Aula 27

Álgebra! Por que 
tantos erros?
Pré-requisitos 
Você deve saber realizar operações 
algébricas, seja com uso de números 
ou letras. Releia a Aula 7, pois alguns 
assuntos abordados lá serão 
retomados nesta aula.
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Meta da aula 
Instrumentalizar o ensino da Álgebra 
utilizando o erro como um recurso
de aprendizagem.
27AULA
Ao fi nal desta aula, você deverá ser capaz de:
 reconhecer diferentes tipos de erro na 
aprendizagem de Álgebra.
 reconhecer e analisar uma representação 
algébrica.
 determinar a forma algébrica apropriada para 
responder a questões particulares.
Instrumentação do Ensino da Aritmética e Álgebra | Álgebra! Porque tantos erros?
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INTRODUÇÃO Nesta aula, voltaremos nosso olhar para os erros comuns em Álgebra. Esses 
erros podem ser cometidos com muita freqüência por seus futuros alunos. 
Acreditamos que os erros não devem ser escondidos, como acontece na maioria 
das vezes. Somos ensinados a apagá-los, a riscá-los, a deixá-los de lado. Aqui 
queremos defender a posição oposta. Erros são importantes, devem ser 
valorizados, pois expressam como o aluno pensa, são uma produção do aluno. 
Que tal ver os erros como aliados para uma aprendizagem signifi cativa?
Quando falamos em Álgebra, é bom lembrar que na Aula 7 apresentamos uma 
importante discussão sobre como estamos entendemos o que seja Álgebra, 
Pensamento Algébrico e Sentido (ou senso) Numérico. Vamos retomar um 
pouco essa discussão para depois nos determos ao que estamos chamando 
de erros em Álgebra.
AMPLIANDO NOSSA DISCUSSÃO SOBRE A ÁLGEBRA
A Álgebra se apresenta de diferentes maneiras nos três níveis de ensino 
(Fundamental, Médio e Superior). No Ensino Fundamental, em particular, 
o PCN usa o termo “pensamento algébrico” para se referir aos conceitos 
que devem ser desenvolvidos com os alunos nesse nível de ensino. 
Mas não podemos nos esquecer de que a Álgebra é também um 
ramo da Matemática voltado para as estruturas, como, por exemplo, 
grupos, grupos abelianos, anéis e corpos. O avanço da escrita algébrica, 
em particular o uso de letras, para representar enunciados, axiomas e 
teoremas e para modelar problemas, é um dos grandes responsáveis pelo 
avanço da tecnologia.
Ainda hoje, nos currículos de Ensino Fundamental e Médio, o estudo 
das estruturas algébricas se faz presente nos diferentes conteúdos. No 3º 
ciclo (7ª série) do Ensino Fundamental, em alguns casos com maior ênfases 
em outros com menor, os alunos vêem pela primeira vez a Matemática 
“através de letras”. Nesse momento, a Matemática se apresenta por meio 
de uma forte presença de manipulações simbólicas.
Queremos defender a idéia de que esse aprendizado é necessário, 
porém deve ser feito com ênfase no signifi cado, e não como um conjunto 
de “regras” e “macetes”.
Por exemplo, nesta disciplina, nas Aulas 16, 21 e 26, usamos 
conceitos geométricos para atribuir signifi cado a manipulações algébricas. 
A
U
LA
 2
7
 
