aula 18

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Vamos às progressões!
Pré-requisitos 
ob
jet
ivo
s
Meta da aula 
18AULA
Instrumentalizar o ensino de progressões.
Para o desenvolvimento desta aula, é 
necessário que você saiba o conceito 
de função e o de progressões. Além 
disso, usaremos alguns contextos 
explorados na Aula 10.
Ao fi nal desta aula, você deverá ser capaz de:
 Reconhecer uma seqüência como uma função de domínio discreto.
 Aplicar diferentes contextos no ensino de seqüências.
 Reconhecer e discutir as seqüências aritméticas e geométricas.
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INTRODUÇÃO O ensino da Matemática deve proporcionar ao aluno mais do que a simples 
memorização, relacionando o ensino da Ciência à compreensão de signifi ca-
dos. Nesse contexto, a busca de regularidades e a generalização de padrões 
são importantes tanto à compreensão do conhecimento matemático quanto 
à aplicação da Matemática em outras áreas de conhecimento.
Lembre-se de acessar a disciplina na Plataforma cederj. Lá você encon-
trará diferentes animações e recursos que auxiliarão sua aprendizagem 
na aula.
!
Dentre os objetivos do ensino da Matemática no Ensino Médio, 
concluímos que, ao fi m do Ensino Médio, o aluno deve ser capaz de:
“estabelecer conexões entre diferentes temas matemáticos e entre 
esses temas e o conhecimento de outras áreas do currículo” (BRASIL. 
MEC. PCN, 1998, p. 42).
O aluno no Ensino Médio deve entender que a Matemática tem 
seu próprio contexto de investigação, por ser uma ciência, mas também é 
uma linguagem e um instrumento para outras áreas de conhecimento. 
O ensino de funções é importante para que ele compreenda essa 
característica do ensino da Matemática. Este deve ser feito de manei-
ra integrada, tanto com outras áreas de conhecimento quanto com o 
próprio conhecimento matemático. As progressões, muitas vezes, não 
são estudadas como funções, mas como uma teoria isolada de outros 
contextos da Matemática.
Outro aspecto importante do ensino de seqüências é o enfoque 
muito restrito nas progressões aritmética e geométrica. Estas são alvo de 
atenção especial, mas não devem ser as únicas seqüências exploradas.
Afi nal, o que é uma seqüência?
Mesmo sem defi nir formalmente o conceito matemático de seqü-
ência, a idéia de ordenar com “certa harmonia”, ou de algo que tem 
continuação já está presente nos alunos desde as séries iniciais. Verifi que 
na atividade.
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Se modifi carmos uma só dessas operações, os números obtidos 
podem ser outros. A idéia de ordem modifi ca a “harmonia” dos números 
formados. 
Uma seqüência é uma função cujo domínio é IN* ou um 
subconjunto A não-vazio de IN* e o contradomínio é um conjunto B ≠ 
∅. Em outras palavras, a: A → B defi nida por a(n) = b, onde n ∈ A, 
b ∈ B.
Quando o conjunto A = IN* , dizemos que a seqüência é infi nita. 
Entretanto, se o domínio for um subconjunto {1, 2, 3, ...., n} ⊂ IN *, a 
seqüência é fi nita, e possui n termos.
ATIVIDADE
1. Inventei uma máquina com 4 teclas: ♣, ♦, ♥, e ♠.
As funções das teclas são as seguintes:
♣ - multiplica por 2.
♦ - divide por 2.
♥ - adiciona 2.
♠ - subtrai 2.
(a) Se eu digitar o número 5 e apertar a tecla ♥ 10 vezes, que 
número encontro?
(b) Se eu digitar o número 10 e apertar a tecla ♦ 5 vezes, que 
número encontrarei?
(c) Digitei um número diferente de zero e apertei as teclas da 
seguinte forma: 
♣ ♣ ♥ ♦ ♥ ♠ ♦ ♦ ♥ ♥ ♣ ♠.
A partir do número que encontrei, devo voltar ao número que 
digitei e apertar as teclas:
(I) ♥ ♦ ♠ ♠ ♣ ♣ ♥ ♠ ♣ ♠ ♦ ♦
(II) ♠ ♣ ♥ ♥ ♦ ♦ ♠ ♥ ♥ ♣ ♣ ♣
(III) ♣ ♣ ♦ ♥ ♥ ♠ ♦ ♦ ♥ ♥ ♣ ♠
(IV) ♣ ♣ ♥ ♦ ♥ ♠ ♦ ♦ ♥ ♥ ♣ ♠
 
