Aula11 forcas distribuicas parte II

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO
ESCOLA POLITÉCNICA
DEPARTAMENTO DE ESTRUTURAS
DISCIPLINA MECÂNICA I – EEA212
AULA 11 – FORÇAS DISTRIBUÍDAS – PARTE II
Prof. Ana Beatriz Gonzaga e Silva
anabeatrizgonzaga@poli.ufrj.br
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Elementos gráficos, tabelas e gráficos
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Aula 10 - Forças distribuídas
- Corpos Compostos e Figuras
- Teorema de Pappus
- Cargas distribuídas em vigas
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Forneça uma breve visão geral da apresentação. Descreva o foco principal da apresentação e por que ela é importante.
Introduza cada um dos principais tópicos.
Para fornecer um roteiro para o público, você pode repita este slide de Visão Geral por toda a apresentação, realçando o tópico específico que você discutirá em seguida.
Corpos Compostos e Figuras
• Se o corpo ou figura pode ser dividido em diversas partes cujos centros de massa 
são facilmente determinados – utiliza-se o princípio dos momentos e trata-se 
cada parte como um elemento finito do
todo.
• Para o corpo ao lado, as partes tem
massa , e e centros de massa
, e na direção x
Pelo princípio dos momentos:
Sendo a coordenada x do centro de massa do corpo todo
Relações similares são válidas para as outras duas coordenadas
1m 2m 3m
1x 2x 3x
332211321 )( xmxmxmXmmm ++=++
X
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Corpos Compostos e Figuras
• Generalizando:
• Pode-se obter relações análogas para linhas, áreas e volumes compostos, sendo 
m substituído por L, A e V
• Para cavidades ou vazios considerados como parte componente da figura, a 
massa correspondente deve ser tratada como uma quantidade negativa.
∑
∑=
m
xm
X
∑
∑=
m
ym
Y
∑
∑=
m
zm
Z
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Corpos Compostos e Figuras
• Método de aproximação:
Na prática muitas vezes não é fácil definir as fronteiras de áreas ou volumes como 
formas geométricas simples ou que podem ser expressas matematicamente.
Para uma área irregular, por exemplo, pode-se dividir a área em faixas de largura Δx 
e altura variável h
∑
∑=
A
Ay
y c
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Corpos Compostos e Figuras
• Método de aproximação:
Quanto menor a largura da faixa, maior a precisão. Pode-se utilizar elementos de 
qualquer largura que aproximem a área dada com uma exatidão satisfatória.
∑
∑=
A
Ax
x c
∑
∑=
A
Ay
y c
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Corpos Compostos e Figuras
• Volumes irregulares:
Para um volume irregular, 
pode-se reduzir o 
problema à localização do 
centroide de uma área.
Para a figura, sendo A 
os valores das área das seções 
transversais normais à direção x
plotados em um gráfico em
função de x.
Cada faixa de área vertical tem
volume A xΔx= ΔV. 
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Corpos Compostos e Figuras
• Volumes irregulares:
Assim, a área sob a curva r
epresenta o volume do corpo
e a coordenada x do 
centroide da área é:
( )
∑
∑
∑
∑ =
∆
∆
=
V
Vx
xA
xxA
x cc
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Corpos Compostos e Figuras
• Exemplo 1
Localize o centroide da área sombreada
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Corpos Compostos e Figuras
• Exemplo 1
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Corpos Compostos e Figuras
• Exemplo 2
Determine aproximadamente coordenada x do centroide volumétrico de um corpo 
cujo comprimento é 1m e cuja área da seção transversal varia com x como mostrado 
na figura.
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Corpos Compostos e Figuras
• Exemplo 3
Localize o centro de massa do conjunto formado por um suporte e um eixo. A face 
vertical é feita de uma chapa de metal que tem massa de 25kg\m2. O material da 
base horizontal tem uma massa de 40kg\m2 e o eixo de aço tem uma massa 
específica de 7.83 Mg\m3
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Corpos Compostos e Figuras
• Exemplo 3
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Teorema de Pappus
• Existe um método muito simples para calcular a área superficial gerada pela 
revolução de uma curva em relação a um eixo que não intercepte o plano da 
curva
• Seja um segmento de 
comprimento L no plano xy, 
que gera uma superfície quando
gira em torno do eixo x.
