações didáticas, e o conteúdo curricular (conceitos, procedimentos e 
atitudes) do jogo não pode fi car em segundo plano. 
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O MITO (FERRERO, 1991; MACHADO, 1992) DO TEMPLO DE BENARES, no qual 
Deus, no momento da criação, colocou 64 discos de ouro puro, todos de tamanhos 
diferentes, em uma das três agulhas de diamante fi xadas numa placa de cobre. 
O maior disco seria a base da torre, e o menor, seu topo: era a Torre de Brahma. 
A tarefa dos sacerdotes do templo seria transportar a torre para outra agulha 
de diamante, movendo um disco de cada vez, nunca colocando um disco maior 
sobre outro menor. 
Ainda segundo o mito, quando a tarefa fosse cumprida, o mundo desapareceria.
Como você viu, o jogo também nos permite matematizar. 
Consideramos matematizar como um processo construtivo, fortalecido 
pela interação pessoa/grupo, na qual as idéias matemáticas constituem 
e são constituídas de signifi cações e sentidos, a partir do que “falam” 
(gesticulam, desenham ou qualquer outra maneira de representar 
e comunicar suas idéias) os alunos. Complementa Powell (1996): 
matematizar é um processo natural, inerente ao ser humano, devendo 
ser propiciado desde a infância; depende da capacidade que todos os seres 
humanos têm de tomar consciência de um evento ou acontecimento. 
Propor diferentes jogos como detonadores do processo de matematização 
e refl etir continuamente sobre a prática avaliativa em Matemática devem ser 
objetivos constantes do professor.
!
Vejamos, então, o jogo Torre de Hanói (ou Torres de Hanói), 
bastante conhecido pelos professores.
O JOGO TORRE DE HANÓI
Este jogo foi construído a partir de um interessante MITO INDIANO 
DO TEMPLO DE BENARES. 
O jogo Torre de Hanói tem caráter motivador e aspecto 
investigativo que se adaptam a diferentes séries. Sua regra: mover um 
disco de cada vez e sempre impedir que um disco maior fi que sobre 
um menor. O desafi o é descobrir o número mínimo de movimentos que 
podem ser realizados para deslocar determinada quantidade de discos 
de uma torre a outra. Veja, a seguir, a ilustração de um jogo com seis 
discos e três torres.
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Figura 19.1: Exemplo de um jogo com seis discos.
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O jogo é encontrado facilmente em lojas de materiais pedagógicos, mas 
também pode ser construído utilizando-se madeira, cartolina, papelão ou 
até mesmo moedas.
Supomos que você esteja muito empolgado e interessado em 
conhecer melhor o jogo, fazendo-o você mesmo.
ATIVIDADE
1. Consiga ou construa um jogo Torres de Hanói e jogue-o.
 COMENTÁRIO 
Inicialmente, não se preocupe em encontrar o número mínimo de movimentos. 
Este primeiro contato exploratório, jogando livremente, é importante no 
processo de reconhecimento e familiarização com o recurso. Lembre-se 
das regras: (1) mover um disco de cada vez, e (2) um disco maior não 
pode fi car sobre um menor. Não se esqueça de anotar suas descobertas e 
questionamentos.
Como você sabe, a internet pode ser uma grande aliada do professor em 
suas aulas, seja na busca de informações para elaborar planejamentos, seja 
como recurso para desenvolver atividades matemáticas. Assim, caso tenha 
possibilidade de acesso à rede, realize a atividade seguinte.
Lembre-se de que o desafi o é 
descobrir o número mínimo 
de movimentos que podem 
ser realizados para mover 
determinada quantidade de 
discos de uma torre a outra.
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ATIVIDADE COMPLEMENTAR 
1. Acesse http://www.fortalnet.com.br/jogos/hanoi/hanoi.htm e jogue. 
Este site também está disponível na Plataforma CEDERJ. 
Acesse-a constantemente!
!
 COMENTÁRIO 
Jogar na internet ou utilizar o programa do jogo salvo num arquivo 
específi co e comparar suas descobertas, após manipular o jogo, podem 
ser ricas experiências de aprendizagem. Anote suas observações sobre esta 
comparação num quadro como o seguinte.