COMENTÁRIO
Na atividade, a seqüência numérica é obtida a partir das operações feitas 
pelos comandos. Por exemplo, se a partir do número 10, digitamos as 
teclas ♣ ♥ ♦ ♥ ♦ ♥ ♥ ♣ ♠, formaremos a seguinte seqüência:
10 ♣ 20 ♥ 22 ♦ 11 ♥ 13 ♦ 6,5 ♥ 8,5 ♥ 10,5 ♣ 21 ♠ 19.
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C E D E R J208
Costuma-se indicar a(n) = an para o termo que ocupa a enésima 
posição na seqüência. Essa simplifi cação de notação pode ser um dos 
motivos pelos quais os alunos não relacionam o ensino das seqüências ao 
ensino de funções.
Uma das maneiras de expressar elementos de uma seqüência é 
colocá-los entre parênteses, separados por vírgulas:
(1, 7, 9, 23, ...) → seqüência infi nita onde são dados os quatro 
primeiros termos;
(2, 4, 6, 7) → seqüência fi nita de quatro termos.
!
Se substituirmos, acrescentarmos, retirarmos ou trocarmos de lugar qual-
quer termo de uma seqüência, obteremos uma nova seqüência!
Por exemplo:
(0, 3, 6, 9, 12) e (12, 9, 6, 3, 0) são seqüências diferentes que são formadas 
pelos mesmos elementos.
ATIVIDADE
2. Observe a seqüência a: IN* → B, onde B ⊂ Z:
(−4, 1, 5, 4, −1, −5, −4, 1, 5, 4, −1, −5, ...).
Nesta seqüência, cada número é obtido pela subtração dos números 
anteriores.
Responda:
(a) Qual é o décimo termo dessa seqüência?
(b) Determine a23.
(c) Determine a234.
(d) Qual a soma dos termos da seqüência até o vigésimo quarto termo?
(e) Qual a soma dos termos da seqüência até o termo que ocupa a posição 
2541?
(f) Construa o gráfi co dessa seqüência considerando o domínio {1, 2, 3, 4, 5, 
6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}.
(g) Sendo uma seqüência (a, b, ...) formada com o mesmo padrão da 
seqüência dada, qual será o conjunto-imagem desta?
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Algumas seqüências importantes...
A seqüência dos números primos é (2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 
...). Sobre esses números, que se caracterizam por uma propriedade tão 
simples, ainda existem muitas questões “em aberto”, as quais a Ciência 
não conseguiu validar. 
Entretanto, durante anos pensou-se não existir uma fórmula de 
determinar números primos. Mas ela existe e é “relativamente” simples. 
Ela determina todos os números primos e tão-somente eles. O incrível 
deste fato é que o conjunto dos números primos é infi nito!
Essa fórmula é a seguinte:
Considere x e y números naturais e y ≠ 0.
Calcule .
A fórmula que dá todos os números primos (e somente esses) é:
f x y
y
a a( , ) | ( ) .=
−
− − −  +
1
2
1 1 22 2
!
A demonstração da validade dessa fórmula você encontra na Revista do 
Professor de Matemática, número 37, página 19.
Essa fórmula é um pouco diferente das que estamos habituados 
a usar. Ela não é uma função porque nem todos os valores de x e y 
resultam em f(x, y) inteiro.
Mas, observe a fórmula f x y
y
a a( , ) | | .=
−
− − −( )  +12 1 1 22 2
 Quando a ≠ 0, a2 também o será, e a2−1 será maior ou igual a zero.
Isso acarreta que | |a a2 21 1− = − , o que faz:
f x y
y
a a
y
a a
y
( , ) | | ( )=
−
− − −  + =
−
− − +  + =
− [ ]1
2
1 1 2
1
2
1 1 2
1
2
02 2 2 2 ++ =2 2.
Neste caso, o 2 aparecerá repetida e infinitamente.
 Quando a = 0, vamos gerar os outros primos.
Se a x y y temos x y y= + − + = + = +( ) ( ! ) , : ( ) ( ! ).1 1 0 1 1
Logo, x
y
y
=
+
+
!
.
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Veja a tabela:
y
1
2
3 não serve porque x não é inteiro
4
5 não serve porque x não é inteiro
6
.
.
.
.
.
.
.
.
.
x =
+
+
=
1 1
1 1
1
!
x =
+
+
=
2 1
2 1
1
!
x =
+
+
=
3 1
3 1
7
4
!
x
y
y
=
+
+
!
.
1
1
x =
+
+
= =
4 1
4 1
25
5
5
!
x =
+
+
=
5 1
4 1
121
6
!
x =
+
+
= =
6 1
6 1
721
7
103!
f( , )1 1
1 1
2
2 2 2=
− [ ] + =
f x y
y
a a( , ) | |=
−
− − −( )  +12 1 1 22 2
f( , )1 2
2 1
2
2 2 1 2 3=
− [ ] + = + =
f( , )5 4
4 1
2
2 2 3 2 5=
− [ ] + = + =
f( , )103 6
6 1
2
2 2 5 2 7=
− [ ] + = + =
Como você pode observar, a partir do y = 7, os valores de x vão 
fi cando “monstruosos” rapidamente por causa do fatorial.Os números primos
são muito importan-
tes na Criptografia.
Procure saber mais
sobre isso!
!
A progressão aritmética: PA
As progressões aritméticas são seqüências onde a diferença entre 
cada termo e o termo anterior é sempre a mesma constante. Essa cons-
tante é chamada de razão, que indicamos pela letra “r”.
Assim, a seqüência:
(a1, a2, a3, a4, ..., an, ...) será uma PA se:
a2 − a1 = r
a3 − a2 = r
a4 − a3 = r
a5 − a4 = r
 an−2 − an−1 = r.
an−1 − an = r.
Para todo n > 3, temos:
Tabela 18.1: Cálculo dos valores de f(x, y)
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a a r
a a r
a a a a
a an n
n n
n n n n
n n−
−
− − −
−
− =
− =


