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UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO INSTITUTO DE MATEMA´TICA DEPARTAMENTO DE ME´TODOS ESTATI´STICOS PROFESSORA: KELLY CRISTINA M. GONC¸ALVES DISCIPLINA: AMOSTRAGEM 2a Prova Rio de janeiro, 7 de novembro de 2016 Nome: Instruc¸o˜es: • Nas questo˜es a seguir apresente o desenvolvimento e na˜o apenas o resultado final. • Se for utilizar uma notac¸a˜o diferente das aulas, e´ necessa´rio defini-la. • Deixe claro todos os resultados utilizados, caso use algum. • Durante a prova na˜o e´ permitido o uso de quaisquer aparelhos eletroˆnicos, exceto calcu- ladora. • Na˜o e´ permitido ir ao banheiro durante a prova. Qualquer aluno que na˜o seguir estas regras pode ter sua prova anulada. Boa prova, muita calma e boa sorte! E´ hoje! :) 1.[2,4] Suponha que voceˆ esta´ fornecendo consultoria a um profissionar da a´rea da sau´de, o qual deseja sortear uma amostra de uma populac¸a˜o para fazer uma pesquisa. Seus possı´veis planejamentos propostos tratam-se de amostra aleato´ria simples ou amostragem estratifi- cada simples. Explique ao profissional cada plano descrevendo (i) quando e´ utilizado; (ii) como e´ realizado; (iii) vantagens; (iv) desvantagens. 2.[2,0] Considere o seguinte estimador para a me´dia de uma caracterı´stica de interesse Y por meio de uma amostragem estratificada: y¯′ = ∑H h=1 nh n y¯h, onde nh e´ o tamanho da amostra no estrato h e y¯h e´ a me´dia amostral no estrato h e n = ∑H h=1 nh. (a)[1,0] Em que condic¸o˜es o estimador y¯′ e´ na˜o viciado para a me´dia de Y ? Justifique a sua resposta. (b)[1,0] Ache uma expressa˜o para o erro quadra´tico me´dio de y¯′. 3.[2,5] Possuı´mos a seguinte informac¸a˜o sobre o nu´mero de alfabetizados de uma regia˜o de 100 mil pessoas: Estrato Grupo Eta´rio No de pessoas Proporc¸a˜o de alfabetizados 1 15 a 24 25000 0.50 2 25 a 34 20000 0.30 3 35 a 49 40000 0.10 4 50 ou mais 15000 0.01 Queremos planejar uma amostra para, daqui a 6 meses, apo´s um programa de alfabetizac¸a˜o, e estimar a proporc¸a˜o de alfabetizados. (a)[1,0] Qual deve ser o tamanho da amostra num plano estratificado proporcional para que o coeficiente de variac¸a˜o seja de 10%? (b)[1,5] Supondo o tamanho da amostra calculado no item (a), compare numericamente, em termos de precisa˜o, a alocac¸a˜o proporcional com a alocac¸a˜o o´tima, supondo o mesmo custo unita´rio para obter cada informac¸a˜o. 4.[3,1] De uma populac¸a˜o com 40 domicı´lios foi selecionada uma amostra aleato´ria simples sem reposic¸a˜o de tamanho 4 que proporciona os seguintes valores semanais expressos em reais. Sabe-se nesta populac¸a˜o que o verdadeiro gasto total semanal e´ de 12000 reais. Gastos com alimentac¸a˜o Gastos total 125 250 135 300 70 200 158 350 Dicas: Desvio padra˜o amostral de gasto com alimentac¸a˜o: 37.3 Desvio padra˜o amostral de gasto total: 64.6 Correlac¸a˜o amostral entre gasto com alimentac¸a˜o e gasto total: 0.95 (a)[0,7] Estime a porcentagem de gasto com alimentac¸a˜o com relac¸a˜o ao gasto total. (b)[1,2] Estime o gasto me´dio com alimentac¸a˜o semanal usando treˆs estimadores diferentes. (c)[1,2] Compare cada um dos estimadores calculados no item (b) com relac¸a˜o a variaˆncia. Esse resultado era esperado?
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