Torre de Hanói Observações: facilidades, difi culdades, 
curiosidades, diferenças etc.
Manipulando o jogo
Jogando na internet ou 
no programa salvo
Quadro 19.1: Respostas da Atividade Complementar 1
Converse com o tutor e com os colegas. Caso não consiga realizar 
a atividade complementar, por problemas de conexão ou quaisquer 
outros, não se preocupe: se fez a Atividade 1 e registrou suas descobertas 
e questionamentos, podemos continuar, sem problemas.
Supomos que você tenha feito várias observações sobre o seu primeiro contato 
com o jogo. Pela experiência que temos com nossos alunos, encontrar o 
número mínimo de movimentos não é tão simples nas primeiras tentativas. 
No entanto, todo este processo é imprescindível para o desenvolvimento crítico 
do pensamento algébrico.
!
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ATIVIDADE
2. Com base em suas anotações feitas na Atividade 1, tente responder ao 
desafi o do jogo, construindo e preenchendo a tabela seguinte:
 COMENTÁRIO 
Você deve ter percebido que tentar descobrir o númeromínimo de movimentos 
para o maior número de discos da torre que você tem não é simples; 
exige várias tentativas, que, muitas vezes, divergem no resultado fi nal. Para isso, 
a construção da tabela é importante. Desta forma, você pode registrar o 
número mínimo de movimentos e ir identifi cando regularidades. 
Você verá que, ao perceber 
determinadas regularidades 
e estar realmente convencido 
delas, não necessitará mais 
manipular sempre o mate-
rial. No entanto, se sentir 
necessidade, jogue; é impor-
tante. 
!
Número de discos Número mínimo de movimentos
1
2
3
4
5
6
Tabela 19.1: Respostas da Atividade 2
Antes de continuar a leitura da aula, sugerimos que você converse 
com colegas e com o tutor sobre suas descobertas e difi culdades com 
as Torres de Hanói. Não se esqueça de anotá-las, pois precisará delas 
na Atividade Final.
É possível que você já tenha se dado conta de que, no trabalho 
com as torres, utilizamos RACIOCÍNIO INDUTIVO. 
RACIOCÍNIO INDUTIVO
Conforme você estudou em Álgebra I, uma forma de demonstrar certos resultados 
matemáticos é mediante o uso da indução matemática. Este princípio tem base no 
fato de qualquer subconjunto dos números naturais conter um elemento mínimo. 
Por isso, o raciocínio indutivo deve ser utilizado exclusivamente para demonstrar as 
proposições dadas por números naturais. Para utilizarmos a indução matemática, temos 
de contemplar três etapas: (1) verifi car se P(n) é verdadeira para o menor número, onde 
P(n) está defi nida; (2) supor que P(n) é verdadeira para todo número; (3) provar que 
P(n+1) também é verdadeira. 
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Lembra-se dos seus diários produzidos para Instrumentação 
de Geometria? Nesta aula, você conhecerá e analisará parte de diários 
produzidos por alunos do Ensino Médio e do Ensino Superior sobre 
o trabalho com Torres de Hanói. Inicialmente, relembremos o roteiro que 
utilizamos para a elaboração dos diários (BAIRRAL; DA SILVA, 2004).
– Data
– Carga horária
– Tema principal da aula
– Palavras-chave
– Qual(is) foi(ram) o(s) objetivo(s) da(s) aula(s)?
– O que você aprendeu? O que precisa de esclarecimento?
– Descreva brevemente um momento especialmente 
signifi cativo no desenvolvimento da aula
– Identifi que algo que o tenha surpreendido e feito você 
levantar perguntas etc.
– Procure explicar algo que o tenha deixado confuso, 
alguma difi culdade, uma dúvida ou pergunta não 
esclarecida.
– Sugestões e outros comentários que considere 
importantes
– Bibliografi a (utilizada, sugerida etc.).