− ⇒ = + ⇒ =
+2 1
1
1 2 1
22
2
Dessa forma, mostramos a principal característica de uma PA;
o termo do meio é a média aritmética entre o termo anterior e o sucessor, 
ou melhor, qualquer termo a partir do segundo até o anti-penúltimo é a 
média aritmética de dois termos eqüidistantes.
!
Nos livros didáticos 
do Ensino Médio, a 
seqüência sempre 
começa pelo a1, mas 
não há problema em 
começá-la pelo termo 
a0; em alguns casos, é 
até conveniente.
Considerando a seqüência aritmética (a1, a2, a3, a4, ..., an, ...) 
como (2, 5, 8, ...), temos graficamente representados os sete primeiros 
termos como:
Você se lembra de que o termo geral de uma PA é dado por an = a1 + (n − 1)r?
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Você mostra a validade da 
expressão do termo geral 
pelo princípio da indução 
fi nita. Primeiro, faça com que 
os alunos percebam que:
a1 = a1 + 0 r
a2 = a1 + 1 r
a3 = a1 + 2 r
a4 = a1 + 3 r
a5 = a1 + 4 r
e, a partir daí, busquem uma 
generalização.
!Como já vimos, isso significa que
a(n) = a(1) + (n − 1)r = (a(1) − r) + nr.
Se a1 = a(1) = 2 e r = 3, temos, por exemplo, a 
seqüência cujo termo geral é
a(n) = (2 − 3) + 3n, ou seja, a(n) = 3n −1. 
Assim, quando r ≠ 0, uma progressão aritmética é a 
restrição de uma função afi m a um domínio contido nos 
números naturais diferentes de zero. Dessa forma, o gráfi co 
é uma seqüência de pontos colineares. Veja:
Gráfi co da função 
afi m f(x)=3x-1
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Esse fato nos dá uma importante ferramenta de resolução de 
problemas: o uso da taxa de variação.
Considere a PA onde a85 = 46 e a99 = 102. Qual é a razão dessa 
PA?
É usual vermos a solução desse problema por sistemas. Mas vamos 
pensar de outra maneira. Podemos pensar que:
a(85) = 46
a(99) = 102.
Como os pontos estão sobre uma reta, temos que 
∆(n) = 99 − 85 = 14
e 
∆(y) = 102 − 46 = 56.
!Assim, a taxa de variação é: 
+
+
y
n
( )
( ) = =
56
14
4 , que é a 
razão da PA. Variando 14 posições, a 
imagem varia 56 razões.
102
46
85 99
∆(n) = 99 − 85 = 14
Outra maneira de resolver esse problema, sem resolver o sistema, 
tem fundamento na idéia de taxa de variação. 
Como temos a85 = 46 e a99 = 102, considera-se que estamos “saindo” 
da posição 85 e “chegando” à posição 99. Assim:
a99 = a85 + (99 − 85)r, ou seja, 102 = 46 + 56r e encontrando r = 4.
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ATIVIDADE
3. Observe as seqüências S1 e S2 dadas a seguir.
S1: (8, 14, 20, 26, …320) 
S2: (−6 , −2, 2, 6, 10, …, 382).
Quantos termos as duas seqüências acima possuem em comum?
Os termos comuns formarão uma nova seqüência aritmética.
Descobrindo essa seqüência, é só determinar o número de termos 
da mesma.
A PA de segunda ordem...
Considere (a1, a2, ..., an, ...) uma progressão aritmética de razão r.
A partir dela, vamos construir uma nova seqüência (b1, b2, ... bn, ...), 
formada da seguinte maneira:
b1 = a1
b2 = a1 + a2
bn = a1 + a2 +...+ an
Essa nova seqüência (bn) é chamada PA de segunda ordem.
COMENTÁRIO
Uma PA de segunda 
ordem é uma
seqüência (bn), onde
bn = Sn, sendo Sn a 
soma dos termos de 
uma PA (an).
Sabemos que a soma dos termos de uma PA é S
a a n
n
n
=
+( )1
2
 . Assim:
b
a a n a a n r n a nr r n r n n
an
n
=
+( )
=
+ + −( )( )
=
+ −( )
=
−( )
+1
1 1 1
2
12
1
2
2
2 2
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!
Na Aula 10, vimos a justifi cativa da fórmula da soma dos termos da PA 
através da soma de Gauss. Além disso, você pode justifi cá-la pelo Princípio 
da Indução Finita ou, ainda, usando o seguinte artifício de fazer uma 
adição simples, escrevendo duas vezes os mesmos termos com as parcelas 
em ordem oposta. Veja:
Sn = a1 + a2 + a3 + . . . +an – 2 + an-1 + an
 +
Sn = an + an-1 + . . . + a4 + a3 + a2 + a1
2Sn = (a1 + an) + (a2 + an-1) + (a3 + an-2) + . . . + (an-2 + a3) + (an-1 + a2) + (an + a1).
Usando o fato de a soma dos termos eqüidistantes de uma PA serem iguais, 
ou seja, (a1 + an) = (a2 + an-1) = (a3 + an-2) = . . . e de que esses termos aparecem 
n vezes, encontramos 2Sn = (a1 + an)n ou 
Sn
a a nn
=
+( )1
2
.
Escrita de outra maneira, a seqüência bn = b
r
n
r
n an = − +2 2
2
1.
 Assim, uma PA de segunda ordem, com r ≠ 0, é uma restrição 
de uma função quadrática a um domínio contido nos números naturais 
diferentes de zero. Dessa forma, o gráfico é uma seqüência de pontos 
que estão sobre uma parábola. 
Caso r > 0 será uma parábola voltada para cima.
Caso r < 0 será uma parábola voltada para baixo.
O vértice dessa função quadrática não depende da razão. Veja:
b
r
r
rn
= = −
−
 
