semana_13

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Universidade de Bras´ılia
Departamento de Matema´tica
Ca´lculo 1
Lista de Aplicac¸a˜o – Semana 13
Temas abordados : Regra de Substituic¸a˜o; A´reas
Sec¸o˜es do livro: 5.5; 5.6
1) A figura ao lado indica a a´rea delimitada pelos gra´ficos das func¸o˜es
f(x) = 2− 2x2
e
g(x) = | sen(pix)|,
com x ∈ [−1, 1]. Use a integral definida para
calcular o valor dessa a´rea.
2) Uma part´ıcula de massa m > 0 se move retilineamente sob a ac¸a˜o de uma forc¸a F que e´
proporcional a` velocidade v(t) da part´ıcula e atua em sentido contra´rio ao deslocamento.
Desse modo F = −k v(t), com k > 0 constante. Supondo que v(0) = v0 > 0 resolva os
itens a seguir.
(a) De acordo com a Segunda Lei de Newton, temos que F = mv′(t), em que v′(t) e´
a acelerac¸a˜o da part´ıcula. Usando essa informac¸a˜o e a expressa˜o para F dada no
enunciado, obtenha a equac¸a˜o que relaciona m, k, v(t) e v′(t).
(b) Lembrando que a derivada de ln(v(t)) e´ igual a v′(t)/v(t), use o item anterior para
obter v(t) em termos de v0, k e m.
(c) Determine o espac¸o s(t) percorrido pela part´ıcula ate´ o instante t, supondo s(0) = 0.
(d) Calcule a distaˆncia total d percorrida pela part´ıcula, dada por d = lim
t→∞
s(t).
3) Para cada a > 0, seja S(a) a a´rea delimitada pelo gra´fico da func¸a˜o f(x) = 1/(1 + x2),
com x ∈ [−a, a], e o eixo Ox (veja figura abaixo). Como f e´ par, pode-se calcular a a´rea
S(a) como sendo o dobro da a´rea compreendida no primeiro quadrante.
(a) Utilize a substituic¸a˜o trigonome´tria x = tan(θ) para encontrar uma primitiva para a
func¸a˜o 1/(1 + x2).
(b) Determine a a´rea S(a) indicada em func¸a˜o
do nu´mero a.
(c) Calcule lim
a→+∞
S(a) verificando que, apesar
da regia˜o sob o gra´fico de f ser ilimitada
quando a→∞, sua a´rea e´ finita.
Lista de Aplicac¸a˜o da Semana 13 - Pa´gina 1 de 2
4) Suponha que a temperatura T (t) de um corpo imerso em um meio com temperatura
constante e igual a 20 seja tal que T (0) = 80 graus Celsius. Segundo a Lei do Resfriamento
de Newton, a taxa de variac¸a˜o T ′(t) e´ proporcional a` diferenc¸a entre as temperaturas T (t)
e 20. Supondo que a constante de proporcionalidade seja igual a −2, segue que
T ′(t) = −2(T (t)− 20), t > 0.
(a) A partir dos dados apresentados, determine a temperatura T (t).
(b) Determine o instante t0 em que T (t0) = 40.
(c) O que acontece com a temperatura T (t) apo´s muito tempo?
Gabarito
1. A a´rea e´ igual a
8
3
− 4
pi
2. (a) mv′(t) = −kv(t)
(b) v(t) = v0e
−kt/m
(c) s(t) =
mv0
k
(
1− e−kt/m)
(d)
mv0
k
3. (a)
∫
1/(1 + x2) dx = arctg(x) +K
(b) S(a) = 2 arctg(a)
(c) a a´rea total e´ igual a pi
4. (a) T (t) = 20 + 60e−2t
(b) t0 =
ln 3
2
(c) se aproxima de 20 graus
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