Lista1 de Teoria do Risco

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Universidade Federal do Rio de Janeiro
Teoria do Risco
Prof. Tha´ıs C O Fonseca Lista de exerc´ıcios 1
1. Suponha que um segurador possui func¸a˜o de utilidade exponencial com paraˆmetro α.
(a) Qual e´ o preˆmio mı´nimo exato a ser pedido P− para uma perda aleato´ria X?
(b) Qual o preˆmio mı´nimo L− se X ∼ N(50, 10) e α = 0.02?
(c) Suponha que um poss´ıvel segurado tem func¸a˜o de utilidade exponencial com paraˆmetro
β. Qual e´ o preˆmio ma´ximo a pagar para uma perda aleato´ria X?
(d) Qual o preˆmio ma´ximo a ser pago para X ∼ N(50, 10) e β = 0.1.
(e) Qual a faixa de valores para o seguro na qual o segurado fara´ nego´cio?
(f) Refac¸a (d) usando aproximac¸a˜o de Taylor.
2. Um tomador de deciso˜es tem utilidade u(x) =
√
x, x ≥ 0. Sa˜o dadas a ele duas opc¸o˜es X
e Y, tal que P (X = 400) = P (X = 900) = 0.5 e P (Y = 100) = 0.6 e P (Y = 1600) = 0.4.
(a) Mostre que ele prefere X a Y.
(b) Sugira uma nova func¸a˜o de utilidade para a qual ele ira´ prefirir Y a X.
3. Mostre que os coeficientes de aversa˜o ao risco das utilidades linear, quadra´tica, logarit-
mica, exponencial e poder podem ser escritas como r(w) = (γ + βw)−1.
4. Mostre que a aproximac¸a˜o para calcular P+ baseada na expansa˜o de Taylor e´ exata para
o caso X ∼ N(µ, σ2).
5. Considere utilidade marginal u(w) proporcional a 1/w. Qual a func¸a˜o utilidade cor-
respondente? Interprete essa utilidade marginal.
6. Assuma que um segurador sabe que um risco e´ tal que X ∼ Ga(2, β) com me´dia 50. Um
segurado, por outro lado, sabe que esse risco tem distribuic¸a˜o Exp(β∗) com me´dia 45.
Ambos tem utilidade exponencial com paraˆmetros α = 0.001 e α∗ = 0.005, respectiva-
mente. Encontre o intervalo de preˆmios para o qual eles fariam nego´cio.