Álgebra! Por que tantos erros? Pré-requisitos Você deve saber realizar operações algébricas, seja com uso de números ou letras. Releia a Aula 7, pois alguns assuntos abordados lá serão retomados nesta aula. ob jet ivo s Meta da aula Instrumentalizar o ensino da Álgebra utilizando o erro como um recurso de aprendizagem. 27AULA Ao fi nal desta aula, você deverá ser capaz de: reconhecer diferentes tipos de erro na aprendizagem de Álgebra. reconhecer e analisar uma representação algébrica. determinar a forma algébrica apropriada para responder a questões particulares. Instrumentação do Ensino da Aritmética e Álgebra | Álgebra! Porque tantos erros? 8 C E D E R J INTRODUÇÃO Nesta aula, voltaremos nosso olhar para os erros comuns em Álgebra. Esses erros podem ser cometidos com muita freqüência por seus futuros alunos. Acreditamos que os erros não devem ser escondidos, como acontece na maioria das vezes. Somos ensinados a apagá-los, a riscá-los, a deixá-los de lado. Aqui queremos defender a posição oposta. Erros são importantes, devem ser valorizados, pois expressam como o aluno pensa, são uma produção do aluno. Que tal ver os erros como aliados para uma aprendizagem signifi cativa? Quando falamos em Álgebra, é bom lembrar que na Aula 7 apresentamos uma importante discussão sobre como estamos entendemos o que seja Álgebra, Pensamento Algébrico e Sentido (ou senso) Numérico. Vamos retomar um pouco essa discussão para depois nos determos ao que estamos chamando de erros em Álgebra. AMPLIANDO NOSSA DISCUSSÃO SOBRE A ÁLGEBRA A Álgebra se apresenta de diferentes maneiras nos três níveis de ensino (Fundamental, Médio e Superior). No Ensino Fundamental, em particular, o PCN usa o termo “pensamento algébrico” para se referir aos conceitos que devem ser desenvolvidos com os alunos nesse nível de ensino. Mas não podemos nos esquecer de que a Álgebra é também um ramo da Matemática voltado para as estruturas, como, por exemplo, grupos, grupos abelianos, anéis e corpos. O avanço da escrita algébrica, em particular o uso de letras, para representar enunciados, axiomas e teoremas e para modelar problemas, é um dos grandes responsáveis pelo avanço da tecnologia. Ainda hoje, nos currículos de Ensino Fundamental e Médio, o estudo das estruturas algébricas se faz presente nos diferentes conteúdos. No 3º ciclo (7ª série) do Ensino Fundamental, em alguns casos com maior ênfases em outros com menor, os alunos vêem pela primeira vez a Matemática “através de letras”. Nesse momento, a Matemática se apresenta por meio de uma forte presença de manipulações simbólicas. Queremos defender a idéia de que esse aprendizado é necessário, porém deve ser feito com ênfase no signifi cado, e não como um conjunto de “regras” e “macetes”. Por exemplo, nesta disciplina, nas Aulas 16, 21 e 26, usamos conceitos geométricos para atribuir signifi cado a manipulações algébricas. A U LA 2 7 C E D E R J 9 Esse é um dos caminhos para minimizar erros freqüentes em Álgebra. Um outro ponto que julgamos relevante é abordar o “sentido do símbolo” (ARCAVI, 1996). Essa abordagem surge como uma refl exão para a Álgebra similar ao senso numérico, que tem sido objeto de estudo de diferentes pesquisadores, na área de Aritmética. Num paralelo a essa idéia de “senso numérico”, ARCAVI (1996) desenvolve o conceito de “sentido do símbolo”, que aponta as seguintes etapas nas quais o aluno precisa desenvolver as seguintes habilidades: (habilidade de explorar – correr os olhos sobre uma expressão algébrica para fazer estimativas brutas dos padrões que emergirão numa representação numérica ou gráfi ca...) (habilidade de fazer comparações conscientes das ordens de magnitude para funções com leis do tipo n, n2, n3, ...) (habilidade