=
2
2
2
2
1
2.
. Com isso, podemos generalizar que:
r>0
Eixo de simetris
Domínio: IN*.
Pode ser visto também
como: inteiros
do intervalo ]xv, +∞[.
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0 1 2 
r>0
Eixo da simetria
Domínio: IN*.
Pode ser visto também
como: inteiros
do intervalo ]xv, +∞[.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
Vamos voltar aos números fi gurados vistos na Aula 10.
Figura 1 Figura 2 Figura 3 Figura 4 Figura 5
Figura 10.1: Números triangulares.
Construindo o gráfi co
com base na tabela
de pontos, temos:
n Tn
1 1
2 3
3 6
4 10
5 15
6 21
7 28
8 36
9 45
10 55
11 66
12 78
65
60
55
50
45
40
35
30
25
20
15
5
0
75
70
80
10
0 1 2 3 4 5 76 8 9 10 11 12 13
Figura 18.2: Gráfi co da
seqüência de números triangulares.
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Na tabela 10.4, buscamos generalizar a formação dos números 
figurados.
Nº Triangulares Nº Quadrados Nº Pentagonais Nº de um polígonoregular de r lados 
1 1 1 1
1 + 2 1 + 3 1 + 4 1 + r
1 + 2 + 3 1 + 3 + 5 1 + 4 + 7 1 + (r-1) + (2r-3)
1 + 2 + 3 + 4 1 + 3 + 5 + 7 1 + 4 + 7 + 10 1+(r-1)+(2r-3)+(3r-5)
1 + 2 + 3 + 4 + 5 1 + 3 + 5 + 7 + 9 1 + 4 + 7 + 10 + 13 1+(r-1)+(2r-3)+(3r-5)+ (4r-7)
Cada termo é dado 
pela soma de uma 
seqüência (PA) cujo 
primeiro termo é 1 
e a razão é 1. 
Cada termo é 
dado pela soma 
de uma seqüência 
(PA) cujo primeiro 
termo é 1 e a 
razão é 2. 
Cada termoé dado 
pela soma de uma 
seqüência (PA) cujo 
primeiro termo é 1 
e a razão é 3.
Cada termo é dado pela 
soma de uma seqüência 
(PA) cujo primeiro termo é 
1 e a razão é (r − 2).
Tabela 18.2: Tabela 10.4.
Escrita de outra maneira, a seqüência b
r
n
r
n an = − +2 2
2
1
 
