Aula 25

Um pouco mais 
sobre logaritmos
Pré-requisitos 
Para o desenvolvimento desta aula, 
é necessário que você saiba funções 
e logaritmo.
ob
jet
ivo
s
Meta da aula 
Instrumentalizar o ensino de logaritmos.
25AULA
Ao fi nal desta aula, você deverá ser capaz de:
 Analisar o comportamento no infi nito da função 
logarítmica.
 Relacionar o modelo do logaritmo a alguns 
fenômenos.
 Utilizar outra maneira de conceituar logaritmo.
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Nesta aula, daremos continuidade ao estudo de logaritmo que iniciamos na 
Aula 24. Discutiremos mais algumas características da função logarítmica 
e veremos também algumas de suas aplicações. Por fi m, apresentaremos a 
você outra maneira de conceituar logaritmo, por meio de uma abordagem 
defendida por muitos matemáticos.
Nosso objetivo, com esta aula, não é de que você apenas utilize as abordagens 
apresentadas em sala de aula, mas que você se instrumentalize na prática de 
problemas que envolvam logaritmos.
INTRODUÇÃO
1. Com o uso de uma calculadora científi ca ou do Excel, calcule:
x log x log (log x) log (log (log 
x))
103 3 0,48 – 0,32
1010
1030
10100
10300
101.000
101.000.000
ATIVIDADE
Lembre-se de acessar Disciplina na Plataforma Cederj. Lá você encontrará diferentes 
animações e recursos que auxiliarão sua aprendizagem na aula.
!
UMA FUNÇÃO QUE CAMINHA LENTAMENTE PARA O 
INFINITO...
Você já deve ter visto que a função logarítmica é mais lenta que 
qualquer função polinomial, enquanto a função exponencial e mais 
rápida. Com isso, dizemos que na função 
y = loga x, para “grandes” variações da variável x, a variável y 
sofre “pequenas” variações.
A
U
LA
 2
5
 
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RESPOSTA COMENTADA
Observando o quadro preenchido na atividade, você pode constatar 
que, quando aplicamos o logaritmo, os valores de log x já estão bem 
mais próximos que os valores de x.
Tabela 25.1: log x
x log x
103 3
1010 10
1030 30
10100 100
10300 300
101.000 1.000
101.000.000 1.000.000
Assim, 103 está bem mais longe de 1010 do que 3 de 10.
Calculando o valor de log (log(x)), aproximamos esses valores 
ainda mais.
Tabela 25.2: log (log x)
x log (log (log x))
103 0,48
1010 1
1030 1,5
10100 2
10300 2,5
101.000 3
101.000.000 6
Veja que de 103 até 1010 temos uma diferença de 9.999.999.000, 
enquanto de log (log 103) para log (log 1010) essa diferença é de 
apenas 0,52.
Tabela 25.3: log (log (log x))
x log (log (log x))
103 –0,32
1010 0
1030 0,2
10100 0,3
10300 0,4
101.000 0,5
101.000.000 0,8
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Acompanhando a tabela, você pode observar que os valores de log 
(log (logx)) estão todos com diferença menor que uma unidade, 
apesar de diferenças signifi cativas nos intervalos de x.
Uma outra maneira de estudar a “lentidão” da função logarítmica no infi nito é fazer uma 
tabela na qual se analise os valores de x, (log x)/x, (log x)/x2, (log x)/x3, ...
Não é difícil encontrar a demonstração que = 0, mas no Ensino Médio 
devemos analisar e comparar a velocidade das função polinomiais, da exponencial e do 
logaritmo.
!
x
a
x
x→∞lim
log
APLICAÇÕES PRÁTICAS
Um exemplo prático de um modelo onde temos presente uma 
grandeza de crescimento muito lento para o infi nito é o de intensidade 
relativa β de uma onda sonora, medida em decibel (dB), defi nida por:
β = 10 . log10 II0
Nesse caso, é a intensidade sonora medida em Watt/m2 e I0 
corresponde a intensidade sonora de referência.
Tabela 25.4: Intensidade relativa de uma onda sonora. Extraído de Resnick, Halliday 
e Krane no livro Física 2, 5ª ed. Editora LTC, 2003.
Situação Particular l β(dB)
Limiar da audição humana 10–12 0
Roçar de folhas 10–11 10
Sussurro a 1 metro 10–10 20
Rua com pouco tráfego 10–9 30
Escritório ou sala de aula 10–7 50
Conversa normal a 1metro 10–6 60
Martelada a 1 metro 10–3 90
Grupo de rock 10–1 110
Limiar de dor 1 120
Turbina a 50 metros 10 130
Motor de nave espacial a 50 metros 108 200
A
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 2
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Na Física, você já deve ter ouvido falar de ordem de grandeza.