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Teorema de Pappus
• Um elemento dessa superfície é o anel gerado por dL. Sua área é dA=2πydL ( 
circunferência vezes espessura)
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Teorema de Pappus
• A área total é então:
Mas sabe-se que:
Assim, tem-se:
- coordenada y do centroide para a linha de comprimento L. Assim, a área 
gerada é a mesma que a área lateral de um cilindro de comprimento L e raio 
∫∫ == ydLdAA π2
∫= ydLLy
LyA π2=
y
y
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Teorema de Pappus
• No caso de um volume gerado pela revolução de uma área em torno de uma 
linha que não intercepte seu plano, pode-se fazer considerações semelhantes.
• Um elemento de volume gerado pela 
revolução da área A em torno do 
eixo x é o anel eementar de seção 
transversal dA e raio y.
• Volume desse elemento é
sua circunferência vezes dA, 
ou dV = 2πydA
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Teorema de Pappus
• O volume total é então:
Mas sabe-se que:
Assim, tem-se:
- coordenada y do centroide d área de revolução A. Assim, o volume gerado é 
obtido multiplicando a área de revolução pela circunferência do percurso circular 
descrito por seu centroide.
∫∫ == ydAdVV π2
∫= ydAAy
AyV π2=
y
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Teorema de Pappus
• Os dois teoremas são úteis para determinação de áreas e volumes de revolução. 
• Também são usados para determinar os centroides de curvas e áreas planas 
quando se conhece as áreas e volumes correspondentes criados pela revolução 
dessas figuras em torno de um eixo que não intercepte o plano da curva. 
• Se uma linha ou área é girada de um ângulo θ menor que 2π, pode-se 
determinar a superfície ou volume gerado substituindo 2π por θ
• Θ dado em radianos.
AyV θ=
LyA θ=
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Teorema de Pappus
• Exemplo 4
Determine o volume V e área superficial A do toróide completo de seção transversal 
circular.
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Teorema de Pappus
• Exemplo 4
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Teorema de Pappus
• Exemplo 5
Calcule o volume V do sólido gerado pela revolução da área triangular de 60 mm por 
180o em torno do eixo z. Se esse corpo fosse construído de aço, qual seria sua massa 
m
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Teorema de Pappus
• Exemplo 5
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Cargas distribuídas em vigas
• Vigas – elementos estruturais que oferecem resistência à flexão devido a cargas 
aplicadas. 
• Em sua maioria são longas barras prismáticas com cargas normalmente 
aplicadas na direção normal aos eixos das barras
• Para analisar a capacidade de vigas de suportarem cargas, deve-se primeiro 
estabelecer os requisitos para o equilíbrio da viga como um todo e de qualquer 
parte dela considerada separadamente.
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Cargas distribuídas em vigas
• Tipos de vigas:
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Cargas distribuídas em vigas
• Cargasdistribuídas:
Intensidades de carga constantes ou linearmente variáveis são facilmente tratadas. 
Três casos mais comuns:
A resultante passa pelo centroide da área formada pela intensidade de força w e 
pelo comprimento L sobre o qual a força está distribuída
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Cargas distribuídas em vigas
• Cargas distribuídas:
A área trapezoidal deve ser separada em uma área retangular e outra triangular e as 
resultantes correspondentes a cada área determinadas separadamente.
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Cargas distribuídas em vigas
• Cargas distribuídas:
Para uma distribuição de carga mais geral:
Considerando um incremento
diferencial de força dR = wdx
dxwdRR ∫∫ ==
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Cargas distribuídas em vigas
• Cargas distribuídas:
Como nos casos anteriores, a resultante R está localizada no centroide da área em 
consideração. A coordenada x pode ser determinada pelo princípio dos momentos.
Uma vez que as cargas distribuídas tenham sido reduzidas a suas cargas 
concentradas equivalentes, as reações externas podem ser obtidas pelas equações 
de equilíbrio.
R
dxxw
x ∫=
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Cargas distribuídas em vigas
• Exemplo 6
Determine a(s) carga(s) concentrada(s) equivalente(s) e as reações externas para a 
viga com apoio simples que está submetida à carga distribuída mostrada.
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Cargas distribuídas em vigas
• Exemplo 6
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	Corpos Compostos e Figuras
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	Teorema de Pappus
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