aula 14

Resolvendo equações e 
inequações: para além 
da álgebra
Esperamos que, após o estudo do conteúdo desta 
aula, você seja capaz de:
 Utilizar software de construção de gráfi cos para 
resolver equações e inequações.
 Estudar equações e inequações sob o ponto 
de vista geométrico.
 Identifi car e aprender a representar grafi camente 
as soluções de equações e inequações.
Pré-requisitos 
Para acompanhar esta aula, é necessário que você revise funções 
que aprendeu nas aulas anteriores, principalmente no que se refere 
ao gráfi co de cada uma delas. É importante também saber resolver 
equações do 1º e do 2º graus.
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Meta da aula 
Instrumentalizar o trabalho 
com equações e inequações.
14AULA
Instrumentação do Ensino da Aritmética e da Álgebra | Resolvendo equações e inequações: 
 para além da álgebra
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As equações aparecem com certa freqüência nas resoluções de problemas 
matemáticos, e torna-se fundamental reconhecê-las e resolvê-las. Durante seu 
curso de Licenciatura em Matemática, você deve ter tido a oportunidade de estudar 
vários tipos de equações: as polinomiais, as trigonométricas, as exponenciais, as 
logarítmicas, as diferenciais ou algumas em que se misturam mais de um tipo 
de equação. Dentre estas, o estudo das equações polinomiais do 1º e do 2º 
grau se faz presente nas grades curriculares do Ensino Fundamental e Médio. 
Por isso, nesta aula voltaremos nossa atenção para o estudo dessas equações. 
Freqüentemente, observamos que a resolução de equações e inequações não é uma 
tarefa simples para os alunos. Estes reproduzem os procedimentos de resolução sem 
uma preocupação com a representação gráfi ca. Isso acontece porque as práticas 
pedagógicas de grande parte dos professores de matemática ainda se pautam 
numa concepção fragmentada da construção do conhecimento. 
INTRODUÇÃO
Esperamos que você, futuro professor de Matemática, proporcione junto a 
seus alunos atividades que explorem as diferentes representações: algébrica, 
tabelas (tábulas) e gráfi ca.
!
Nesta aula, daremos ênfase na construção de soluções gráfi cas para as 
equações e inequações. Utilizaremos um software, chamado Graphmática, 
que possui acesso gratuito na internet. As soluções da equação ou inequação 
serão visualizadas por meio de uma interpretação gráfi ca. 
Em muitas das escolas em que atuará, é provável que você não tenha acesso 
a computadores para desenvolver atividades com seus alunos. Nesse caso, 
um material que você poderá utilizar é o papel quadriculado ou milimetrado.
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Não deixe de acessar as aulas desta disciplina na Plataforma. Lá você encontrará 
diferentes animações e recursos que auxiliarão sua aprendizagem.
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Acesse a página e clique primeiro em download (Versão 2003 P) e a seguir 
em setup.exe. Pronto! Você já tem o Graphmática instalado no computador. 
Agora, é só aprender a usá-lo! 
Figura 14.1: Tela inicial do Graphmática.
CONHECENDO O SOFTWARE GRAPHMÁTICA
Para facilitar a construção de gráfi cos, podemos usar alguns 
tipos de ferramentas computacionais, que são softwares especialmente 
elaborados para o uso na Matemática. 
Como exemplos de softwares matemáticos para computadores, podemos citar 
o Maple, o Mathematica, o MATLAB, o Derive e o Graphmática. Além disso, 
você ainda pode optar pelas calculadoras gráfi cas. 
!
Nesta aula, usaremos apenas gráfi cos gerados pelo Graphmática, 
de autoria de Carlos Malaca e Keith Hertzer, um programa gratuito de 
desenho para gráfi cos que é facilmente encontrado na internet e apresenta 
facilidade de acesso.
