UNB_MD_L1_15.1 lista de atividade 1°

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Unibratec Ensino Superior e Técnico em Informática 
Curso Superior de Engenharia da Computação 
Matemática Discreta 
Prof: Paulo Hugo 
1°Lista de Exercícios 2015.1 
LÓGICA 
1. Faça as simplificações: 
a. 𝑆 = p 𝑥 q + (p 𝑥q ) 
b. 𝑆 = p + q 𝑥 (p + w) 
c. 𝑆 = p 𝑥 q 𝑥 w + p 𝑥q + p 𝑥w 
d. 𝑆 = 𝑝𝑥𝑞 + 𝑝 𝑥𝑤 + 𝑞𝑥𝑤 
e. 𝑆 = 𝑝 𝑥 𝑞 + p + w 
f. 𝑆 = p + q + w + r 𝑥 s 
g. 𝑆 = 𝑝 𝑥 𝑞 + 𝑝𝑥 𝑞 𝑥 𝑤 + 𝑝 
 
2. Construa a tabela da verdade para as composições: 
a. p 𝑥p 
b. p + p 
c. p 𝑥q → q 
d. p + q → (p 𝑥 q) 
e. q → p ↔ (p ↔ q) 
f. p → q → (p ↔ q ) 
 
Teoria de Conjuntos 
3. Mostre que A – (A – B) = A ∩ B. 
4. Use as identidades entre conjuntos para determinar se a seguinte afirmação é 
verdadeira: 
“Sejam A e B conjuntos arbitrários, então ( A ∪ B ) − ( A ∩ B ) = ( A − B ) ∪ ( B − A)”. 
5. Considere A, B e C como conjuntos. Mostre que: 
a. A ∪ B ⊆ A ∪ B ∪ C 
b. A ∩ B ∩ C ⊆ A ∩ B 
c. (A – B) – C ⊆ A – C 
d. (A – C ∩ C – B) = Ø 
e. (B – A ∪ C – A = B ∪ C – A. 
 
6. A diferença simétrica de dois conjuntos A e B é o conjunto de elementos que pertence 
a exatamente um deles (ou seja, é (A U B) - (A ∩ B)). Forme a diferença simétrica de A e B 
para obter um conjunto C. Forme a diferença simétrica de A e C. Que conjunto você 
obtém? Justifique a sua resposta usando as identidades entre conjuntos. 
 
7. Quantos elementos estão na união de quatro conjuntos se cada um dos conjuntos 
possuem 100 elementos, cada par compartilham 50 elementos, cada três compartilham 
25 elementos e os quatro compartilham 5 elementos? 
 
8. Encontre a quantidade de inteiros positivos que são menores ou iguais a 100 que não 
são divisíveis por 5 e por 7. 
 
Teoria de Funções 
9. Nos casos seguintes, verifique se 𝑓 é uma função: 
a. 𝑓 𝑥 = 1/𝑥, 𝑓: ℝ → ℝ 
b. 𝑓 𝑥 = 𝑥, 𝑓: ℝ+ → ℝ 
c. 𝑓 𝑥 = ± 𝑥2 + 1, 𝑓: ℝ → ℝ 
d. 𝑓 𝑥 = ±𝑥,𝑓: ℤ → ℝ 
e. 𝑓 𝑥 = 𝑥2 + 1, 𝑓: ℤ → ℝ 
f. 𝑓 𝑥 = 1/(𝑥2 − 4), 𝑓: ℤ → ℝ 
10. Determine o domínio e a imagem das funções. Em cada caso, para encontrar o 
domínio, determine o conjunto de elementos que garantem a os valores pela função: 
a. A função que associa a cada inteiro não negativo seu último dígito; 
b. A função que associa o próximo maior inteiro de um número positivo; 
c. A função que associa a uma sequência de bits o número de bits iguais a 1; 
d. A função que associa a uma sequência de bits o número de dígitos da 
sequência. 
 
11. Defina se os mapeamentos são relações, funções injetoras ou sobrejetoras: 
 
 
12. Encontre os valores 
a) 1,1 b) 3/4 c) 0,5 × 7/4 
d) 3,91 e) −32/15 f) −13/12 × 17/2 
13. Determine se cada função abaixo é injetora. 
Para 𝐷 = {𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑} e 𝐶𝐷 = {𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑} 
a. f (a)= b, f (b) = a, f (c) = c, f (d) = d 
b. f (a) = b, f (b) = b, f (c) = d, f (d) = c 
c. f (a) = d, f (b) = b, f (c) = c, f (d) = d 
Para 𝐷 = ℤ e 𝐶𝐷 = ℤ 
d. f (n) = n – 1 
e. f (n) = n
2
+ 1 
f. f (n) = n
3 
 
14. Determine se cada função 𝑓: ℤ × ℤ → ℤ abaixo é sobrejetora: 
a. f (m,n) = 2n – m 
b. f (m,n) = n
2
-4 
c. f (m,n) = m2- n2 
d. f (m,n) = |m2 | 
 
15. Determine se cada função 𝑓: ℝ → ℝ abaixo é bijetora: 
a. f (x)= −3x + 4 
b. f (x)= x2+ 7 
c. f (x)= x3+ 1 
d. f (x)= (x + 1)/(x + 2) 
e. f (x)= (x2- 1)/(x2+ 2) 
 
16. Determine se cada função 𝑓: ℝ → ℝ abaixo é admite inversa e encontra-a: 
a. f (x)= −3x + 4 
b. f (x)= x2 
c. f (x)= |x|+ 1 
d. f (x)= −2𝑥 
e. f (x)= (x2- 1)/(x2+ 2) 
SEQUÊNCIAS E SOMATÓRIOS 
17. Liste os 5 primeiros termos de cada sequência . 
a. an = 6an−1,a0 = 2 
b. an = a
2
n−1 ,a1 = 2 
c. an = an−1+3an−2,a0 = 1,a1 = 2 
d. an = nan−1+n
2an−2,a0 = 1,a1 = 1 
e. an = an−1+an−3,a0 = 1,a1 = 2,a2 = 0 
 
18. Seja an=2
n+5·3n para n=0, 1, 2, ... 
a. Encontre a0,a1,a2,a3, e a4. 
b. Mostre que a2=5a1−6a0,a3=5a2−6a1, e que a4=5a3−6a2. 
 
 
19. Para cada sequência de inteiros, apresenta uma simples formula ou uma regra para 
gerar a sequência. Assumindo que a fórmula é correta, determine os 3 primeiros 
termos. 
a. 1, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 1, ... 
b. 1, 2, 2, 3, 4, 4, 5, 6, 6, 7, 8, 8, ... 
c. 1, 0, 2, 0, 4, 0, 8, 0, 16, 0, ... 
d. 3, 6, 11, 18, 27, 38, 51, 66, 83, 102, ... 
e. 7, 11, 15, 19, 23, 27, 31, 35, 39, 43, . 
f. 3, 6, 12, 24, 48, 96, 192, ... 
g. 15, 8, 1, −6, −13, −20, −27, ... 
h. 3, 5, 8, 12, 17, 23, 30, 38, 47, ... 
i. 2, 16, 54, 128, 250, 432, 686, ... 
j. 2, 3, 7, 25, 121, 721, 5041, 40321,... 
 
20. Compute o valor de cada somatório 
a. 
 
g. 
 
b. 
 
f. 
 
c. 
 
i. 
 
d. 
 
j. 
 
e. 
 
k. 
 
f. 
 
l.