15f2a-solucao

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Ca´lculo 1 Prof. Zapata
Um exerc´ıcio resolvido
Lista 15 de fixac¸a˜o - Exerc´ıcio 2(a)
Seja f : [0, 2]→ R a func¸a˜o cont´ınua definida por f(x) = 1
2
(ex+e−x). O comprimento
L da curva y = f(x) entre x = 0 e x = 2 e´ dado por∫ 2
0
√
1 + f ′(x)2 dx .
Observemos que f(x) = cosh(x), por definic¸a˜o. Assim, temos
f ′(x) = senh(x) , (1)
e logo 1 + f ′(x)2 = 1 + senh2(x). Da identidade
cosh2(x)− senh2(x) = 1 , (2)
segue que
√
1 + f ′(x)2 = |cosh(x)|. Agora, cosh(x) ≥ 0 para x ∈ [0, 2], e portanto
L =
∫ 2
0
cosh(x) dx.
Como
(senh(x))′ = cosh(x) (3)
sempre que x ∈ [0, 2], o Teorema Fundamental do Ca´lculo nos assegura que
L = senh(2)− senh(0). Logo
L =
e2 − e−2
2
.
Verificac¸a˜o das identidades (1), (2), e (3).
(1): (cosh(x))′ =
(
ex+e−x
2
)′
= e
x−e−x
2 = senh(x).
(2): cosh2(x)− senh2(x) =
(
ex+e−x
2
)2
−
(
ex−e−x
2
)2
=
(
e2x+2+e−2x
4
)
−
(
e2x−2+e−2x
4
)
= 1.
(3): (senh(x))′ =
(
ex−e−x
2
)′
= e
x+e−x
2 = cosh(x).
P.S. Note que o uso de func¸o˜es hiperbo´licas na˜o e´ absolutamente necessa´rio, pore´m conveniente.