de explorar rapidamente um tabela de valores de uma função ou um gráfi co ou de interpretar verbalmente condições expressas, de identifi car a forma adequada de uma lei algébrica que expresse determinado padrão...) (habilidade de inspecionar operações algébricas e prever a forma do resultado ou, como na estimativa aritmética, de inspecionar o resultado e julgar a possibilidade de que tenha sido executada corretamente..) (habilidade de determinar qual entre as várias formas equivalentes pode ser apropriada para responder questões particulares. (ARCAVI, 1996, p. ?) A partir dessas etapas, uma pergunta possível é saber como na prática pedagógica podemos estar contribuindo para que o aluno desenvolva essas habilidades. “SENSO NUMÉRICO” pode ser descrito como uma sensibilidade “não algorítmica” em relação aos números; uma compreensão profunda de sua natureza e da natureza das operações, uma necessidade de examinar a razoabilidade dos resultados; uma sensibilidade para as ordens de magnitude e a liberdade de reinventar modos de operar com números diferentes da repetição mecânica daquilo que está sendo ensinado e memorizado”. (Arcavi, 1996) 1. Encontre o valor de x que seja solução para a equação linear a seguir. Faça as manipulações algébricas de pelo menos duas formas diferentes. 3 (x – 5) +15 = 5x – x ATIVIDADE Instrumentação do Ensino da Aritmética e Álgebra | Álgebra! Porque tantos erros? 10 C E D E R J O professor deve estimular por meio de atividades o hábito dos alunos de, em vez de mergulharem em manipulações algébricas, desenvolverem habilidades de leitura dos símbolos. Dependendo do caminho seguido, você poderia chegar, num determinado momento, à seguinte equação: 3x + 5 = 4x Em vez de continuar procedendo com as manipulações, um aluno observou o seguinte: como temos uma igualdade, e no primeiro membro da equação tenho 3x, para obter 4x, basta somar com 1x, mas esse 1x corresponde à quantidade que já está presente na equação, ou seja, 5. Logo, pode-se concluir que x = 5. ! 2. Resolva a equação a seguir: 3x + 5 6x + 10 = 2 COMENTÁRIO Antes de mergulhar na manipulação, que tal inspecionar a equação proposta? ATIVIDADE Observe que a equação que se encontra no numerador é a metade da equação que se encontra no denominador. Como temos do lado direito da igualdade 2, isso signifi ca que esta equação não tem solução. Mas se você for adiante e “mergulhar” na manipulação, encontrará o valor para x = – 5 3 . Como é possível encontrar um valor para x se, em nossa avaliação, essa equação não tem solução? Se você substituir esse valor na equação dada, verifi cará que esse valor anula o denominador, o que mostra que o único valor encontrado não satisfaz as condições desejadas. A U LA 2 7 C E D E R J 11 3. O que você pode dizer sobre os números resultantes da diferença entre a terceira potência de um número inteiro e o próprio número, ou seja, n3 – n? COMENTÁRIO Experimente uma manipulação inicial e depois leia o que os símbolos “querem” dizer. ATIVIDADE Diferentes pesquisas em Educação Matemática detectam um grande número de alunos que erram ao modelar a solução de um problema clássico. Veja que interessante! O problema é o seguinte: “Escreva usando as variáveis E e P representando a seguinte sentença: existem seis vezes mais estudantes do que professores nesta universidade.” As pesquisas de Clement (1982), retiradas de ARCAVI (1996), apontam que mais de 30% de um grupo de alunos do curso de Engenharia erraram a questão. O erro típico foi 6E = P. Outros pesquisadores confi rmaram esse resultado. Esse fato foi explicado pelos pesquisadores, que atribuem o resultado à prática comum dos professores de Matemática, que ensinam os alunos a “traduzirem”, termo