Devemos ter cuidado, pois o r da tabela era o número de lados 
do polígono. Agora o r signifi ca a razão.
Assim:
Tabela 18.3: Descrição das leis de formação
NÚMERO DE LADOS DO 
POLÍGONO
RAZÃO DA PA QUE 
ENVOLVE A SOMA DOS 
TERMOS
PRIMEIRO TERMO
LEI DE FORMAÇÃO DO 
NÚMERO EM FUNÇÃO DA 
POSIÇÃO.
3 1 1
4 2 1
5 3 1
6 4 1
7 5 1
... ... ... ...
r + 2 r 1
Tn n n= − +
1
2
1
2
12
T n nn = − +
2 1
T n nn = − +
3
2
3
2
12
T n nn = − +2 2 1
2
T n nn = − +
5
2
5
2
12
T
r
n
r
nn = − +2 2
12
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ATIVIDADES 
4. Considere a seqüência de números pentagonais.
a. Construa um gráfi co com os 10 primeiros números pentagonais
Ilustração 18.7:
a. Qual o centésimo número pentagonal?
b. O número 1024 é um número pentagonal?
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(Adaptada do vestibular UFRJ 2004)
5. Felipe começa a escrever números naturais em uma folha muito grande, 
como mostra a fi gura a seguir:
Considerando que Felipe mantenha o mesmo padrão em todas as 
linhas:
(a) determine quantos números naturais ele escreverá na 50ª linha.
(b) determine a soma dos números escritos na 50ª linha.
(c) prove que a soma de todos os elementos de uma linha é o quadrado 
de um número ímpar.
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A seqüência de Fibonacci
Os números da seqüência de FIBONACCI são formados da seguinte 
maneira:
O primeiro e o segundo número são fi xos e iguais a 1.
a1 = 1 e a2 = 1.
Os outros termos são obtidos pela soma dos dois anteriores, 
a3 = 2=1+1,
a4 = 3=2+1,
a5 = 5=3+1,
a6 = 8=5+1,
e assim por diante.
LEONARDO FIBONACCI 
foi um matemático que 
nasceu na Itália em 
1180 e morreu em 1250. 
Fibonacci significa “filho 
de Bonaccio”.
A fórmula para a obtenção da seqüência de Fibonacci é recursiva, 
conceito que vimos na Aula 10:
F(1)= e F(2)=1
F(n)=F(n-1)+F(n-2), para n = 3,4,5, ...
A história conta que Fibonacci começou a investigar essa seqüên-
cia no estudo de uma população de coelhos. O problema dos famosos 
coelhos de Fibonacci foi investigado em 1202, e consistia em adaptar a 
procriação de coelhos a certas condições ideais.
O problema considera um par recém-nascido de coelhos, um 
macho e uma fêmea. Esses coelhos são capazes de acasalar com um mês 
de nascidos. Assim, com mais um mês, ou seja, no fi m do segundo mês 
de vida, a fêmea pode gerar outro par de coelhos.
Suponha que nossos coelhos nunca morrem, e que o coelho fêmea 
sempre gera exatamente um novo par, um macho e uma fêmea, a cada 
mês, do segundo mês de vida em diante. 
O quebra-cabeças de Fibonacci consistia em saber quantos pares 
teremos em um ano.
♦No fi m do primeiro mês, temos uma fêmea e um macho que 
irão se acasalar. Eles são só 1 par.
♦No fi m do segundo mês, a fêmea gera um novo par, então agora 
são 2 casais de coelhos.
♦No fi m do terceiro mês, a fêmea original dá à luz mais um par, 
formando 3 pares no total.
♦No fi m do quarto mês, a fêmea original produz outro novo 
par, mas a fêmea nascida há dois meses produz seu primeiro par. São 
agora 5 pares.
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1
2
3
4
5
O número de pares de coelhos a cada mês é dado pela posição do 
número na seqüência (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34,...). Assim, podemos 
calcular o número de coelhos no fi m de 12 meses. Aliás, quantos são?
O problema dos coelhos não é muito realista; difi cilmente cada 
nascimento é de exatamente dois coelhos, um macho e uma fêmea. 
Entretanto, encontrou aplicação em outros campos da Matemática. 
Por exemplo, a seqüência aparece no triângulo de Pascal.
Número de pares
Instrumentação do Ensino da Aritmética e da Álgebra | Vamos às progressões! 
 