Avalie de 1 a 10:
A aula como um todo:
O professor:
O seu grupo:
Os demais grupos:
Você mesmo:
Quadro 19.2: Roteiro para elaboração de diários de campo
É importante enfatizar aos alunos que eles não precisam seguir a ordem das 
perguntas e tampouco que o façam como pergunta seguida de resposta. 
Os itens são orientadores do conteúdo esperado nos diários, sejam eles 
individuais ou coletivos.
!
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Iniciemos com diários de estudantes da 1ª série do Ensino Médio. 
Na experiência (BAIRRAL; CARPI, 2002), os alunos trabalharam em 
grupos de, no máximo, quatro componentes. Vejamos parte dos textos 
produzidos por três dos grupos.
ATIVIDADES
3. Nesta atividade, vamos analisar descobertas dos alunos da professora 
Angela Carpi. O trabalho durou dez aulas. Inicialmente, você deve ler 
atentamente parte do diário de cada grupo e as observações feitas por 
Bairral e Carpi (2002) que selecionamos, e ir fazendo suas anotações. 
Mãos à obra!
Grupo 1
O primeiro grupo produziu uma tabela e observou o jogo em seus 
detalhes:
nº de discos
nº de 
movimentos
1
2
3
4
5
6
1
3
7
15
31
63
(...)
Nesta estratégia, descrevendo quantos movimentos cada disco fazia, 
o grupo verifi cou a presença das potências de 2. Olhar e descrever o jogo em 
suas partes, em seus mínimos detalhes, de uma forma única, demonstram 
que o grupo assumiu uma atitude de curiosidade e investigação que 
conduziu à elaboração de uma generalização esboçada a partir de
conhecimentos anteriores (as potências). Esta estratégia permitiu que se 
estabelecesse uma fórmula por meio da observação e da dedução do que 
ocorre com as somas das potências de 2.
Grupo 2
Este grupo afi rmou, de forma singular, que o disco maior move-se apenas 
uma vez, enquanto os outros percorrem em dobro o mesmo número de 
movimentos.
Ao fazer a representação disto na tabela a seguir, o grupo usou a linguagem 
matemática para mostrar, de forma clara e precisa, que o número de 
movimentos é sempre ímpar.
1 1 + 2 4 + 2 + 1 8 + 4 + 2 + 1
 3 7 15
f(x) = 20 + 21 + 22 + 23 + 2 x - 1
 x vezes
x - 1
1
2
1
2
1
4
2
1
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Para sermos mais objetivos, formulamos esta tabela, que indica 
o número mínimo de jogadas para o número de discos utilizados:
Tabela 19.2: Análise de jogadas.
Peças Número de jogadas Total
3 3 1 3 7
4 7 1 7 15
5 15 1 15 31
6 31 1 31 63
7 63 1 63 127
A turma reagiu à apresentação deste grupo, pois a tabela apresentava algo 
que os outros grupos não haviam observado. Na comunicação estabelecida, 
o grupo 2 conseguiu mostrar para os colegas que a tabela apresentava 
de forma fi el o que ocorria durante o jogo. A professora aproveitou esta 
oportunidade para recorrer ao trabalho do grupo 1 e verifi car, junto com 
os alunos, que o olhar sobre o movimento de cada peça confi rmava que 
o disco maior movia-se apenas uma vez.
Grupo 3
A refl exão deste grupo foi explicitada por meio de um texto que afi rmava 
o envolvimento coletivo dos alunos do grupo com o trabalho.
Nós conseguimos deduzir, descobrir a fórmula que estabelece 
o número mínimo de movimentos para cada quantidade de discos, 
e aí está ela: 2n + 1. Nós a descobrimos depois de muito trabalho, 
depois de passarmos horas e horas com uma folha à nossa frente 
com o número de discos e seus respectivos números mínimos de 
movimentos, estabelecendo relações até não poder mais; vamos 
tentar explicar como chegamos a essa fórmula.
