Formulario AE, Estimador Razão e Regressão

Prévia do material em texto

Formula´rio ba´sico - Amostragem Estratificada
τ =
H∑
h=1
τh µ =
H∑
h=1
Whµh P =
H∑
h=1
WhPh
Tes =
H∑
h=1
Nhyh yes =
H∑
h=1
Whyh Pˆes =
H∑
h=1
WhPˆh
AESc
V (Tes) =
H∑
h=1
N2h
σ2h
nh
V (yes) =
H∑
h=1
W 2h
σ2h
nh
V (Pˆes) =
H∑
h=1
W 2h
Ph(1− Ph)
nh
V̂ (Tes) =
H∑
h=1
N2h
s2h
nh
V̂ (yes) =
H∑
h=1
W 2h
s2h
nh
V̂ (Pˆes) =
H∑
h=1
W 2h
Pˆh(1− Pˆh)
nh − 1
Alocac¸a˜o o´tima: nh = n ·
Whσh√
ch
H∑
h=1
Whσh√
ch
Custo fixo: n =
(C−C0)
H∑
h=1
Whσh√
ch
H∑
h=1
Whσh
√
ch
Var fixa: n = 1
V
(
H∑
h=1
Whσh
√
ch
)(
H∑
h=1
Whσh√
ch
)
OBS: Se o interesse e´ estimar proporc¸a˜o substitua nas fo´rmulas anteriores σh por
√
Ph(1− Ph).
AESs
V (Tes) =
H∑
h=1
N2h(1− fh)
S2h
nh
V (yes) =
H∑
h=1
W 2h (1− fh)
S2h
nh
V (Pˆes) =
H∑
h=1
W 2h (1− fh)
Nh
Nh − 1
Ph(1− Ph)
nh
V̂ (Tes) =
H∑
h=1
N2h(1− fh)
s2h
nh
V̂ (yes) =
H∑
h=1
W 2h (1− fh)
s2h
nh
V̂ (Pˆes) =
H∑
h=1
W 2h (1− fh)
Pˆh(1− Pˆh)
nh − 1
Alocac¸a˜o o´tima: nh = n ·
WhSh√
ch∑H
h=1
WhSh√
ch
Custo fixo: n =
(C−C0)
H∑
h=1
WhSh√
ch∑H
h=1WhSh
√
ch
Var fixa: n =

H∑
h=1
WhSh
√
ch


H∑
h=1
WhSh√
ch

V+
1
N
H∑
h=1
WhS
2
h
OBS: Se o interesse e´ estimar proporc¸a˜o substitua nas fo´rmulas anteriores Sh por
√
Nh
Nh−1Ph(1− Ph).
Formula´rio ba´sico - Estimador do tipo Raza˜o sob AAS
R =
τY
τX
=
µY
µX
(1) R̂ =
y
x
TR = τ̂Y = R̂τX yR = R̂µX
AASs AASc
(2) Cov(x, y) =
1− f
n
SXY Cov(x, y) =
σXY
n
(3) ρ(x, y) = ρ(X, Y ) ρ(x, y) = ρ(X, Y )
n grande
(4) E[R̂] ≈ R V ar[R̂] ≈ 1
µ2X
E[y −Rx]2
(5) S2R =
1
N − 1
∑N
i=1(Yi −RXi)2 σ2R =
1
N
∑N
i=1(Yi −RXi)2
(6) V ar[R̂] ≈ 1
µ2X
· 1− f
n
SR2 V ar[R̂] ≈ 1
µ2X
· σ
2
R
n
(7) V ar[R̂] ≈ 1
µ2X
1− f
n
{S2Y +R2 S2X − 2RSXY } V ar[R̂] ≈
1
µ2X
1
n
{σ2Y +R2 σ2X − 2RσXY }
(8) V ar[R̂] ≈ R21− f
n
{
CV 2[Y ] + CV 2[X]− 2 SXY
µXµY
}
V ar[R̂] ≈ R
2
n
{
CV 2[Y ] + CV 2[X]− 2 σXY
µXµY
}
Vie´s de R̂
(9) E[R̂−R] ≈ R · CV 2[x]
{
1− ρ(x, y)CV [y]
CV [x]
}
(10) E[R̂−R] ≈ R1− f
n
CV 2[X]
{
1− ρ(X, Y )CV [Y ]
CV [X]
}
E[R̂−R] ≈ R
n
CV 2[X]
{
1− ρ(X, Y )CV [Y ]
CV [X]
}
(11)
|V ie´s[R̂]|
σR̂
≤ 1− f√
n
|CV [X]| |V ie´s[R̂]|
σR̂
≤ 1√
n
|CV [X]|
Estimac¸a˜o da variaˆncia
(12) s2R =
1
n− 1
∑
i∈s(Yi − R̂Xi)2
(13) E[s2R] ≈ S2R E[s2R] ≈ σ2R
Formula´rio ba´sico - Estimador do tipo Regressa˜o sob AAS
(1) y¯reg = y + b(µX − x¯) bˆ = sxys2x
AASs AASc
n grande: E [̂b] ≈ b
(2) V̂ ar[y¯reg] ≈ 1− f
n
{
s2y − 2bˆsxy + bˆ2s2x
}
V̂ ar[y¯reg] ≈ 1
n
{
s2y − 2bˆsxy + bˆ2s2x
}