C E D E R J222
ATIVIDADE
6. Considere o triângulo de Pascal e a maneira como a seqüência de Fibonacci 
aparece no mesmo.
a. Escreva F(8) (o oitavo número de Fibonacci), usando os números binomiais 
que compõem as parcelas da adição no triângulo de Pascal.
b. Agora, com o mesmo raciocínio, escreva uma adição de números binomiais 
que expresse F(10).
COMENTÁRIO
Para fazer o item b, você pode completar o que falta no triângulo de 
Pascal.
!
De forma geral, F(n) = 
onde r é o maior
inteiro, tal que n > 2r.
Vamos, agora, montar quadrados justapostos com os números 
de Fibonacci.
Começamos justapondo os dois quadrados de medida do lado 1.
Agora vamos ao 
terceiro quadrado, que tem 
medida do lado 2 (terceiro 
número da seqüência).
Construímos, então, os qua-
drados cujas medidas dos lados são 
3, 5, 8 e 13 (quarto, quinto, sexto e 
sétimo números da série).
F n
n i
ii
r
( ) =
−( ) −



=
∑ 1
0
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Com arcos, nesse retângulo, construímos uma espiral “mágica”, 
onde estão presentes muitas formas da Natureza.
Imagem disponível em:
http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/alegria/fi bonacci/seqfi b2.htm
Quando tiver oportunida-
de, assista ao fi lme “Pato 
Donald no país da Mate-
mágica”. O fi lme explora, 
com excelentes imagens, 
esse e outros contextos da 
Matemática.
!
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C E D E R J 225
No limite da razão entre dois termos consecutivos da seqüência de Fibonacci,
encontramos o número de ouro: φ = 1 5
2
+ ≅ 1,61803398874989. Observe:
A progressão geométrica (PG) − juros
A progressão geométrica (PG) se caracteriza por obtermos cada 
termo multiplicando o anterior por uma constante.
Assim, a seqüência
(a1, a2, a3, a4, ..., an, ...) será uma PG se:
F
F
( )
( )
2
1
1
1
1= =
F
F
( )
( )
3
2
2
1
2= =
F
F
( )
( )
,
3
2
3
2
1 5= =
F
F
( )
( )
,
4
3
5
3
1 6666666= ≅
F
F
( )
( )
,
5
4
8
5
1 6= =
F
F
( )
( )
,
6
5
13
8
1 625= =
F
F
( )
( )
,
7
6
21
13
1 6153846= ≅
F
F
( )
( )
,
8
7
34
21
1 6190476= ≅
F
F
( )
( )
,
9
8
55
34
1 6176471= ≅
a
a
q2
1
=
a
a
q3
2
=
a
a
qn
n
−
−
=
2
1
a
a
qn
n
−
=
1 .
Instrumentação do Ensino da Aritmética e da Álgebra | Vamos às progressões! 
 