Como quase todos os grupos, este também observou a relação 
que estabelece o número de movimentos para um determinado número 
de discos ao enunciarem a fórmula 2n + 1. Tal procedimento implica, 
por exemplo, que para mover 20 discos, é necessário conhecer o número 
de movimentos para 19 discos. Este raciocínio recursivo é natural em alguns 
casos e, apesar de ser trabalhoso, tem de ser considerado pelo professor como 
uma das primeiras descobertas que ajudará na integração e na descoberta 
de outras novas relações. Por exemplo, o grupo percebeu que:
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Observamos também que todos os números mínimos de movimentos 
são primos e ímpares, e que todos seguem uma seqüência a partir 
do último número. Esta seqüência seria: 7, 5, 1 e 3; como podemos 
ver, 7, 15, 31, 63, 127, 255, 511, 1.023, ... (respectivamente, 3, 4, 
5, 6, 7, 8, 9 e 10 discos).
O destaque para esta descoberta esteve na observação de que todos os 
algarismos da unidade, dos números que representam os movimentos dos 
discos, aparecem nesta ordem, ou seja, 7, 5, 1, 3. Além de identifi carem 
esta regularidade, uma importante competência em Matemática, o trabalho 
deste grupo possibilitou ao professor explorar e desenvolver uma outra 
competência: o levantamento de hipóteses e a sua investigação. 
A resposta daAtividade 3 consiste no seguinte: imagine que os textos 
produzidos são de seus alunos. Conforme você observou, eles fi zeram 
descobertas interessantes, que poderiam ser consideradas em aulas 
posteriores para debates e outros desdobramentos. Por exemplo:
Quadro 19.3: Análise fi nal da Atividade 3
Grupo 1 Buscou entender por que seria potência de 2
Grupo 2 Mostrou que o número mínimo de movimentos 
é sempre ímpar
Grupo 3 Ressaltou que todos os números mínimos 
de movimentos são primos e ímpares
Escolha uma das observações anteriores e elabore uma justifi cativa que 
você poderia utilizar com seus alunos, caso alguns tivessem dúvida.
 COMENTÁRIO 
Independentemente da observação escolhida, é importante você ter percebido 
que uma delas não está correta. Se preferir, analise-as todas. Converse com 
colegas e com o tutor.
Vejamos refl exões e parte de textos de alunos do Ensino Superior. 
Os alunos também trabalharam em grupos de quatro jogadores durante 
umas oito aulas. 
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4. Como fi zemos na atividade anterior, agora você analisará, como 
professor, respostas de diferentes grupos no trabalho com a Torre de 
Hanói. Inicie lendo atentamente as descobertas de cada grupo e fazendo 
suas anotações.
Grupo 1
Nº de discos Nº de movimentos
1 1
2 3 (3 – 1 = 2)
3 7 (7 – 3 = 4)
4 15 (15 – 7 = 8)
5 31 (31 – 15 = 16)
6 63 (63 – 31 = 32)
7 127 (127 – 63 = 64)
Para descobrir a quantidade de movimentos a serem feitos (MT) 
para um determinado número de discos, basta somar a quantidade 
de movimentos anteriores (MA) com a quantidade de discos que 
queremos mover (MD) ÷MT = MA + MD.
Fórmula para o movimento da torre com n discos (observe tabela 
anterior): seja an o número mínimo de movimentos com n discos. 
De acordo com a tabela, vemos que:
an= 2an-1 + 1
an – an-1= 2
n-1.
Resolvendo o sistema para an, chegamos à fórmula que determina 
o número mínimo de movimentos: an= 2
n – 1.
Estratégias para conseguir um número mínimo de movimentos. 
Considere
 T1
 T3 T2
Se quisermos mover a pilha de T1 para T2 (sentido horário), 
então:
(1) se o número de discos for par, o primeiro disco deve ser colocado 
em T3 (sentido anti-horário)
(2) se o número de discos for ímpar, o primeiro disco deve ser 
colocado em T2 (sentido horário).
Obs.: Esta estratégia serve para o movimento das torres intermediárias 
também.
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Grupo 2
“...Para cada disco a mais que colocamos, o número de movimentos 
dobrava e aumentava em 1, como mostra o esquema abaixo:
Nª de discos Movimentos numéricos 
necessários
1 1 (x2 + 1 = 3)
2 3 (x2 + 1 = 7)
3 7 (x2 + 1 = 15)
4 15 (x2 + 1 = 31)
5 31 (x2 + 1 =...)