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Esse é um dos caminhos para minimizar erros freqüentes em Álgebra. Um 
outro ponto que julgamos relevante é abordar o “sentido do símbolo” 
(ARCAVI, 1996). Essa abordagem surge como uma refl exão para a 
Álgebra similar ao senso numérico, que tem sido objeto de estudo de 
diferentes pesquisadores, na área de Aritmética. 
Num paralelo a essa idéia de “senso numérico”, ARCAVI (1996) 
desenvolve o conceito de “sentido do símbolo”, que aponta as seguintes 
etapas nas quais o aluno precisa desenvolver as seguintes habilidades:
(habilidade de explorar – correr os olhos sobre uma expressão 
algébrica para fazer estimativas brutas dos padrões que emergirão 
numa representação numérica ou gráfi ca...)
(habilidade de fazer comparações conscientes das ordens de 
magnitude para funções com leis do tipo n, n2, n3, ...)
(habilidade de explorar rapidamente um tabela de valores de uma 
função ou um gráfi co ou de interpretar verbalmente condições 
expressas, de identifi car a forma adequada de uma lei algébrica 
que expresse determinado padrão...)
(habilidade de inspecionar operações algébricas e prever a forma 
do resultado ou, como na estimativa aritmética, de inspecionar 
o resultado e julgar a possibilidade de que tenha sido executada 
corretamente..)
(habilidade de determinar qual entre as várias formas equivalentes 
pode ser apropriada para responder questões particulares. 
(ARCAVI, 1996, p. ?)
A partir dessas etapas, uma pergunta possível é saber como 
na prática pedagógica podemos estar contribuindo para que o aluno 
desenvolva essas habilidades. 
“SENSO NUMÉRICO” 
pode ser descrito 
como uma 
sensibilidade “não 
algorítmica” em 
relação aos números; 
uma compreensão 
profunda de sua 
natureza e da natureza 
das operações, 
uma necessidade 
de examinar a 
razoabilidade dos 
resultados; uma 
sensibilidade para as 
ordens de magnitude 
e a liberdade de 
reinventar modos de 
operar com números 
diferentes da repetição 
mecânica daquilo que 
está sendo ensinado 
e memorizado”. 
(Arcavi, 1996)
1. Encontre o valor de x que seja solução para a equação linear a seguir. 
Faça as manipulações algébricas de pelo menos duas formas diferentes.
3 (x – 5) +15 = 5x – x
ATIVIDADE
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O professor deve estimular por meio de atividades o hábito dos alunos de, em 
vez de mergulharem em manipulações algébricas, desenvolverem habilidades 
de leitura dos símbolos.
 Dependendo do caminho seguido, você poderia chegar, num 
determinado momento, à seguinte equação:
3x + 5 = 4x 
Em vez de continuar procedendo com as manipulações, um aluno 
observou o seguinte: como temos uma igualdade, e no primeiro membro 
da equação tenho 3x, para obter 4x, basta somar com 1x, mas esse 1x 
corresponde à quantidade que já está presente na equação, ou seja, 5. 
Logo, pode-se concluir que x = 5. 
!
2. Resolva a equação a seguir:
3x + 5
6x + 10
= 2
COMENTÁRIO
Antes de mergulhar na manipulação, que tal inspecionar a 
equação proposta?
ATIVIDADE
Observe que a equação que se encontra no numerador é a metade 
da equação que se encontra no denominador. Como temos do lado direito 
da igualdade 2, isso signifi ca que esta equação não tem solução. Mas 
se você for adiante e “mergulhar” na manipulação, encontrará o valor 
para x = – 5
3
. Como é possível encontrar um valor para x se, em nossa 
avaliação, essa equação não tem solução? Se você substituir esse valor 
na equação dada, verifi cará que esse valor anula o denominador, o que 
mostra que o único valor encontrado não satisfaz as condições desejadas.
A
U
LA
 2
7
 
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3. O que você pode dizer sobre os números resultantes da diferença entre a 
terceira potência de um número inteiro e o próprio número, ou seja, n3 – n?
COMENTÁRIO
Experimente uma manipulação inicial e depois leia o que os símbolos 
“querem” dizer.
ATIVIDADE
Diferentes pesquisas em Educação Matemática detectam um 
grande número de alunos que erram ao modelar a solução de um 
problema clássico. Veja que interessante!
O problema é o seguinte: “Escreva usando as variáveis E e P 
representando a seguinte sentença: existem seis vezes mais estudantes 
do que professores nesta universidade.”
As pesquisas de Clement (1982), retiradas de ARCAVI 
(1996), apontam que mais de 30% de um grupo de alunos do curso 
de Engenharia erraram a questão. O erro típico foi 6E = P. Outros 
pesquisadores confi rmaram esse resultado. Esse fato foi explicado pelos 
pesquisadores, que atribuem o resultado à prática comum dos professores 
de Matemática, que ensinam os alunos a “traduzirem”, termo