C E D E R J226
a
a
q
a
a
q
a
a
a
a
a a a a
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n n n
−
−
−
−
−
−
− −
=
=
⇒ =





⇒ = ⋅ ⇒
2
1
1
2
1
1
1
2
2 nn n na a− −= ⋅1 2
Para todo n > 3, temos:
Isso nos mostra que o termo do meio é a média geométrica entre o 
termo anterior e o sucessor; por isso, o nome “progressão geométrica”. 
Essa propriedade é válida para quaisquer dois termos eqüidistantes.
Você sabe que o termo geral da PG é dado por an = a1q
n−1.
Desse modo, o gráfi co da PG obedece ao modelo exponencial.
Veja os gráfi cos das progressões geométricas:
(2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256) e (32; 16; 8; 4; 2; 1; 0,5; 0,25).
Gráfi co da PG (2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256) Gráfi co da PG (32; 16; 8; 4; 2; 1; 0,5;0,25)
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 A primeira é uma PG cujo primeiro termo é 2 e a razão é 2, 
modelada pela função 
an = 2.2
n−1 = 2n e é uma função crescente. No segundo, o primeiro 
termo é 32, e a razão é 1
2
, onde bn=2
5.21-n=26-n. 
O ensino da PG não costuma apresentar grandes dificuldades 
na compreensão do termo geral e na soma de termos quando o trabalho 
é associado e comparado ao da PA.
Atenção especial deve ser dada à soma da PG infinita, onde
|q| ≤ 1. Essa questão envolve mais do que a manipulação da fórmula, 
mas a discussão do infinito limitado.
!
Pesquisas em Educação 
Matemática apontam 
que a compreensão do 
infi nito ilimitado não é 
alvo de grandes proble-
mas de compreensão; 
entretanto, o mesmo 
não ocorre no trabalho 
com o infi nito limitado, 
onde o aluno deve per-
ceber que em um inter-
valo da reta existem 
infi nitos pontos.
Para que os alunos percebam quando a soma de termos de uma 
PG infi nita é limitada, é interessante que o professor proponha o cálculo 
da soma de várias seqüências diferentes. É um bom momento para usar 
a calculadora em sala de aula.
Por exemplo, considere as progressões geométricas:
(3, 6, 12, ...)
1
1
2
1
4
1
8
, , , ,....