... ...
N X (2 + 1)
Notemos que, ao aumentarmos o número de discos em 1 unidade, 
o número de movimentos dos discos aumenta, segundo uma P.G. 
de razão 2. Logo, podemos determinar o número de movimentos 
para qualquer número de discos.”
Grupo 3
“...Variando o número de discos e tentando identifi car que número 
expressa o mínimo de movimentos necessários [...], passamos 
à tarefa de generalizar para um número n de discos. Veja os passos 
utilizados nesses raciocínios: 
1º passo:
Nº de discos Nº mínimo de 
movimentos
1 1
2 3
3 7
4 15
5 31
6 63
7 ?
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2º passo
a1 = 1
a2 = 2a1 + 1
a3 = 2a2 + 1
a4 = 2a3 + 1
a5 = 2a4 + 1
a6 = 2a5 + 1
3º passo
a7 = 2a6 + 1
a7 = 2 . 63 + 1= 127
4º passo
an = 2 (an–1 + 1)
n = nº de discos
a = nº min. de mov.
6º passo
an = 2
n – 1 
5º passo
a7 = 2a6 + 1
a7 = 2 (2a5 + 1) + 1
a7 = 4a5 + 3
a7 = 4 (2a4 + 1) + 3
a7 = 8a4 + 7
a7 = 8 (2a3 + 1) + 7
a7 = 16a3 + 15
a7 = 16 (2a2 + 1) + 15
a7 = 32a2 + 31
a7 = 32 (2a1 + 1) + 31
a7 = 64a1 + 32 + 31
a7 = 64 + 32 + 31
a7 = 2
7-1 + 27-2 + 27-2 – 1
a7 = 2
7-1 + 2 (27-2) – 1
a7 = 2
7-1 + 27-1 – 1
a7 = 2 (2
7-1) – 1
a7 = 2
7 – 1
Grupo 4
Tabela 19.3: Organização das respostas do grupo 4
Quantidade de discos 
das torres (n)
Quantidade de movimentos das peças nas torres Total de 
movimentosPç 1 Pç 2 Pç 3 Pç 4 Pç 5 Pç 6 Pç 7
1 1 0 0 0 0 0 0 1
2 2 1 0 0 0 0 0 3
3 4 2 1 0 0 0 0 7
4 8 4 2 1 0 0 0 15
5 16 8 4 2 1 0 0 31
6 32 16 8 4 2 1 0 63
7 64 32 16 8 4 2 1 127
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– A tabela apresentada anteriormente forma uma matriz triangular 
inferior, com a diagonal principal contendo todos os termos iguais 
a 1, apresentando sete divisores do nº 64.
– O número de divisores de 64 contido na matriz é igual ao número 
de discos da Torre de Hanói.
– A matriz é quadrada e de ordem 7.
1 0 0 0 0 0 0
2 1 0 0 0 0 0
4 2 1 0 0 0 0
8 4 2 1 0 0 0
16 8 4 2 1 0 0
32 16 8 4 2 1 0
64 32 16 8 4 2 1
É interessante observarmos nos diários o objeto matemático priorizado por 
cada grupo e como os alunos vão desenvolvendo suas idéias e construindo o 
seu texto matemático. Neste processo, ressaltamos a importância do desafi o 
próprio do jogo e no trabalho em grupo, pois as discussões e as diferentes 
colocações de cada aluno enriquecem esta dinâmica e os diferentes estilos, 
o que não poderia deixar de ser: diferentes alunos, diferentes discussões, 
diferentes registros e diferentes conteúdos contextualizados.
Agora você vai analisar, como professor, o texto dos grupos. Iniciaremos 
destacando algumas de nossas observações. Acrescente mais uma para 
cada grupo. 
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Consideramos que esta atividade será difícil, se você não tiver jogado.
!
Grupo Observação
1 – Destacou que somar a quantidade de movimentos anteriores com 
a quantidade de discos que queremos mover é uma estratégia para 
encontrar o número mínimo de movimentos.
