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Prova 2 AMOSTRAGEM

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO
INSTITUTO DE MATEMA´TICA
DEPARTAMENTO DE ME´TODOS ESTATI´STICOS
PROFESSORA: KELLY CRISTINA M. GONC¸ALVES
DISCIPLINA: AMOSTRAGEM
2a Prova
Rio de janeiro, 7 de novembro de 2016
Nome:
Instruc¸o˜es:
• Nas questo˜es a seguir apresente o desenvolvimento e na˜o apenas o resultado final.
• Se for utilizar uma notac¸a˜o diferente das aulas, e´ necessa´rio defini-la.
• Deixe claro todos os resultados utilizados, caso use algum.
• Durante a prova na˜o e´ permitido o uso de quaisquer aparelhos eletroˆnicos, exceto calcu-
ladora.
• Na˜o e´ permitido ir ao banheiro durante a prova.
Qualquer aluno que na˜o seguir estas regras pode ter sua prova anulada.
Boa prova, muita calma e boa sorte! E´ hoje! :)
1.[2,4] Suponha que voceˆ esta´ fornecendo consultoria a um profissionar da a´rea da sau´de, o qual
deseja sortear uma amostra de uma populac¸a˜o para fazer uma pesquisa. Seus possı´veis
planejamentos propostos tratam-se de amostra aleato´ria simples ou amostragem estratifi-
cada simples. Explique ao profissional cada plano descrevendo (i) quando e´ utilizado; (ii)
como e´ realizado; (iii) vantagens; (iv) desvantagens.
2.[2,0] Considere o seguinte estimador para a me´dia de uma caracterı´stica de interesse Y por
meio de uma amostragem estratificada: y¯′ =
∑H
h=1
nh
n
y¯h, onde nh e´ o tamanho da amostra
no estrato h e y¯h e´ a me´dia amostral no estrato h e n =
∑H
h=1 nh.
(a)[1,0] Em que condic¸o˜es o estimador y¯′ e´ na˜o viciado para a me´dia de Y ? Justifique a sua
resposta.
(b)[1,0] Ache uma expressa˜o para o erro quadra´tico me´dio de y¯′.
3.[2,5] Possuı´mos a seguinte informac¸a˜o sobre o nu´mero de alfabetizados de uma regia˜o de 100
mil pessoas:
Estrato Grupo Eta´rio No de pessoas Proporc¸a˜o de alfabetizados
1 15 a 24 25000 0.50
2 25 a 34 20000 0.30
3 35 a 49 40000 0.10
4 50 ou mais 15000 0.01
Queremos planejar uma amostra para, daqui a 6 meses, apo´s um programa de alfabetizac¸a˜o,
e estimar a proporc¸a˜o de alfabetizados.
(a)[1,0] Qual deve ser o tamanho da amostra num plano estratificado proporcional para que o
coeficiente de variac¸a˜o seja de 10%?
(b)[1,5] Supondo o tamanho da amostra calculado no item (a), compare numericamente, em
termos de precisa˜o, a alocac¸a˜o proporcional com a alocac¸a˜o o´tima, supondo o mesmo
custo unita´rio para obter cada informac¸a˜o.
4.[3,1] De uma populac¸a˜o com 40 domicı´lios foi selecionada uma amostra aleato´ria simples sem
reposic¸a˜o de tamanho 4 que proporciona os seguintes valores semanais expressos em
reais. Sabe-se nesta populac¸a˜o que o verdadeiro gasto total semanal e´ de 12000 reais.
Gastos com alimentac¸a˜o Gastos total
125 250
135 300
70 200
158 350
Dicas:
Desvio padra˜o amostral de gasto com alimentac¸a˜o: 37.3
Desvio padra˜o amostral de gasto total: 64.6
Correlac¸a˜o amostral entre gasto com alimentac¸a˜o e gasto total: 0.95
(a)[0,7] Estime a porcentagem de gasto com alimentac¸a˜o com relac¸a˜o ao gasto total.
(b)[1,2] Estime o gasto me´dio com alimentac¸a˜o semanal usando treˆs estimadores diferentes.
(c)[1,2] Compare cada um dos estimadores calculados no item (b) com relac¸a˜o a variaˆncia.
Esse resultado era esperado?

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