(2,-4,8,-16,...)
(2,-2,2,-2, ......)
Quando o número de termos tende ao infinito, podemos concluir 
que a soma dos termos da primeira PG tenderá a +∞. Na terceira PG, 
o negativo “ganha” o positivo e, nesse caso, a mesma tenderá a −∞.
Na quarta PG, o limite não existirá.
Na segunda PG, sabemos que a soma nunca passará de 2. 
Ao aluno do Ensino Médio deve ser dada a chance da inves-
tigação e do convencimento antes de ser dada a fórmula 
a
1 q
1
−
S=
!
Uma aplicação muito 
importante do PG é 
no cálculo de juros 
compostos. Pesqui-
se a respeito. Você 
pode encontrar esse 
assunto na maioria 
dos livros de Ensino 
Médio.
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C E D E R J228
ATIVIDADE FINAL
Observe a seqüência de fi guras: 
“De sucessões de imagens como estas, defi nidas por regras muito simples, conseguimos obter 
apenas meia dúzia de termos, mesmo recorrendo aos melhores instrumentos de desenho. Mas, 
com um computador, o processo pode continuar indefi nidamente, obtendo-se, porém, fi guras 
com pormenores invisíveis a olho nu. Ora, aí entra em cena a enorme capacidade de ampliação 
dos modernos computadores que torna possível visualizar os termos avançados destas sucessões, 
fornecendo imagens incrivelmente belas. O limite de uma sucessão de fi guras como as anteriores 
é um fractal.”http://www.alu.por.ulusiada.pt.“
A partir de um triângulo equilátero cuja área mede 4 cm, construímos a primeira 
fi gura da seqüência. Determine o limite da área do factral, ou seja, o limite da 
soma de todas as áreas hachuradas.
CONCLUSÃO
Nesta aula, você pôde observar vários tipos de seqüência e suas 
aplicações em outras áreas da Matemática. Investigar e analisar a forma-
ção da seqüência e a busca do termo geral faz com que você aprofunde 
seus conhecimentos e aprenda outros. O uso das funções é uma estraté-
gia para fazer com que o aluno estabeleça diversas conexões sobre esse 
conceito, que é tão importante na Matemática. 
Esta aula, além de revisar tópicos do Ensino Médio, tais como o 
triângulo de Pascal, taxa de variação, função, geometria plana etc.; passeou 
por tópicos extremamente importantes como, por exemplo, os números 
primos, a seqüência de Fibonacci e o número de ouro. Pesquise mais sobre 
esses assuntos; você vai descobrir um mundo impressionante!
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O estudo das funções esteve novamente enfocado. Mas, agora, as funções vistas 
são de domínio natural. O modelo da PA é linear e o da PG é exponencial. A 
Geometria também apareceu no número de ouro, nos números triangulares. Isso 
contribui signifi cativamente no desenvolvimento do pensamento matemático, 
pois a investigação gráfi ca é uma ação importante para visualizar o conceito e 
amadurecê-lo e, então, utilizar a Álgebra na formalização.
AUTO-AVALIAÇÃO
Durante a aula, você conheceu algumas possibilidades de contextualização das 
seqüências na Matemática e em outras áreas do conhecimento. Compare as 
abordagens apresentadas com as que você já vivenciou sobre esses tópicos e 
registre os aspectos positivos e negativos das diferentes abordagens.
Liste as seqüências vistas nessa aula e escreva algo sobre elas, pois esta é uma 
forma de você constatar o que fi cou apreendido e no que ainda é preciso investir. 
Faça todas as atividades, pois cada uma trabalha um aspecto da seqüência ou uma 
nova seqüência. 
Em caso de dúvidas, não deixe de conversar com seus colegas ou procurar o seu 
tutor no pólo.
 INFORMAÇÕES SOBRE A PRÓXIMA AULA 
Na próxima aula, você aprenderá e se divertirá com a Torre de Hanói.
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RESPOSTAS DAS ATIVIDADES
Atividade 1
a. 25. 
b. 0,3125.
c. (I).
Atividade 2
a. 4.
b. − 5.
c. − 4.
d. 0.
e. 10. f. -6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
g. {a, b, b − a, −a, −b, a − b}.
Atividade 3
Observe que a seqüência dos termos comuns começa no 26 e termina no 
314. É uma seqüência de razão 24 e tem 13 termos.
Atividade 4
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T n nn = − +
3
2
3
2
12 Tn = − + =
3
2
100
3
2
100 1 148512
c. Se 1024 for um número pentagonal, então existe n, tal que
3n2 − 3n + 1 = 1024.
Assim, n = 1 1365
2
± . Mas 1365 é irracional (1365 = 3.5.91). 
Logo, não existe um número natural satisfazendo a condição. Assim, 
1023 não é um número pentagonal.
Atividade 5
a. Observe que a seqüência dos últimos números de cada linha é 
uma PA (1, 4, 7, 10, ...) cuja razão é 3. Assim, o último termo da primeira 
linha é (1 + 3.49) = 148. primeiro termo da linha é 50, temos um total 
de 148 − 50 + 1 = 99 termos.
 Você também pode ter montado diretamente uma expressão para 
o número de linhas da forma (2n − 1), onde n é a linha em questão.
 c. Primeiro elemento da linha: n
Último elemento da linha: 2n − 1 
Número de termos da linha: n + 1
S50
250 148 99
2
99 9801=
+
= =
( )
b.
S
n n n n n
nn =
+ − −
=
− −
= −
( )( ) ( )( )
( )
3 2 2 1
2
2 2 1 2 1
2
2 1 2
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C E D E R J232
Atividade 6
a. F(8) = 21.
 F(8) = 1 + 6 + 10 + 4 = 
7
0
6
1
5
2
4
3



 +



 +



 +




b. F(10) = 
9
0
8
1
7
2
6
3
5
4



 +



 +



 +



 +




Atividade Final
Vamos chamar a área de cada fi gura de An.
A1= 4
1
4
1. =
A2= 4
1
4
3
1
4
1
4
⋅ + ⋅ ⋅



 = 4
1
4
3
1
4
2
⋅ + ⋅








A3= 4
1
4
3
1
4
1
4
9
1
16
1
4
⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅



 4
1
4
3
1
4
9
1
4
2 3
⋅ + ⋅



 + ⋅







=
A4= 4
1
4
3
1
4
1
4
9
1
16
1
4
27
1
32
1
4
⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅



 = 4
1
4
3
1
4
9
1
4
27
1
4
2 3 4
⋅ + ⋅



 + ⋅



 + ⋅








Cada área envolve uma soma de termos de uma PG cujo primeirotermo é 1 e a razão é 
. Logo, A = A
∞
 = .