– Escreveu uma fórmula que determina o número mínimo de 
movimentos.
– Fez observações orientando-se pelo número de peças a serem 
movidas e relacionou ao sentido horário/anti-horário.
2 – Interessante também notar que o grupo 2 se deu como convencido 
para determinar o número de movimentos apoiados no termo 
anterior.
3 – A escrita bem organizada e detalhada do grupo 3 mostra que os 
estudantes conseguiram generalizar a partir de uma investigação 
apoiada na recursividade.
– Além de construir um sistema de equações a partir do que observa 
na tabela, o grupo 3 construiu a estratégia para o número mínimo 
de movimentos a partir do sentido horário/anti-horário.
4 – O texto do grupo 4 chama a atenção por sua análise, que considera 
também a quantidade de movimentos de cada peça e como 
isso contribui para determinar o número total de movimentos. 
Ao observarem o movimento de cada peça e disporem estas 
observações em forma de tabela, os estudantes passaram a centrar 
sua atenção na matriz que fi ca formada e fazem mais destaques 
sobre esta disposição.
 COMENTÁRIO 
Existem grupos que tendem a ser mais imediatos, dando-se por convencidos 
a partir de cinco movimentos. Por exemplo, a justifi cativa apoiada apenas 
na observação numérica seguinte:
Nº de discos Nº de movimentos
1 1 = 21 – 1
2 3 = 22 – 1
3 7 = 23 – 1
4 15 = 24 – 1
5 31 = 25 – 1
... ...
n 2n –1"
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É importante verifi car o matematizar de cada estudante e discutir com eles 
este processo. Uma preocupação dos estudantesé fazer comparações do tipo 
“melhor” ou “pior”. 
É importante enfatizar que não deve ser objetivo do professor estabelecer 
comparações do tipo saber mais ou menos. É relevante que os alunos percebam, 
analisem e respeitem o matematizar do seu colega e contribuam com a continuidade 
deste processo, pois ensino-aprendizagem é um processo contínuo de aprender 
a aprender e aprender a ser, fortalecido pelas relações interpessoais, e não mera 
acumulação acrítica de conhecimentos. 
!
ATIVIDADE COMPLEMENTAR 
2. Para os que gostam de navegar pela internet, recomenda-se acessar outros sites 
interessantes sobre o jogo Torre de Hanói.
http://www.cut-the-knot.com/recurrence/hanoi.html
http://www.pangea.ca/kolar/javascript/Hanoi/algo.html
http://www.pangea.ca/kolar/javascript/Hanoi/HTonWebE.html
http://obelix.ee.duth.gr/~apostolo/TowersOfHanoi/
 COMENTÁRIO 
Visitar os sites anteriores trará novas descobertas e possibilidades 
de entendimento do jogo. Além do mais, sensibilizará você a inserir a internet 
como recurso de aprendizagem própria e em suas aulas.
A PRÁTICA AVALIATIVA EM MATEMÁTICA COM OS 
DIÁRIOS DE CAMPO
Como você sabe, pensar em avaliação implica mudanças 
nos objetivos para o processo ensino-aprendizagem, na maneira 
de conceber a aprendizagem, na interpretação e na abordagem dos 
conteúdos matemáticos, num trabalho docente que deve incluir uma 
variedade de situações de aprendizagem (BRASIL. MEC. PCN, 1997). 
Despertados e infl uenciados pelos trabalhos de Powell e López (1995) 
sobre a importância da escrita no ensino-aprendizagem de Matemática, 
começamos a utilizar em nossas aulas um instrumento de avaliação: 
o diário de campo. 
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Normalmente, existem alunos que, ao iniciarem o processo de escrita dos 
diários, descrevem, superfi cialmente, o que aconteceu. Por exemplo, em uma 
aula com o jogo Torre de Hanói, é comum escreverem “hoje conhecemos 
e trabalhamos com a Torre de Hanói”; então, o que enfatizamos é que nosso 
interesse é saber da aprendizagem (descobertas, difi culdades, facilidades, 
questões pensadas e sem resposta etc.) no trabalho com a torre, e um 
texto descritivo normalmente não traz este tipo de informação. Por isso, 
preferimos denominar diário de campo, e não relatório. Embora o texto 
contido no diário possa não ser descritivo, nossa experiência mostrou que 
há um entendimento de sê-lo (relato de visitas e trabalhos extra-aula etc.). 