Vamos relembrar.
Um número X escrito em notação científi ca, ou seja, X = Nx10L, 
onde 1 ≤ N < 10, possui ordem de grandeza:
10 se A < 3,16 e 
10L + 1 se A ≥ 3,16.
Assim, por exemplo, se temos 8x104, a ordem de grandeza é 5, 
e se temos 2x104 , a ordem de grandeza é 104.
Determinar a ordem de grandeza de um número é um método 
de arredondamento que consiste em arredondar log X para um número 
inteiro.
Assim, no número X escrito em notação científi ca, temos:
log X = log Nx10L = log N + log 10L = log N + L.
Então, log X será arredondado para L se log N < 0,5, e para L + 
1 se log N ≥ 0,5.
Nessa aproximação, o número que divide os dois casos é o número 
N tal que log N = 0,5. E qual é esse número? Para descobrir, basta usar 
a defi nição de logaritmo.
Log N = 0,5 ⇒ N = 100,5 ⇒ N = 10 
Dessa forma, N ≅ 3,16.
Temos outro exemplo de aplicação à Física no problema a seguir, 
adaptado de uma questão de vestibular.
Após adicionado o fl ash de uma câmera fotográfi ca, a bateria 
começa imediatamente a recarregar o capacitor que armazena uma 
quantidade de carga elétrica (medida em Coulomb) dada por:
Q = Q(t) = Q0 (1 – e–A
–λt),
onde:
– Q(t) igual à carga elétrica armazenada até o instante t, medida 
em segundos;
– Q0 igual à carga máxima;
– λ uma constante igual a 1
2
.
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a. Lembrando que ln (x) é o logaritmo na base e do número x, expresse 
o tempo t em função de Q e Q0.
Aqui se pede que se expresse tempo em função de Q e Q0. Isso 
signifi ca que temos de isolar o t!!! Na fórmula, temos:
Q = Q(t) = Q0(1– e
– t
2), pois λ = 1
2
.
Q = Q0 (1– e
– t
2) ⇒ 1 – e– t2 = Q
Q0
⇒ e– t2 = 1 – Q
Q0
.
Aplicando log na base e, ou seja, ln, de ambos os lados temos:
In e–
t
2 = In 1 – Q
Q0
 ⇒ – t
2
 = In 1 – Q
Q0
 ⇒ t = – 2In 1 – Q
Q0
 ou t = In 1 – Q
Q0
 –2.
b. Considerando In 10 = 2,3, qual o tempo necessário, em segundos, para 
que o capacitor recarregue 90% da carga máxima (Q = 0,9Q0)?
Temos que: t = – 2 In 1 – Q
Q0 
 do item (a).
Para fazer Q = 0,9Q0 , basta substituir: t = –2 In 1 – 
0,9Q0
Q0 
 .
Cancelando Q0, encontramos:
t = – 2 In (1 – 0,9) ⇒ t = – 2 In (0,1) ⇒ t = – 2 In 110 ⇒
t = – 2(In1 – In10) ⇒ t = –2 (0 – 2,3) ⇒ t = 4,6.
Assim, o tempo é igual a 4,6 segundos.
OUTRAS APLICAÇÕES
2. Segundo Resnick e Halliday (2003), a intensidade relativa IR de uma 
onda sonora, medida em decibel (dB), é defi nida por:
IR = 10 . log10 
I
I0
 ,
sendo I a intensidade sonora medida em Watt/m2 e Io a intensidade sonora 
de referência (correspondente ao limiar da audição humana), também 
medida em Watt/m2.
Apresentam-se, a seguir, os valores em dB das intensidades relativas (IR) 
das ondas sonoras correspondentes a algumas situações particulares.
ATIVIDADE
A
U
LA
 2
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 Situação Particular IR (dB)
Limiar da audição humana 0
Sussurro médio 20
Conversa normal 65
Limiar da dor 120
Na unidade Watt/m2, pode-se afi rmar que:
(A) a intensidade sonora do sussurro médio é menor que 10 vezes a 
intensidade sonora do limiar da audição humana;
(B) a intensidade sonora do limiar da dor é 120 vezes a intensidade sonora 
do limiar da audição humana;
(C) a intensidade sonora do limiar da dor é igual a 1010 vezes a intensidade 
sonora de um