Você pode obter este programa por meio da internet, acessando 
o endereço www107.pair.com/cammsoft/graphmática.html. Mesmo que 
o software não esteja instalado no seu computador ou no computador 
do seu pólo, você poderá baixá-lo. É muito simples! Veja as instruções 
a seguir (que também são dadas na própria página).
A tela que faz a interface com você está representada a seguir.
Neste espaço em branco, 
você deverá digitar as 
leis das funções que você 
deseja traçar os gráfi cos.
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Utilizando um software para esboçar gráfi cos, você não perde 
tempo na construção de tabelas, no cálculo de imagens e de derivadas e na 
resolução de equações, ao invés, você otimiza seu tempo para investigar 
outras questões.
É importante que você fi que atento aos gráfi cos. Analise sua 
construção e seu comportamento. Caso você tenha dúvidas, o próprio 
software constrói tabelas no intervalo que você deseja. 
Veja, a seguir, a simulação do gráfi co da função y = 2x, com a 
tabela ao lado. 
Para construir o gráfi co da função y = 2x, você deve digitar 
y = 2^x, pois a potenciação é representada pelo símbolo “^”, o acento 
circunfl exo. Para aparecer a tabela que está ao lado do gráfi co clique 
onde está mostrando a seta na ilustração a seguir.
Figura 14.2: Gráfi co da função y = 2x no Graphmática.
Clicando aqui, aparecerá 
a tabela com alguns 
pontos utilizados na 
construção do gráfi co.
Aqui foi digitada a lei da 
função, y=2^x.
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Alguns símbolos de operações matemáticas têm códigos diferentes neste 
software e em programas como o Excel. No Graphmática, você tem acesso 
a esse código clicando em ajuda e depois em tabela de operadores. 
Veja a tabela a seguir com as operações mais usuais.
Operação Símbolo
multiplicação *
divisão /
potenciação ^
radiciação sqrt
REPRESENTANDO EQUAÇÕES GRAFICAMENTE
No Ensino Fundamental e Médio, grande parte dos problemas 
em Matemática recai em equações de 1º e 2º graus. Quando começamos 
a trabalhar com os alunos os problemas em que buscamos algebrizar a 
Aritmética, estamos introduzindo, mesmo de forma informal, o estudo 
de equações. 
Muitas vezes, esse estudo começa antes da 5ª série. Nesta etapa, 
os alunos habitualmente não usam letras, mas símbolos, como o 
famoso “quadradinho”. O objetivo é buscar generalizar o pensamento 
de problemas como: Qual o número que somado com 5 dá 8?
A partir da 5ª série, começamos a introduzir o uso de letras 
buscando uma generalização mais complexa do pensamento algébrico. 
Paralelamente, o universo de números que o aluno trabalha é ampliado 
ao longo do Ensino Fundamental: números naturais, racionais positivos, 
inteiros, racionais, irracionais e reais. As difi culdades dos problemas que 
envolvem equações também se tornam mais complexas.
Resolvemos algebricamente as equações do 1º grau, nas quais 
buscamos encontrar uma incógnita, que é um número em um universo 
defi nido: natural, inteiro, racional, irracional ou real.
Assim, a título de ilustração, a solução da equação 5x – 10 = 0, 
tomando como universo, por exemplo \ , é x = 2.
E qual a representação gráfica da solução dessa equação? 
A resposta é: depende! 
Quando consideramos o universo como \ , a representação será 
a abscissa x = 2 representada sobre a reta.
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Figura 14.3: Solução da equação 5x–10 = 0 em \ .
-1 0 1 2 3 4 x
Neste caso, a solução pertence a um conjunto de dimensão 1.
Quando consideramos o universo como \2, como será essa 
representação? 
Analise e perceba que agora temos dois valores envolvidos, x e y, 
abscissa e ordenada, respectivamente.
A equação 2x – 10 = 0 nos diz que x = 5 e y é qualquer, isto é, 
pode possuir qualquer valor.
Vamos tomar alguns valores de y e verifi car quanto vale x.
y vale x vale (x,y)