Um exemplo que possibilita ao aluno entender melhor nossa intenção com 
esta prática são aqueles diários pessoais feitos tradicionalmente pelas 
meninas em sua adolescência. Neles, são explicitados sentimentos diários, 
descobertas e emoções variadas.
As idéias de D’Ambrósio (1996) também foram orientadoras para 
a adaptação do instrumento à dinâmica de nossa aula. Assim, como 
critérios de avaliação, utilizamos:
Critérios avaliativos orientadores
Principais Outros
– Prazo estipulado para entrega.
– Compreensão e explicitação dos 
temas abordados: perceber o que 
é importante destacar dentro do 
estudado.
– Utilização do roteiro.
– Resposta às colocações feitas 
pelo professor.
– Reporte ao trabalho coletivo. 
Associação de idéias com a prática, 
apresentando exemplos.
– Capacidade de análise e síntese.
– Evolução no processo de elaboração 
de escrita e idéias.
– Dúvidas levantadas e esclarecimentos 
solicitados.
– Críticas e sugestões feitas.
– Organização e apresentação. 
– Vocabulário e coerência na escrita.
– Referência bibliográfi ca.
Tabela 19.5: Critérios de avaliação com diários
Os erros gramaticais não interferem na avaliação, porém são feitas as devidas 
correções e observações.
!
Após o trabalho em pequenos grupos, durante o qual vamos 
esclarecendo dúvidas, analisando processos de raciocínio utilizados 
e propondo questões, passamos a analisar os diários de cada grupo, 
ou seja, cada grupo analisava o texto do outro e, ao fi nal, realizávamos 
uma discussão com toda a turma. Por exemplo, veja a observação do 
grupo 3 sobre o diário do grupo 1. 
Instrumentação do Ensino de Aritmética e Álgebra | Movendo discos, formando torres e pensando 
 indutivamente
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Em princípio, discordamos do tipo de referencial, horário e anti-
horário, que o grupo usou. Só partimos para a prática (testamos na 
torre) e verifi camos que funciona para n movimentos e n número 
de peças. Este fato não ocorreu em nenhum dos membros do nosso 
grupo, o que obervamos que facilita em fazer o menor número 
de movimentos.
Podemos observar, na escrita do grupo, que, além de compre-
enderem, inicialmente discordando do texto do outro grupo, os 
estudantes foram verifi car se realmente procediam as observações feitas. 
Alguns sentiam necessidade de voltar ao jogo, enquanto outros o 
faziam direto no papel. Além de se darem por satisfeitos, reconheciam 
a importância do referencial (sentido horário ou anti-horário), para 
determinar o número mínimo de movimentos. 
O que consideramos importante é o professor fazer este tipo de observação. 
Desta forma, o estudante tem a oportunidade de verifi car como pensaram seus 
colegas. Estes diferentes momentos escrita-refl exão-nova escrita favorecem o 
desenvolvimento do processo de matematizar.
!
CONCLUSÃO
É comum estudantes encontrarem dificuldade na escrita. 
A dinâmica de ler criticamente, recebendo e colocando questões, seja 
do próprio diário, seja do(s) colega(s), é imprescindível, pois enriquece 
e propicia melhora no processo de escrita, na medida em que o aluno 
que lê outro tipo de texto faz críticas com argumentos e discute com 
toda a turma. Quanto aos resultados expressos pelos instrumentos de 
avaliação, sejam eles provas, trabalhos ou observações de postura em sala 
de aula, eles constituem indícios de competências e, como tais, devem ser 
considerados. A tarefa do professor constitui um permanente exercício de 
interpretação de sinais, de indícios, a partir dos quais manifesta juízos 
de valor que lhe permitem reorganizar a sua prática. Ao levantar indícios 
sobre o desempenho dos alunos, o professor deve ter claro o que pretende 
obter e que uso fará destes indícios. Neste sentido, a análise do erro pode 
ser uma pista interessante e efi caz.
A
U
LA
 
19
 M
Ó
D
U
LO
 1
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O processo de matematização ocorrerá à medida que o professor 
reconhecer sua sala de aula como um espaço de diálogo e confi ança, 
um quebra-cabeça complexo, do qual ele é uma das peças, diferente 
e imprescindível – mas não sufi ciente –, que se (des)constrói com muito 
respeito e força de vontade para romper difi culdades próprias, ajudar 
o outro e contribuir com o crescimento coletivo.
ATIVIDADE FINAL
Como atividade fi nal, propomos que você analise a veracidade, ou não, de cada 
afi rmação seguinte:
1. A quantidade mínima de movimentos das torres com n discos é igual à soma 
de uma P.G. fi nita de razão 2, 1º termo igual a 1 e com número de termos igual 
ao número de discos da torre.
2. Ao movimentarmos o número de discos, a quantidade de movimentos de cada 
peça cresce em P.G. de razão 2, com 1º termo igual a 1.
3. O número de movimentos de uma torre com n discos é igual ao dobro de 
movimentos da torre com (n-1) discos, acrescido de um movimento.
4. Condições para os movimentos das peças para obtermos o mínimo possível: 
consideramos as peças/discos numerados de 1 a 7. Dividimos a Torre de Hanói 
conforme o esquema a seguir:
1
3 2
P
I
P P
I
I 1, 2 e 3 são pinos da torre
P – par
I – ímpar
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Observação VerdadeiraFalsa Correções, complementos etc.
1
2
3
4
5
6
Tabela 19.5: Respostas da atividade fi nal
 COMENTÁRIO 
Você deve ter verifi cado que apenas duas das observações anteriores são 
falsas. Se teve difi culdade, procure entender cada afi rmação realizando os 
movimentos na torre.
R E S U M O
Dependendo dos objetivos do professor, o jogo Torre de Hanói também pode ser 
utilizado com alunos das séries iniciais. A própria utilização, pelo aluno, de um 
tipo de registro para mostrar uma seqüência de movimentos já se constitui numa 
tarefa importante. Em séries mais avançadas, este jogo pode ser utilizado para 
o desenvolvimento de noções relacionadas ao estudo de regularidades, ao princípio 
da indução fi nita, às seqüências e relações numéricas, como vimos nos textos dos 
estudantes. O número de discos utilizados infl ui na complexidade do jogo. Há uma 
relação funcional entre o número de discos e a quantidade mínima. Se o objetivo 
docente for inserir o trabalho com as torres para explorar o conceito de função, 
é importante ressaltar que, segundo Tinoco (1996), as situações que envolvem este 
conceito devem explorar diferenças entre variável e incógnita, além de desenvolver 
processos de generalização mediante o estudo de relações e de regularidades.
5. As peças pares se movimentam seguindo a ordem crescente dos pinos, partindo 
do número 1.
6. As peças ímpares se movimentam seguindo a ordem decrescente dos pinos, 
partindo do número 1.
A
U
LA
 
19
 M
Ó
D
U
LO
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AUTO-AVALIAÇÃO
Esperamos que você tenha compreendido como utilizar o jogo Torre de Hanói em 
aulas de Matemática e em diferentes séries. A aplicação do princípio de indução 
fi nita – ao considerarmos um determinado número anterior de movimentos para 
identifi carmos o número de movimentos seguintes com mais um disco (n+1) – 
e a percepção de que existe uma relação funcional entre o número mínimo de
movimentos e o número de discos da torre também devem ter sido objetos 
de seu entendimento nesta aula. Ter refl etido sobre a importância do trabalho 
em grupo, dos diferentes registros matemáticos que podem ser elaborados pelos 
estudantes, bem como o papel que assume a avaliação nesta dinâmica de trabalho 
é o objetivo que consideramos relevante em sua aprendizagem.